2.1 【有理数的加法与减法】培优题型专项训练 2026-2027学年人教版七年级数学上册

简一数理 培优题型专项训练 【有理数的加法与减法】培优题型专项训练 （新教材人教版） 备注：本资料选题有一定难度，适合中等偏上学生，培优和拔尖需求！ 【题型1 有理数加法运算】 1．定义：表示正整数的所有正因数的个数，例如有个正因数：、、，则．设，其中表示取遍的所有正因数再求和．例如．则________． 【答案】 【分析】根据题意理解定义，找全正因数个数，相加计算即可． 【详解】解：根据题意可知，的正因数：、、、、、共有个 ∴， 根据题意可知，， ∴，，， ∵的正因数：、、、有个， ∴， ∵的正因数：、、有个， ∴， ∵， ∴． 2．从这12个数中取若干个数，使得任意两个数之和既不等于也不等于，则这若干数字和的绝对值最大值为______． 【答案】 【分析】因为所有数均为负数，若干个数和的绝对值等于取出各数的绝对值之和，要使和的绝对值最大，需使取出各数的绝对值之和最大，同时满足任意两个数之和既不为也不为，将数按和为分组，每组最多选取一个数，因此最多选取个数，再选择每组中绝对值更大的数计算即可． 【详解】解：将这个数按两数和为分为组： 由题意，任意两个数之和不能为，因此每组最多只能选取个数，即最多选取个数． 因为所有数都是负数，要使取出数和的绝对值最大，只需每组中选取绝对值更大的数，即选取． 验证：任意两个选中数的和最小为，不存在和为或的两个数，符合条件． ∴这若干数字和的绝对值最大值为． 3．我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作，又把称为x的小数部分，记作，则有如：，，，下列说法中正确的有______． ①； ②； ③； ④若，且，则或； ⑤方程的解为 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了新定义，解一元一次方程，绝对值和有理数的加减计算，根据新定义即可判断①②③；当时，，则；当时，，则，据此可判断④；由方程及可解得，这意味小数部分为的数均为方程的解，解不唯一，故原说法错误． 本题考查新定义，有理数的运算，方程的解．熟练掌握以上知识点是关键． 【详解】解：根据整数部分和小数部分的定义逐项分析判断如下： ①有理数的整数部分是不超过的最大整数，即，正确，符合题意； ②有理数的整数部分是不超过的最大整数，即，错误，不符合题意； ③有理数的小数部分为，正确，符合题意； ④当且时，若x为正数，如，则，符合；若x为负数，如，则，，符合，正确，符合题意； ⑤∵， ∴， 即， ∴， ∴方程的解为所有小数部分为的数，解不唯一，原说法错误； 故答案为：①③④． 4．计算： 【答案】166665 【分析】本题考查了整数的加法运算（数字规律分析与简便计算），通过观察，每个数都是由数字1、2、3、4、5组成的五位数，且每个数位（万位、千位、百位、十位、个位）上数字1、2、3、4、5各出现一次，因此每个数位上的数字之和均为15． 【详解】解：每个数位上的数字之和为， 万位和： 千位和： 百位和： 十位和： 个位和： ∴总和：，，，． 5．对于有理数a，定义运算表示的意义如下： 将的绝对值的各位数字相加，若结果大于等于，则继续将结果的各位数字相加，直到得到一个个位数，这个数称为的“数字根”． 如果是负数，则就是这个数字根的相反数； 如果是正数，则就是这个数字根； 如果是，则特别地，的数字根是． 例：：，所以； ：，因为原数是负数，所以；． (1)______；若是一个两位数，且，写出满足条件的一个有理数的值：_______； (2)猜想：对任意整数，是否一定有成立？若成立，请说明理由，若不成立，请举一个例子说明． 【答案】(1)；或或或或或或或或或（写一个即可）； (2) 解：不一定成立，理由， 反例：取，， 所以：；：； ∴，， 所以左边； 右边， ∴左边右边，即， ∴原等式不一定成立． 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据题例即可求解； （）举出反例进行验证即可． 【详解】（1）解：∵：， ∴， ∵是一个两位数，且， ∴当两个数字之和小于时，或或或， 当两个数字之和大于时，或或或或或， 故答案为：；或或或或或或或或或（写一个即可）； （2）略 6．有人建议向火星发射如图1所示的图案，它叫作幻方，其中9个格中的点数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9．每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相同．如果火星上有智慧生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物（人）． (1)如图1，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是______； (2)如图2，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把到这6个连续整数分别填入圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和S都相等，请直接写出S的最大值是______． 【答案】(1)15 (2) 【分析】本题考查了有理数的加法的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据图中数据计算即可作答； （2）根据三角形的每条边上的三个数的和S都相等，且和最大，把到这个数较大的三个数放在三个顶点处即可求解； 【详解】（1）解：任取两组数据，由图可知，， 故答案为：； （2）将填入三角形的三个顶点处， 与之间填， 与之间填， 与之间填， 如图， 则三角形的每条边上的三个数的和都相等，且和最大， 此时，， ∴的最大值为， 故答案为：． 7．【阅读理解】我国数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．如：表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【学以致用】 （1）_____． （2）若，则__________． 【迁移拓展】 （3），则_____． （4）若，所有符合条件的整数的和为_____． 【答案】（1）7；（2）或；（3）；（4） 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，数轴上两点的距离，有理数的加法运算， （1）根据两点间的距离即可得出结论； （2）结合数轴可找出数轴上离表示的点距离为2的数即可求解； （3）表示数轴上到点1和距离相等的点． （4）表示数轴上到点2和的距离和为7，由此可得出在和2之间（包括端点），进而即可得出的值，然后求和即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：7； （2）表示数轴上离表示的点距离为2的数 ∴或； 故答案为：或； （3）表示数轴上到点1和距离相等的点． ； 故答案为：； （4）表示数轴上到点2和的距离和为7， 在和2之间（包括端点）， 是整数， 的值为：，，，，，，， 它们的和为：． 故答案为：． 【题型2 有理数加法的应用题】 1．两位同学做下面的游戏：每个人从一副扑克牌（去掉大王、小王和J、Q、K）中选3张黑色牌和3张红色牌（黑色牌代表正分，红色牌代表负分），使得6张牌的总分为零．两人轮流从对方手中抽1张牌，10次以后，计算每人手中牌的总分，得分高者获胜．在这个游戏中，获胜者手中牌的总分可能得到的最高分是（） A．48 B．54 C．60 D．无法确定 【答案】B 【分析】获胜者总分只由手中黑牌决定（红牌只会减分），而去掉人头牌后最大的 6 张黑牌之和恰好是 ，且抽牌过程可以实现全黑，故最高分为 ． 【详解】解：获胜者总分=手中黑牌之和−手中红牌绝对值之和．红牌只会拉低分数，所以总分不超过其手中黑牌之和；而去掉J、Q、K和大小王后，黑牌最大只有两张10、两张9、两张8， 任取6张黑牌的和最大为．故获胜者总分． 54可以取到（构造验证）． 甲初始：黑10、10、9，红、、（和为0）； 乙初始：黑9、8、8，红、、（和为0）； 抽牌过程：甲抽乙的黑9→乙抽甲的红−10→甲抽乙的黑8→乙抽甲的红−10→甲抽乙的黑8→乙抽甲的红−9，此时甲已全持6张黑牌；剩下4次两人把同一张红牌抽来抽去还原即可． 结束时甲：黑10、10、9、9、8、8，总分54； 乙全为红牌，总分．甲获胜且得54分． 综上，获胜者手中牌的总分可能得到的最高分是54． 2．学校组织数学节活动，活动中设置两个类别的游戏，每个类别包含的游戏项目及相应的积分（单位：分）如下： 游戏类别 Ⅰ Ⅱ 游戏项目 积分（参与即获得相应积分） 3 6 5 4 5 7 8 9 每名学生选择游戏项目时要符合如下规则： ①必须选择5个游戏项目，并且同一个游戏项目不能重复选择； ②两个类别的游戏都至少选择1个，并且选择类别Ⅱ的游戏项目的个数多于选择类别Ⅰ的游戏项目的个数； ③游戏项目与游戏项目不能同时选择； ④游戏项目与游戏项目只能都选择或都不选择． 小明和小龙都按规则参与了数学节的活动，那么他们各自获得的总积分的差的最大值是（    ） A．8 B．9 C．11 D．12 【答案】B 【分析】先根据规则确定选项目的可能数量组合：类别Ⅰ选择2个，类别Ⅱ选择3个或类别Ⅰ选择1个，类别Ⅱ选择4个，然后分情况讨论求解即可． 【详解】解：∵必须选择5个游戏项目，选择类别Ⅱ的游戏项目的个数多于选择类别Ⅰ的游戏项目的个数 ∴类别Ⅰ选择2个，类别Ⅱ选择3个或类别Ⅰ选择1个，类别Ⅱ选择4个 ∴当类别Ⅰ选择2个，类别Ⅱ选择3个时， ∵要求最高总积分， ∴类别Ⅰ选择B，C， ∵游戏项目与游戏项目不能同时选择，游戏项目与游戏项目只能都选择或都不选择 ∴类别Ⅱ选择D，F，G ∴最高总积分为； ∵要求最低总积分 ∴类别Ⅰ选择A，C ∵游戏项目与游戏项目只能都选择或都不选择 ∴类别Ⅱ选择D，E，F ∴最低总积分为； 当类别Ⅰ选择1个，类别Ⅱ选择4个时 ∵要求最高总积分， ∴若类别Ⅰ选择B， ∵游戏项目与游戏项目不能同时选择，游戏项目与游戏项目只能都选择或都不选择 ∴类别Ⅱ选择E，F，G， ∴共选择4个游戏项目，不符合题意，舍去； ∴若类别Ⅰ选择C， ∵游戏项目与游戏项目只能都选择或都不选择 ∴类别Ⅱ选择D，F，G，H ∴最高总积分为； ∵要求最低总积分 ∴类别Ⅰ选择A， ∵游戏项目与游戏项目只能都选择或都不选择 ∴类别Ⅱ选择E，F，G，H ∴最低总积分为； 综上所述，最高总积分为33，最低总积分为24 ∴ ∴总积分的差的最大值是9． 3．一条东西向的街道可视为数轴，自动换电站位于原点．某智能无人售卖车续航为，即换一次电池最多可行驶．某天售卖车依次接到7个订单，运送顺序为，对应的点位如图所示：（单位长度：） 售卖车从自动换电站满电出发，最终需回到换电站．在售卖过程中，如果续航不足，需返回换电站更换电池（满电）后再继续配送．关于以下描述： ①售卖车在完成点订单后，需返回换电站换电池； ②完成点售卖订单后，显示剩余续航； ③售卖过程中，售卖车需要至少换3次电池； ④售卖车完成所有订单后回到换电站，共行驶． 正确的有（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】D 【分析】本题考查数轴上的距离计算与实际应用．通过计算各点间的距离，结合“单次续航”的限制，判断每个描述的正确性． 【详解】解：首先确定各点所表示的数：，，，，，，，，配送顺序为． 计算每段行驶距离：，，，，，，，． ①从出发到，累计行驶，剩余续航．下一段需行驶，，续航不足，因此必须返回换电站(返回距离)，故①正确； ②完成点订单后已返回换电，换电后满电出发前往点，行驶，剩余续航，并非，故②错误． ③分析“售卖过程中，售卖车需要至少换次电池”： 第一次换电：完成点后返回(行驶)； 第二次换电：完成点后返回(行驶)； 第三次行程：(无需换电)． 仅需换电次即可完成所有订单，故③错误； ④分析“售卖车完成所有订单后回到换电站，共行驶”： 总行驶距离为：第一次行程， 第二次行程， 第三次行程， 合计，故④正确． 综上，正确的描述为①④，故选：D． 4．某兴趣小组有3件打印模型需要制作，每个模型都要按四道工序的顺序完成．现安排甲、乙、丙3名同学来做，甲只负责A、D工序，乙只负责B工序，丙只负责C工序．同一模型同一时间只能进行一道工序，完成一道工序后才能开始下一道工序．一个人只有完成一个模型的一道工序后，才能进行下一个模型的工序．各工序耗时（单位：分钟）如下表： 模型 时间 工序 模型1 模型2 模型3 A 3 6 4 B 5 3 4 C 4 7 5 D 2 9 3 （1）只完成模型1和模型3的制作，最少需要________分钟； （2）要完成这3件模型的制作，最少需要________分钟． 【答案】 19 30 【分析】（1）分别计算先制作模型1后制作模型3，以及先制作模型3后制作模型1的总耗时，比较得出最小值； （2）根据工序先后顺序及人员分工，依次分析关键路径，计算各工序完成时刻得出总耗时，通过比较即可得出结果． 【详解】解：（1）由题意知， 若先制作模型1，后制作模型3： 甲完成A工序时间：， 乙完成B工序时间：模型1为，模型3为， 丙完成C工序时间：模型1为，模型3为， 甲完成D工序时间：模型1为，模型3为， ∴总耗时20分钟； 若先制作模型3，后制作模型1： 甲完成A工序时间：， 乙完成B工序时间：模型3为，模型1为， 丙完成C工序时间：模型3为，模型1为， 甲完成D工序时间：模型3为，模型1为， ∴总耗时19分钟． ∵， ∴最少需要19分钟； （2）要完成3件模型的制作，则有“模型1-模型2-模型3”、“模型1-模型3-模型2”、“模型2-模型1-模型3”、“模型2-模型3-模型1”、“模型3-模型1-模型2”、“模型3-模型2-模型1”共六种顺序制作： ①模型1-模型2-模型3： 甲完成A工序时间：， 乙完成B工序时间：模型1为，模型2为，模型3为， 丙完成C工序时间：模型1为，模型2为，模型3为， 甲完成D工序时间：模型1为，模型2为，模型3为， ∴总耗时31分钟； ②模型1-模型3-模型2： 甲完成A工序时间：， 乙完成B工序时间：模型1为，模型3为，模型2为， 丙完成C工序时间：模型1为，模型3为，模型2为， 甲完成D工序时间：模型1为，模型3为，模型2为， ∴总耗时33分钟； ③模型2-模型1-模型3： 甲完成A工序时间：， 乙完成B工序时间：模型2为，模型1为，模型3为， 丙完成C工序时间：模型2为，模型1为，模型3为， 甲完成D工序时间：模型2为，模型1为，模型3为， ∴总耗时30分钟； ④模型2-模型3-模型1： 甲完成A工序时间：， 乙完成B工序时间：模型2为，模型3为，模型1为， 丙完成C工序时间：模型2为，模型3为，模型1为， 甲完成D工序时间：模型2为，模型3为，模型1为， ∴总耗时30分钟； ⑤模型3-模型1-模型2： 甲完成A工序时间：， 乙完成B工序时间：模型3为，模型1为，模型2为， 丙完成C工序时间：模型3为，模型1为，模型2为， 甲完成D工序时间：模型3为，模型1为，模型2为， ∴总耗时33分钟； ⑥模型3-模型2-模型1： 甲完成A工序时间：， 乙完成B工序时间：模型3为，模型2为，模型1为， 丙完成C工序时间：模型3为，模型2为，模型1为， 甲完成D工序时间：模型3为，模型2为，模型1为， ∴总耗时31分钟． 综上所述，要完成这3件模型的制作，最少需要30分钟． 5．某校举办“机器人武术动作编程”比赛，要求选手按固定顺序对组武术动作进行编程．每组动作按完成情况分为良好和优秀两个等级，可获得对应得分；若连续组及以上动作被评为优秀，则从该段连续优秀的第组动作开始（包含第二组动作），每一组动作还可获得表格中对应的额外加分．如：动作、、均评为优秀，则总得分为． 动作顺序及对应得分如下： 动作序号 动作 动作 动作 动作 动作 动作 动作 动作 动作 动作名称 抱拳礼起势 开步双劈 按掌前推 搂手勾踢 缠腕斩拳 闪身冲拳 弹踢穿顶 掼拳戳脚 闪身砍推收势 良好 优秀 额外加分 —— 小宇参加了此次比赛，若他在动作中未获得额外加分，在动作中被评为优秀但未获得额外加分，全程最多连续组动作评为优秀，且连续组动作评为优秀的情况仅出现次．则小宇在前组动作中的得分之和最高为________分，他参加此次比赛的总得分最高为________分． 【答案】 【分析】需根据题干给出的得分规则和限制条件，先分析前两组动作的最高得分，再通过合理安排优秀动作的顺序，满足限制条件，计算得到最高总得分． 【详解】小宇在动作中未获得额外加分， 排除动作同时优秀的情况， 所有可能的得分： 优秀，良好：分； 良好，优秀：分； 均为良好：分； 小宇在前组动作得分之和最高为分； 动作中被评为优秀但未获得额外加分， 动作一定不是优秀，为良好； 全程最多连续组动作评为优秀，且连续组优秀仅出现次， 要使总得分最高，存在可能的得分情况如下： 动作序号 动作 动作 动作 动作 动作 动作 动作 动作 动作 总得分 情况1 优秀6 良好3 优秀6 优秀7 优秀8 良好3 优秀8 优秀8 良好6 情况2 良好3 优秀5 优秀6 优秀7 良好5 良好3 优秀8 优秀8 良好6 情况3 优秀6 良好3 良好3 优秀7 优秀8 良好3 优秀8 优秀8 优秀8 情况4 优秀6 良好3 优秀6 优秀7 良好5 良好3 优秀8 优秀8 优秀8 他参加此次比赛的总得分最高为分． 6．某校科学实验小组需完成编号为A，B，C，D，E，F，G，H的八项工作，要求如下： ①A，B，C完成后才能开始G； ②C，D，E完成后才能开始H； ③一项工作只能由一名学生完成，此工作完成后该生才能进行其他工作． 各项工作所需时间（单位：分钟）如表所示： 工作编号 A B C D E F G H 时间 7 15 9 10 5 1 7 2 （1）若这些工作由多名学生合作完成，则至少需要______分钟； （2）若这些工作由甲、乙两名学生合作完成，且甲同学先从A工作开始，为使完成全部工作所用的时间最短，则甲同学还需完成的工作的编号为______． 【答案】 22 C，E，G 【分析】本题考查统筹优化问题，解题思路是根据题目给出的前置限制，分别对多人合作和两人合作的情况安排工作顺序，计算最短总时间，确定甲需要完成的工作。 【详解】（1）多名学生合作时，满足前置工作要求，前置工作可并行完成，因此： 当做的前置工作，三个都要完成，最长的时间为B：分钟，G还要7分钟，则G这路需要（分钟）， 当做的前置工作，三个都要完成，最长的时间为D：分钟，H还要2分钟，则H这路需要（分钟）， 且工作的时间为1分钟，可以任意安排， 则至少需要分钟； （2）所有工作总时间为（分钟），甲乙两名学生，最短总时间不低于（分钟），可尝试分配得到刚好总时间为的方案： 甲先做（分钟），接着做（分钟），再做（分钟），最后做（分钟），总时长分钟，满足要求， 乙做（分钟），接着做（分钟），再做（分钟），最后做（分钟），总时长，满足所有前置限制， 因此甲除以外，还需完成C，E，G． 7．焦庄户地道战遗址纪念馆是爱国主义教育示范基地，场馆内开放了可以实地穿行的真实地道．工作人员定期对地道路线进行维护，甲、乙两人合作完成其中三条路线的维护，维护要求：每条路线的维护需要先由甲进行检查，结束后再由乙进行清洁；同一时间每人只能维护一条路线．每人完成各自工序需要的时间（单位：）如下表： 路线1 路线2 路线3 甲 2 5 6 乙 5 4 3 (1)若按照路线3→路线2→路线1的维护顺序，其总时长为多少分钟? (2)若要求维护三条路线的总时长不超过，请写出一种满足条件的维护顺序． 【答案】(1)按照路线3→路线2→路线1的维护顺序，总时长为 (2)满足三条路线维护完成的总时长不超过的维护顺序为路线1→路线2→路线3或路线1→路线3→路线2或路线2→路线1→路线3（写出一种即可） 【分析】（1）根据题目所给的顺序，计算总时长即可； （2）根据题意，列出所有的情况，分别计算总时长，再与比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：按照路线3→路线2→路线1的维护顺序，总时长为． （2）解：由（1）得，按照路线3→路线2→路线1的维护顺序，总时长最少为； 按照路线1→路线2→路线3的维护顺序，总时长为； 按照路线1→路线3→路线2的维护顺序，总时长为； 按照路线2→路线1→路线3的维护顺序，总时长为； 按照路线2→路线3→路线1的维护顺序，总时长为； 按照路线3→路线1→路线2的维护顺序，总时长为． 满足三条路线维护完成的总时长不超过的维护顺序为路线1→路线2→路线3或路线1→路线3→路线2或路线2→路线1→路线3（写出一种即可）． 8．某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售．当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如下： … A 40 60 / / / / / B 30 55 75 90 100 105 / C 20 40 60 70 80 90 … D 14 38 62 86 110 134 … (1)如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商______分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）； (2)如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值是多少万元？简单地说明理由． 【答案】(1)B (2)6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值是157万元，理由见解析 【分析】（1）分别计算向各经销商分配台时的总利润，比较即可得答案； （2）分别求出分配给一家时，两家时，三家时，四家时的最大利润，比较即可得答案． 【详解】（1）解：当向经销商分配台设备时， 即，总利润为万元； 当向经销商分配台设备时，即，总利润为万元； 当向经销商分配台设备时，即，总利润为万元； 当向经销商分配台设备时，即，总利润为万元； ， 为使台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商分配台设备； （2）解：台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值是万元，理由如下： 当分配给一家时，总利润的最大值为，万元； 当分配给两家时，总利润的最大值为，万元； 当分配给三家时，有： ，利润为万元； ，利润为万元； ，利润为万元； 此时，总利润的最大值为，万元； 当分配四家时，总利润的最大值为，万元； ， 台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值是万元． 【题型3 有理数加法运算率】 1．数学老师在多媒体上列出了如下材料： 计算：． 解：原式 ． 上述这种方法叫作拆项法．请仿照上面的方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 2．对，可以按如下方法计算． 解：原式                            上面这种方法叫作拆项法．仿照上面的方法，请你计算：． 【答案】 【分析】利用拆项法进行运算即可． 【详解】解： ． 3．定义了一种非零有理数运算“”，解答下列问题： 【观察运算】 ①． ②． ③． ④． (1)根据以上运算，归纳“”运算的法则： 文字语言：两数运算，__________________________________________________． 符号语言：若，________；若，________． 【运用法则】 (2)利用上述法则，分别计算和，你有什么发现？ 【探究规律】 (3)请你验证下列等式是否成立（不必写出验证过程）： ①． ②． 你有什么发现？试着用文字或者字母表示你的发现． 【答案】(1)同号得正，异号得负，并把两数的绝对值相加；； (2)，， 发现：该运算满足交换律 (3)①成立②成立， 发现：该运算满足结合律 【分析】（1）对比4个例子，观察两个数同号、异号时运算结果的符号规律，总结出：两数同号，结果等于两数的绝对值之和；两数异号，结果等于两数的绝对值之和的相反数； （2）先判断与异号，代入法则分别算出和的值，比较结果，得出新运算满足交换律； （3）分别计算等式左右两边的值进行对比，两组式子左右结果相等，说明这个新运算满足结合律． 【详解】（1）略 （2）解：和异号， ， ， ， ，该运算满足交换律； （3）解：①左边， 右边， 左边右边，①等式成立； ②左边， 右边， 左边右边，②等式成立； ，该运算满足结合律． 4．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2500 (2)1000 【分析】本题主要考查了有理数加法运算律进行简便运算，掌握加法的交换律和结合律是解题的关键． （1）先观察发现第1个数与第50个数，第2个数与第49个数，第3个数与第48个数……相加和都为100，然后进行计算即可； （2）可以利用有理数的结合律每两个数结合，即为1000个1即可解答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 5．高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算 “从到这个正整数的和”，许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，并且容易出错，聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程： 解：设，① 则，② ，得 ． ，，③ ． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法” (1)请你运用高斯的“倒序相加法”计算：； (2)请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想___________（用含的代数式表示）； 【答案】(1)1275 (2) 【分析】此题考查了数的运算规律，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1 ）原式利用高斯的“倒序相加法”计算即可求出值； （2 ）归纳总结得到一般性规律，写出即可，利用高斯的“倒序相加法”计算即可求出值． 【详解】（1）解：设 则， ，得， 所以， ， 所以； （2）解：由（1 ）及题目例题的解析可得： ， 设 则， ，得， 所以， ， 所以． 故答案为：． 6．在学习完“有理数的加法”后，小米同学对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数运算的学习经验，自主探究新定义运算，小米设计一种新运算“”，即对任意有理数，满足如下规律：，称此种运算为“绝佳”运算． 例如，； 【探究一：两个数“绝佳”运算】 （1）填空：①______________；②____________； ③_____________；④________________； 通过上面的计算可知：“绝佳”运算______________（填“满足”或者“不满足”）交换律． 【探究二：三个数“绝佳”运算】 （2）小米同学想类比有理数的加法结合律，判断“绝佳”运算是否满足结合律，请帮助她验证等式是否成立，并归纳出“绝佳”运算是否满足结合律． 【答案】（1）①1 ；②1 ；③；④；满足；（2）等式不成立；运算不满足结合律 【分析】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握有理数的加法运算，绝对值的意义， （1）根据，进行计算，即可； （2）根据，先求出和的值，进而求解即可． 【详解】（1）∵， ∴①；②； ③；④； 由以上运算可得，“绝佳”运算满足交换律； 故答案为：，，，；满足； （2）∵， ∴，， ∴； ∵，， ∴， 因为． ∴等式不成立， ∴“绝佳”运算不满足结合律． 【题型4 有理数的减法运算】 1．已知数轴上的三个点A，B，C所表示的数分别为a，1，c，其中且，则A，B，C三点在数轴上的位置从左到右的顺序依次为（    ） A．C，A，B B．B，A，C C．C，B，A D．A，B，C 【答案】C 【分析】本题借助绝对值的几何意义与性质，先由推导出与的数量关系，再结合判断、与1的大小关系，从而确定三点在数轴上的排列顺序．熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴或， 若，则，此时，与题干矛盾，故舍去， ∴必有，即， ∴， ∵， ∴， 若，则， 此时，，无论还是，均满足， ∴，即三点从左到右为，，， 若，则，此时化简后矛盾，舍去． 综上，三点在数轴上从左到右的顺序为，，． 故选：C. 2．世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示：则排在第10行从左边数第4个位置上的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了规律型：数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中的数字变化规律，求出相应的数据，根据题意和图形中的数据可以发现数字的变化规律，可知第行的第个数字等于第行的第个数字与第行的第个数字之差，从而可以解答本题． 【详解】解：由图可得， 第6行第一个数字是：， 第7行第一个数字是：， 第8行第一个数字是：，第二个数字是：， 第9行第一个数字是：，第二个数字是：，第三个数字是：， 则第10行第一个数字是：，第二个数字是：，第三个数字是：，第4个数字是：， 故选：． 3．将自然数1，2，3，4，5，6分别标记在6个形状大小质地等完全相同的卡片上，随机打乱之后一一摸出，并将摸出的卡片上的数字分别记为，，，，，，记，以下3种说法中：①A最小值为3；②A的值一定是奇数；③A化简之后一共有5种不同的结果．