1.4.1 充分条件与必要条件教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

文本解读

1.4.1 充分条件与必要条件是人教A版《普通高中教科书·数学（必修第一册）》第一章“集合与常用逻辑用语”第四节的第一课时。本节课在学生已经学习集合的概念、集合间的基本关系和集合的基本运算的基础上，从“若p，则q”形式的命题入手，研究条件p与结论q之间的推出关系，进而建立充分条件与必要条件的概念。常用逻辑用语是高中数学的基本语言，本节课作为逻辑用语的开篇课，既是集合知识的延续与应用，也为后续课时的逻辑内容学习以及用逻辑语言准确表述数学结论奠定基础，在教材中起着承上启下的作用。

教学目标

1.【数学抽象】 通过对智能闸机进站、命题真假判断等具体实例的观察与分析，抽象出充分条件与必要条件的概念，发展数学抽象素养。

2.【逻辑推理】 能把命题改写成“若p，则q”的形式并判断真假，依据推出关系判断p是q的充分条件、q是p的必要条件，掌握举反例说明假命题的方法，发展逻辑推理素养。

3.【直观想象】 借助“条件—结果”流程图直观理解条件与结论之间的推出关系，发展直观想象素养。

4.【数学运算】 在含字母的命题判断中，通过取特殊值、进行简单运算验证命题的真假，发展数学运算素养。

重点难点

教学重点：充分条件与必要条件概念的形成过程，能利用推出关系判断命题中的条件与结论。

教学难点：对“q是p的必要条件”的理解，即体会“没有q就没有p，q是p成立必不可少”的含义。

课时安排

1课时

教学过程

新课导入

（一）情境创设

同学们，如今全国高铁车站普遍升级了智能闸机系统：旅客把身份证放在读卡区、面对摄像头完成人脸识别，验证通过后闸机自动放行，整个过程方便快捷。生活中处处存在这样的“条件—结果”关系：种子在适宜的温度和水分中才会发芽，运动员只有通过系统训练才能站上领奖台；只有满足一定的条件，才会有相应的结果。

（教师在大屏幕上出示图1所示的三框流程图）

师：请大家观察图1，“人脸识别验证通过”与“闸机放行”之间是什么关系？

图1 智能闸机进站的“条件—结果”流程示意

（二）问题激趣

师：验证没有通过，闸机一定不放行；可是闸机放行了，一定是人脸识别通过吗？也可能是刷身份证走人工通道，还可能是持残疾证、军人证走优先通道。可见，“验证通过”足以保证“闸机放行”，但“闸机放行”却不一定依靠“验证通过”。这种“一个保证另一个、另一个却不是非它不可”的关系，在数学中如何刻画？这就是我们今天要研究的课题——充分条件与必要条件。（教师板书课题）

探究新知

任务一：温故知新，初识推出关系

1. 回顾命题，判断真假

请同学们判断下列命题的真假：

（1）若x>1，则x2>1；

（2）若a>b，则a2>b2；

（3）若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直。

2. 引入推出符号

命题（1）（3）为真命题，说明由条件p可以推出结论q，数学上记作p⇒q；命题（2）为假命题，说明由p推不出q。

3. 建构概念

【要点点拨】 一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p可以推出q，记作p⇒q，并且称：p是q的充分条件，q是p的必要条件。若“若p，则q”为假命题，则由p推不出q，此时p不是q的充分条件，q也不是p的必要条件。

请同学们结合上面的定义，先独立思考、逐个判断，然后把判断结果填入下面的表1中，并在小组内交流各自的判断依据和理由。

（学生独立完成，教师巡视指导，关注学生能否正确区分命题的真假。）