陕西省西安市长安区第一中学2026-2027学年高二上学期11月期中数学试题

长安一中2026-2027学年第一学期期中质量检测 高二数学试题 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项符合题目要求） 1.已知点A(1,4),B(-2,2),过点C(-1,0)的直线l与线段AB有交点，则直线斜率的取值范围为() A.[-2,2] B.(-∞，-2]U[2,+o) c.（] D.(（-0u2,+) 2.在△ABC中，顶点A(4,2),点B在直线：x-y+2=0上，点C在x轴上，则△ABC的周长的最小值为() A.2V2 B.4√2 C.2W5 D.4v5 3.己知双曲线c号-三=1(a>0,b>0),左、右焦点分别为F1,F过 F,的直线的斜率为，直线交双曲线右支于点R.点P在双曲线左支上，且 RF2IRP.若双曲线离心率e=V3,则比值P为() A号 B.9 C.1 D.3 4.数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线C:x2+y2=1+xy就是其 中之一（如图）.曲线与y轴交于A、B两点，点P为曲线上一动点，给出下列四个 结论，其中正确的结论是() A.点(1，)在曲线内部 B.|PA2+PBI2≥4 c.IoPl≤9 D.点P的纵坐标的最大值为 5.已知椭圆C:三+三=1〔a>b>0)的左、右焦点分别为P1,P2,过P1的直线与椭圆C咬于A,B两点， 若cos∠AB,--京则椭圆C的离心率为（） A.⑦ 7 B.27 7 C. D. 试卷第1页（共4页） 6.在平面直角坐标系中，点P是直线：x=-上一动点，定点F(（仔，0)，点Q为PF的中点，动点M满足MQ1PF, MP=OF(∈)，过点M作圆(x-3)2+y2=2的切线，切点分别为S,T,则|STI的最小值为() A.2 c.7 D.月 7.过点P(-5,4)作直线：(4m+1)x+my+1=0(m∈R)的垂线，垂足为Q,点A,B分别是直线l1:3x-4y+ 8=0和直线l2:3x-4y+2=0上的动点，则当m,A,B变化时，QA+QB 的最小值为() A.2 B.4 C.6 D.12 A------ 8.如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，PA1平面ABCD,PA=2, 动点M在线段PC上，则BM+DM的最小值为() A. B.v30 3 C. D.v 2 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题有多个选项符合题目要求，全部选对得6分， 选对但不全得部分分，有选错的得0分) 9.己已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,且P为C上的点() A.若点M(2,2),则PF+PM的最小值为3 B.若点M(0,3),则PM的最小值为3 C.抛物线C上存在两点关于直线x+y-3=0对称 D.若两条与C相切的直线的交点在准线上，则两切点的纵坐标之和的最小值为2 10.现有如下记载：刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.求积术曰：倍下袤， 上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一.现有一个刍甍如图所示，四边 形ABCD为矩形，四边形ADFE为等腰梯形，EF∥AD.AB⊥平面ADFE,AD=8, AB=EF=4,AE=2V5,点P在线段AD上，则() A.AB L EF B B.存在实数)，使得FP=EB C.向量EF在向量AD上的投影向量为AD D.PE.PF的取值范围为12,24 11.如图，AE1平面ABCD,CF1∥AE,AD/BC,AD1AB,AE=BC=2,AB=AD=1,CF=9,则() 试卷第2页（共4页） E D A.BD⊥EC B.BF/平面ADE C.平面BDE与平面BDP的夹角的余弦值为D.直线CE与平面BDB所成角的正弦值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） Dy B 12.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长均为3， 且它们彼此的夹角都是60°，则对角线AC1的长为 D 13.定义两个向量与的向量积成×是一个向量，它的模园×=·si元，》， 它的方向与和同时垂直，且以元，，的顺序符合右手法则（如图），在棱长为2 的正四面体ABCD中，则(AB X AD)·AC=· 14.如图，在四面体A-BCD中，AB=AD=2,BC=CD=BD=2V5.设异面直 线AB与CD所成的角为a,当二面角A-BD-C的大小在售习内变化时，cos的最 大值是 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出数学语言说明、证明过程、演算步骤） 15.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD1底面ABCD,PD=DC=1,E是PC的中点， 作EF1PB交PB于点F.(13分) D B (1)求证：PA/平面EDB; (2)求平面FDE与平面EDB的夹角的余弦值： 16.在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=AC=BC=2,∠A1AC=∠A1AB=60°，点D为CA的延长线上 试卷第3页（共4页） 一点，且满足DA=AC.(15分) (1)证明：BC1AA1: (2)求直线A1B与平面DBB1所成的角 17.如图，在四边形ABCD中，△ACD是边长为2的正三角形，△ABC是以B为顶角的等腰直角三角形，现 沿着对角线AC翻折△ACD,得到三棱锥P-ABC.(15分) (1)当翻折至平面PAC1平面ABC时， (i)求直线PA与BC所成角的余弦值： (i)求三棱锥P-ABC外接球的表面积； (2)求平面ACP与平面BCP夹角余弦值的最小值 18.己知点A(-1,0),B(1,0),曲线E上的动点M满足kMA·kMB=2,(17分) (1)求曲线E的方程： (2)l是曲线E在点M(xo,yo)处的切线，过M作l的垂线分别交x轴、y轴于点C(x,0)和D(O,y),当点M运动时， 试求出点P(x,y)的轨迹方程，并指出是什么曲线； (3)根据(2)的结果，如果推广到一般，你能得出怎样的相应结论？请证明你的结论. 19.已知封闭曲线E由曲线C1:三+5=1(a>b>0y>0)和曲线C2:x2+y2=40≤0)拼接而成， 且C的离心率为源(17分) (1)求C1的方程， (2)设A,B分别为E的左、右顶点，P是E上位于x轴上方的动点，过点P作x轴的垂线交E于另一点Q,直线AP 与BQ相交于点T. (i)证明直线TA与TB的斜率之积为定值，且点T的轨迹为某双曲线的一部分： (i)过点（√，0）作不与坐标轴垂直的直线与(i)中的双曲线交于M,N两点，点N关于x轴的对称点为D, 证明直线MD过定点，并求该定点的坐标. 试卷第4页（共4页） 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 ⊙ D D D B A B B AD AC 题号 11 答案 BC 12.3V6 【详解】设AB=a,AD=b,AA1=C, 由题意可知同===3，且后)=，d)=a,=60 根据向量加法运算可得：AC1=AB+BC+CC1=AB+AD+AA1=a+b+c, 则ac=(d+6+2-+++2a6+262+2a2-3+32+3+2x3×3× c0s60°+2×3×3×c0s60°+2×3×3×c0s60° =9+9+9+9+9+9=54, 所以AC1=V54=3V6,即对角线AC1的长为3V6. 13.4v2 【详解】 设底面△ABD的中心为O,连接CO,AO,则OC1平面ABD, 又AO,AB,ADC平面ABD,故OC⊥AO,OC1AB,OC1AD, A0=9×ABx号=9,0C=VAc-A0=4-手=29 在Aco,cae4c0器-学9别 又AB×AD的方向与0C相同，所以(AB×AD)AC=2V3×2×=4V2 14.85 【详解】 取BD的中点E,连结AE,EC,则AE⊥BD,EC1BD,则LAEC为二面角A-BD-CB 的平面角， 设LAEC=B,B∈[F,],EB=BD=V3,EC=(2⑤)2-(V32=3, 在△ABD中，由余弦定理可得c0S∠ABD=4B2+BD2-AD=4+12-4=5 2AB.BD 2x2x2V5=2 sinzABD=」 1-9)2= 所以AE=ABsinzABD=2X=1, 答案第1页（共6页） AB·CD (A正+E丽-(C元+ED) A正.CE+AEED+E元.C2+E丽.ED cosa ABcD列 2×2V3 4w3 lc0s8-1 43 因为B∈G,劉， 所以cosB[-] 当c0sB=-时，cosa有最大值3， 8 故cosa的最大值是y5, 8 15.(1)连接AC交BD于点0， 因为四边形ABCD为正方形，所以O为AC的中点， 又因为E是PC的中点，所以PA//OE,(2分) 因为PA￠平面EDB,OEC平面EDB,所以PA/平面EDB.(4分) (2)以D为原点，以DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，D(0,00),B(11,0),C(01,0),E(0,2),P(0,0,1),(6分) 可得PE=(11,-1),D正=(0，)，所以PB.D正=0，所以PB1DE,即PB1DE, 又因为EF L PB,且DEnEF=E,DE,EFC平面DEF,所以PBI平面DEF, 所以平面DEF的一个法向量为PB=(1,1,-1),(8分) 又由D8=(11,0),D元=(0,2) （元.DB=x+y=0 设平面DEB的法向量为元=(x,y,z), iD呢=y+2=0 取x=1,则y=-1,z=1,即元=(1，-1,1)，(11分) 设平面FDE与平面EDB的夹角为0，则cos6= lcos<元p8>= 元pB 1 1 (12分) P 所以平面FDE与平面EDB的夹角的余弦值为 (13分) D 16.(1)连接A1B,A1C,因为AB=AA1=2,∠A1AB=60°，所以A1B=2, 同理A1C=2,取BC中点E,连接AE,A1E,(2分) 由等腰三角形三线合一，得AE1BC,A1E1BC,(4分) 又AE∩A1E=E,AEC平面AEA1,A1EC平面AEA1,所以BC⊥平面AEA1, 因为AA1C平面AEA1,所以BC1AA1:(6分) 答案第2页（共6页） A 6 B (2)依题意BA=CD,可知B点在以DC为直径的圆上，所以BC1BD, BC⊥AA1,AA1/BB1,所以BC1BB1,(9分) 因为BD∩BB1=B,BDC平面DBB1,BB1C平面DBB1: 所以BCI平面DBB1,BC为平面DBB1的一个法向量，(10分) 则直线A1B与平面DBB1所成的角即直线A1B与直线BC夹角的余角，(12分) 因为A1B=A1C=BC=2,所以△A1BC为正三角形，(13分) 故∠A1BC=60°，故直线A1B与平面DBB1所成的角为30°(15分) 17.(1)(i)取AC的中点0，则AC1OB,AC1OP,因为平面PAC1平面ABC,所以OP1OB.(2分) 延长BO至E,使得B0=OE,连接AE,CE,PE,则四棱锥P-ABCE为正四棱锥.(4分) 设直线PA与BC所成角为a,则cosa=品=号放直线PA与BC所成角的余弦值为号 2AP (6分) B (i)三棱锥P一ABC外接球即为正四棱锥P-ABCE的外接球.(7分) 设外接球的半径为R,则由射影定理可得：PA2=2R·PO,所以R= PA2 2v3 2P0 3 (8分) 2 所以三棱锥P-ABC外接球的表面积S=4n() =16m.(9分) 3 (2)过A作AM⊥PC于M,AF⊥平面BCP于F,连接MF. 则PC⊥平面AMF,∠AMF即为面ACP与面BCP的夹角， sin∠AWF=服≤提-5 Γ3 (11分) 所以COS-AMF≥票当且仅当AB1PB时取等号，(13分) 故面ACP与面BCP夹角余弦值的最小值为浮. (15分) 答案第3页（共6页） B 【点睛】1翻折类立体几何问题的核心是把握“变与不变”：折痕同侧的线段长度、线线夹角保持不变，空 间面面位置关系发生变化，解题需以翻折前后的不变量为突破口. 2.面面垂直场景下，作交线的垂线得到线面垂直，既是几何证明的关键步骤，也是建立空间直角坐标系的 基础，是处理此类问题的核心切入点. 3动态二面角的最值问题，向量法思路通用直接，几何法运算更简洁，二者均通过换元或三角函数性质将 空间最值转化为函数值域问题，充分体现了数形结合与函数思想的应用， 18.(1)设M(,),KA如=名六=2，(2分) 整理得曲线E的方程为x2-兰-1c杜1).(4分) (2)因为排除了顶点，所以直线不可能垂直于x轴，设直线：y=kx+m, 联立2-兰=1，整理得2-k2-2kmm2-2=0,5分) y=kx+m 因为直线L是双曲线在点M处的切线，即直线与双曲线只有一个公共点M(xo,y0), 所以△=4k2m2-4(2-k2)(-m2-2)=8(m2+2-k2)=0,则m2=k2-2,(7分) 由韦达定理可得0十0=·即x。==架=一奈 代入方程可得-共+m=-台+m=名则m=一品则k=-m得 m m yo 所以过点M与直线垂直的直线方程为y-%=-兴c-)即y=一兴x+翌 当x=0时，得y=婴，当y=0时，得x=3x,(8分) D 因为6-=10≠0)，所以目--10+0， 故点P化，)的轨迹方程为号-号=10+0)，即其为去掉顶点的双曲线.(9分) (③)结论：对于任意双曲线-兰-1a>0,b>0),点Pg)的轨迹为去掉顶点的双曲线 y2 =1(y≠0)(11分) x2 y2 证明如下：设直线l:y=kx+m,与双曲线方程联立 Q261 y=kx+m 答案第4页（共6页） 整理得(b2-a2k2)x2-2a2kmx-a2m2-a2b2=0,1与双曲线相切于M(xo,yo), 所以A=4a4k2m2-4(b2-a2k2)(-a2m2-a2b2)=4a2b2(m2+b2-a2k2)=0, 则m2=a2k2-的，且有+0=器即0==祭=-路 m2 m 。=架+m=+m=-长所以m-关k=学-器 (13分) m 所以过点M与直线！垂直的直线方程为y一0=一密 x-xw.即y=密x+w+%: 当x=0时，得y=y0+0,当y=0时，得x=94+0P a2yo =a20+x0,(15分) b2x0 因为9-罩=100≠0)，代入整理可得 x2 y2 =1(y≠0)， ( 故点P(x,y)的轨迹为去掉顶点的双曲线 =1y≠0).(17分) 閂 19.(1)由C2:x2+y2=4(y≤0)，得a=2 由e==9得c=5,所以b=va2-c=1. (2分) 所以c1的方程为号+y2=10>0).（4分） (2)(i)设Pxo.yo),则y0>0且豆+y=1, (6分) √4好 又A(-2,0),B(2,0),所以kPA= √4场 2(x0+2) x0-2 所以4k:=ae格离-克为定位 (7分) 设0.则4品×六=方整理，相醛-号=1，(8分) 4 故点T的轨迹为双曲线号-号=1的一部分。 (9分) (i)设M(x1,y1),N(x2,y2),则D(x2,-y2). 易知直线的斜率存在且不为0，设L:x=my+√(m≠0).(11分) (x=my+v6 由号苦1，消去x整里90-2+26w12=0, 答案第5页（共6页） 则m2≠2，y+⅓=- 2 m2yy2=m2① (12分) 由对称性可知，直线MD所过定点必在x轴上，设其为R(r,0). 由M,R,D三点共线，得-1=y2边 r-X1 x2-x1 整理，得r=X1+n2型，(14分) y1+y2 代入x1=my1+V6,x2=my2+V6及①，(15分) 2 得r=V6+2my2=V6+” +密-6-亮-9， 2v6m (16分) y1+y2 m2-2 故直线MD过定点，该定点的坐标为(，0）， (17分) 答案第6页（共6页）