说法正确的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的减法运算，数的奇偶性，先根据，，，即可判断①，再判断总的奇偶性，两两组合相减，总的奇偶性共两种情况：第一种：奇数-奇数=偶数，奇数-偶数=奇数，偶数-偶数=偶数，第二种：奇数-偶数=奇数，奇数-偶数=奇数，奇数-偶数=奇数，即可判断②，根据，可得A的最大值一定为9，故结合①②可判断③，问题得解． 【详解】根据题意可知，，，，，，指代自然数1，2，3，4，5，6， ∴，，， ∴，故①正确； ∵1，2，3，4，5，6是包含三个奇数和三个偶数， 则两两组合相减，总的奇偶性共两种情况： 第一种：奇数-奇数=偶数，奇数-偶数=奇数，偶数-偶数=偶数， 则最终A的答案为：偶数+奇数+偶数=奇数； 第二种：奇数-偶数=奇数，奇数-偶数=奇数，奇数-偶数=奇数， 则最终A的答案为：奇数+奇数+奇数=奇数； ∴A的值一定是奇数，故②正确， ∵， ∴A的最大值一定为9， 又∵A最小值为3，且为奇数， ∴A的值只可能是3、5、7、9， ∴A化简之后不可能有5种不同的结果， 故③错误， 正确的有2个， 故选：B． 4．的最小值为__________． 【答案】 【分析】利用绝对值的几何意义，将原式转化为数轴上点到多个定点的距离和，通过确定所有零点的中位数找到取最小值的位置，代入计算即可． 【详解】解：绝对值的几何意义是数轴上表示的点到表示的点的距离， 原式可改写为， 表示的点到表示、、、、的点的距离之和， 一共有5个绝对值相加， ∴在取所有零点的中间数时取得最小值， 先将所有零点按从小到大排序：，，，，， 共有个零点，中间的一个数为， 将代入原式计算：， 原式的最小值为． 5．规定：，．例如，．则的最小值是________． 【答案】5 【分析】本题考查求代数式的最值问题及绝对值的几何意义，解题的关键是熟练掌握绝对值的几何意义．根据题意将表示出来，利用数轴上点到两点的距离和求最小值即可． 【详解】解：由定义，，， 故． 此式表示数轴上点到点和点的距离之和． 故当在到之间（含端点）时，距离之和最小，最小值为． 故答案为：5． 6．如果，则的最大值等于 ______． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的性质、几何意义，利用绝对值的几何意义得，，又，从而确定和的取值范围，进而求的最大值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵表示数轴上点到点和点的距离之和， ∴， ∵表示点到点和点的距离之和， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴的最大值等于， 故答案为：． 7．如图，已知点，，从左到右依次在数轴上，所表示的数分别为，，200，现将一把最小刻度为的刻度尺放到数轴上，测得点与点的距离为． (1)若数轴的1个单位长度为． ①的值为_______；点与点的距离为_______个单位长度； ②求点，，所表示的数的和； (2)若数轴的1个单位长度不是，且刻度尺上表示“8”和“10”的刻度分别对应数轴上的，． ①求的值 ②若点在数轴上，且点与点的距离是点与点的距离的3倍，求点所表示的数； ③若刻度尺的最大刻度为，将数轴的单位长度变为原来的后，用刻度尺能测量出数轴上点与点的距离，直接写出的最小整数值． 【答案】(1)①，215；②175 (2)①；②50或；③3 【分析】（1）①根据两点之间的距离直接列式计算； ②将所得三个数相加即可； （2）①首先根据已知判断出数轴的1个单位长度为，再推出A在B的左边且点与点相距15个单位长度，即可得解； ②求出A、C相距225个单位长度，进一步可得A、D的距离为75个单位长度，即可得解； ③求出B、C的距离，再结合最大刻度为，求出，即可得到k的最小整数值． 【详解】（1）解：①∵点A与点B的距离为，为5个单位长度， ∴； 点A与点C的距离为个单位长度； ②， 即点A，B，C所表示的数的和为175； （2）解：①∵刻度尺上表示“8”和“10”的刻度分别对应数轴上的，， ∴数轴的1个单位长度为， ∴刻度尺上的长度代表数轴上3个单位长度， ∵B表示，A在B的左边且点与点的距离为， ∴A在B的左边且点与点相距15个单位长度， ∴； ②∵A表示的数为，C表示的数为200， ∴A、C相距225个单位长度， ∵点在数轴上，且点与点的距离是点与点的距离的3倍， ∴A、D的距离为个单位长度， ，， ∴D所表示的数为50或； ③B表示的数为，C表示的数为200， 则B、C的距离为， ∴， ∵要用刻度尺能测量出数轴上点B与点C的距离， ∴， ∴k的最小整数值为3． 8．同学们知道，表示与的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数与数两点间的距离．试探索： (1)表示数轴上数与数_____________两点间的距离； (2)的最小值是_____________； (3)计算的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，关键是应用知识点解决问题； （1）根据绝对值的几何意义解答即可； （2）分情况讨论在不同位置时，代数式的值，比较并得出最小值； （3）通过观察可发现在到这段线段的中点时，代数式有最小值，代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意得：表示数轴上数与数两点间的距离； 故答案为：； （2）解：当时，，即； 当时，； 当时，，即； 综上：的最小值是； 故答案为：； （3）解：共项， 根据绝对值的几何意义，取中间项时，原式的值最小， 即：当时， 原式 ， ∴的最小值为：． 9．对于一个三位数，我们规定一种新的运算：将这个数的百位数字与个位数字交换位置，得到一个新数．然后，用新数减去原数，得到的差的绝对值称为该三位数的“绝对差数”．例如：三位数327，百位数字与个位数字交换，得到新数723，新数723减去原数327得到的差是396，三位数327的绝对差数是：． (1)三位数614的绝对差数是_______； (2)设任意一个三位数，其百位数字为，十位数字为，个位数字为．这个三位数可以表示为________，将这个三位数的百位和个位数字交换后得到新的三位数表示为_______（请用含的代数式表示）； (3)小颖在计算了几个不同的三位数的绝对差数后，惊讶地发现，结果都与原数的十位数字无关．请在第（2）问的基础上，通过代数化简，说明小颖说法的正确性． (4)已知一个三位数的绝对差数是297，请直接写出两个满足条件的原三位数． 【答案】(1)； (2)，； (3) 证明：绝对差数 ， 化简结果中不含 ，因此绝对差数与十位数字无关； (4)，．（答案不唯一） 【分析】本题考查列代数式，整式的加减的应用，解题的关键是根据题意列出关系式． （1）交换614得416，再计算； （2）根据题意正确列式即可； （3）化简差得，无，故与无关； （4）由得，举例431、265． 【详解】（1）解：交换百位与个位数字，新数为416； 计算差：， 故答案为：198； （2）解：原三位数：百位为，十位为，个位为， 故表示为； 交换后新数：表示为； 故答案为：；； （3）略 （4）解：由 得 ． 即百位与个位数字之差为 3 的三位数均可（）． 示例：104， ，， 306， 603 等 (任写两个)． 【题型5 有理数减法的应用题】 1．如图，，，为数轴上三点，回答下面问题： (1)点表示的数是__________，点到点的距离是__________个单位长度； (2)若点沿数轴向某一方向移动4个单位长度到达点，则点表示的数是__________； (3)规定：在一条数轴上，若点到点的距离是点到点的距离的倍，则称是的“倍点”，记；若点到点的距离是点到点的距离的倍，则称是的“倍点”，记．例如：若点表示的数为，点表示的数为0，点表示的数为4，则；．根据规定解决下面问题． ①__________； ②若是数轴上一点，且，直接写出点所表示的数． 【答案】(1)，6 (2)3或 (3)①4②3或 【分析】本题考查数轴和有理数，数轴上两点间的距离，有理数的运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据数轴，可知A、B所表示的数，进行解答计算即可； （2）分类讨论，点沿数轴向左或右移动4个单位长度到达点，据此计算即可； （3）①根据题意，计算点P到点B的距离是点P到点A的距离的几倍即可；②分类讨论，点D在点B右侧，若点D在点A、点B之间，点D在点A左侧，根据点D到点A的距离是点D到点B的距离的2倍计算即可． 【详解】（1）解：由数轴可知，点A表示的数为，点B表示的数为5， 则到点的距离是个单位长度． 故答案为：，6； （2）解：由数轴可知，点A表示的数为， 点沿数轴向左或右移动4个单位长度到达点， 则点表示的数是或， 故答案为：3或； （3）解：①由数轴可知，点A表示的数为，点B表示的数为5，点P表示的数为， ∴若点P到点A的距离是， 点P到点B的距离是， ， ． 故答案为：4； ②∵， ∴点D到点A的距离是点D到点B的距离的2倍， 若点D在点B右侧， 则点D到点B的距离是点A到点B的距离， ∴点D到点B的距离是6， ∴点D表示的数为， 若点D在点A、点B之间， 则点D到点B的距离是点到点的距离的，即， ∴点D表示的数为， 若点D在点A左侧， 则点D到点A的距离小于点D到点B的距离，此时不存在满足题意的点， 综上所述，点D表示的数为3或． 2．如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和8的位置上沿数轴做移动游戏．每次移动的规则为：裁判先捂住一枚硬币，让两人猜向上一面是正面还是反面，然后根据所猜结果进行移动． ①若两人都猜对或都猜错，则甲向右移动1个单位长度，同时乙向左移动1个单位长度； ②若甲猜对，乙猜错，则甲向右移动4个单位长度，同时乙向右移动2个单位长度； ③若甲猜错，乙猜对，则甲向左移动2个单位长度，同时乙向左移动4个单位长度． (1)经过2次移动游戏，结果分别为“两人都猜对”和“甲猜对，乙猜错”，则按规则移动完成后，甲在数轴上停留的位置对应的数是___________，乙在数轴上停留的位置对应的数是___________． (2)从如图位置开始，完成了6次移动游戏，发现两人每次所猜的结果均为“一对一错”，则两人在数轴上的位置相距多少个单位长度？ (3)从如图位置开始进行游戏，当两人在数轴上的位置相距6个单位长度时，共进行了多少次移动？ 【答案】(1)； (2)2个单位长度 (3)4次或10次 【分析】本题主要考查了数轴上的两点距离计算，有理数的加减计算，正确理解题意并利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据①②的移动方式结合数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）②③两种移动方式，每移动一次，两人之间的距离都会减少2，据此求解即可； （3）两人相遇前①②③的移动方式均为每移动一次，两人之间的距离都会减少2，相遇后①②③的移动方式均为每移动一次，两人之间的距离都会增加2，据此讨论求解即可． 【详解】（1）解：，， ∴甲在数轴上停留的位置对应的数是，乙在数轴上停留的位置对应的数是， 故答案为：；； （2）解：没有移动时，两人在数轴上的位置相距个单位长度， 当甲猜对，乙猜错时，甲向右移动4个单位长度，同时乙向右移动2个单位长度， 此时两人之间的距离减小个单位长度， 当甲猜错，乙猜对时，甲向左移动2个单位长度，同时乙向左移动4个单位长度． 此时两人之间的距离减小个单位长度， ∴两人每次所猜的结果均为“一对一错”时，两人之间的距离都会减少2个单位长度， ∴经过6次移动游戏后，两人在数轴上的位置相距个单位长度； （3）解：没有移动时，两人在数轴上的位置相距个单位长度， 当两人都猜对或都猜错时，甲向右移动1个单位长度，同时乙向左移动1个单位长度， 此时两人之间的距离减小个单位长度， ∴两人相遇前，按照所猜结果无论是①，②，③中的哪一种，完成一次移动后两人之间的距离都会减少2个单位长度， 当两人相遇前，两人在数轴上的位置相距6个单位长度时，则移动了次， 当两人相遇后，按照所猜结果无论是①，②，③中的哪一种，完成一次移动后两人之间的距离都会增加2个单位长度， ∴当两人相遇后，两人在数轴上的位置相距6个单位长度时，则移动了次， 综上所述，当移动4次或10次时，两人在数轴上的位置相距6个单位长度． 3．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)表示和2两点之间的距离是______；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．如果表示数 a 和的两点之间的距离是 3 ，那么 ． (2)若数轴上表示数a的点位于和2两点之间，求______； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得，这些点表示的数的和是_______． (4)当 时，的值最小，最小值是 ． 【答案】(1)5；1 或 (2)6 (3)12 (4)1，7 【分析】本题考查数轴上两点的距离、绝对值的意义； （1）根据数轴和题意，可以解答本题； （2）根据题意，可以将绝对值去掉，从而可以解答本题； （3）根据数轴和分类讨论的数学思想可以解答本题； （4）通过以上分析可知表示点a分别距离，1，4的距离和的最小值．判断出时，三个绝对值的和最小，然后进行计算即可得解． 【详解】（1）解：表示和2两点之间的距离是， ∵表示数 a 和的两点之间的距离是 3 ， ∴， ∴或 ， 解得 或； 故答案为：5；1 或 ． （2）解：∵表示数 a 的点位于与 2 之间， ∴，， ∴， 故答案为：6 ． （3）解：当时，， 当时，， 当时，， ∴使得的所有整数为：，，0，1，2，3，4，5， ∴， 故这些点表示的数的和是12， 故答案为：12； （4）解：表示数轴上数a到，1，4的距离之和，当位于和4之间的1处时，即有最小值，最小值为， 故答案为：1，7． 4．志愿服务站点有，，，四名志愿者，某一天每人可参与服务时间段如表所示： 志愿者 服务时段1 服务时段2 A B C D 已知每名志愿者一天至少要参加一个服务时段的服务，任意时刻志愿服务站点最多允许2名志愿者同时服务，则该志愿服务站点这一天所有参与服务的志愿者的累计服务时间最短为__________小时，最长为__________小时（假设志愿者只要参与服务，就一定把相应时间段的任务全部完成）． 【答案】 6 【分析】先计算每名志愿者各服务时段的时长，最短累计时间需每人选择自身最短服务时段，同时保证任意时刻服务人数不超过2；最长累计时间需尽量保留所有服务时段，仅在人数超员的重叠时段去掉时长最短的部分，保证总损失最小． 