广西壮族自治区贵港市桂平市第一中学2026-2027学年高三上学期11月期中考试数学试题

2026-2027学年秋季学期期中考试 高三数学试题 (满分150分时间120分钟) 一、单选题（共40分)：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 1.(5分)已知集合A={x∈N|-2<x<3},则集合A的所有真子集的个数是() A.6 B.7 C.14 D.15 2.(5分)设a,b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(5分)函数f(x)=2*+2lnx-1的零点所在的区间为() B. 4.(5分)已知为第三象限角，ma-子则co(-a+m(a+)的值为（) 3π A.0 B.1 C.5 D.1-3 2 5.(5分)总体是由编号为000,001,002，.，198,199的200个个体组成.利用下列随机数表， 从200个体中选取5个个体选取方法：从随机数表的第1行第3列开始，从左至右依次选取三个数字 (作为个体编号)，则选出的第5个个体编号是() 78166572080263140702436997280198 32049234493508073613486969387481 A.080 B.198 C.023 D.134 6.(5分)若函数f(x)=x3-3在区间(0,1)上单调递减，则实数a的取值范围是() A.（-n,0] B.[0,] C.[1,+0) D.(-m,] 7.(5分)已知a= 八- 则a,b,c的大小关系为() A.a<c<b B.b<a<c C.b<c<a D.a<b<c 8(5分)双准线月若芳=a06>0的左、右货点分别为只及，过只作条新近线的重线，重 足为A,延长FA与另一条渐近线交于点B,若SBos=2SA0s(O为坐标原点)，则该双曲线的离心率为 试卷第1页（共4页） () A.2 B.3 c.23 3 D.3 2 二、多选题（共18分)：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对 的得部分分，有选错的得0分. 9.(6分)下列命题中，正确的是() A.若a>b,则ac>bc B.若a>b>0>c>d,则ad>bc C.若a>b>0,则<} ab D.若2<a<3,-1<b<4,则-2<a-b<4 10.(6分)下列命题中，真命题是() A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C.只有零向量的模等于0 D.共线的单位向量都相等 11.(6分)如图，矩形ABCD中，AD=2,AB=3,AE=2EB,将AADE沿直线DE翻折成△ADE,若M 为线段AC的点，满足CM=2MA,则在△ADE翻折过程中（点A不在平面DEBC内)，下面四个选项中 正确的是() A D A.BM//平面ADE B.点M在某个圆上运动 C.存在某个位置，使DE⊥AC D.线段BA的长的取值范围是(V5,3】 三、填空题（共15分) 12.(5分)已知i为虚数单位，则复数3+i 试卷第2页（共4页） 13.(5分)已知tana+ 43’则tan= 元1 14.(5分)设函数f)=(a-x”1ogs(:-b),且恒有fx)s0,则+的最大值是 ab+1 四、解答题（共77分） 15.(13分)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=1,c=3, sinB sinC 4cosA. sinC sinB (1)求c0s4; (2)求△ABC的面积， 16.(15分)已知{a}是公差为2的等差数列，bn}是公比为4的等比数列，满足b=4+1,b=4+44. (1)求数列{a},色}的通项公式： (2)记{a},{b}的前n项和分别为Sn,Tn,若Sm=3T,求m的值 17.(15分)从某小区抽取100户居民用户进行用水量（单位：吨）调查，将他们的月用水量分成 [10,15),15,20),[20,25),[25,30),[30,35]五组，画出频率分布直方图，如图所示. A频率/组距 0.08 1m------ 0.03 0.02 0.01 0Y101520253035月用水量/吨 (1)求的值，并求在被调查的用户中，月用水量在[15,20)内的户数： (2)用分层随机抽样的方法从月用水量在[15,20)和[25,30)内的用户中选取6户，再从这6户居民中任选3 户，记这3户居民中月用水量在[15,20)内的用户数为X,求X的分布列与期望 18.(17分)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面 都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马P-ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD,且 PD=CD=2,点E是PC的中点，连接DE,BD,BE. D (1)证明：PAI平面BDE; 试卷第3页（共4页） (2)证明：DE⊥平面PBC,试判断四面体E-BCD是否为鳖臑（只需写出结论）； B)若二面角E-BD-C为.求点A到平面EBD的距离。 3 1917分)已期描圆C手芳=a~6>0的上顶点为乐，右点为R,斜率为-2的直线B尔与花州交 于点P（点P异于点B),直线BQ与椭圆交于点O(点Q异于点B),直线PO与y轴交于点M,且 PM=MO 8 (1)求椭圆C的离心率： (2)试探究点B是否在以PQ为直径的圆上，请说明理由： (3)若a=√5且点B在以PQ为直径的圆上，求o.cos∠BPQ的值. 试卷第4页（共4页） 《2026-2027学年秋季学期期中考试（高三数学试题）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 答案 B 0 B O D C A CD ABC 题号 11 答案 ABD 1.B 【分析】根据真子集的个数公式即可求解. 【详解】由题意可得A={x∈N|-2<x<3}={0,1,2,故集合A的所有真子集的个数为2-1=7. 故选：B. 2.D 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由题意有：当a=1,b=-2时，满足a>b,又d<b2,所以a>b不能推出a2>b2, 当a=-2,b=1时，满足a2>b2,但a<b,所以a2>b2不能推出a>b, 所以a>b是a>b2的既不充分也不必要条件， 故选：D, 3.B 【分析】根据函数单调性的性质，结合零点存在性定理即可判断. 【详解】因为y=2,y=2lnx在区间(0，+∞)上单调递增， 所以函数f(x)=2+2nx-1是(0，+0)上的单调增函数，故图象是连续不断的曲线，那么 对于A当→0时.f侧→0. =22+2m-1=V2-21n2-1<0,故A错误； 2 对于B,f2)0,f0)=2+2n1-10,故B正确： 对干c,了0>0)-22n子10故c错误 对于D, [)>01(2)=2+2n2-1>0放D错误 4.C 【分析】由条件结合同角关系求cosu,利用诱导公式化简cos(π-)+sin 兀 a+2 再求其值 【详解】因为&为第三象限角，sin:=-2, 1 所以cosa=-ima=-V5 2 又cos(π-a)=-cosa,sina&+ =-cos a 2 答案第1页（共10页） 3π 所以cos(-a)+sina+ =-2cosa=3 2 故选：C. 5.D 【详解】从随机数表的第1行第3列开始选，个体编号依次为：166,080,140,198,080（重复剔 除)，134，第5个编号为134 6.C 【详解】f"(x)=3x2-3a, 因为f(x)在(0,1)上单调递减，所以'(x)≤0对一切x∈(0,1)恒成立，即a≥x2对一切x∈(0,1)恒成立. 当x∈(0,1)时，x2∈(0,1)，故a21. 反之，当a≥1时，f'(x)=3(x2-d≤3x2-1)<0对一切x∈(0,1)恒成立，满足f(x)在(0,1)上单调递减. 所以实数a的取值范围为卫，+∞). 