精品解析：北京市第三十五中学2026-2027学年第一学期期中测试高一数学试题

北京市第三十五中学2026—2027学年第一学期期中测试 高一数学 2026.11 试卷说明：本试卷共5页，试卷分值150，考试时间120分钟．Ⅰ卷为选择题，共10个小题，Ⅱ卷为主观题，包括第11至第21题．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效． Ⅰ卷 一．选择题（共10个小题，每题4分，共40分．每小题只有一个正确选项，请选择正确答案填在答题卡相应的题号处） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义计算． 【详解】因为， 所以， 故选：B． 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用特称命题的否定形式判定即可. 【详解】根据特称命题的否定形式可知命题“，”的否定是“，”. 故选：C 3. 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】确定两个函数的定义是否相同，定义域相同时再看对应法则是否相同即可得． 【详解】A中定义域是，定义域是，不相同，不是同一函数； B中定义域是，定义域是，不相同，不是同一函数； C中定义域是，定义域是，定义域相同，对应法则也相同，是同一函数； D中定义域是，定义域是，不相同，不是同一函数． 故选：C． 4. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】A是增函数，不是奇函数；B和C都不是定义域内的增函数，排除，只有D正确，因此选D. 点评：该题主要考查函数的奇偶性和单调性，理解和掌握基本函数的性质是关键. 5. 若非零实数，满足，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】选项A：取特殊值，，满足且均为非零实数， 但是，不等式不成立，错误. 选项B：作差，，因为且均为非零实数，则， 又因为，所以，即，正确. 选项C：取特殊值，，满足且均为非零实数， ，不等式不成立，错误. 选项D：作差，， 因为且均为非零实数，则，但是的符号无法确定， 取特殊值，，， 不等式不一定成立，错误. 6. 函数在区间上的图像是连续不断的，则“”是“函数在区间上没有零点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由零点存在性定理，及充分必要条件的判定即可得解. 【详解】因为函数在区间上的图像是连续不断的， 由零点存在性定理，可知由可得函数在区间上有零点， 即由函数在区间上没有零点，可得， 而由推不出函数在区间上没有零点，如，，函数在区间上有零点， 所以“”是“函数在区间上没有零点”的必要不充分条件. 故选：B. 7. 关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由一次不等式的解集得出的性质，代入二次不等式化简后求解． 【详解】关于的不等式的解集是，则， 不等式为，即，所以． 故选：C． 8. 函数的图象可能是（ ） A. ①③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】分别讨论，，三种情况，利用导数判断单调性，结合①②③④即可得正确选项. 【详解】当时，，此时图象为④，故④正确； ， 当时，由可得，恒成立， 恒成立，此时在，，上单调递减，此时为图③，故③正确； 当时，恒成立，定义域为， 由可得：；由可得或， 所以此时在单调递减，在上单调递增，在上单调递减，此时为图②，故②正确； 综上所述：函数的图象可能是②③④， 故选：C. 9. 设函数的定义域为，满足，且当时，．则当时，的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用，把解析式未知的区间通过平移转化到解析式已知的区间上，反推出目标区间的函数表达式；再结合二次函数的对称轴与区间的位置关系，判断最值在顶点处取得. 【详解】，则， 则， ， 则，即， 该二次函数开口向上，对称轴为，恰好落在区间内， 故的最小值为. 10. 有三支股票位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票.在不持有股票的人中，持有股票的人数是持有股票的人数的2倍.在持有股票的人中，只持有股票的人数比除了持有股票外，同时还持有其它股票的人数多1.在只持有一支股票的人中，有一半持有股票.则只持有股票的股民人数是（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】通过设出只持有股票的人数和只同时持有了和股票的人数，表达出持有不同股票的人数，通过持股的总人数即可求出只持有股票的股民人数. 【详解】由题意， 设只持有股票的人数为， 则持有股票还持有其它殸票的人数为 (图中的和 )， ∵只持有一支股票的人中, 有一半没持有或股票, ∴只持有了和股票的人数和为 (图中部分) . 假设只同时持有了和股票的人数为, ∴, 即， 则的取值可能是, 与之对应的值为, ∵没持有股票的股民中，持有股票的人数是持有股票的人数的2倍 ∴，即， ∴时满足题意，此时, ∴只持有股票的股民人数是, 故选：A. 【点睛】本题主要考查了逻辑推理能力，韦恩图在解决实际问题中的应用，解答此题的重点是求持有股票的人数，利用韦恩图结合条件即得. Ⅱ卷 二．填空题（共5个小题，每小题5分，共25分．请将正确答案填写在答题卡相应位置处．） 11. 函数的定义域为________． 【答案】 【解析】 【详解】要使函数有意义，需要满足二次根式被开方数大于或等于，同时分母不等于， 即，解得且， 所以函数的定义域为． 12. 如果在区间上，函数与函数同时取相同的最小值，那么函数在区间上的最大值为________． 【答案】 【解析】 【详解】由基本不等式可得，当且仅当时取等，此时解得， 因为在时取得最小值，则，解得， 此时可得， 又的最小值也为，可得，解得， 此时得到，而，， 故函数在区间上的最大值为. 13. 已知函数.若在上是单调函数，则_________；若对任意实数，方程都有解，则的取值范围是_________. 【答案】 ①. 0 ②. 【解析】 【分析】（1）作出函数的图象，由单调性的定义，结合图象可得a的值； （2）由题意可得的值域为，结合图象，讨论，时，时，函数的图象和值域是否为，即可得到所求范围． 【详解】作出的图象，如图， 因为函数在上是单调函数，所以在上单调， 由图象知在上单调递增， 所以函数在上是单调递增函数，故，解得； 对任意实数，方程都有解， 即恒有解，即直线和的图象恒有交点， 可得的值域为， 当时，时，，时，递增，且，故的值域不为，故不成立； 因为当时，由，令解得， 由图象可知，当时， 的值域为， 当时，由图象可得的值域不为， 综合可得a的范围是 故答案为：0； 14. 某电热元件在通电状态下仅有两种模式，在A模式下元件温度保持不变；从A模式切换到B模式后，在B模式下，元件温度（单位）与通电累积时间（即从通电时刻开始累积计时，单位）的乘积保持不变；从B模式再切换到A模式后，原件温度继续保持不变……现将该元件通电，初始温度为，已知在这四个时刻下的元件温度如表所示，而在时间内随变化的图像如图所示.请根据以上信息推断：___________；___________. 通电累积时间（单位） 1 3 6 12 元件温度（单位℃） 30 20 15 10 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据图像得到分段函数解析式，得到，，，， 解得答案. 【详解】根据题意知：，， 故，，即，，即，，即， 故. 故答案为：；. 15. 设定义在R 上的函数满足： （1）当时， ； （2） ； （3）当时， ， 则在下列结论中： ① ② 在R 上是递减函数； ③ 存在，使 ④ 若，则，． 其中正确结论的命题为__________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】通过赋值可得，进而可判断①，再根据单调性的定义及条件可判断②，由②得单调性和可判断③，由可判断④. 【详解】当时， 令时， ， 因为，所以， 所以，所以①正确； 由①知，，所以有， 任意的且， 因为，则，所以，， 所以，所以在R 上是递减函数，②正确； 因为，在R 上是递减函数，所以当时，，③正确； 因为， 所以，由，与矛盾，④错误. 故答案为：①②③. 三．解答题（共6个小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．请将解答过程填写在答题卡相应位置处．） 16. 设，，， （1）分别求，. （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）；或 （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式求得集合，进而求得，. （2）根据列不等式，由此求得的取值范围. 【小问1详解】 解不等式可得，， 所以，或， 或. 【小问2详解】 由可得，且， 所以，解得，即. 17. 已知关于的一元二次方程的两根为，． （1）求实数的取值范围； （2）求的最小值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据判别式即可得答案 （2）利用根与系数的关系，代入，根据（1）中实数的取值范围可得最小值. 【详解】解：（1）由已知， 解得且， 即实数的取值范围是； （2）由已知， 则， 因为（1）得且，则， 即的最小值为. 18. 已知函数，． （1）判断的奇偶性，并用定义证明； （2）判断当时函数的单调性，并用定义证明； （3）解不等式． 【答案】（1）是定义在上的奇函数， 证明如下：，都有， 且， 故是定义在上的奇函数； （2）在上单调递增； 证明如下：任取且， 则， 又因为， 则，，，， 则有，即， 故在上单调递增； （3） 【解析】 【分析】（1）利用函数奇函数的定义，先判断定义域关于原点对称，再根据和之间的关系即可证明； （2）利用定义法证明，当时，，从而判断函数是单调递增的； （3）利用函数为奇函数，把不等式转化为，再利用的定义域和单调性，得出不等式组，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 根据题意，， 又由在上单调递增， 则，解可得或， 故的取值范围为． 19. 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：该种珍稀水果的年产量（单位：吨）与使用肥料成本（单位：万元）满足如下关系：肥料的固定成本为万元，每生产吨需投入成本．当年产量不足吨时，（万元）；当年产量不小于吨时，（万元），每吨水果售价为万元，该乡镇可以把水果全部售完． （1）写出年利润（万元）关于年产量（吨）的函数解析式； （2）当年产量为多少吨时，所获利润最大？该乡镇决定将此水果所获利润的用来购买学习用品捐赠给希望工程，当所获年利润最大时，可购买多少万元的学习用品？ 【答案】（1） （2）100吨，10万元 【解析】 【分析】（1）分段成本的利润问题，按产量分界点分别代入对应成本公式，利用 “利润 = 总收入 - 固定成本 - 可变成本” 列式，写成分段函数形式； （2）求分段函数的全局最大值，分别用配方法求二次函数段最值、用基本不等式求对勾函数段最值，再比较两段最值得到最终结果，最后按比例计算捐赠金额. 【小问1详解】 当时，； 当时，， 因此． 【小问2详解】 当时，， 故， 当时，， 当且仅当，即时所获利润取到最大值． 因此当（吨）时生产中所获利润最大，此时可购买万元学习用品． 20. 已知函数，． （1）当时，求不等式的解集； （2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围； （3）若对任意，存在，使得，求的取值范围． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）代入，将转化为关于的一元二次不等式，因式分解后直接求解集. （2）将分离参数得对任意恒成立，构造函数，利用基本不等式求其在上的最小值，即为的上界. （3）题意转化为在上的值域是在上值域的子集；根据开口向上、对称轴为的位置，分、、三类讨论值域范围，令值域完全包含于，并列不等式组求解. 【小问1详解】 当时，由得， 即，解得或． 所以不等式的解集为或． 【小问2详解】 由得， 即不等式对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 由基本不等式可得，当且仅当时成立， 所以， 所以的取值范围是． 【小问3详解】 当时，． 又． ①当，即时， 对任意，． 所以，此时不等式组无解． ②当，即时， 对任意，． 所以，解得． ③当，即时， 对任意，． 所以，此时不等式组无解． ④当，即时， 对任意，． 所以，此时不等式组无解． 综上，实数的取值范围是． 21. 对于正整数集合，如果对于M中的任意两个元素x，y，都有，则称M为“好集合”. （1）试判断集合和是否为“好集合”？并说明理由； （2）若集合，证明：C不可能是“好集合”； （3）若，D是S的子集，且D是“好集合”，求D所含元素个数的最大值. 【答案】（1）集合A不是“好集合”， 集合B是“好集合”，理由如下： 因为，因为，所以集合A不是“好集合”， 因为，，，，，，， 所以集合B是“好集合”. （2）证明：将集合中的元素分为如下10个集合， ，，，，，，，，，， 所以从集合中取12个元素，则前8个集合至少要选10个元素， 所以必有2个元素取自前8个集合中的同一集合， 即存在两个元素的差的绝对值不大于2， 所以C不可能是“好集合”. （3） 【解析】 【分析】（1）直接根据“好集合”的定义判断即可； （2）先将集合中的元素分为10个集合，再结合“好集合”的定义证明即可； （3）根据“好集合”的定义可以得到D中的任意两个不同的元素x，y，若，都有，进而得到的最小值为3，进而求解即可. 【小问1详解】 集合B是“好集合”，理由略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 因为D是“好集合”，所以对于D中的任意两个不同的元素x，y， 不妨设，都有. 要想D所含元素个数最大，则要尽可能小， 故需使得的最小值为3. 将1~2026这2026个元素按如下分组： ，，……，，， 故应取，其中任意两元素差值都大于2，故其是“好集合”， 故“好集合”D所含元素个数的最大值为. 【点睛】方法点睛：集合新定义问题，关键是充分理解其定义，利用其定义去解决问题，反证法在一些证明题有着很重要的运用，它让一些不易证明的结论变得非常简介易证，关键是要假设相反，出现矛盾，得到证明，第三问难度要求较高，首先要对集合中的元素进行一定假设，穿插着累加的方法，得到关于的不等式，解出其范围，再找到满足最大值时集合的具体元素情况. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第三十五中学2026—2027学年第一学期期中测试 高一数学 2026.11 试卷说明：本试卷共5页，试卷分值150，考试时间120分钟．Ⅰ卷为选择题，共10个小题，Ⅱ卷为主观题，包括第11至第21题．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效． Ⅰ卷 一．选择题（共10个小题，每题4分，共40分．每小题只有一个正确选项，请选择正确答案填在答题卡相应的题号处） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为 A. B. C. D. 5. 若非零实数，满足，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 函数在区间上的图像是连续不断的，则“”是“函数在区间上没有零点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 函数的图象可能是（ ） A. ①③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 9. 设函数的定义域为，满足，且当时，．则当时，的最小值为（ ） A. B. C. D. 10. 有三支股票位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票.在不持有股票的人中，持有股票的人数是持有股票的人数的2倍.在持有股票的人中，只持有股票的人数比除了持有股票外，同时还持有其它股票的人数多1.在只持有一支股票的人中，有一半持有股票.则只持有股票的股民人数是（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 Ⅱ卷 二．填空题（共5个小题，每小题5分，共25分．请将正确答案填写在答题卡相应位置处．） 11. 函数的定义域为________． 12. 如果在区间上，函数与函数同时取相同的最小值，那么函数在区间上的最大值为________． 13. 已知函数.若在上是单调函数，则_________；若对任意实数，方程都有解，则的取值范围是_________. 14. 某电热元件在通电状态下仅有两种模式，在A模式下元件温度保持不变；从A模式切换到B模式后，在B模式下，元件温度（单位）与通电累积时间（即从通电时刻开始累积计时，单位）的乘积保持不变；从B模式再切换到A模式后，原件温度继续保持不变……现将该元件通电，初始温度为，已知在这四个时刻下的元件温度如表所示，而在时间内随变化的图像如图所示.请根据以上信息推断：___________；___________. 通电累积时间（单位） 1 3 6 12 元件温度（单位℃） 30 20 15 10 15. 设定义在R 上的函数满足： （1）当时， ； （2） ； （3）当时， ， 则在下列结论中： ① ② 在R 上是递减函数； ③ 存在，使 ④ 若，则，． 其中正确结论的命题为__________． 三．解答题（共6个小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．请将解答过程填写在答题卡相应位置处．） 16. 设，，， （1）分别求，. （2）若，求实数的取值范围. 17. 已知关于的一元二次方程的两根为，． （1）求实数的取值范围； （2）求的最小值． 18. 已知函数，． （1）判断的奇偶性，并用定义证明； （2）判断当时函数的单调性，并用定义证明； （3）解不等式． 19. 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：该种珍稀水果的年产量（单位：吨）与使用肥料成本（单位：万元）满足如下关系：肥料的固定成本为万元，每生产吨需投入成本．当年产量不足吨时，（万元）；当年产量不小于吨时，（万元），每吨水果售价为万元，该乡镇可以把水果全部售完． （1）写出年利润（万元）关于年产量（吨）的函数解析式； （2）当年产量为多少吨时，所获利润最大？该乡镇决定将此水果所获利润的用来购买学习用品捐赠给希望工程，当所获年利润最大时，可购买多少万元的学习用品？ 20. 已知函数，． （1）当时，求不等式的解集； （2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围； （3）若对任意，存在，使得，求的取值范围． 21. 对于正整数集合，如果对于M中的任意两个元素x，y，都有，则称M为“好集合”. （1）试判断集合和是否为“好集合”？并说明理由； （2）若集合，证明：C不可能是“好集合”； （3）若，D是S的子集，且D是“好集合”，求D所含元素个数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $