精品解析：北京市第四十四中学2026-2027学年高一年级第一学期期中练习数学试卷

2026-2027学年度北京市第四十四中学高一年级第一学期期中练习 数学试卷 2026.11 一、选择题：（每题5分，共50分） 1. 设集合则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由得,故,故选C. 【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题,应先把集合化简再计算,对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化；对已知连续数集间的关系,求其中参数的取值范围时,要注意单独考查等号能否取到,对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可借助Venn图． 2. 已知，则函数的最小值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】因为，当且仅当时，取等号， 所以函数的最小值为0， 故选：B 3. 已知命题“”，那么是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解. 【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“”， 可得其否定为：. 故选：D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】解：因为，则，但是不一定有，所以“”是“”成立的充分不必要条件． 故选：A． 5. 已知函数为奇函数，且当时，，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得的值，利用奇函数的性质可求得的值. 【详解】已知函数为奇函数，且当时，， 则. 故选：A. 6. 关于x的方程的两个根，，满足，则m的值为（    ） A. 5 B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】∵ 是一元二次方程 的两个根， ∴根据根与系数的关系可得，， 又， 代入，得，解得， 将 代入，得 ， ∴，即，整理得，因此， 检验：当时，该方程的判别式，符合题意， 故m的值为． 7. 设函数的定义域为，则“，”是“函数在上为增函数”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由增函数定义知：若函数为增函数，则，，必要性成立；反之充分性不成立，如非单调函数（取整函数），满足，，所以选B. 考点：充要关系 8. 再一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系：同学甲、丙的阅读量之和与乙、丁的阅读量之和相同，甲、乙的阅读量之和大于丙、丁的阅读量之和.丁的阅读量大于乙、丙的阅读量之和.那么这四名同学按阅读量从大到小的顺序排列为 A. 甲、丁、乙、丙 B. 丁、甲、乙、丙 C. 丁、乙、丙、甲 D. 乙、甲、丁、丙 【答案】A 【解析】 【详解】因为甲、丙阅读量之和等于乙、丁阅读量之和，甲、乙阅读量之和等于大于丙、丁阅读量之和，所以乙的阅读量大于丙的阅读量，甲的阅读量大于丁的阅读量，因为丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和，所以丁的阅读量大于乙阅读量且丁的阅读量大于丙的阅读量，这四名同学按阅读量从大到小的排序依次为甲丁乙丙，故选A. 【思路点睛】本题主要考查阅读能力，抽象思维能力、演绎推理以及命题之间的关系，属于难题. 与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是：由“甲、丙阅读量之和等于乙、丁阅读量之和，甲、乙阅读量之和等于大于丙、丁阅读量之和”得到“乙的阅读量大于丙的阅读量，甲的阅读量大于丁的阅读量”. 9. 若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，先求出时，函数的值域；再对二次函数的对称轴进行分类讨论；根据题中条件，即可得出结果. 【详解】由题意， 当时，显然单调递增，则； 当时，是开口向下，对称轴为的二次函数， 又函数的值域为， 当，即时，，即，解得：， 当，即时，，， 综上， 故选：D. 【点睛】分段函数的值域为R，即要求各段函数在定义域内的值域并集为R,本题需要对二次函数的对称轴进行分类讨论. 10. 数学家康托尔创立了集合论，集合论的产生丰富了现代计数方法.记为集合的元素个数，为集合的子集个数，若集合满足：①，；②，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据元素个数得到子集个数，即，分析出，即可求解. 【详解】设， 则，即， 所以, 若,则，即左边为奇数，右边为偶数，不成立， 若，则，即左边为奇数，右边为偶数，不成立， 所以,即， 因为， 且满足， 所以包含了的个元素外， 还包含个属于而不属于的元素， 当时，则, 如，符合题意. 当时，则, 如，符合题意. 所以的最大值为， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查交集与并集的混合运算，及集合的元素个数与集合子集间的关系，解题的关键由已知条件求，再分和讨论，体现了分类讨论的数学思想方法，难度较大. 二、填空题：（每题5分，共40分） 11. 函数的定义域为______.（结果用区间表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数非负、分式分母不为零列不等式组求解即可. 【详解】由题意知，解得且. 故该函数的定义域为. 12. 函数的零点个数是______． 【答案】1 【解析】 【详解】函数的定义域为，其零点，即， 移项得，解得，只有1个解，即零点个数为1． 13. 设，则当__________时，的最小值为__________． 【答案】 ①. 3 ②. 5 【解析】 【分析】利用基本不等式求解. 【详解】因为，所以，所以， 当且仅当即时取得等号， 故答案为：3；5. 14. 不等式的解集是_____． 【答案】 【解析】 【分析】将不等式的常数2移项并通分，再转化为一元二次不等式求解. 【详解】即，即，即， 等价于解得，即 所以不等式的解集是： 15. 已知函数，能说明既是偶函数又在区间上单调递减的一组整数a，b，c的值依次是______． 【答案】（任意负整数均可），，（任意整数均可） 【解析】 【详解】由偶函数的定义， ，故， 在区间上单调递减，则， 不影响奇偶性和单调性，可以为任意数， 则满足题意的一组整数a，b，c的值依次是． 16. 已知函数，若实数满足，则__________；的取值范围是________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】结合分段函数与绝对值函数的性质，可得，且时，关于对称，即可得解. 【详解】由，故在、上单调递减， 在上单调递增，且有，，，，，； 由，则， 由时，，则关于对称，故， 则. 故答案为：；. 17. 已知函数同时满足以下两个条件： ①对任意实数x，都有； ②对任意实数，，当时，都有. 写出函数的一个解析式______. 【答案】（答案不唯一，任意定义在上的单调递减奇函数均可） 【解析】 【分析】由条件①②分析函数的性质，然后根据该性质写出满足条件的函数解析式即可. 【详解】由条件①可知，定义在上，且为奇函数； 由条件②可知，即，所以， 所以在上单调递减. 于是可取即满足题意. 18. 关于定义域为的函数，给出下列四个结论： ①存在在上单调递增的函数使得恒成立； ②存在在上单调递减的函数使得恒成立； ③使得恒成立的函数存在且有无穷多个； ④使得恒成立的函数存在且有无穷多个. 其中正确结论的序号是______. 【答案】②③ 【解析】 【分析】利用反证法及函数的单调性可判断①的正误，构造函数可验证②的正误；任取奇函数，结合奇函数的性质构造函数可验证③的正误；将④中替换成，相加验证即可. 【详解】对于①，若存在上的单调递增函数，满足， 当时，，所以， 则，即，解得，矛盾，①错误. 对于②，取，满足在上单调递减，则， 所以， 故存在上单调递减函数，使得成立，②正确. 对于③，任取一个奇函数，则. 令，则， 所以，等式成立， 此时奇函数有无数多个，因此函数存在且有无穷多个，③正确. 对于④，由，得， 两式相加得，故该式只在时成立，所以不存在无数多个，④错误. 三、解答题：（每题15分，共60分） 19. 已知函数，且． （1）判断并证明函数在其定义域上的奇偶性； （2）证明函数在上单调递增； （3）求函数在区间上的最大值与最小值． 【答案】（1）奇函数，证明： 由可得，所以， 即，其定义域为，关于原点对称， 且， 所以为奇函数； （2） 由（1）知， 取， 则， 又，所以，即，可得， 且， 所以，即 可得函数在上是单调递增． （3）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）先将代入，求出的值代入后再判断函数的奇偶性，并用定义证明； （2）利用定义法求函数的单调性； （3）结合第（2）问单调性的结果，判断该函数在上的单调性，再求最值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可知函数在区间上单调递增， 所以，； 即可得在区间上的最大值为，最小值为. 20. 已知函数． （1）当时，集合有且只有一个元素，求实数的值 （2）若关于的不等式的解集为，求不等式的解集. （3），，若时，有，求的最小值. 【答案】（1） （2）或 （3）4 【解析】 【分析】（1）分和，根据方程只有1解求的值. （2）先根据已知不等式的解集求的值，再解一元二次不等式. （3）确定的关系，利用基本不等式求的最小值. 【小问1详解】 问题转化为：方程有且只有1解，求实数的值. 当时，方程可化为：.方程有且只有1解； 当时，方程有且只有1解，所以. 综上可知：或. 所以实数的集合为：. 【小问2详解】 因为关于的不等式的解集为， 所以. 所以不等式即为：， 所以或. 所以所求不等式的解集为：或. 【小问3详解】 由题意：，即. 所以， 当且仅当即时取等号. 所以的最小值为：4. 21. 动画电影《哪吒之魔童闹海》受到观众的一致好评，以159亿元的票房登顶中国影史票房榜.已知上映期间孝感某电影院一个放映厅共有350个座位.电影票票价不分等次.根据影院的经营经验，当每张电影票票价不超过30元时，票可全售出；当每张电影票票价超过30元时，每提高1元，将有5张票不能售出，为了获得更好的收益，需给影院定一个合适的票价，需符合的基本条件是：①为了方便找零和算账，票价定为1元的整数倍；②电影院放映一场电影的成本费用支出为8000元，放映一场电影的收入必须高于成本支出.设每张电影票票价为（，单位：元），该影院放映一场电影的净收入（除去成本费用后的收入）为（单位：元）. （1）当每张电影票票价x超过30元时，为符合基本条件，求x的取值范围； （2）求的解析式； （3）试问在符合基本条件的前提下，当每张电影票票价x为多少元时，放映一场的人均净收入最大？并求出最大值. 【答案】（1）当票价超过30元时，的取值范围为； （2）净收入的解析式为； （3）当每张电影票票价为60元时，放映一场的人均净收入最大，最大值为20元. 【解析】 【分析】（1）根据题意实际售出的票数大于0以及放映一场电影的收入大于8000元，建立不等式求解即可； （2）利用净收入等于售价减去成本建立函数关系即可； （3）利用人均净收入等于净收入除以售出票数建立函数关系，然后求解函数的最大值即可. 【小问1详解】 由题意，需满足两个条件： ①实际售出的票数大于零，则，解得. ②放映一场电影的收入大于8000元，则， 整理得，解得， 再结合，可得当票价超过30元时，的取值范围为 【小问2详解】 当时，为使收入大于成本，需满足,解得, 又因为，所以. 所以当时，电影票全部售出，则. 当时，售出的票数为张，票房收入为元. 则. 综上所述， 【小问3详解】 当时，人均净收入为， 此时当时，有最大值元. 当时，人均净收入为， 整理可得，设， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 所以当每张电影票票价为60元时，放映一场的人均净收入最大，最大值为20元. 22. 设是如下形式的行列的数表： 其中位于第行第列的数记为，且． 若对任意的和，当，且时，均有，则称数表具有性质． （1）分别判断数表和是否具有性质；（只需写出结论） （2）当，时，若数表具有性质，求中1的个数的最大值； （3）当时，若数表具有性质，且，证明： 【答案】（1）数表不具有性质，数表具有性质； （2）由题设知，若数表具有性质， 则当，且时，，，，中恰有2个1． 当，时，数表中满足，且的，，，包括下列四组： ，，，；，，，；，，，；，，，． 上述四组数中恰有8个1． 数表中还剩余4个数，，，，其中1的个数至多为4． 所以数表中1的个数至多为． 取下列4行5列的数表： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 经验证，该数表具有性质，且其中1的个数为12． 综上可知，数表中1的个数的最大值为12． （3）定义集合． 因为，所以当或时，，即． ① 下面证明，当数表具有性质时，其具有以下性质． 性质：对任意的和，当，且时，若（i）；（ii）；（iii）；（iv）中任意三个成立，则第四个也成立． 不妨设（i）（ii）（iii）成立，即，，． 由题设，，则，，，中有两个为1，两个为． 所以． 所以．故成立． 其余情况同理可证．所以性质成立． 令，，，，依次使用性质． 当时，因为，，，所以． 当时，因为，，，所以． 当时，以此类推，可得，． 所以．同理可证． 所以当或时，． ② 令，，，，由①②，依次使用性质、 同理可证与． 所以当或时，． ③ 令，，，，由①③，依次使用性质． 同理可证与． 所以当或时，． ④ 因为，，，所以．同理． 因为，，，所以． 因为，，，所以． 所以，，，． ⑤ 由①②③④⑤，得． 即． 【解析】 【分析】（1）性质的下标约束条件，选取符合要求的四元组代入验证，若存在不满足和为0的组合则不具有性质，反之则具有性质. （2）由性质的和约束推导行列符号的等价乘积约束，确定每行1的最大可行数量，结合行之间的符号交替规律计算总1的个数的上界，构造符合条件的实例证明上界可达. （3）利用性质的乘积等价性质，结合的初始条件，逐步完成证明. 【小问1详解】 对于，只有两行，所以行距只能为． 要满足|行距列距|，列距只能为． 取第、行和第、列，四个顶点之和为 所以不具有性质． 对于，行距为时，列距只能为；行距为时，不存在符合条件的列距． 因此，只需检验相邻两行与第、列组成的两个矩形． 第、行对应的四个顶点之和为 第、行对应的四个顶点之和为 所以具有性质． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度北京市第四十四中学高一年级第一学期期中练习 数学试卷 2026.11 一、选择题：（每题5分，共50分） 1. 设集合则 A. B. C. D. 2. 已知，则函数的最小值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3. 已知命题“”，那么是（ ） A. B. C. D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数为奇函数，且当时，，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 关于x的方程的两个根，，满足，则m的值为（    ） A. 5 B. C. D. 1 7. 设函数的定义域为，则“，”是“函数在上为增函数”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 再一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系：同学甲、丙的阅读量之和与乙、丁的阅读量之和相同，甲、乙的阅读量之和大于丙、丁的阅读量之和.丁的阅读量大于乙、丙的阅读量之和.那么这四名同学按阅读量从大到小的顺序排列为 A. 甲、丁、乙、丙 B. 丁、甲、乙、丙 C. 丁、乙、丙、甲 D. 乙、甲、丁、丙 9. 若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 数学家康托尔创立了集合论，集合论的产生丰富了现代计数方法.记为集合的元素个数，为集合的子集个数，若集合满足：①，；②，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（每题5分，共40分） 11. 函数的定义域为______.（结果用区间表示） 12. 函数的零点个数是______． 13. 设，则当__________时，的最小值为__________． 14. 不等式的解集是_____． 15. 已知函数，能说明既是偶函数又在区间上单调递减的一组整数a，b，c的值依次是______． 16. 已知函数，若实数满足，则__________；的取值范围是________. 17. 已知函数同时满足以下两个条件： ①对任意实数x，都有； ②对任意实数，，当时，都有. 写出函数的一个解析式______. 18. 关于定义域为的函数，给出下列四个结论： ①存在在上单调递增的函数使得恒成立； ②存在在上单调递减的函数使得恒成立； ③使得恒成立的函数存在且有无穷多个； ④使得恒成立的函数存在且有无穷多个. 其中正确结论的序号是______. 三、解答题：（每题15分，共60分） 19. 已知函数，且． （1）判断并证明函数在其定义域上的奇偶性； （2）证明函数在上单调递增； （3）求函数在区间上的最大值与最小值． 20. 已知函数． （1）当时，集合有且只有一个元素，求实数的值 （2）若关于的不等式的解集为，求不等式的解集. （3），，若时，有，求的最小值. 21. 动画电影《哪吒之魔童闹海》受到观众的一致好评，以159亿元的票房登顶中国影史票房榜.已知上映期间孝感某电影院一个放映厅共有350个座位.电影票票价不分等次.根据影院的经营经验，当每张电影票票价不超过30元时，票可全售出；当每张电影票票价超过30元时，每提高1元，将有5张票不能售出，为了获得更好的收益，需给影院定一个合适的票价，需符合的基本条件是：①为了方便找零和算账，票价定为1元的整数倍；②电影院放映一场电影的成本费用支出为8000元，放映一场电影的收入必须高于成本支出.设每张电影票票价为（，单位：元），该影院放映一场电影的净收入（除去成本费用后的收入）为（单位：元）. （1）当每张电影票票价x超过30元时，为符合基本条件，求x的取值范围； （2）求的解析式； （3）试问在符合基本条件的前提下，当每张电影票票价x为多少元时，放映一场的人均净收入最大？并求出最大值. 22. 设是如下形式的行列的数表： 其中位于第行第列的数记为，且． 若对任意的和，当，且时，均有，则称数表具有性质． （1）分别判断数表和是否具有性质；（只需写出结论） （2）当，时，若数表具有性质，求中1的个数的最大值； （3）当时，若数表具有性质，且，证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $