1.4.2 充要条件 同步讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

 1.4.2　充要条件

 必修第一册　第一章　集合与常用逻辑用语

[学习目标]

1．理解充要条件的意义，能区分充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要四种条件关系，会判断 是 的什么条件。

2．会从集合的观点看条件关系，能用两个集合是否相等判断充要条件，并能由条件关系求参数的值或取值范围。

3．了解数学定义、判定定理、性质定理与充要条件的关系，掌握证明充要条件时分两步书写的方法。

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 1．充要条件

1.4.1 的条件关系表里留着一行空缺：“若 ，则 ”与“若 ，则 ”都是真命题。先看一个具体例子。设 ：整数 是 6 的倍数，：整数 既是 2 的倍数又是 3 的倍数。若 （ 是整数），则 ，可见 ；反过来，若 既是 2 的倍数又是 3 的倍数，设 ，则 ，左边是偶数，所以 是偶数， 只能是偶数，设 ，得 ，可见 。图 1 把这几类整数按行标在同一条数轴上，最上两行的点落在同一列上，两行的范围完全相同。

图 1: 自下而上四行依次是 2 的倍数、3 的倍数、既是 2 的倍数又是 3 的倍数的整数、6 的倍数，最上两行的点完全对齐

(1) 定义：一般地，如果既有 ，又有，就记作 ，此时说 是 的，简称。

(2) 是 的充要条件，表示 与 互相推出： 成立时 一定成立， 不成立时 也一定不成立。

(3) 判断 是不是 的充要条件，要把“若 ，则 ”与“若 ，则 ”两个命题的真假分别查清，两个都为真才可以说充要。

 提醒： 是 的充要条件不是第三种推出方向，而是 与 同时成立。只查清一个方向，就只能得到充分条件或必要条件。

判断（先在括号内打“√”或“×”，再说清理由）

(1) 若 是 的充要条件，则“若 ，则 ”与“若 ，则 ”都是真命题。（　　）

(2) “”是“”的充要条件。（　　）

 2．充要条件的对称性与传递性

上面例子里，由 6 的倍数可以推出它是 2 和 3 的倍数，由它是 2 和 3 的倍数也可以推出它是 6 的倍数，两句话说的是同一类整数。把主语换成 ，关系照样成立，这与充分条件、必要条件不同：“ 是 的充分条件”反过来一般不成立，而充要条件两边可以互换。多个条件之间还能接力。

(1) 对称性：如果 是 的充要条件，那么 也是 的，这时也说 与 互为，通俗的说法是 与 等价。

(2) 传递性：如果 与 互为充要条件， 与 互为充要条件，那么 与 互为。

(3) 几个条件彼此等价时，其中任意一个都可以替换另一个。把同一个结论的判定定理与性质定理接成一条充要关系，用的就是这一条。

判断

(1) 若 与 互为充要条件， 与 互为充要条件，则 是 的充分不必要条件。（　　）

(2) “”与“”互为充要条件。（　　）

 3．从集合角度看充要条件

1.4.1 把使条件 成立的对象写成集合 、使条件 成立的对象写成集合 ，于是 就是 。把两个方向合起来： 的元素都在 里， 的元素也都在 里，按 1.2 的集合相等的定义，这正是 。图 2 画出 与 的四种位置关系，它们与四种条件关系一一对应。

图 2: 左上： 且 不是 的子集；右上： 且 不是 的子集；左下：，两圆重合；右下： 与 互相都不是对方的子集

(1) 设 ，，则 是 的充要条件与 之间的关系是（填“”“”或“”）。

(2) 四种条件关系与集合关系的对应如下表。

 提醒： 表里第三行是本节的新内容，其余三行在 1.4.1 已经出现。用集合法时，先各写出一个集合，再比两个集合是否相等，比反复琢磨文字推出快得多。

判断

(1) 设 ，，则“”是“”的充要条件。（　　）

(2) 若集合 、 满足 ，则“”是“”的充要条件。（　　）

 4．数学定义与充要条件

初中说“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”。按这句话，一个四边形若是平行四边形，它的两组对边就分别平行；两组对边分别平行的四边形也就是平行四边形。定义的两边互相推出，所以定义本身给出一个充要条件。教材接着指出：两组对边分别相等、一组对边平行且相等、两组对角分别相等、对角线互相平分，这四条中每一条既可由判定定理推出“四边形是平行四边形”，又可由性质定理被它推出，因此都是同一概念的充要条件，平行四边形完全可以换一种说法来定义。

(1) 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应结论成立的一个；每一条性质定理都给出了相应结论成立的一个；把同一个结论的判定定理与性质定理接起来，就得到这个结论成立的一个。

(2) 定义里的概念与定义条件互为，所以一个概念的定义形式不唯一。

(3) 例如“一个四边形是菱形”与“这个四边形的四条边相等”互为充要条件，前者是名称，后者是把名称展开的条件。

判断

(1) “四边形的两条对角线相等”是“四边形是矩形”的充要条件。（　　）

(2) “一个三角形有两个角相等”是“这个三角形是等腰三角形”的充要条件。（　　）

 5．充要条件的证明

两个条件是否互推，判断时靠推理加反例；证明一个充要条件，两个方向都必须各自给出推理，反例不再够用。以“ 是 的充要条件”为例：一条推理链从 出发推向 ，另一条从 出发推向 ，两条链起点不同、不能互相顶替。

(1) 证明 是 的充要条件要分两步：第一步由 出发推出 ，这一步叫证；第二步由 出发推出 ，这一步叫证。

(2) 书写时先设清两个方向各自的条件与结论，按“充分性：若……，则……”“必要性：若……，则……”分段写，最后写“由（1）（2）知……”。

(3) 只证出一个方向就下充要的结论，是把必要条件当成了充要条件。

判断

(1) 证明“ 是 的充要条件”时，只需证明“若 ，则 ”，因为“若 ，则 ”总是成立。（　　）

(2) 设 、 是实数，则“”与“、 互为相反数”互为充要条件。（　　）