【详解】解：首先计算各服务时段的时长： A的时段1：，时长， A的时段2：，时长， B的时段1：，时长， B的时段2：，时长， C的时段1：，时长 C的时段2：，时长， D的时段1：，时长， D的时段2：，时长， 计算最短累计时间： ∵ 要累计时间最短，需每人选择自身时长最短的服务时段 ∴ A选时段2（），B选时段2（），C选时段1（），D选时段1（）， 检查各时刻服务人数： ：仅D，1人，合规， ：D、C，2人，合规， ：仅D，1人，合规， ：仅A，1人，合规， ：仅B，1人，合规， 总最短时长为， 计算最长累计时间： 所有时段总时长为， 逐段检查重叠时段的人数： ：同时存在，共3人，超过2人限制， ∵ 需去掉时长最短的时段以最小化总损失， ∴ 去掉（），此时该时段剩余，2人，合规， ：同时存在，共3人，超过2人限制， ∵ 需去掉时长最短的时段以最小化总损失， ∴ 去掉（），此时该时段剩余，2人，合规， 其余时段人数均不超过2人，无需调整， 总最长时长为． 5．学校组织数学节活动，活动中设置两个类别的游戏，每个类别包含的游戏项目及相应的积分（单位：分）如下： 游戏类别 Ⅰ Ⅱ 游戏项目 A B C D E F G H 积分（参与即获得相应积分） 3 6 5 4 5 7 8 9 每名学生选择游戏项目时要符合如下规则： ①必须选择5个游戏项目，并且同一个游戏项目不能重复选择； ②两个类别的游戏都至少选择1个，并且选择类别Ⅱ的游戏项目的个数多于选择类别Ⅰ的游戏项目的个数； ③游戏项目B与游戏项目H不能同时选择； ④游戏项目C与游戏项目D只能都选择或都不选择． （1）若某同学已经选择了游戏项目B和游戏项目C，则他获得的总积分最多为_____ 分； （2）小明和小龙都按规则参与了数学节的活动，那么他们各自获得的总积分的差的最大值是_____ 分． 【答案】 【分析】先根据规则确定选项目的可能数量组合：类别Ⅰ选个，类别Ⅱ选个，满足，，得仅或两种情况，再结合特殊规则分别计算目标值． 【详解】解：整理已知：类别Ⅰ共个项目，积分分别为，，；类别Ⅱ共个项目，积分分别为，，，，，规则为：B与H不能同时选，C与D必须同时选或不选． （1）该同学已选B和C，因此类别Ⅰ已选个，即，得． ∵C已选， ∴D必须选，类别Ⅱ已确定选D，还需再选个类别Ⅱ项目． ∵B已选， ∴H不能选，剩余可选项目为E，F，G，要总积分最大，选积分最大的F，G． 总积分为：． （2）求积分差的最大值，即求最高总积分减去最低总积分． ①求最高总积分： 若，最大总积分为（第一问结果）； 若，要积分最大，选最高积分组合：选C，则必须选D，剩余个类别Ⅱ选积分最高的F，G，H， 总积分为：，比大， 因此最高总积分为． ②求最低总积分： 若，要积分最小，选类别Ⅰ积分最小的A,C， ∵C已选， ∴D必须选，剩余个类别Ⅱ选积分最小的E，F， 总积分为：； 若，总积分为，比大， 因此最低总积分为． ③积分差的最大值为：． 6．如图，大圆的半径为5，小圆的半径为3．两个空白部分的面积分别为，则的值为_________．（用含的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了减法的性质，转化的数学思想﹒根据减法的性质可以得到的值为的值，计算即可求解﹒ 【详解】解：因为阴影部分为大圆和小圆的公共部分， 所以﹒ 故答案为：﹒ 7．如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的四等分点处分别标有0，1，2，3，先让圆上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示2026的点与圆上表示________的点重合． 【答案】3 【分析】本题为数字规律问题，考查了有理数的运算，用数轴上的点表示有理数等知识，明白数字规律是解题关键﹒先求出表示2026的点与表示的点直接距离为2027，根据圆的周长为4个单位长度，可得圆转动506圈后再转动三个等分点，问题得解﹒ 【详解】解：∵圆的周长为4个单位长度，由图形可知， ∵， ∴数轴上表示2026的点与圆上表示3的点重合﹒ 故答案为：3﹒ 8．金秋时节，水城沅江，桔满枝头．某桔农采摘了一批新品柑桔，刚好装了 200   箱，以每箱 的重量为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如 下表： 每箱与标准重量 的差值（单位：） 0 1 2.5 箱数 10 40 20 30 20 80 (1)这 200 箱柑桔中，最重的一箱比最轻的一箱重多少千克？ (2)与标准重量相比较，这 200 箱总计超过或不足多少千克？ (3)若柑桔以每千克 4 元的价格出售，则这批柑桔可卖多少元？ 【答案】(1)5.5千克 (2)超过80千克 (3)12320元 【分析】本题考查了正数和负数应用．熟练掌握有理数的加减混合运算是解题的关键． （1）最重的一箱苹果比标准质量重2.5千克，最轻的一箱苹果比标准质量轻3千克，则两箱相差5.5千克； （2）将这200个超过或不足的数据相加，和为正，表示总计比标准质量超过，和为负表示总计比标准质量不足； （3）4元乘以求得总质量，即可． 【详解】（1）∵， ∴（千克）， 故最重的一箱比最轻的一箱重5.5千克 故答案为：5.5； （2） （千克）， 故200箱苹果总计超过80千克； （3）（元）， 故出售这200箱苹果可卖12320元． 9．综合与实践 素材1：如右图是一款单肩包的背带，背带由双层部分、单层部分、调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短（总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计）． 素材2：对该单肩包背带的单层部分长度和双层部分的长度进行测量，得到下表中数据： 单层部分的长度 0 2 4 6 8 … 150 双层部分的长度 75 74 73 72 a … 0 素材3：根据小明同学的身高，背带的总长度为时，背起来最舒适，此时单层部分的长度为，周末小明妈妈已经帮小明调到最舒适的长度，可小明出门时还是习惯性把调节扣调整了五次，下表是五次调节的情况（调节扣向单层方向移动记为正，向双层方向移动记为负，单位：） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 请根据上述素材，解答以下问题： (1)素材2的表格中________． (2)在小明的五次调节中哪一次最接近舒适长度？此时背带总长度是多少？ (3)小明每次滑动调节扣之后都要一次性把双层部分拉直，求这五次调节过程中经过悬挂点的背带共多长？ 【答案】(1)71 (2)第三次调节最舒服，此时总长为 (3) 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，数字类规律探究： （1）根据表格得到单层长度每增加2米，双层长度减少1米，进行求解即可； （2）求出每一次调整后的长度，进行判断即可； （3）根据拉直时，经过悬挂点的背带的长度为调整长度的，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：由表格可知，单层长度每增加2，双层长度减少1， ∴； 故答案为：； （2）背带的总长度为时，双层长度为：， 第一次调整，单层的长度变为，双层长度变为，总长为； 第二次调整，单层的长度变为，双层长度变为，总长为； 第三次调整，单层的长度变为，双层长度变为，总长为； 第四次调整，单层的长度变为，双层长度变为，总长为； 第五次调整，单层的长度变为，双层长度变为，总长为； 故第三次调节最舒服，此时总长为； （3）． 答：这五次调节过程中经过悬挂点的背带共． 10．我们知道， 可以理解为 ，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为AB＝ ，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是___，数轴上表示数﹣1的点和表示数﹣3的点之间的距离是___； (2)数轴上点A用数a表示，若，那么a的值为___； (3)数轴上点A用数a表示， ①若，那么a的值是___； ②当时，数a的取值范围是___；这样的整数a有___个； ③有最小值，最小值是____； ④求的最小值． 【答案】(1)5，2 (2)5或-5 (3)①-2或8；②-2≤a≤3，6；③2024；④1023132 【分析】（1）根据两点间的距离公式求解可得； （2）根据绝对值的定义可得； （3）①利用绝对值定义知a﹣3＝5或﹣5，分别求解可得； ②由的意义是表示数轴上到表示﹣2和表示3的点的距离之和是5的点的坐标，据此可得； ③由表示数轴上到表示3与表示﹣2021的点距离之和，根据两点之间线段最短可得； ④表示数轴上到表示﹣1、﹣2、﹣3……﹣2023的点的距离之和，根据两点之间线段最短和绝对值的几何意义可知：当x＝﹣1012时值最小，然后去掉绝对值符号，再利用求和公式列式计算即可得解． 【详解】（1）解：数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是8-3＝5， 数轴上表示数﹣1的点和表示数﹣3的点之间的距离是-1-（-3）＝2， 故答案为：5，2； （2）解：若，那么a的值为5或-5， 故答案为：5或-5； （3）解：数轴上点A用数a表示， ①若，则a-3＝5或a-3＝-5， ∴a＝8或-2， 故答案为：-2或8； ②∵的意义是表示数轴上到表示﹣2和表示3的点的距离之和是5的点的坐标， ∴-2≤a≤3，其中整数有-2，-1，0，1，2，3共6个， 故答案为：-2≤a≤3，6； ③表示数轴上到表示3与表示﹣2021的点距离之和，由两点之间线段最短可知：当-2021≤a≤3时，|a-3|+|a+2021|有最小值，最小值为2021-（-3）＝2024， 故答案为：2024； ④∵的中间一项是 ， ∴a＝-1012时，原式有最小值， ∴ ＝2×（1011+1010+…+3+2+1） ＝2× ＝1023132， ∴的最小值为1023132． 【点睛】本题考查绝对值的性质、数轴上两点间的距离，熟练掌握绝对值的意义和性质，逐步探索变化规律是解题的关键． 11．探索与发现 *闰年是公历中的名词，能被整除但不能被整除，或能被整除的年份即为闰年． 以上表格是洋洋同学设计的查看某年某月某日是星期几的一个表格． 利用洋洋同学设计的这个表格．笑笑同学很快找到了年的月日是星期三； 明明同学也很快利用表格找到了年的月日是星期五；琪琪同学也利用此表格查出来，她的一个好朋友出生那天是星期三，她的好朋友是年月日出生的． 年月日是北师大二附中的岁生日， (1)利用洋洋设计的表格算一下，年月日是星期几？______ (2)你能预测一下师大二附中百年校庆那天是星期几吗？______ (3)请你利用表格预测一下，中华人民共和国成立周年是星期几？______ (4)年月日是星期几？______ 【答案】(1)二； (2)日； (3)五； (4)六． 【分析】本题考查了日历中数字的规律问题，关键是根据所给信息发现规律； （1）先找到年所在行的文字排序，由于是闰年，再找到闰年月日所对应的文字，最后找到此文字在年所在行的文字排序中对应的星期几即可找到答案； （2）先计算出百年校庆的年份，然后找到年份所在行的文字排序，再找到月日所对应的文字，最后找到此文字在年份所在行的文字排序中对应的星期几即可找到答案； （3）中华人民共和国成立周年是年月日，由于年一个周期，先找年份对应的文字排序，再找月、日对应的字，最后在对应年份里的位置找星期几； （4）因年一个周期，先找年份对应的文字排序，再找月、日对应的字，最后在对应年份里的位置找星期几． 【详解】（1）解：由表格可知：年对应的文字排序“！、己、自、的、好、最、做”，分别对应着星期“一、二、三、四、五、六、日”； 而由于是闰年，闰年月的横行与日的纵列的交点对应的字是“己”， 因为“己”对应的是星期二， 所以年月日是星期二， 故答案为：二． （2），， 由表格可知，与在同一位置，对应的文字排序为“好、最、做、！、己、自、的”； 而月的横行与日的纵列的交点对应的字是“的”， 因为“的”对应的是星期日， 所以师大二附中百年校庆那天是星期日； 故答案为：日． （3）中华人民共和国成立周年是年月日，， 由表格可知，年对应的文字排序“自、的、好、最、做、！、己”； 而月的横行与日的纵列的交点对应的字是“做”， 因为“做”对应的是星期五， 所以中华人民共和国成立周年是星期五； 故答案为：五． （4）， 由表格可知，年对应的文字排序“！、己、自、的、好、最、做”， 分别对应着星期“一、二、三、四、五、六、日”； 而月的横行与日的纵列的交点对应的字是“最”， 因为“最”对应的是星期六， 所以年月日是星期六， 故答案为：六． 【题型6 有理数加减混合运算】 1．如图，将-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5这九个数分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．现在，，分别表示其中的一个数，则的值为（     ）（一题多解法） A．-5 B．-4 C．0 D．5 【答案】A 【分析】由第行数据，可知每行、每列、每条对角线上的三个数之和均为，可分别求出，代入代数式进行计算即可；或由图中第行和第列的三个数之和相等求出，由第行和第列的三个数之和相等求出，由第行和第列上的三个数之和相等求出，然后代入代数式进行计算即可． 【详解】解：由第行数据，可知每行、每列、每条对角线上的三个数之和均为， ∴，，， ∴． 一题多解法 由图中第行和第列的三个数之和相等，得． 由第行和第列的三个数之和相等，得． 由第行和第列上的三个数之和相等，得． ∴． 2．对于，先将其中任意两个加号变为减号，再对相邻的两个数间任意添加括号（不存在添加双重括号的情况），然后计算出结果，称为一种“双减添括操作”． 例如：是一种“双减添括操作”，2是其运算结果；是一种“双减添括操作”，是其运算结果．给出下列说法： ①至少存在一种“双减添括操作”的运算结果是10； ②不存在任何“双减添括操作”的运算结果是； ③所有“双减添括操作”共有6种不同的运算结果． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查有理数加减混合运算，理解“双减添括操作”的定义是解题的关键．根据题意通过分类讨论的方法，将所有“双减添括操作”列式计算，并求出结果，即可求解． 【详解】解：将其中任意两个加号变为减号，有三种情况： （1）当前两个加号变成减号时：，有四种加括号的方式，分别为： ，，，， 运算结果是2或10或； （2）当第一个和第三个加号变成减号时：，有四种加括号的方式，分别为： ，，，， 运算结果是或； （3）当后两个加号变成减号时：，有四种加括号的方式，分别为： ，，，， 运算结果是或； 综上可知， “双减添括操作”共有12种，运算结果为2，10，，，，共6种． 所以：有一种“双减添括操作”的运算结果是10，故①正确； 不存在任何“双减添括操作”的运算结果是，故②正确； 所有“双减添括操作”共有6种不同的运算结果，故③正确； 正确的个数是3， 故选：D． 3．计算的结果为（   ） A．1013 B． C．2025 D． 【答案】A 【分析】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式两个一组结合后，相加即可得到结果． 【详解】解：原式=， , , . 故选：A. 4．对于若干个数，我们先将任意两个数作差（相同的两个数只作一次差），再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数作“差绝对值运算”．例如：对于作“差绝对值运算”，得到．则（    ） ①对，，，，作“差绝对值运算”的结果是； ②对，，，作“差绝对值运算”的结果的最小值为； ③对作“差绝对值运算”的结果一共有种． 以上说法中正确的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义运算，绝对值的性质，根据“差绝对值运算”的定义及绝对值的性质逐项计算即可判断求解，理解“差绝对值运算”的定义是解题的关键． 【详解】解：①∵ ， ， 故①错误； ②∵， 当时，的值最小，最小值为， ∴对，，，作“差绝对值运算”的结果的最小值为，故②正确； ③对作“差绝对值运算”得，， ∵， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴对作“差绝对值运算”的结果一共有种，故③错误， 综上，说法正确的个数为， 故选：． 5．__________． 【答案】 【分析】根据有理数的加减混合运算法则进行求解即可． 【详解】解： ． 6．高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式．已知用表示不大于x的最大整数，如．现规定，如；．则当时，的值为__________． 【答案】 1 【分析】本题考查了有理数的加减运算的应用，根据定义，，。当 时，若 不是整数，则 ，因此 ；若 是整数，则 ．由于题干中包含非整数，且 时通常考虑非整数情况，因此值为 1． 【详解】解：由定义，，， 所以 ， 当 且 不是整数时， 设 ，其中 为整数，，则 ，， 故 ， 于是 ， 所以 ， 当 是整数时，，， 所以 ， 于是 ， 从题干可知，已考虑非整数情况，且 时通常关注非整数， 因此值为 1， 故答案为 1． 7．定义☆运算 ， ， ． (1)请你认真观察并思考上述运算，归纳、运算的法则：两数进行☆运算时，同号_________，异号_________，并把绝对值_________．特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，_________． (2)计算：． (3)若，求的值． 【答案】(1)结果取正号；结果取负号；相加；等于这个数的绝对值 (2) (3) 【分析】（1）观察运算及结果的符号和绝对值的规律可得结论； （2）根据（1）中的结论同号两数运算时，把绝对值相加，结果取正号即可； （3）根据（1）中的结论，分类讨论的取值范围，分别计算即可． 本题考查有理数的混合运算，涉及新定义，解答本题的关键是明确新定义混合运算的计算方法． 【详解】（1）解：两数进行☆运算时，同号两数运算时，把绝对值相加，结果取正号；异号两数运算时，把绝对值相加，结果取负号；0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，等于这个数的绝对值． 故答案为：结果取正号；结果取负号；相加；等于这个数的绝对值． （2）原式 ． （3）若，原式左边，矛盾； 若，原式左边，矛盾； 若，原式左边， 则， 解得． 8．问题情境：数学活动课上，王老师在黑板上写了一串等式：，，， (1)在等式中寻找规律，并利用规律计算：； (2)计算：． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了数字类规律的探究，有理数运算，乘法的分配律，根据已知等式找到规律并正确计算是解题的关键； （）根据已知等式规律对原式进行变形，再根据有理数的加减法运算即可； （）根据已知等式规律对原式进行变形，再根据有理数的加减法运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9．用拆项法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法，拆项法是解题关键．根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案． 【详解】解：原式 10．观察下面算式，解答问题： ； ； …… (1)的结果为______________； (2)若n表示正整数，请用含n的代数式表示的值为_____________； (3)请用上述规律计算：的值（要求写出详细解答过程）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过上面的数据观察可知，从1开始的连续奇数的和等于首尾两个奇数和的一半的平方，计算即可； （2）用（1）的猜想写出结果； （3）先把原式化为，再利用前面猜测的结论去计算； 【详解】（1）解：； ； ； ； ； 依次可得，， 故答案为： （2）解：； ； ； ； ； ； 故答案为： （3） 【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算、整式加减、规律型数字的变化类，熟练掌握有理数的加减法运算法则，从1开始的连续奇数的和等于首尾两个奇数和的一半的平方的猜想是解题关键． 11．在有理数的范围内，定义三个数之间的新运算“”：，例如． (1)计算：； (2)计算：； (3)已知 ，，，，，，，， 这十五个数中．从中任取三个数作为 ，， 的值，进行“”运算，直接写出所有计算结果中的最小值是 ． 【答案】(1)6 (2)3 (3) 【分析】（1）直接代入公式计算即可； （2）直接代入公式计算即可； （3）分析为负数与非负数两种情况下的最小值，最后综合考虑即可． 【详解】（1）原式= =6； （2）原式= = =3； （3）当为非负数时， ， ∴当时，的最小值为； 当为负数时， ， ∴当的值最小时，的值最小； ∵为负数， ∴， 由于最小取， ∴， 综上可得，的最小值为． 【点睛】本题考查了正负数的运算、绝对值运算、代数式的求值等，解题关键是正确代入数值计算，求最小值时应进行分类讨论． 12．阅读以下内容，完成下列题目． 小明说：“我定义了一种新的运算，叫（加乘）运算．” 小明写出了一些按照（加乘）运算法则进行运算的式子： ；；；；； (1)归纳：类比有理数运算法则，归纳出（加乘）运算的运算法则，请你把下面内容补充完整： 两数进行（加乘）运算时，同号得________，异号得________，并把绝对值________；特别是0和任何数进行（加乘）运算时都等于________________； (2)计算：（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） (3)拓展：若，直接写出的值． 【答案】(1)正 负 相加 这个数的绝对值 (2) (3)3或1 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，解题的关键是明确有理数混合运算的计算法则． （1）根据题目中的例子可以总结出（加乘）运算的运算法则； （2）根据（1）中的结论可以解答本题； （3）根据（1）中的结论和分类讨论的方法可以解答本题． 【详解】（1）解：两数进行（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；特别是0和任何数进行（加乘）运算时都等于这个数的绝对值， 故答案为：正，负，相加，这个数的绝对值； （2） ； （3）， ， 当时，， 得， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 综上，的值为3或1． 13．定义“数对映射”，对于任意有理数x，y，若，则；若，则．例：． (1)计算：________；________； (2)如，求m的值； (3)在（2）的基础上，若，求整数n的所有可能值． 【答案】(1)， (2) (3)0或1 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解一元一次方程，解题的关键是理解新定义的运算． （1）根据新定义的运算，进行计算即可； （2）分，，根据新定义的运算，得出关于m的方程，然后解方程即可； （3）分，，根据新定义的运算，得出关于n的方程，然后解方程即可． 【详解】（1）解：因为，所以； 因为，所以． （2）解：已知，分情况讨论： 当，， ∴，但不满足，舍去；           当，， 所以，成立，所以．           综上：． （3）解：因为，所以，分情况讨论： 若，则，即， 又，所以，所以，即，无解；           若，则， 对于整数，使得，只需n为非负整数，所以或．           综上：n的值为0或1． 14．已知数轴上点表示数，点表示数，点表示数，且规定表示不大于的最大整数，例如． (1)若，，，求的值； (2)若、、满足，且，求的值； (3)若，，且点、点在数轴上从左到右排列，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查新定义，解答本题的关键是明确题意，根据题目中的新定义解答相关问题． （1）先求出的值，再根据新定义求出的值； （2）根据绝对值与平方的非负性，求出、的值，再根据新定义求解； （3）先根据新定义求出、的值，代入求出的值，验证是否满足题目要求即可． 【详解】（1）解：， ． （2）由于， ，， ，， ，， ，，， ． （3），， ，， ，即， ， 由于点、点在数轴上从左到右排列， ， 满足要求，故． 【题型7 有理数加减中的简便运算】 1．已知与互为相反数，试求：的值． 【答案】 【分析】先根据相反数的性质和绝对值的非负性求出和的值，再将原式拆分变形，通过抵消合并计算出最终结果，用裂项相消的方法完成求和． 【详解】解：根据题意得，， ∵，， ， ， 解得 ， 将，代入原式得 ： ． 2．计算： 【答案】 【分析】本题考查了带分数的加法运算，计算带分数的和，先分别计算整数部分和分数部分的和，再合并结果，整数部分为5个3相加，分数部分通分后分子相加． 【详解】解：原式 ． 3．计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1)885 (2) 【分析】本题考查了有理数加减法的简便运算，含乘方的有理数的混合运算，利用高斯求和及分数的拆项是解题的关键． （1）先计算每一个括号内的加法，在利用高斯求和计算即可； （2）先化简每一个括号内的算式，然后将每一个分数拆项，再求和即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．计算． 【答案】1011 【分析】首先根据规律可得是这一组数中的第个数，把这一组数两两分组可得组，每组数的和都是，所以可得原式，经过计算即可求出结果． 【详解】解：设是第个数， 第个数是， 第个数是， 第个数是， ， 第个数是， 解得：， 每两个数分为一组，共有组， ． 5．如图是编号分别为1，2，3，…，n的几何图形，这些几何图形都是由若干个互不重叠的三角形组成，例如，编号为1的图形中有1个三角形，编号为2的图形中有4个互不重叠的三角形，编号为3的图形中有7个互不重叠的三角形…，观察图形，解答下列问题： (1)写出编号为n的图形中互不重叠的三角形的个数（用n的代数式表示）； (2)如果编号为m的图形中有个互不重叠的三角形，求m； (3)编号为1的图形中的三角形的个数记为，编号为2的图形中互不重叠的三角形的个数记为，…，编号为n的图形中互不重叠的三角形的个数记为，求：的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是规律性∶图形的变化类知识，根据图形的特点和变化情况寻找出正确的变化规 律是解题的关键，探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．一般情况下需要将图形规律转化为数字规律求解． （1）从前三个图形的变化情况找出规律解答即可； （2）根据代数式的值求出m即可； （3）把具体数据代入、根据规律进行计算即可． 【详解】（1）解：由题可知： 编号为1的图形中有1个三角形，即 编号为2的图形中有4个互不重叠的三角形，即 编号为3的图形中有7个互不重叠的三角形，即 编号为的图形中互不重叠的三角形的个数是 （2）由题意得：， 解得：； （3） 6．在数轴上，把原点记作点O，表示数1的点记作点A．对于数轴上任意一点P（不与点O，点A重合），将线段与线段的长度之比定义为点P的特征值，记作，即，例如：当点P是线段的中点时，因为，所以． (1)如图，点，，为数轴上三个点，点表示的数是，点与关于原点对称（即）． ①______； ②比较，，的大小（用“＜”连接）； (2)数轴上的点M满足，求M； (3)数轴上的点P表示有理数p，已知且为整数，则所有满足条件的p的倒数之和为______． 【答案】(1)①；② (2)或 (3)98 【分析】（1）①先求出点 表示的数为，再根据特征值的定义进行求解即可；②分别求出三个特征值即可得到答案； （2）先求出，再分点M在原点左边和右边两种情况求解即可； （3）根据题意可知是整数，即，分点P在点P左边和右边两种情况求出对应特征值下p的值，由此找到规律求解即可． 【详解】（1）解：①∵点表示的数是，点与关于原点对称（即）， ∴， ∴点 表示的数为， ∴， ∴， 故答案为：； ②由题意得， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解： ∵点A表示的数为1， ∴， ∵， ∴， ∴点M表示的数为或； （3）解：∵ 且为整数， ∴是整数， 当时，即点P为的中点， ∴， 当，点P在之间时，则 ∴， 当点P在点A右边时，则， ∴， ∴，p的值为或2； 同理当，p的值为或； 当，p的值为或； … ∴当（n为大于1的整数），p的值为或； ∴所有满足条件的p的倒数之和为： ， 故答案为：98． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点的距离，数字类的规律探索，倒数，有理数加减简便计算等等，正确理解题意是解题的关键． 【题型8 有理数加减混合运算的应用】 1．同学们喜欢玩的幻方游戏，老师创新改成了“幻圆”游戏，如图所示，现在将，，，，，，，填入如图所示的圆圈内，使横、纵以及内外两圈上的个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则的值为(   ) A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的加减法，知道横竖以及两圈的和都是2是解题的关键．设小圈上的数为，大圈上的数为，根据题意得出两个圈的和都是2，横、纵的和也是2，然后利用有理数的加减法计算a，b，然后代入求解即可． 【详解】设小圈上的数为，大圈上的数为， ， 横、竖以及内外两圈上的个数字之和都相等， 两个圈的和是，横、竖的和也是， 则，得， ，得， ，， 当时，，则， 当时，，则， 故选：A． 2．我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作，又把称为x的小数部分，记作，则有．如：，，，下列说法中正确的有（    ）个 ①； ②； ③若，且，则或； ④方程的解为或． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查新定义，有理数的运算，方程的解．根据新定义判断①和②，求出或时的判断③，根据新定义得到，赋值法求方程的解判断④；本题的难度较大，属于选择题中的压轴题． 【详解】解：由题意，得：，故①正确； ，故②错误； 当时，，， 当时：，；故③错误； ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴当时，，，此时； 当时，，，此时； 当时，，，此时， 当时，，，此时； 综上：的解为或或或；故④错误． 故选B． 3．某车间加工三种零件，甲、乙两工人合作完成．加工要求：每种零件需先由甲工人车削，结束后再由乙工人打磨；每人同一时间只能加工一种零件．每人完成各自工序所需时间（单位：）如下表： 零件① 零件② 零件③ 甲 乙 （1）若按照零件③→零件②→零件①的顺序加工，总时长最少为________； （2）若要求加工三种零件的总时长不超过，则满足条件的加工顺序共有________种． 【答案】 20 3 【分析】（1）根据题目所给的顺序制作，计算总时长即可； （2）根据题意，列出所有的情况，分别计算总时长，再与17比较大小即可得出结论． 【详解】解：（1）按零件③→零件②→零件①顺序加工，总时长计算如下： 甲依次加工：零件③→ 零件②→ 零件①，累计耗时． 乙需等待甲完成对应零件后方可打磨： 零件③：乙从第开始打磨，耗时，完成于第． 零件②：甲于第完成，乙从第开始打磨，耗时，完成于第． 零件①：甲于第完成，乙从第开始打磨，耗时，完成于第． 因此，总时长为 ； （2）已知：按照零件③→零件②→零件①的顺序加工，总时长最少为； 按照零件①→零件②→零件③的顺序加工，总时长为； 按照零件①→零件③→零件②的顺序加工，总时长为； 按照零件②→零件①→零件③的顺序加工，总时长为； 按照零件②→零件③→零件①的顺序加工，总时长为； 按照零件③→零件①→零件②的顺序加工，总时长为； 顺序①→②→③：总时长 ， 顺序①→③→②：总时长 ， 顺序②→①→③：总时长 ， 满足总时长的加工顺序共有 3 种． 4．某快递公司为提高分拣效率，将一批快递包裹分配给甲、乙、丙、丁四个分拣点．当某个分拣点分配到车包裹并全部完成分拣后，公司获得的分拣效率得分（单位：分）与的对应关系如下表： … 甲 32 50 乙 28 48 66 82 96 丙 20 38 54 66 76 … 丁 18 36 58 84 114 … 注：空白处表示该分拣点最多只能分配到对应数量的包裹（即每个分拣点有最大容量限制）． （1）如果公司要将5车包裹分配给这四个分拣点，且每个分拣点至少分配到1车包裹，为使分拣效率总得分最大，应向________分拣点分配2车包裹．（填“甲”“乙”“丙”或“丁”） （2）如果公司要将6车包裹分配给这些分拣点中的一家或多家（每个分拣点最多分配5车包裹），那么6车包裹全部分拣完成后，公司可获得的分拣效率总得分的最大值为________分． 【答案】 乙 【分析】（1）5车分配给四个分拣点，每个分拣点至少分配1车，因此仅一个分拣点分配2车，其余各分配1车，通过比较不同分配的总得分即可得到结果； （2）按分配车数分类讨论所有符合条件的分配，计算各分配的总得分，即可得到最大值． 【详解】（1）由题意，四个分拣点每个至少分配1车，总车数为5，因此分配形式为，即一个分拣点分配2车，其余各分配1车， 分别计算总得分：若甲分配2车，总得分； 若乙分配2车，总得分； 若丙分配2车，总得分； 若丁分配2车，总得分； ∵，即为最大值， ∴应向乙分拣点分配2车； （2）由题意，各分拣点最大容量为甲最多2车，乙，丙，丁最多5车，总分配车数为6，每个分拣点分配车数不超过5， 分类讨论得：①分配为，最大总得分：； ②分配为，最大总得分：； ③分配为，最大总得分：； ④分配为，最大总得分：； ⑤分配为，最大总得分：； ⑥分配为，最大总得分：； ⑦分配为，最大总得分：； ⑧分配为，最大总得分：； 因此总得分最大值为． 5．某工厂需要加工4种零部件，每个零部件需要先经过冲压工序，再经过组装工序．两道工序分别在两条生产线上完成，各零部件在两道工序上的所需时间（分钟）如下表： 零部件 甲 乙 丙 丁 冲压时间 8 3 7 5 组装时间 6 4 9 2 若按零部件顺序甲-乙-丙-丁依次进行冲压，则全部零部件完成加工至少需要_________分钟；若要使全部零部件完成加工的时间最短，则冲压工序应按_________的先后顺序加工零部件． 【答案】 29 乙-丙-甲-丁 【分析】第一问需按给定顺序梳理冲压与组装生产线的时间线，考虑组装需同时满足零件完成冲压和组装线空闲两个条件，计算全部完成的最晚时间；第二问通过分析各零件两道工序的时间关系，优化排序以减少组装线等待时间，从而得到最短总时间的冲压顺序． 【详解】解：第一空计算： 按甲-乙-丙-丁的顺序进行冲压： 冲压生产线总耗时：（分钟） 组装生产线作业时间线分析： 甲在第8分钟完成冲压，随即开始组装，至分钟完成组装 乙在第分钟完成冲压，需等待组装线空闲（14分钟）后启动，至分钟完成组装 丙在第分钟完成冲压，此时组装线刚好空闲，至分钟完成组装 丁在第分钟完成冲压，需等待组装线空闲（27分钟）后启动，至分钟完成组装， ∴全部零部件完成加工的最晚时间为29分钟． 第二空最优排序推导： 为缩短总加工时间，需减少组装生产线的等待时间，按以下逻辑排序： 冲压时间小于组装时间的零件（乙、丙），按冲压时间从小到大排序，即乙在前、丙在后， 冲压时间大于组装时间的零件（甲、丁），按组装时间从大到小排序，即甲在前、丁在后， 将两类零件组合，冲压时间小于组装时间的零件组排在前，大于组装时间的零件组的排在后，得到最优冲压顺序为乙-丙-甲-丁． 故答案为：29，乙-丙-甲-丁． 6．化学实验课结束后需要重新整理实验台，包含以下三个步骤：①登记旧实验器材与废弃物；②清洁实验台面；③摆放新实验器材．前两个步骤顺序可以互换．但步骤③摆放新实验器材必须在前两个步骤都完成之后才可进行，每个步骤所花费时间如下表所示： 步骤① 登记旧实验器材与废弃物 步骤② 清洁实验台面 步骤③ 摆放新实验器材 大实验台 4 5 2 小实验台 3 1 （1）现有一名学生负责这三个步骤，那么一张大实验台整理完毕比一张小实验台整理完毕多花费_________分钟． （2）现有三名学生分别负责步骤①登记旧实验器材与废弃物、步骤②清洁实验台面、步骤③摆放新实验器材，每张实验台同一时刻只允许一名学生整理，且每位同学只负责自己的步骤、不互相帮忙．现有2张小实验台和1张大实验台需要整理，那么将三张实验台整理完毕最快需要_________分钟． 【答案】 11 【分析】（1）分别求出整理大实验台和小实验台的时间，即可得到答案； （2）根据所需要的时间，多人协作分析最优耗时得到答案． 【详解】（1）解：整理大实验台：（分钟）， 整理小实验台：（分钟）； 一张大实验台整理完毕比一张小实验台整理完毕多花费（分钟）； （2）解：设学生负责步骤①，学生负责步骤②，学生负责步骤③， 由题意可知，学生总任务时长分钟，学生总任务时长分钟，学生总任务时长分钟，且必须在①②完成后再进行， 则学生和学生两个人可以在10分钟内做完三个实验台的步骤①和步骤②，在此期间学生可以做一个大实验台和一个小实验台的步骤③，耗时2分钟是包含在前面两人的10分钟里的，然后等学生1和学生2两人做完后，学生再分别整理小试验台的步骤③，耗时1分钟，所以一共是（分钟）． 7．小明的爸爸周日买进某种蔬菜10000斤，每斤2.5元，进入批发市场后共占5个摊位，每个摊位最多能容纳2000斤该品种的蔬菜，每个摊位的市场管理费为每天25元．下表为本周内该蔬菜每天的批发价格比前一天的涨跌情况（购进当日该种蔬菜的批发价格为每斤2.7元，表示比前一天涨0.3元，-0.1表示比前一天跌0.1元）． 星期 一 二 三 四 五 与前一天的价格涨跌情况元 当天的交易量斤 2500 2000 3000 1500 1000 在销售过程中小明的爸爸采用逐天减少摊位个数的方法来降低成本，增加收益，他在本周的买卖中共赚了多少钱？ 【答案】5250元 【分析】根据当天与前一天的价格涨跌情况分别求出每天的蔬菜单价，根据“总价＝单价×数量”求出每天的销售额，用5天的销售总额减去5天的摊位费和蔬菜的进货成本即是本周的盈利． 【详解】星期一的价格：（元） 星期二的价格：（元 星期三的价格：（元 星期四的价格：（元 星期五的价格： （元 本周赚的钱： （元 答：小明的爸爸在本周的买卖中共赚了5250元钱． 8．定义：若在数轴上存在一点，使得点分别到另外两点的距离之和等于，则称点为另外两点的“格距点”． 如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是3． 例如：若点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点的“5格距点”． (1)若点表示的数是，则的值为___________； (2)已知数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点的“5格距点”，则这样的整点有___________个； (3)若点为数轴上一点，且点到点的距离为1，求点表示的数及的值； (4)若点在数轴上点左侧运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的2倍，且此时点为点的“格距点”，直接写出的值． 【答案】(1)7 (2)6 (3)点P表示的数为2或4，n的值为5或7 (4) 【分析】本题考查定义新运算，数轴上两点间的距离，有理数的运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）当点表示的数是，求出点到点的距离与点到点的距离之和即可； （2）整点为、的“5格距点”，由数轴可求出这样的整点所表示的数即可； （3）由点到点的距离为1，可得点所表示的数为2或4，求出当点表示的数是2，求出点到点的距离与点到点的距离之和，以及当点表示的数是4，求出点到点的距离与点到点的距离之和即可； （4）点在数轴上点左侧运动，且点到点的距离等于点到点的距离的2倍，则，据此可求出点表示的数，进而题目可解． 【详解】（1）解：点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为： ， 则称点为点、的“7格距点”， 故答案为：7； （2）解：由整点为、的“5格距点”，可知整点点到的距离与点到点的距离之和为5， 由数轴可知，此时点所表示的整数可能为，，0，1，2，3，共6个， 故答案为：6； （3）解点到点的距离为1， 点表示的数为或， 当点表示的数为2时，点到点的距离与点到点的距离之和为： ， 此时； 当点表示的数为4时，点到点的距离与点到点的距离之和为： ， 此时； 答：点表示的数为2或4，的值为5或7； （4）解：∵点在数轴上点左侧运动，且点到点的距离等于点到点的距离的2倍， ∴， 点表示的数为：， 此时， 答：的值为． 9．将1~200的200个自然数任意分为两组（每组100个），将一组从小到大排列，设为，另一组从大到小排列，设为．求代数式的值． 【答案】10000 【分析】设组有k个数小于等于100，那么B组数也有k个大于100，任意，，其余个组数大于100，其余个组数小于等于100，对于任意，， 由此得出，得到，正好是大于100小于等于200的自然数的和减去小于等于100的自然数的和即可得出答案． 本题考查数字问题，考查学生的计算能力，属于中档题． 【详解】解：设，，则，， ∴， 对于任意，，对于任意，， ∴ ． 10．小刚同学学习了有理数后，对运算充满了探索欲，于是定义了一种新运算“⊕”，规则如下：对于两个有理数m、n，． (1)计算：，； (2)设，，试比较与的大小，并说明理由； (3)已知，且，请直接写出所有满足条件的x的值． 【答案】(1)10；0 (2)解：当，；当时，；当时，，理由： ， ， ∴， 当时，则，即； 当时，则，即； 当时，则，即； ∴当，；当时，；当时，； (3)或 【分析】（1）根据新定义的运算法则计算即可； （2）根据新定义的运算法则表示出与，再利用作差法比较大小即可； （3）根据绝对值的非负性可知，由且，整理得到，分类讨论求出的值，进而求出x的值即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：10；0； （2）略 （3）解：∵， ∴， ∵且， ∴， ∴； 当时，则，舍去； 当时，则， 解得， ∴， ∴， 解得或； ∴综上所述，所有满足条件的x的值为或． 【点睛】本题考查新定义运算，绝对值的意义，有理数的加减混合运算，解一元一次方程，整式的运算，第3问有一定难度，通过分类讨论去绝对值，再结合绝对值的几何意义求解是解题的关键． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 76 页 第 1 页 共 76 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 培优题型专项训练 【有理数的加法与减法】培优题型专项训练 （新教材人教版） 备注：本资料选题有一定难度，适合中等偏上学生，培优和拔尖需求！ 【题型1 有理数加法运算】 1．定义：表示正整数的所有正因数的个数，例如有个正因数：、、，则．设，其中表示取遍的所有正因数再求和．例如．则________． 2．从这12个数中取若干个数，使得任意两个数之和既不等于也不等于，则这若干数字和的绝对值最大值为______． 3．我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作，又把称为x的小数部分，记作，则有如：，，，下列说法中正确的有______． ①； ②； ③； ④若，且，则或； ⑤方程的解为 4．计算： 5．对于有理数a，定义运算表示的意义如下： 将的绝对值的各位数字相加，若结果大于等于，则继续将结果的各位数字相加，直到得到一个个位数，这个数称为的“数字根”． 如果是负数，则就是这个数字根的相反数； 如果是正数，则就是这个数字根； 如果是，则特别地，的数字根是． 例：：，所以； ：，因为原数是负数，所以；． (1)______；若是一个两位数，且，写出满足条件的一个有理数的值：_______； (2)猜想：对任意整数，是否一定有成立？若成立，请说明理由，若不成立，请举一个例子说明． 6．有人建议向火星发射如图1所示的图案，它叫作幻方，其中9个格中的点数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9．每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相同．如果火星上有智慧生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物（人）． (1)如图1，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是______； (2)如图2，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把到这6个连续整数分别填入圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和S都相等，请直接写出S的最大值是______． 7．【阅读理解】我国数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．如：表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【学以致用】 （1）_____． （2）若，则__________． 【迁移拓展】 （3），则_____． （4）若，所有符合条件的整数的和为_____． 【题型2 有理数加法的应用题】 1．两位同学做下面的游戏：每个人从一副扑克牌（去掉大王、小王和J、Q、K）中选3张黑色牌和3张红色牌（黑色牌代表正分，红色牌代表负分），使得6张牌的总分为零．两人轮流从对方手中抽1张牌，10次以后，计算每人手中牌的总分，得分高者获胜．在这个游戏中，获胜者手中牌的总分可能得到的最高分是（） A．48 B．54 C．60 D．无法确定 2．学校组织数学节活动，活动中设置两个类别的游戏，每个类别包含的游戏项目及相应的积分（单位：分）如下： 游戏类别 Ⅰ Ⅱ 游戏项目 积分（参与即获得相应积分） 3 6 5 4 5 7 8 9 每名学生选择游戏项目时要符合如下规则： ①必须选择5个游戏项目，并且同一个游戏项目不能重复选择； ②两个类别的游戏都至少选择1个，并且选择类别Ⅱ的游戏项目的个数多于选择类别Ⅰ的游戏项目的个数； ③游戏项目与游戏项目不能同时选择； ④游戏项目与游戏项目只能都选择或都不选择． 小明和小龙都按规则参与了数学节的活动，那么他们各自获得的总积分的差的最大值是（    ） A．8 B．9 C．11 D．12 3．一条东西向的街道可视为数轴，自动换电站位于原点．某智能无人售卖车续航为，即换一次电池最多可行驶．某天售卖车依次接到7个订单，运送顺序为，对应的点位如图所示：（单位长度：） 售卖车从自动换电站满电出发，最终需回到换电站．在售卖过程中，如果续航不足，需返回换电站更换电池（满电）后再继续配送．关于以下描述： ①售卖车在完成点订单后，需返回换电站换电池； ②完成点售卖订单后，显示剩余续航； ③售卖过程中，售卖车需要至少换3次电池； ④售卖车完成所有订单后回到换电站，共行驶． 正确的有（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 4．某兴趣小组有3件打印模型需要制作，每个模型都要按四道工序的顺序完成．现安排甲、乙、丙3名同学来做，甲只负责A、D工序，乙只负责B工序，丙只负责C工序．同一模型同一时间只能进行一道工序，完成一道工序后才能开始下一道工序．一个人只有完成一个模型的一道工序后，才能进行下一个模型的工序．各工序耗时（单位：分钟）如下表： 模型 时间 工序 模型1 模型2 模型3 A 3 6 4 B 5 3 4 C 4 7 5 D 2 9 3 （1）只完成模型1和模型3的制作，最少需要________分钟； （2）要完成这3件模型的制作，最少需要________分钟． 5．某校举办“机器人武术动作编程”比赛，要求选手按固定顺序对组武术动作进行编程．每组动作按完成情况分为良好和优秀两个等级，可获得对应得分；若连续组及以上动作被评为优秀，则从该段连续优秀的第组动作开始（包含第二组动作），每一组动作还可获得表格中对应的额外加分．如：动作、、均评为优秀，则总得分为． 动作顺序及对应得分如下： 动作序号 动作 动作 动作 动作 动作 动作 动作 动作 动作 动作名称 抱拳礼起势 开步双劈 按掌前推 搂手勾踢 缠腕斩拳 闪身冲拳 弹踢穿顶 掼拳戳脚 闪身砍推收势 良好 优秀 额外加分 —— 小宇参加了此次比赛，若他在动作中未获得额外加分，在动作中被评为优秀但未获得额外加分，全程最多连续组动作评为优秀，且连续组动作评为优秀的情况仅出现次．则小宇在前组动作中的得分之和最高为________分，他参加此次比赛的总得分最高为________分． 6．某校科学实验小组需完成编号为A，B，C，D，E，F，G，H的八项工作，要求如下： ①A，B，C完成后才能开始G； ②C，D，E完成后才能开始H； ③一项工作只能由一名学生完成，此工作完成后该生才能进行其他工作． 各项工作所需时间（单位：分钟）如表所示： 工作编号 A B C D E F G H 时间 7 15 9 10 5 1 7 2 （1）若这些工作由多名学生合作完成，则至少需要______分钟； （2）若这些工作由甲、乙两名学生合作完成，且甲同学先从A工作开始，为使完成全部工作所用的时间最短，则甲同学还需完成的工作的编号为______． 7．焦庄户地道战遗址纪念馆是爱国主义教育示范基地，场馆内开放了可以实地穿行的真实地道．工作人员定期对地道路线进行维护，甲、乙两人合作完成其中三条路线的维护，维护要求：每条路线的维护需要先由甲进行检查，结束后再由乙进行清洁；同一时间每人只能维护一条路线．每人完成各自工序需要的时间（单位：）如下表： 路线1 路线2 路线3 甲 2 5 6 乙 5 4 3 (1)若按照路线3→路线2→路线1的维护顺序，其总时长为多少分钟? (2)若要求维护三条路线的总时长不超过，请写出一种满足条件的维护顺序． 8．某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售．当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如下： … A 40 60 / / / / / B 30 55 75 90 100 105 / C 20 40 60 70 80 90 … D 14 38 62 86 110 134 … (1)如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商______分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）； (2)如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值是多少万元？简单地说明理由． 【题型3 有理数加法运算率】 1．数学老师在多媒体上列出了如下材料： 计算：． 解：原式 ． 上述这种方法叫作拆项法．请仿照上面的方法计算： (1)； (2)． 2．对，可以按如下方法计算． 解：原式                            上面这种方法叫作拆项法．仿照上面的方法，请你计算：． 3．定义了一种非零有理数运算“”，解答下列问题： 【观察运算】 ①． ②． ③． ④． (1)根据以上运算，归纳“”运算的法则： 文字语言：两数运算，__________________________________________________． 符号语言：若，________；若，________． 【运用法则】 (2)利用上述法则，分别计算和，你有什么发现？ 【探究规律】 (3)请你验证下列等式是否成立（不必写出验证过程）： ①． ②． 你有什么发现？试着用文字或者字母表示你的发现． 4．计算： (1)； (2)． 5．高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算 “从到这个正整数的和”，许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，并且容易出错，聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程： 解：设，① 则，② ，得 ． ，，③ ． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法” (1)请你运用高斯的“倒序相加法”计算：； (2)请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想___________（用含的代数式表示）； 6．在学习完“有理数的加法”后，小米同学对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数运算的学习经验，自主探究新定义运算，小米设计一种新运算“”，即对任意有理数，满足如下规律：，称此种运算为“绝佳”运算． 例如，； 【探究一：两个数“绝佳”运算】 （1）填空：①______________；②____________； ③_____________；④________________； 通过上面的计算可知：“绝佳”运算______________（填“满足”或者“不满足”）交换律． 【探究二：三个数“绝佳”运算】 （2）小米同学想类比有理数的加法结合律，判断“绝佳”运算是否满足结合律，请帮助她验证等式是否成立，并归纳出“绝佳”运算是否满足结合律． 【题型4 有理数的减法运算】 1．已知数轴上的三个点A，B，C所表示的数分别为a，1，c，其中且，则A，B，C三点在数轴上的位置从左到右的顺序依次为（    ） A．C，A，B B．B，A，C C．C，B，A D．A，B，C 2．世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示：则排在第10行从左边数第4个位置上的数是（   ） A． B． C． D． 3．将自然数1，2，3，4，5，6分别标记在6个形状大小质地等完全相同的卡片上，随机打乱之后一一摸出，并将摸出的卡片上的数字分别记为，，，，，，记，以下3种说法中：①A最小值为3；②A的值一定是奇数；③A化简之后一共有5种不同的结果．说法正确的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 4．的最小值为__________． 5．规定：，．例如，．则的最小值是________． 6．如果，则的最大值等于 ______． 7．如图，已知点，，从左到右依次在数轴上，所表示的数分别为，，200，现将一把最小刻度为的刻度尺放到数轴上，测得点与点的距离为． (1)若数轴的1个单位长度为． ①的值为_______；点与点的距离为_______个单位长度； ②求点，，所表示的数的和； (2)若数轴的1个单位长度不是，且刻度尺上表示“8”和“10”的刻度分别对应数轴上的，． ①求的值 ②若点在数轴上，且点与点的距离是点与点的距离的3倍，求点所表示的数； ③若刻度尺的最大刻度为，将数轴的单位长度变为原来的后，用刻度尺能测量出数轴上点与点的距离，直接写出的最小整数值． 8．同学们知道，表示与的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数与数两点间的距离．试探索： (1)表示数轴上数与数_____________两点间的距离； (2)的最小值是_____________； (3)计算的最小值． 9．对于一个三位数，我们规定一种新的运算：将这个数的百位数字与个位数字交换位置，得到一个新数．然后，用新数减去原数，得到的差的绝对值称为该三位数的“绝对差数”．例如：三位数327，百位数字与个位数字交换，得到新数723，新数723减去原数327得到的差是396，三位数327的绝对差数是：． (1)三位数614的绝对差数是_______； (2)设任意一个三位数，其百位数字为，十位数字为，个位数字为．这个三位数可以表示为________，将这个三位数的百位和个位数字交换后得到新的三位数表示为_______（请用含的代数式表示）； (3)小颖在计算了几个不同的三位数的绝对差数后，惊讶地发现，结果都与原数的十位数字无关．请在第（2）问的基础上，通过代数化简，说明小颖说法的正确性． (4)已知一个三位数的绝对差数是297，请直接写出两个满足条件的原三位数． 【题型5 有理数减法的应用题】 1．如图，，，为数轴上三点，回答下面问题： (1)点表示的数是__________，点到点的距离是__________个单位长度； (2)若点沿数轴向某一方向移动4个单位长度到达点，则点表示的数是__________； (3)规定：在一条数轴上，若点到点的距离是点到点的距离的倍，则称是的“倍点”，记；若点到点的距离是点到点的距离的倍，则称是的“倍点”，记．例如：若点表示的数为，点表示的数为0，点表示的数为4，则；．根据规定解决下面问题． ①__________； ②若是数轴上一点，且，直接写出点所表示的数． 2．如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和8的位置上沿数轴做移动游戏．每次移动的规则为：裁判先捂住一枚硬币，让两人猜向上一面是正面还是反面，然后根据所猜结果进行移动． ①若两人都猜对或都猜错，则甲向右移动1个单位长度，同时乙向左移动1个单位长度； ②若甲猜对，乙猜错，则甲向右移动4个单位长度，同时乙向右移动2个单位长度； ③若甲猜错，乙猜对，则甲向左移动2个单位长度，同时乙向左移动4个单位长度． (1)经过2次移动游戏，结果分别为“两人都猜对”和“甲猜对，乙猜错”，则按规则移动完成后，甲在数轴上停留的位置对应的数是___________，乙在数轴上停留的位置对应的数是___________． (2)从如图位置开始，完成了6次移动游戏，发现两人每次所猜的结果均为“一对一错”，则两人在数轴上的位置相距多少个单位长度？ (3)从如图位置开始进行游戏，当两人在数轴上的位置相距6个单位长度时，共进行了多少次移动？ 3．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)表示和2两点之间的距离是______；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．如果表示数 a 和的两点之间的距离是 3 ，那么 ． (2)若数轴上表示数a的点位于和2两点之间，求______； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得，这些点表示的数的和是_______． (4)当 时，的值最小，最小值是 ． 4．志愿服务站点有，，，四名志愿者，某一天每人可参与服务时间段如表所示： 志愿者 服务时段1 服务时段2 A B C D 已知每名志愿者一天至少要参加一个服务时段的服务，任意时刻志愿服务站点最多允许2名志愿者同时服务，则该志愿服务站点这一天所有参与服务的志愿者的累计服务时间最短为__________小时，最长为__________小时（假设志愿者只要参与服务，就一定把相应时间段的任务全部完成）． 5．学校组织数学节活动，活动中设置两个类别的游戏，每个类别包含的游戏项目及相应的积分（单位：分）如下： 游戏类别 Ⅰ Ⅱ 游戏项目 A B C D E F G H 积分（参与即获得相应积分） 3 6 5 4 5 7 8 9 每名学生选择游戏项目时要符合如下规则： ①必须选择5个游戏项目，并且同一个游戏项目不能重复选择； ②两个类别的游戏都至少选择1个，并且选择类别Ⅱ的游戏项目的个数多于选择类别Ⅰ的游戏项目的个数； ③游戏项目B与游戏项目H不能同时选择； ④游戏项目C与游戏项目D只能都选择或都不选择． （1）若某同学已经选择了游戏项目B和游戏项目C，则他获得的总积分最多为_____ 分； （2）小明和小龙都按规则参与了数学节的活动，那么他们各自获得的总积分的差的最大值是_____ 分． 6．如图，大圆的半径为5，小圆的半径为3．两个空白部分的面积分别为，则的值为_________．（用含的式子表示）． 7．如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的四等分点处分别标有0，1，2，3，先让圆上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示2026的点与圆上表示________的点重合． 8．金秋时节，水城沅江，桔满枝头．某桔农采摘了一批新品柑桔，刚好装了 200   箱，以每箱 的重量为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如 下表： 每箱与标准重量 的差值（单位：） 0 1 2.5 箱数 10 40 20 30 20 80 (1)这 200 箱柑桔中，最重的一箱比最轻的一箱重多少千克？ (2)与标准重量相比较，这 200 箱总计超过或不足多少千克？ (3)若柑桔以每千克 4 元的价格出售，则这批柑桔可卖多少元？ 9．综合与实践 素材1：如右图是一款单肩包的背带，背带由双层部分、单层部分、调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短（总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计）． 素材2：对该单肩包背带的单层部分长度和双层部分的长度进行测量，得到下表中数据： 单层部分的长度 0 2 4 6 8 … 150 双层部分的长度 75 74 73 72 a … 0 素材3：根据小明同学的身高，背带的总长度为时，背起来最舒适，此时单层部分的长度为，周末小明妈妈已经帮小明调到最舒适的长度，可小明出门时还是习惯性把调节扣调整了五次，下表是五次调节的情况（调节扣向单层方向移动记为正，向双层方向移动记为负，单位：） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 请根据上述素材，解答以下问题： (1)素材2的表格中________． (2)在小明的五次调节中哪一次最接近舒适长度？此时背带总长度是多少？ (3)小明每次滑动调节扣之后都要一次性把双层部分拉直，求这五次调节过程中经过悬挂点的背带共多长？ 10．我们知道， 可以理解为 ，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为AB＝ ，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是___，数轴上表示数﹣1的点和表示数﹣3的点之间的距离是___； (2)数轴上点A用数a表示，若，那么a的值为___； (3)数轴上点A用数a表示， ①若，那么a的值是___； ②当时，数a的取值范围是___；这样的整数a有___个； ③有最小值，最小值是____； ④求的最小值． 11．探索与发现 *闰年是公历中的名词，能被整除但不能被整除，或能被整除的年份即为闰年． 以上表格是洋洋同学设计的查看某年某月某日是星期几的一个表格． 利用洋洋同学设计的这个表格．笑笑同学很快找到了年的月日是星期三； 明明同学也很快利用表格找到了年的月日是星期五；琪琪同学也利用此表格查出来，她的一个好朋友出生那天是星期三，她的好朋友是年月日出生的． 年月日是北师大二附中的岁生日， (1)利用洋洋设计的表格算一下，年月日是星期几？______ (2)你能预测一下师大二附中百年校庆那天是星期几吗？______ (3)请你利用表格预测一下，中华人民共和国成立周年是星期几？______ (4)年月日是星期几？______ 【题型6 有理数加减混合运算】 1．如图，将-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5这九个数分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．现在，，分别表示其中的一个数，则的值为（     ）（一题多解法） A．-5 B．-4 C．0 D．5 2．对于，先将其中任意两个加号变为减号，再对相邻的两个数间任意添加括号（不存在添加双重括号的情况），然后计算出结果，称为一种“双减添括操作”． 例如：是一种“双减添括操作”，2是其运算结果；是一种“双减添括操作”，是其运算结果．给出下列说法： ①至少存在一种“双减添括操作”的运算结果是10； ②不存在任何“双减添括操作”的运算结果是； ③所有“双减添括操作”共有6种不同的运算结果． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．计算的结果为（   ） A．1013 B． C．2025 D． 4．对于若干个数，我们先将任意两个数作差（相同的两个数只作一次差），再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数作“差绝对值运算”．例如：对于作“差绝对值运算”，得到．则（    ） ①对，，，，作“差绝对值运算”的结果是； ②对，，，作“差绝对值运算”的结果的最小值为； ③对作“差绝对值运算”的结果一共有种． 以上说法中正确的个数为（    ） A． B． C． D． 5．__________． 6．高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式．已知用表示不大于x的最大整数，如．现规定，如；．则当时，的值为__________． 7．定义☆运算 ， ， ． (1)请你认真观察并思考上述运算，归纳、运算的法则：两数进行☆运算时，同号_________，异号_________，并把绝对值_________．特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，_________． (2)计算：． (3)若，求的值． 8．问题情境：数学活动课上，王老师在黑板上写了一串等式：，，， (1)在等式中寻找规律，并利用规律计算：； (2)计算：． 9．用拆项法计算：． 10．观察下面算式，解答问题： ； ； …… (1)的结果为______________； (2)若n表示正整数，请用含n的代数式表示的值为_____________； (3)请用上述规律计算：的值（要求写出详细解答过程）． 11．在有理数的范围内，定义三个数之间的新运算“”：，例如． (1)计算：； (2)计算：； (3)已知 ，，，，，，，， 这十五个数中．从中任取三个数作为 ，， 的值，进行“”运算，直接写出所有计算结果中的最小值是 ． 12．阅读以下内容，完成下列题目． 小明说：“我定义了一种新的运算，叫（加乘）运算．” 小明写出了一些按照（加乘）运算法则进行运算的式子： ；；；；； (1)归纳：类比有理数运算法则，归纳出（加乘）运算的运算法则，请你把下面内容补充完整： 两数进行（加乘）运算时，同号得________，异号得________，并把绝对值________；特别是0和任何数进行（加乘）运算时都等于________________； (2)计算：（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） (3)拓展：若，直接写出的值． 13．定义“数对映射”，对于任意有理数x，y，若，则；若，则．例：． (1)计算：________；________； (2)如，求m的值； (3)在（2）的基础上，若，求整数n的所有可能值． 14．已知数轴上点表示数，点表示数，点表示数，且规定表示不大于的最大整数，例如． (1)若，，，求的值； (2)若、、满足，且，求的值； (3)若，，且点、点在数轴上从左到右排列，，求的值． 【题型7 有理数加减中的简便运算】 1．已知与互为相反数，试求：的值． 2．计算： 3．计算下列各式： (1)； (2)． 4．计算． 5．如图是编号分别为1，2，3，…，n的几何图形，这些几何图形都是由若干个互不重叠的三角形组成，例如，编号为1的图形中有1个三角形，编号为2的图形中有4个互不重叠的三角形，编号为3的图形中有7个互不重叠的三角形…，观察图形，解答下列问题： (1)写出编号为n的图形中互不重叠的三角形的个数（用n的代数式表示）； (2)如果编号为m的图形中有个互不重叠的三角形，求m； (3)编号为1的图形中的三角形的个数记为，编号为2的图形中互不重叠的三角形的个数记为，…，编号为n的图形中互不重叠的三角形的个数记为，求：的值． 6．在数轴上，把原点记作点O，表示数1的点记作点A．对于数轴上任意一点P（不与点O，点A重合），将线段与线段的长度之比定义为点P的特征值，记作，即，例如：当点P是线段的中点时，因为，所以． (1)如图，点，，为数轴上三个点，点表示的数是，点与关于原点对称（即）． ①______； ②比较，，的大小（用“＜”连接）； (2)数轴上的点M满足，求M； (3)数轴上的点P表示有理数p，已知且为整数，则所有满足条件的p的倒数之和为______． 【题型8 有理数加减混合运算的应用】 1．同学们喜欢玩的幻方游戏，老师创新改成了“幻圆”游戏，如图所示，现在将，，，，，，，填入如图所示的圆圈内，使横、纵以及内外两圈上的个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则的值为(   ) A．或 B．或 C．或 D．或 2．我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作，又把称为x的小数部分，记作，则有．如：，，，下列说法中正确的有（    ）个 ①； ②； ③若，且，则或； ④方程的解为或． A．0 B．1 C．2 D．3 3．某车间加工三种零件，甲、乙两工人合作完成．加工要求：每种零件需先由甲工人车削，结束后再由乙工人打磨；每人同一时间只能加工一种零件．每人完成各自工序所需时间（单位：）如下表： 零件① 零件② 零件③ 甲 乙 （1）若按照零件③→零件②→零件①的顺序加工，总时长最少为________； （2）若要求加工三种零件的总时长不超过，则满足条件的加工顺序共有________种． 4．某快递公司为提高分拣效率，将一批快递包裹分配给甲、乙、丙、丁四个分拣点．当某个分拣点分配到车包裹并全部完成分拣后，公司获得的分拣效率得分（单位：分）与的对应关系如下表： … 甲 32 50 乙 28 48 66 82 96 丙 20 38 54 66 76 … 丁 18 36 58 84 114 … 注：空白处表示该分拣点最多只能分配到对应数量的包裹（即每个分拣点有最大容量限制）． （1）如果公司要将5车包裹分配给这四个分拣点，且每个分拣点至少分配到1车包裹，为使分拣效率总得分最大，应向________分拣点分配2车包裹．（填“甲”“乙”“丙”或“丁”） （2）如果公司要将6车包裹分配给这些分拣点中的一家或多家（每个分拣点最多分配5车包裹），那么6车包裹全部分拣完成后，公司可获得的分拣效率总得分的最大值为________分． 5．某工厂需要加工4种零部件，每个零部件需要先经过冲压工序，再经过组装工序．两道工序分别在两条生产线上完成，各零部件在两道工序上的所需时间（分钟）如下表： 零部件 甲 乙 丙 丁 冲压时间 8 3 7 5 组装时间 6 4 9 2 若按零部件顺序甲-乙-丙-丁依次进行冲压，则全部零部件完成加工至少需要_________分钟；若要使全部零部件完成加工的时间最短，则冲压工序应按_________的先后顺序加工零部件． 6．化学实验课结束后需要重新整理实验台，包含以下三个步骤：①登记旧实验器材与废弃物；②清洁实验台面；③摆放新实验器材．前两个步骤顺序可以互换．但步骤③摆放新实验器材必须在前两个步骤都完成之后才可进行，每个步骤所花费时间如下表所示： 步骤① 登记旧实验器材与废弃物 步骤② 清洁实验台面 步骤③ 摆放新实验器材 大实验台 4 5 2 小实验台 3 1 （1）现有一名学生负责这三个步骤，那么一张大实验台整理完毕比一张小实验台整理完毕多花费_________分钟． （2）现有三名学生分别负责步骤①登记旧实验器材与废弃物、步骤②清洁实验台面、步骤③摆放新实验器材，每张实验台同一时刻只允许一名学生整理，且每位同学只负责自己的步骤、不互相帮忙．现有2张小实验台和1张大实验台需要整理，那么将三张实验台整理完毕最快需要_________分钟． 7．小明的爸爸周日买进某种蔬菜10000斤，每斤2.5元，进入批发市场后共占5个摊位，每个摊位最多能容纳2000斤该品种的蔬菜，每个摊位的市场管理费为每天25元．下表为本周内该蔬菜每天的批发价格比前一天的涨跌情况（购进当日该种蔬菜的批发价格为每斤2.7元，表示比前一天涨0.3元，-0.1表示比前一天跌0.1元）． 星期 一 二 三 四 五 与前一天的价格涨跌情况元 当天的交易量斤 2500 2000 3000 1500 1000 在销售过程中小明的爸爸采用逐天减少摊位个数的方法来降低成本，增加收益，他在本周的买卖中共赚了多少钱？ 8．定义：若在数轴上存在一点，使得点分别到另外两点的距离之和等于，则称点为另外两点的“格距点”． 如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是3． 例如：若点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点的“5格距点”． (1)若点表示的数是，则的值为___________； (2)已知数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点的“5格距点”，则这样的整点有___________个； (3)若点为数轴上一点，且点到点的距离为1，求点表示的数及的值； (4)若点在数轴上点左侧运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的2倍，且此时点为点的“格距点”，直接写出的值． 9．将1~200的200个自然数任意分为两组（每组100个），将一组从小到大排列，设为，另一组从大到小排列，设为．求代数式的值． 10．小刚同学学习了有理数后，对运算充满了探索欲，于是定义了一种新运算“⊕”，规则如下：对于两个有理数m、n，． (1)计算：，； (2)设，，试比较与的大小，并说明理由； (3)已知，且，请直接写出所有满足条件的x的值． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 76 页 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