7.D 【分折】构造f)-且xs0,则)=h1+日 再构造g()=x血1+并应用导数研究 其单调性比较对应函数值的大小，即可得. 【详解1血a=(③)+b（+日c=（1+ 令/)=+，>0，则h/)=n1+xs0 令8ws0.则g国= 令e)=lh0-功产x>0,则0+对20在ao)上恒废立。 故h(x)在(0，+o)上单调递增，又h(0)=0,则h(x)>0在(0，+o)上恒成立， 将中换为可得.h1+)言=n1+)0, 1x)1+ 故g'(x)>0在(0，+o)上恒成立，所以8(x)在(0，+o)上单调递增， 由复合函数单调性可知f)1+在(0，+切)上单调递增。 答案第2页（共10页） 1甘a6c 8.A 【分析】利用已知条件求出A点坐标，求出点R(c,0)到渐近线y=-bx的距离d,结合SB=2SA a 可以得到点A到近线y=名：的距离为号，进而利用点到直线的距离公式求出a与c的关系。然后求解 a 双曲线的离心率. 【详解】由题意知，双曲线五的两条渐近线方程分别为y=。x,y=-b b a 过点乃且与渐近线y=bx垂直的直线方程为y=- 1 6-c). b a ab 联立 a a y=-(x-c) 可解得) b bc 点（←c,0)到渐近线y=-x的距离d= =b a )3 +a b 因为S,0=2So8,所以点A到渐近线V=-名x的距离为 b b a ab b 所以 了b2,即c2=4a,所以。=2，即双曲线的离心率为2. ac c a a B 9.CD 【分析】根据不等式的性质解决。 【详解】对于A,c=0时不成立，故A错误； 对于B,0>c>d则-d>-c>0,因此-ad>-bc>0,于是ad<bc,故B错误； 对于C,由a>b>0知ab>0,1>0, ab 放a古6也即哈分故c正确 ab b a 对于D,-1<b<4则-4<-b<1,所以-2<a-b<4,故D正确. 答案第3页（共10页） 故选：CD 10.ABC 【分析】根据向量的定义即可判断出答案 【详解】对于A,向量是有向线段，不能比较大小，此命题是真命题 对于B,两向量相等：方向相同，模长相等起点相同，则终点也相同，此命题是真命题 对于C,零向量：模长为0的向量，此命题是真命题 对于D,共线的单位向量是相等向量或相反向量，此命题是假命题 故选：ABC. 11.ABD 【分析】由已知，选项A,在DC上取一点N,令CN=2ND,可通过面面平行的判定定理证明平面 BN∥平面ADB,从而证明BM平面4DE:选项B,可通过∠4DZ-亚-年 M1-号B=2反信助余弦定理可知BM为定值，从而确定M点的机迹：选项C,可先假设 DE⊥AC成立，然后借助线面垂直的判定定理和性质定理得到DE⊥CH,然后在△DHC中，利用勾股 定理验证是否满足，即可做出判断；选项D,可通过点A运行轨迹，分别找出最大值和最小值点，然后 求解即可做出判断， 【详解】 M D H B 如上图所示，在DC上取一点N,令CV=2ND,连接NB 在矩形ABCD中，AB=CD且AB‖CD,又因为AE=2EB,CN=2ND, 所以EB=ND且EB∥ND,所以四边形EBND为平行四边形，所以NB∥ED, 又因为Bt平面ADB,DEC平面ADE,所以B∥平面ADE, 又因为CN=2ND,CM=2MA,所以M∥AD, 又因为M丈平面ADE,DAC平面ADE,所以NM∥平面ADE, 又因为M∩NB=N且M、NBC平面BMN,所以平面BMN∥平面ADE, 答案第4页（共10页） 又因为MBc平面BMN,所以BM‖平面ADE,选项A正确： 由B∥ED,M∥4D,AD=AE=2,可得∠ADE=∠MB=D 4 7CW=2W,CM=2MA可知，2M34D3,而EB=D=2E 由余弦定理可知，BM为定值，而B为定点，故M在以B为圆心，BM为半径的圆上运动，故选项B正 确： 取ED的中点H,连接HA、HC,在△ADE中，AD=AE=2, 所以DE⊥AH,假设DE⊥AC成立，AH、ACC平面AHC,所以DE⊥平面AHC,又因为CHc平面 AHC,所以DE⊥CH, 而，在△Dc中，DM=5.心=3，cT=5,所以∠DC:号放DE LCH不成，立所以假设不 成立，该选项C错误； 在DC上取一点A,令DA=2A,C, 在△ADE翻折过程中，线段B4的最大值是A与A点重合，此时BA=3, 线段BA的最小值是A与A,点重合，此时BA=√5，又因为点A不在平面DEBC内， 所以线段B4的长的取值范围是（√5,3），选项D正确： 故选：ABD 12.4-3i/-3i+4 【分析】利用复数除法法则即可求解. 【详解134.B团-i--4-3引 i ix(-i) -i2 故答案为：4-3i 13.-2/-05 【分析】结合两角和的正切公式化简己知条件，由此求得tama. 【详解】tama+）-,ma+- (43’1-tana-3' 极斧案为：号 14.1 答案第5页（共10页） 【分析】分析函数f(x)=(a-x)1og3(x-b)在定义域x>b上恒非正的条件：当b<x<b+1时 log1s(x-b)<0,故需a-x≥0即a≥b+1;当x>b+1时log13(x-b)>0,故需a-x≤0即a≤b+1;从而 α=b+1,代入所求式后可通过换元与均值不等式求出其最值， 【详解】函数定义域为x>b,17是奇数，故(a-x)的符号与(a-x)一致； 1og1s(x-b)是增函数， 当b<x<b+1时，0<x-b<1,log3(x-b)<0, 要使f(x)=(a-x)1og1g(x-b)≤0恒成立， 需a-x≥0对所有b<x<b+1成立，得a≥b+1; 当x>b+1时，x-b>1,1og1(x-b)>0,要使f(x)≤0恒成立， 需a-x≤0对所有x>b+1成立，得a≤b+1, 因此得a=b+1, b+1 b+1 b+1 将a=b+1代入目标式：ab+1bb+1)+1B+b+1’ 令1=b+1,则b=1-1, 代入得：t= (u-1)2+(u-1)+1-u+1 当M>0时，由基本不等式1+1之2,1=2（当且仅当1=1取等号）， 则：ts一 1-≤1=1 +-12-1 u 当u≤0时，t≤0<1，故t的最大值为1 故答案为：1 5 15.(1)cosA= 6 4 【分析】(1)根据题意利用正弦定理角化边，进而代值计算即可： (2)根据题意结合同角三角关系求得n4= ,进而可用三角形面积公式计算即可。 6 bc=4cOsA, 【详解】(1)因为siB+snC=4cos4.由正弦定理得2+9 sinC sinB 又因为b=1c=3,可得4cosA=-b+9-10, cb3,解得co8A=3 6 答案第6页（共10页） （2）因为o1=言且AeQ,则n4=-eo7- 6 所以a4c的面积s=cn4lk3x怎 6 4 16.(1)4=2n+1,b=4-1. (2)m=15 【分析】(1)根据题意结合等差、等比数列通项公式可得4=3，乃=1，即可得结果： (2)根据等差、等比数列求和公式可得S,,T,代入求解即可. 【详解】(1)由题意得：46=4+1,16b=4+4+4+6=2a+10, 解得4=3，b=1, 所以a4.=4+2(n-1)=2n+1,b=b:4m-1=4-1 ②》由1)可得8-3+0*-42,1上-1 2 1-43 若又.=30，即mm+2)=3x4-1 3 整理可得m2+2m-255=0,解得m=15或=-17（舍去)， 所以m的值为15. 17.(1)m=0.06,30 (2)X的分布列为 X 1 2 3 P 1 5 3-5 5 ，E(X)=2 【分析】(1)利用小矩形面积之和为1求出m,再求出月用水量在[15,20)内的户数 (2)先按照分层抽样抽出月用水量在[15,20)内的居民有4户，月用水量在[25,30)内的居民有2户，则X 的取值可能为1,2,3，再求分布列与期望 【详解】(1)由5×(0.02+m+0.08+0.03+0.01)=1,解得m=0.06. 月用水量在15,20)内的户数的频率为5m=0.3, 则月用水量在[15,20)内的户数为100×0.3=30. (2)月用水量在[25,30)内的户数的频率为5×0.03=0.15，用分层随机抽样的方法从月用 水量在[15,20)和[25,30)内的用户中选取6户， 可知月用水量在15,20)内的居民有4户，月用水量在[25,30)内的居民有2户. 答案第7页（共10页） 从中任选3户，可知X的取值可能为1,2,3， 且P(X=1)= X的分布列为 X 1 2 3 ò 1 3-5 1-5 U0=2+32 18.(1)证明：如图，连接AC,交BD于点O,连接OE, 则点O为AC的中点，又因为E为PC的中点，所以PA∥OE, 又PA平面BDE,OEC平面BDE,所以PA/I平面BDE. (2)证明：因为PD⊥底面ABCD,BCc平面ABCD,所以PD⊥BC, 因为ABCD为长方形，所以BC⊥CD, 因为PDOCD=D,PD,CDC平面PCD,所以BC⊥平面PCD, 因为DEC平面PCD,所以BC⊥DE, 因为PD=CD,点E是PC的中点，所以DE⊥PC, 因为PCOBC=C,故可得PC,BCc平面PBC,所以DE⊥平面PBC, 由BC⊥平面PCD,DE⊥平面PBC,可知四面体E-BCD的四个面都是直角三角形， 即四面体E-BCD是一个鳖臑，其四个面的直角分别是∠BCD,∠BCE,∠DEC,∠DEB, (3)1 【分析】(1)根据中位线定理可得线线平行，利用线面平行判定定理，可得答案； (2)根据线面垂直性质定理、长方形性质以及等腰三角形的性质，可得线线垂直，利用线面垂直判定定 理，结合题意，可得答案 (3)根据二面角平面角的定义作图，根据线面垂直判定的点到平面距离，结合对称性，可得答案 【详解】(1)略： (2)证明略，是一个鳖臑： 答案第8页（共10页） (3)如图，取DC的中点F,连接EF,过F作FG⊥BD,连接EG. 因为E,F分别是PC,DC的中点，所以EF∥PD, 所以EF⊥平面ABCD,又BDC平面ABCD, 所以EF⊥BD,又因为FG⊥BD,EFOFG=F,EF,FGC平面EFG, 所以BD⊥平面EFG,所以∠EGF就是二面角E-BD-C的平面角， 即∠0F-号所以面EG5是8，又歌-1，得G- 3 过F作FH⊥EG,因为BD⊥平面EFG,FHC平面EFG,所以BD⊥FH, 又因为BD∩EG=G,BD,EGC平面EBD,所以FH⊥平面EBD, 在BG中，R即=1，RG-9,所以阴-号 3 因为AC,BD互相平分，F是DC的中点， 所以点A到平面EBD的距离=点C到平面EBD的距离=点F到平面EBD的距离的2倍=1， 即点A到平面EBD的距离为1. 19.)5 (2) 8 当kg=号时，点B在以PO为直径的圆上.当k2= 2 时，点B不在以P口为直径的圆上.理由如下： 设点P(x2,yp),O(g,ye),M(xw,yw),由(1)可得椭圆方程为 4x2,y2 56+B =1 设过点B的直线方程为y=x+b(k≠0)，两方程联立消去y得(4+5k2)x2+10bx=0, 4+5,当k=-2时，解得，=0 10kb 易得妇=0，xg= 6 答案第9页（共10页） 因为PM=乙M0,所以P,Q两点在y轴的异侧，则直线B0的斜率大于0， P > b710b 所以 xo-xM e8,即 -10kb 8’得 84+0,则k=或 4+5k2 即长=或k 2 5 显然当g=号时，BP1BQ,点B在以PQ为直径的圆上. 2 8 当ke=时，点B不在以P为直径的圆上。 3)85 9 【分析】(1)利用两点斜率公式结合椭圆的定义计算离心率即可： (2)设直线方程与椭圆联立含参表示P,Q的坐标，根据向量关系得出BQ斜率，利用垂直的斜率关系判 定即可： (3)根据上问的结论，及弦长公式计算即可. 【详解1(1)由直线Br的斜率e-0=-。-2及d=b2+c,得a=N5c,e=S-5 0-c C (2)当k0= 二时，点B在以PQ为直径的圆上.当k2=三时，点B不在以PO为直径的圆上.理由 8 5 略； 由-，以1==一88 (3)E '|PM|+|MQ1IPQ17+815 又因为点B在以PQ为直径的圆上，所以△PBQ是以点B为直角顶点的三角形， 所W地coBP0=Qg9B |PQ115 又椭圆方程为+少=1， 54 所以B=+(-2yk,-xg=5×b=5x×2=5, 6 6 3 肉比ewam8o|6l8r-是5-9 答案第10页（共10页）