2.2 基本不等式 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2.2 基本不等式教学设计

教材分析：

本节课是高中数学人教A版必修第一册第二章2.2节“基本不等式”的第1课时，主要内容是证明基本不等式成立，并从代数和几何两个角度解释它，使学生理解这个不等式为什么会赋予“基本”二字，它有什么特殊的含义．证明的过程运用了分析法与综合法，其中分析法在前面已经接触过；几何解释只给出“半圆的半径长不小于它的半弦长”一种．然后，运用基本不等式求最大值与最小值，教材中设置了两个例题，其中求积的最大值需要对基本不等式两边平方后得到．教学中需要学生理解好“一正、二定、三相等”的真正含义，强调规范表达的重要性．

学情分析：

一方面，本章内容属于高中数学课程的预备知识部分，将帮助学生完成初高中数学学习的过渡．学生在本章前面已经学习了等式与不等式的性质，并利用完全平方公式得到了重要不等式，对不等关系的推理与证明有了初步体验；另一方面，基本不等式是学生接触的第一个较为抽象的不等式模型，学生对证明的方法不够理解和熟练，心中稍会产生畏惧心理，而且在运用基本不等式求最值时容易疏忽“一正、二定、三相等”的使用前提．因此，教学中应从具体数值的对比和直观的图形入手，让学生获得感性认识后再进行严谨的证明，

并通过正反例的对比教学，帮助学生理解三个条件的不可或缺性，同时注重培养学生的观察与运算能力，把握式子中的隐含关系，灵活运用基本不等式．

教学目标：

1．通过会标情境与代换探究，经历基本不等式的推导与证明过程，发展学生的逻辑推理素养，达到逻辑推理核心素养水平一的要求；

2．能从代数与几何两个角度解释基本不等式，理解算术平均数与几何平均数的关系，发展学生的数学抽象素养，达到数学抽象核心素养水平一的要求；

3．会运用基本不等式解决简单的最值问题，掌握“一正、二定、三相等”的原则，发展学生的数学运算素养，达到数学运算核心素养水平一的要求．

教学重难点：

重点：1．基本不等式的推导与证明过程；                2．运用基本不等式解决简单的最值问题．

难点：基本不等式的证明；“一正、二定、三相等”条件的理解与运用．

教学过程：

一、情境导入

2002年8月在北京召开了第24届国际数学家大会，大会会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它

看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．如图1，会标由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形．

图1　2002年国际数学家大会会标（赵爽弦图）

思考：你能从会标中发现怎样的不等关系？

问题1　会标中大正方形的面积与四个直角三角形的面积之和有什么关系？

学生探究：设直角三角形的两条直角边长分别为a、b（a＞0，b＞0），则大正方形的边长为直角三角形的斜边c，由勾股定理可知，大正方形的面积为，四个直角三角形的面积之和为．由图1可知，四个直角三角形的面积之和不大于大正方形的面积，于是得到重要不等式

当且仅当中间的小正方形缩为一点，即a＝b时，等号成立．

追问：不等式①对任意的实数a、b都成立吗？

学生解答：成立．因为，展开整理即得①；当且仅当a＝b时，等号成立．