1.4.1 充分条件与必要条件教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

年级

高一年级

学科

数学

教师

课题

1.4.1 充分条件与必要条件

教学目标

数学抽象

通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件、必要条件的意义，发展数学抽象素养。

逻辑推理

通过判断命题的真假，得出条件p与结论q的推出关系，会判断充分条件与必要条件，强化逻辑推理素养。

数学运算

能结合集合间的包含关系判断充分条件与必要条件，规范书写推理过程。

数学表达

会用符号语言表达推出关系，养成严谨准确的数学表达习惯。

教学

重难点

1.理解充分条件、必要条件的概念（重点）。

2.会用定义法判断一个命题中p是否为q的充分条件、必要条件（重点）。

3.理解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系（难点）。

教学过程

教师活动

学生活动

环节一 情境导入，复习铺垫

教师：初中学过的命题的定义是什么？数学中的命题常写成什么形式？

学生：可以判断真假的陈述句叫做命题；数学中的命题常可以写成“如果……那么……”的形式，也常写成“若p，则q”的形式，其中p称为命题的条件，q称为命题的结论。

教师：先看一个故事。“亡羊补牢”故事中的牧民，白天放牧，晚上把羊赶进用柴草和木桩围起来的羊圈。羊圈破了个窟窿，夜里狼从窟窿钻进羊圈叼走了羊，牧民没有听从邻居劝告及时修补羊圈，第二天又丢了一只羊。在有狼的情况下，要想不丢羊，修理好羊圈就是不可缺少的前提。

教师：再考察下面的真命题：“若两个三角形全等，则这两个三角形相似”。在这个真命题中，只要p成立，就能保证q成立；反过来，如果q不成立，p一定不成立，所以说q对p成立而言是必要的。这一节课我们就来研究“若p，则q”形式的命题中p与q之间的关系。

【设计意图】通过复习命题的概念和“亡羊补牢”的故事引入主题，激发学习兴趣，为建立充分条件与必要条件的概念做好铺垫。

学生小组讨论，回答问题

学生回忆命题的概念，思考并回答问题。

环节二 探究新知，建构概念

探究1：判断下列“若p，则q”形式的命题的真假。

（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；

（2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；

（3）若，则；

（4）若平面内两条直线a和b均垂直于直线l，则a∥b。

学生：命题（1）（4）是真命题，由条件p通过推理可以得出结论q；命题（2）（3）是假命题，由条件p不能得出结论q。例如命题（3）中，方程的解为x=1或x=3，由p不能推出x=1。

教师：对于命题“若p，则q”，有时是真命题，有时是假命题。当“若p，则q”为真命题时，是指由p通过推理可以得出q。这时我们就说由p可以推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件。

教师：从集合的角度看，记p：x∈A，q：x∈B。若A⊆B，则x∈A成立时，x∈B一定成立，即p⇒q，如图1所示。

图1　充分条件与必要条件的集合解释

【设计意图】以学生熟悉的几何命题为载体判断真假，由“推出关系”建立充分条件与必要条件的概念，并借助维恩图从集合角度直观解释，发展数学抽象素养。

学生判断命题真假，尝试用推出符号表达p与q的关系，理解充分条件与必要条件的定义。

环节三 典例示范，应用概念

例1　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？

（1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；

（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；

（3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；

（4）若，则；

（5）若x，y为无理数，则xy为无理数。

解：（1）（2）都是平面几何的判定定理，（3）是菱形的性质定理，都有p⇒q，所以命题（1）（2）（3）中的p都是q的充分条件；

（4）由等式的性质知a=b时ac=bc成立，p⇒q，所以p是q的充分条件；

（5）取x=y=，此时x，y为无理数，但xy==2为有理数，p⇏q，所以p不是q的充分条件。

例2　下列命题中，p是q的必要条件的是________。

（1）p：x>2且y>3，q：x+y>5；

（2）p：四边形的四个角都相等，q：四边形是正方形。

解：（1）由x>2且y>3可以推出x+y>5，但x+y>5推不出x>2且y>3，故p不是q的必要条件；

（2）由四边形是正方形可以推出四边形的四个角都相等，即q⇒p，故p是q的必要条件。故填（2）。

反思感悟：判断p是否为q的充分条件或必要条件，先分清条件与结论，再考察p⇒q与q⇒p是否成立。p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系。

【设计意图】通过两组典型命题的判断，巩固充分条件与必要条件的定义法判断，体会判定定理给出充分条件、性质定理给出必要条件的规律。

学生独立判断并板演，说出每题的推出关系；小组内互相纠错。

环节四 深化理解，辨析概念

问题1：例1命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，即“四边形的两组对角分别相等”。这样的充分条件唯一吗？如果不唯一，你能再给出几个不同的充分条件吗？

学生：不唯一。“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”“四边形的两条对角线互相平分”都是“四边形是平行四边形”的充分条件。

教师：一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件；每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件。

问题2：例1中，我们说“p是q的充分条件”，是指由条件p可以推出结论q，但这并不意味着只能由p才能推出q。对给定的结论q，使q成立的条件p是