2.2 基本不等式 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

课题

2.2 基本不等式

年级

高一年级

学科

数学

课时

1课时

教材

人教A版必修第一册第二章

教

学

目

标

1.数学抽象：通过围篱笆菜园求最大面积的真实情境，经历从具体问题中抽象出基本不等式的全过程，发展数学抽象素养。

2.逻辑推理：经历“重要不等式—代换推证—基本不等式”的生成过程，掌握作差比较法与分析法两种证明方法，发展逻辑推理素养。

3.直观想象：借助“半径不小于半弦”的几何图形，直观理解基本不等式的几何解释，体会数形结合思想，发展直观想象素养。

4.数学运算：能规范运用基本不等式求最值，归纳“一正、二定、三相等”的使用条件，发展数学运算素养。

教

学

重

难

点

重点：基本不等式的推导过程与几何解释，运用基本不等式求最值。

难点：运用基本不等式求最值时，对等号成立条件（“当且仅当”）的理解与检验，以及对“一正、二定、三相等”条件的完整把握。

教学环节

教师活动

学生活动

教

学

引

入

教师：同学们，本学期我校“劳动教育实践基地”刚刚建成，学校准备用一段长为的篱笆，在基地空地上围出一块矩形菜园，如图1所示。设矩形菜园的一边长为则另一边长为

教师提出问题：当取何值时，矩形菜园的面积最大？最大面积是多少？请同学们先试一试。

学生观察示意图，独立设未知数、列出面积的表达式，尝试求解并交流思路，带着“如何直接求最值”的疑问进入新课。

图1　矩形菜园示意图

学生尝试后，教师追问：能不能不经过繁琐的运算，用一个新的数学工具直接求出这个最大值？这就是我们今天要研究的内容——基本不等式。（板书课题：2.2 基本不等式）

新

课

讲

授

（一）比较大小，发现不等式

教师：我们先研究一个基本问题。若是任意实数，比较与的大小。请同学们用作差法试一试。

学生作差、教师投影展示：

当且仅当时，上面的差等于0。于是得到重要不等式：

若是任意实数，则的平方与的平方之和不小于它们乘积的2倍，即上式成立，当且仅当时等号成立。

（二）代换推证，形成新知

教师：在上面的重要不等式中，当时，用分别代替式中的能得到什么新结论？请同学们完成代换。

学生完成代换：

也就是：

教师总结（基本不等式）：

若则上式成立，当且仅当时等号成立。其中叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何

学生动手作差，完成代换推理；小组讨论半弦与半径的大小关系，派代表发言；独立完成例题并展示规范解答，互相纠正“漏检验等号成立条件”的问题。