精品解析：江苏省奔牛高级中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷

2026-2027学年江苏省奔牛高级中学高二（上）月考数学试卷（10月份） 时间：120分钟 总分：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分. 1. 椭圆的焦点坐标为（　　） A. B. C. D. 2. 若方程表示的曲线为一个圆，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 3. 已知直线：，直线：，则直线与间的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 直线的倾斜角范围是 A. B. C. D. 5. 已知离心率为的椭圆的长轴长是短轴长的2e倍，则（ ） A. B. C. D. 6. 圆关于直线对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P，点P到直线的距离为d，则d的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆，过轴上的点存在圆的割线，使得，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分. 9. 椭圆的一个焦点和一个顶点在圆上，则该椭圆的离心率的可能取值有（ ） A. B. C. D. 10. 下列关于直线和圆的叙述中，正确的是（ ） A. 当变化时，方程表示的直线过定点 B. 等腰三角形中，，，，则点的轨迹方程为 C. 若，是方程的两个实根，则点在圆内 D. 过点作直线与轴正半轴，轴正半轴分别交于、，为坐标原点，则的最小值为 11. 已知圆的方程为，点，点是轴上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则（ ） A. 存在切点，使得为直角 B. 直线过定点 C. 的最大值是 D. 面积的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过和的直线在y轴上的截距为______  . 13. 已知圆经过点和，圆心C在直线上，点是圆上的任意一点，则的最小值为______  . 14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：上恰有3个点到直线的距离为设点，，点Q是圆O上的任意一点，过点B作于M，则的最小值为______  . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线，． （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程． 16. 已知椭圆C：的离心率为，上顶点 （1）求椭圆C的标准方程； （2）若圆M与两条坐标轴切于椭圆C的右焦点和下顶点，过点B作圆M的切线l，求直线l的方程. 17. 已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动. （1）当时， （i）求线段的中点P的轨迹的方程； （ii）设圆与曲线的交点为M、N，求线段的长. （2）若圆上存在两个不同的点T，使得为坐标原点，求实数r的取值范围． 18. 已知椭圆，焦距为，椭圆上的点到两焦点的距离之和为4. （1）求椭圆的方程； （2）经过右顶点的直线与椭圆的另一个交点为，点关于轴的对称点为（与不重合），直线与轴的交点分别为和.若，求线段的长. 19. 定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记的最大值为m，的最小值为n，若，则称N为圆C的“黄金点”；若G同时是圆E和圆F的“黄金点”，则称G为圆“”的“钻石点”.已知圆A：，P为圆A的“黄金点” （1）求点P所在曲线的方程. （2）已知圆B：，P，Q均为圆“”的“钻石点”. （ⅰ）求直线的方程. （ⅱ）若圆H是以线段为直径的圆，直线l：与圆H交于I，J两点，对于任意的实数k，在y轴上是否存在一点W，使得y轴平分？若存在，求出点W的坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年江苏省奔牛高级中学高二（上）月考数学试卷（10月份） 时间：120分钟 总分：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分. 1. 椭圆的焦点坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断焦点所在位置，再根据的关系求，可确定焦点坐标. 【详解】由得椭圆的焦点在轴上， 且，，所以，又，所以. 所以椭圆的焦点坐标. 故选：A 2. 若方程表示的曲线为一个圆，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知列出不等式，求解即可得出答案. 【详解】因为方程表示的曲线为一个圆， 所以， 即，解得或． 故选：B. 3. 已知直线：，直线：，则直线与间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两平行线间的距离公式即可求解． 【详解】解：已知直线：，直线：， 则直线可化为：，且， 直线与间的距离为 4. 直线的倾斜角范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，设直线的倾斜角为，根据直线方程，求得，即可求解. 【详解】由题意，设直线的倾斜角为 直线的斜率为， 即，又由，所以， 故选B. 【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，以及直线的斜率与倾斜角的关系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 5. 已知离心率为的椭圆的长轴长是短轴长的2e倍，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由椭圆的性质结合离心率的定义即可求解. 【详解】由已知得，即，即，解得，即， 故选：B． 6. 圆关于直线对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得圆的圆心与半径，利用对称求得圆心关于直线的对称点，可求对称圆的方程. 【详解】方程，可化为， 则圆心的坐标为，半径， 设圆关于直线对称的圆的圆心为，则半径仍为， 则，解得． 所以圆的方程为. 故选：C． 7. 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P，点P到直线的距离为d，则d的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线方程求出定点 的坐标，判断两直线的交点 的轨迹为圆，利用点到直线的距离公式判断直线与圆相切，即可求出 的取值范围 【详解】动直线 过定点 ， 动直线 即 过定点 . 因为， 所以直线与直线垂直， 又直线的斜率一定存在， 点 在以 为直径的圆上（去除点）， 圆心为 ，半径 ， 圆心 到直线 的距离为 所以圆与直线 相切（切点不是点），的最小值为0； 圆的直径，且点到直线 的距离为，所以， 即 的取值范围为 . 故选：A . 8. 已知圆，过轴上的点存在圆的割线，使得，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用割线定理得，再根据，列出关于的关系式，利用求解即可. 【详解】由题意得圆的圆心坐标为，半径，如图所示： 连接，交圆分别点，易证△∽△ 则， 因为，故，， 所以， 又， 所以， 解得. 故选：D. 【点睛】本题主要考查圆的方程及圆的几何性质，考查学生分析处理问题的能力，属于难题，解答时将问题灵活转化是关键. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分. 9. 椭圆的一个焦点和一个顶点在圆上，则该椭圆的离心率的可能取值有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先求圆与坐标轴的交点坐标，再分情况，求椭圆的离心率的取值. 【详解】，圆与轴的交点坐标为或，与轴的交点为， 而椭圆的焦点在轴， 当焦点是，右顶点，此时，离心率， 当焦点是，上顶点，此时，那么，离心率， 当焦点是，上顶点，此时，那么，离心率 故选：BCD 10. 下列关于直线和圆的叙述中，正确的是（ ） A. 当变化时，方程表示的直线过定点 B. 等腰三角形中，，，，则点的轨迹方程为 C. 若，是方程的两个实根，则点在圆内 D. 过点作直线与轴正半轴，轴正半轴分别交于、，为坐标原点，则的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】令的系数为零，由方程组，可得直线所过定点，即可判断A；根据，可求得点的轨迹方程，并去掉与、共线时的两点，即可判断B；利用韦达定理可得与，即可判断C；设直线的截距式方程，利用基本不等式可求得的最小值，即可判断D. 【详解】对于A，由，得， 方程表示的直线过定点，故A正确； 对于B，设，由，得， 点C的轨迹方程为且去掉，两点，故B错误； 对于C，若a，b是方程的两个实根，则，， 所以， 所以点在圆内，故C正确； 对于D，由题可设直线的方程为，则， 所以， 当且仅当时，即时，也即，时取等号， 所以的最小值为，故D错误． 11. 已知圆的方程为，点，点是轴上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则（ ） A. 存在切点，使得为直角 B. 直线过定点 C. 的最大值是 D. 面积的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】先设点，先求出直线的方程，根据直线的点斜式方程可判断定点；分析能否为直角；联立直线与圆方程，借助韦达定理化简可求最值；表示的面积，根据对勾函数的特点可求出面积的取值范围. 【详解】圆：的圆心，设， 因为是圆的切线，所以，，所以点在以线段为直径的圆上. 以为直径的圆的圆心为的中点，半径的平方为， 圆的方程为：，即， 圆：可化为. 由，两式相减得公共弦的方程：， 即，该直线过定点. 对于A，因为，所以点在圆上，若，则为圆的直径，由，就会得出.这和与相交于点矛盾，故A错误； 对于B，直线的方程为：，即，根据直线的点斜式方程知直线恒过定点，故B正确； 对于C，设，，联立， 消去整理得，结合图象知方程必有两个实数根， 则①，②， ，，， ③， 将①②代入③化简得，当且仅当时取等号， 所以的最大值为，故C正确． 对于D，定点，，圆心，直线的方程为： 圆心到直线的距离， 弦长. 点到直线的距离. . 令，. 由对勾函数的性质可知在上单调递增，， 所以，即，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过和的直线在y轴上的截距为______  . 【答案】 【解析】 【详解】由直线过和，所以直线的斜率， 直线方程为 ，令，得， 故直线在y轴上的截距为 13. 已知圆经过点和，圆心C在直线上，点是圆上的任意一点，则的最小值为______  . 【答案】 【解析】 【分析】求得线段的垂直平分线与直线的交点，可得圆心为，半径 ，然后根据两点之间的距离公式求解，可得所求式的最小值． 【详解】根据、，可得，则线段的垂直平分线的斜率为 ， 因为线段的中点为 ， 可得线段的垂直平分线为，即， 因为圆经过点、，圆心在直线上， 所以圆心是直线与的交点， 联立方程解得：，即圆心为，半径 ， 点是圆上的任意一点， 则表示圆上一点与定点之间的距离， 因为， 所以的最小值为 14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：上恰有3个点到直线的距离为设点，，点Q是圆O上的任意一点，过点B作于M，则的最小值为______  . 【答案】 【解析】 【分析】首先确定圆的半径，分析几何关系，由余弦定理求得，转化目标式，利用基本不等式求得最值． 【详解】由题意，圆心到直线的距离， 而圆上恰有3个点到该直线距离为，则与直线平行且距离为的两条平行线中， 一条过圆心与圆有2个交点，另一条与圆相切与圆有1个交点， 故圆O的半径 ， 设，由图可知，则， 在中，由余弦定理，可得， 即 ，解得， 则 ， 当且仅当，即，时取等， 则 的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线，． （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据直线的斜率可设所求直线方程为，代入点即可求解； （2）联立直线与的方程，可得交点坐标，分截距为0和截距不为0两种情况分别求解． 【小问1详解】 由直线可得斜率为 所以根据垂直关系可设所求直线方程为， 则依题意有，解得， 所以所求直线方程为，整理得； 【小问2详解】 联立，解得， 即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为， 代入得，此时； 当直线的截距都不为0时，设直线方程为， 依题意，解得， 此时直线方程为， 综上所述：所求直线方程为或． 16. 已知椭圆C：的离心率为，上顶点 （1）求椭圆C的标准方程； （2）若圆M与两条坐标轴切于椭圆C的右焦点和下顶点，过点B作圆M的切线l，求直线l的方程. 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）由椭圆的性质可得a，b，c的方程组，求解即可； （2）由题意可得圆心坐标及半径，讨论l斜率不存在和斜率存在时，结合圆心到切线距离等于半径即可得解． 【小问1详解】 由题意可得，解得， 所以椭圆C的标准方程为 【小问2详解】 椭圆右焦点坐标为，下顶点坐标为， 圆M与x轴切于、与y轴切于， 所以圆心，半径，则圆M的方程为， 已知点， 当过B的切线斜率不存在时，切线方程为，圆心到直线的距离为2，等于半径，满足题意； 当过B的切线斜率存在时，设过B的切线方程为，整理为， 由圆心到切线距离等于半径，可得 ，解得， 则切线方程为 ，即， 综上，直线l的方程为或 17. 已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动. （1）当时， （i）求线段的中点P的轨迹的方程； （ii）设圆与曲线的交点为M、N，求线段的长. （2）若圆上存在两个不同的点T，使得为坐标原点，求实数r的取值范围． 【答案】（1）（i）；（ii） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）由相关点法和中点坐标公式即可求得； （ii）先求两圆的公共弦所在直线方程，再由弦长公式即可求得； 由两圆条件求得T的轨迹方程，再由两圆相交的条件建立不等关系求解即可． 【小问1详解】 （i）设线段的中点P的坐标为，端点A的坐标为， 由中点坐标公式得， 即，， 当时，A在圆上， 代入得，化简得， 所以轨迹的方程为； （ii）圆，圆， 两圆方程相减得公共弦所在直线方程：，展开化简得， 取圆心，半径1，圆心到直线的距离， 线段的长为； 【小问2详解】 设点，由，得， 化简得记为圆， 因为与有两个不同交点，所以两圆相交， 因为圆心距，半径分别为r和， 则由相交条件得，解得， 故实数r的取值范围为． 18. 已知椭圆，焦距为，椭圆上的点到两焦点的距离之和为4. （1）求椭圆的方程； （2）经过右顶点的直线与椭圆的另一个交点为，点关于轴的对称点为（与不重合），直线与轴的交点分别为和.若，求线段的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，解方程组即可求解； （2）设，进而求出坐标，再根据可求出，，进而求解即可． 【小问1详解】 由题意得，，解得， 则椭圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，， 如图： 设点，所以， 所以直线的方程为，令，得， 同理直线的方程为，令，得， 又， 因为，所以，所以， 由题意知，，则，所以，则， 所以. 19. 定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记的最大值为m，的最小值为n，若，则称N为圆C的“黄金点”；若G同时是圆E和圆F的“黄金点”，则称G为圆“”的“钻石点”.已知圆A：，P为圆A的“黄金点” （1）求点P所在曲线的方程. （2）已知圆B：，P，Q均为圆“”的“钻石点”. （ⅰ）求直线的方程. （ⅱ）若圆H是以线段为直径的圆，直线l：与圆H交于I，J两点，对于任意的实数k，在y轴上是否存在一点W，使得y轴平分？若存在，求出点W的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）（ⅰ）（ⅱ）存在， 【解析】 【分析】（1）根据新定义建立方程，化简即可判断轨迹为圆，得出轨迹方程； （2）（ⅰ）根据P，Q均为圆“”的“钻石点”，可知为两圆的公共弦，作差即可得解； （ⅱ）由题意求出圆H的方程为，假设存在，根据及根与系数的关系化简为是否对任意成立，即可得解. 【小问1详解】 因为点P为圆A的“黄金点”， 所以，即， 所以点P的轨迹是以A为圆心，为半径的圆， 故点P所在曲线的方程为 【小问2详解】 （ⅰ）因为P为圆B的“黄金点”，则 所以，即点P在圆上， 则P是圆和的交点. 因为P，Q均为圆“”的“钻石点”， 所以直线即为圆和的公共弦所在直线，两圆方程相减可得， 故直线的方程为. ( ii )设的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为. 直线的方程为，得的中点坐标为， 点S到直线的距离为， 则，所以圆H的方程为. 假设轴上存在点满足题意，设，. 若轴平分，则，即， 整理得 又，所以代入上式可得， 整理得①， 由可得， 所以，代入①并整理得， 此式对任意的都成立，所以. 故轴上存在点，使得轴平分. 【点睛】关键点点睛：在（2）( ii )中，求出圆圆H的方程为后，假设存在点满足题意，能够转化为，再由斜率公式化为，利用根与系数的关系代入后得，题目对运算能力要求很高，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $