陕西商洛市洛南中学2026-2027学年高二上学期11月期中数学试题

2026-2027学年度第一学期期中考试 高二数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 6 选项 D C B A D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 题号 9 10 11 选项 AB AB ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12.-1 13.V6 14.5V13 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤， 15.（本题满分13分) 解：(1)联立两直线方程 [2x+y+4=0 =-2即交点M(-1-2), x=-1 (x-3y-5=0:解得 又44,0，则kw=2-0-2 -1-45 2 所以直线AM的方程为y=Cx-4),即2x-5y-8=0, (2)直线l变形为y=-2x-4,斜率k=-2, 则与马垂直的直线斜率k三-1 -221 则过点M,且与4垂直的直线方程为y-(-2)=x-(-小，即x-2y-3=0, 16.（本题满分15分) 解(1)设圆C的圆心坐标为(a,0).依题意，在√a2+02=V(a-1)2+32，解得a=5 从而圆C的半径为r=√a2+0=5,所以圆C的方程为(x-5)2+y2=25 (2)依题意，圆C的圆心到直线I的距离为4， 显然直线x=1符合题意. 答案第1页共5页 当直线I的斜率存在时，设其方程为y-1=k(x-1),即x-y-k+1=0 4k+1 所以 Vk2+1 4解得太=5，所以直线7的方程为15x-y-7=0 综上，直线l的方程为x=1或15x-8y-7=0. 17.（本题满分15分) 以A为原点，建立空间直角坐标系，如图所示： ZA M 因为正方体ABCD-AB,CD,的棱长为2， B C 所以A(0,0,0),B(2,0,0),B(2,0,2), D 又M为棱AD上一点，设AM=a(0≤a≤2)，则M(0,a,2), B 所以AB=(2,0,2),BM=（-2,a,2), 所以AB·BM=2×(-2)+0×a+2×2=0, 所以AB⊥BM,即AB⊥BM. (2)由(1)建系可知，A(0,0,2),B(2,0,0),D(0,2,0), 因为M为AD中点，所以M(0,1,2),所以AB=(2,0,-2),BD=（-2,2,0),DM=(0,-1,2), 设面BDM的法向量为m=（x,y,z), mLBDmBD=-2x+2y=0 [x=y 则 即 化简为 m⊥DMm.DM=-y+2z=0 y=2z1 令z=1,则x=y=2.所以m=(2,2,1), 所以点4到平面BDM的距离d=AB:m_12x2-2x12 m V4+4+13 (3)棱AD上不存在点M,使得AC⊥平面BDM,理由如下： 由(1)a建系可知，4(0,0,2)，C(2,2,0),B(2,0,0),D(0,2,0), 因为M为棱AD上一点，设AM=a(0≤a≤2)，则M(0,a,2) 所以4C=(2,2,-2),BD=（-2,2,0),DM=(0,a-2,2), 答案第2页共5页 m⊥BDm.BD=-2x+2y=0 设面BDM的法向量为i=(x,y,z),则 即 m LDM m.DM=(a-2)y+2z=0 令z=2-a,则x=y=2.所以i=(2,2,2-a,若AC⊥平面BDM,则AC∥n, 所以2-a=-2,解得a=4,故在棱AD上不存在点M,使得AC⊥平面BDM. 18.(本题满分17分) (1)记CD的中点为E,连接AE, 因为B1/CD,CE=CD=1=AB,所以四边形ABCE是平行四边形.则AB=1, 因为AB⊥BC,所以平行四边形ABCE是矩形，则AE⊥AB, 因为PA⊥平面ABCD,AE,ABC平面ABCD,所以PA⊥AE,PA⊥AB,即PA,AE,AB两两垂直， 故以A为坐标原点，分别以AE,AB,AP所在直线为xy,z轴建立空间直角坐标系，如图， 则A(0,0,0),B(0,10),E22,0,0,D22,-l,0,C2W2,1,0,P(0,0,2), 因为N为PD的中点，所以N22,则W-(5, 设平面PBC的一个法向量为m=(x,y,z), 而BP=(0,-1,2),BC=(22,0,0）,则 m.BP=-y+2z=0 -Bc=22x=0，令z=l,则m=(0,21. 所以.m=-)x2+1=0,则N1m, 2 又AN丈平面PBC,所以ANII平面PBC (2)设平面PAD的一个法向量为i=(a,b,c),而AP=(0,0,2),AD=(22,-l,0, n4D=2a-6=0令a=1,则i-122.0, n.AP=2c=0 所以 设平面PCD的一个法向量为i=(r,s,), 而CD=(0,-2,0),PC=(221,-2,所以 :PC=22r+s-21=0,令r=1,则a=L02 i.CD=-2s=0 记平面PMD与平面PCD夹角为a,则0<a<号 答案第3页共5页 M B 所以csa=s优列-a355 3xV5),所以平面PAD与平面PCD夹角的余弦值为3 (3)依题意，不妨设AM=k(0≤k≤2)，则M(0,0,k),CM=（-22,-l,k, 又由(2)得平面PAD的一个法向量为i=（1,22,0, 记直线CM与平面PAD所成角为B, n.CM 所以sinB=cos(n,CM》= 4V24V5 CM3xV+915,解得k=1(负值舍去)， 所以M(0,0,),则MP=(0,0,1),而由(2)得平面PCD的一个法向量为i=1,0,2), 所以点M到平面PCD的距离为 Mpd√2_6 团5 3 19.(本题满分17分) (1)证明：将直线的方程整理为 m(2x+y-7)+(x+y-4)=0,联立 27” 解得定点坐标为(3,1)。 圆心C(1,2)到该定点的距离为√3-1)2+(1-2)严=√5<5（圆C半径为5）， 定点在圆内部，因此直线恒过圆内定点，与圆C恒交于两点。 x- x0+1 (2)设M(c,),P(co,0),由中点公式得 2 0-3 即x0=2x-1 y0=2y+3’ 2 代入圆C的方程：(2x-1-1)2+(2y+3-2)2=25 化简得轨迹的方程为：(e-1P+(+)°-5 答案第4页共5页 曰)设轨迹5的国心为D(,-),半径，= 由切线长性质得 INA=NB=VNDP-,设∠ANB=2a,则sina=ND, 推导得： NA.NB=NA2cos2a ND2+ 625 8ND2 由N在圆c上，CD-得 e层刳，-则4=[停] 对勾函数 625 25处取最小值，代入得最小值为： 0w2-75 22 4 答案第5页共5页陕西省洛南中学 2026一2027学年度第一学期期中考试 高二数学试卷 全卷满分150分；考试用时120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1.椭圆+y=1上一点P到左焦点的距离为2，则点P到右焦点的距离为（） 25 A.5 B.6 C.7 D.8 2.直线3x+√5y+3=0的倾斜角为（) A.30° B.60° C.120° D.150° 3.已知空间点A1,a,-5),B(2a,-7,-2),则AB的最小值是（) A.35 B.2W5 C.36 D.2√6 4.已知直线4：mx-2y+3=0与直线5：2x+(1-m)y-6=0垂直，则实数m的值为() A分 B. C.-1或2 D.2 5.在直三棱柱ABC-AB,C中，AB⊥BC,BB=2N2,AB=BC=2,M,N分别是BC,AB 的中点，则直线BM与直线CN所成角的余弦值为() A.213 B.13 13 13 C.⑤ D. 2W5 15 6.已知圆C:x2+y2=9与圆C2:(x-3)2+(y+b)2=4恰有两条公切线，则实数b的取值 范围为() A.(1,5) B.（-o,1)U(5,+o) C.（4,4) D.（-o,4)U(4,+∞) 7.在空间直角坐标系中，已知0(0,0,0)，A(-1,0,2),B(2,2,1),C(4,4,2)四点，则三棱锥 O-ABC的体积为（). A.10 B.20 c.9 n.9 8.已知点P是直线：mx-y-5m+1=0和l:x+my-5m-1=0的交点，点2是圆 C:(c+1)2+y2=1上的动点，则1PI的最大值是() A.8+2W2 B.7+2W3 C.6+2W5 D.6+22 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分) 9.下列说法正确的是（) A.任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 B.点(0,1)关于直线y=x的对称点为(1,0) C.直线x-y-3=0与两坐标轴围成的三角形的面积是9 D.经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y一2=0 10.在棱长为2的正四面体A-BCD中，E,F分别是AD,BC的中点，G是△BCD的重心， 则下列结论正确的是() A.AB.CD=0 B.AB.EF=2 C.示在丽上的投影向量为)西 D.EG-(+AC-AD) 11.已知曲线C:x2+y2x+y川，则（) A.曲线C关于y轴对称 B.曲线C上任意一点到原点的距离都不超过√2 C.曲线C所围成的图形的面积为2+元 D.当点(，yo)在曲线C上时，+y≤2 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.设x,y∈R,向量a=(x,1,),b=(1,y,1),c=(2,4,2),且a⊥c,/c,则x+y 的值为 D 13.如图，在四棱柱A8CD-ABCD中，∠BAD=∠B4=∠DM4=于， 四边形ABCD是边长为2的菱形，LA=3,O为AC与BD的 交点.则AO的长等于 14.己知x-y+1=0，则√x+3)2+-5)7+√x+2)2+0-15)2的最小值是 四、解答题（本题共5小题，共77分）解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步 骤) 15.(13分) 尸知直线l:2x+y+4=0与直线12：x-3y-5=0的交点为M. (1)求过点A(4,0)和点M的直线方程； (2)求过点M,且与4垂直的直线方程， 16.(15分) 已知圆C过原点0和点A(1,3),圆心在x轴上. (1)求圆C的方程： (2)直线经过点(1,1)，且被圆C截得的弦长为6，求直线的方程 17.（15分) 已知正方体ABCD-AB,CD的棱长为2，M为棱AD上一点. (1)求证：AB⊥BM. (2)若M为A,D中点，求三棱锥A-BDM的体积， (3)是否存在点M使得A,C⊥平面BDM?若存在，指出点M的位置；若不存在，说明 理由 18.(17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,ABIICD,且CD=2,AB=1,BC=2√2， PA=2,AB⊥BC,N为PD的中点. (1)求证：AN∥平面PBC; (2)求平面PAD与平面PCD夹角的余弦值； (3)点M在线段AP上，直线CM与平面PAD所成角的正弦值为4V5 求点M到平面PCD 15 的距离。 N 19.(17分) 已知圆C:（x-1)2+(y-2)2=25,直线1：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R). (1)证明：直线恒过定点，且直线1与圆C恒交于两点； (2)已知Q（1,-3),点P在圆C上运动，求线段PQ中点M的轨迹E的方程， (3)已知点N为圆C上任一点，过点N做直线与曲线E相切于A、B两点(A、B不重合)， 求NA·NB的最小值。