专题 【数轴、相反数、有理数的大小比较】培优题型专项训练 2026-2027学年人教版七年级数学上册

简一数理 培优题型专项训练 【数轴、相反数、有理数的大小比较】培优题型专项训练 （新教材人教版） 备注：本资料选题有一定难度，适合中等偏上学生，培优和拔尖需求！ 【数轴】 【题型1 用数轴上的点表示有理数】 1．正方形在数轴上的位置如图所示，点A，D对应的数分别为和0，若正方形绕着顶点逆时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为，则翻转2024次后，数轴上的数所对应的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】A 【分析】本题考查实数与数轴，理解题意找到点的变化规律是解题关键． 先分析翻转一周的过程中，每个点对应的数，再分析翻转第二周后，每个点对应的数．两者一对比，总结出规律，然后推广到题干要求的数字． 【详解】解：正方形在数轴上翻转一周的过程中，点B所对应的数为，点C所对应的数为，点D所对应的数为，点A所对应的数为．再翻转一次，点B所对应的数为，故每四次一循环． ∵， ∴与所对应的点相同，即数所对应的点是点A， 故选：A． 2．数轴上的点，，分别表示数，，，它们的位置如图所示，若点在原点左侧，则表示数1的点的位置正确的是（    ） A．在原点和点之间 B．在原点和点之间 C．与点重合 D．在点的右边 【答案】D 【分析】本题考查数轴表示数，数的大小比较，根据题意得到是解题的关键． 由题可知，再分和讨论可知，进而得到即可． 【详解】根据题意，，且， 若，则，不符合； 当时，，符合， ，又，所以，即， 故表示数1的点的位置在点的右边． 故选：D． 3．对于数轴上两条线段a，b，给出如下定义：P，Q分别为a，b上任意一点，P，Q两点间距离的最小值记作；P，Q两点间距离的最大值记作．O为原点，线段a，b的长度分别为2和4，表示的点在线段a上． （1）若表示的点也在线段a上，表示6和10的点在线段b上，则 _______ ． （2）若原点O在线段a上，点A也在线段a上，点A表示的数为x．点B在线段b上，点B表示的数为y（x，y均为整数）．当，时，对应的 ______________ ． 【答案】 22 或或2或4 【分析】（1）先根据线段a、b长度和已知点，确定两条线段的端点表示的数，再计算和，最后代入计算即可； （2）如图，先确定线段a的端点表示的数，再由及分情况得线段b的端点表示的数，得出x、y的值，最后计算即可． 【详解】解：（1）∵表示的点在线段a上，表示的点也在线段a上，表示6和10的点在线段b上，线段a，b的长度分别为2和4， 又∵，， ∴线段a两个端点表示的数分别为、，线段b两个端点表示的数分别为6、10， ∴，， ∴； （2）如图， ∵线段a的长度为2，表示的点在线段a上，原点在线段a上， ∴线段，其中点C、O表示的数分别为、0， ∵，，点在线段a上，点A表示的数为x，点B在线段b上，点B表示的数为y（x，y均为整数）， 分两种情况：①线段，其中点E、F表示的数分别为1、5， 当时，，则； 当时，，则； ②线段，其中点G、H表示的数分别为、， 当时，，则； 当时，，则； 综上所述，对应的或或2或4． 【点睛】题目给出线段长度和经过的点，必须先算出两条线段准确端点，理解新定义概念及算法：：两线段上点的最小距离（通常是右线段左端点左线段右端点），：两线段上点的最大距离（通常是右线段右端点左线段左端点），第二问中线段b位置不确定，必须分左右两种情况讨论，算出线段b的准确端点，对每种情况，用两点距离为6，找出符合条件的整数x、y，注意不漏解、不重解． 4．如图，数轴上点表示的数分别为，点在之间，若图中有一条线段是另一条线段的两倍，则点表示的数可以为_______ ． 【答案】或或 【分析】本题考查了数轴上距离的表示，熟悉掌握数轴上距离的运算方法是解题的关键．分类讨论线段的比值关系运算求解即可． 【详解】解：设点表示的数为，则，，， 当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得：． 综上所述，点表示的数可以为或或． 故答案为：或或． 5．如图，水平放置且正方向相反的数轴A和数轴B，数轴A的单位长度是数轴B的2倍，若数轴A上表示8的点与数轴B的原点对齐，则数轴B上表示数x的点与数轴A上对齐的点所表示的数为________．（用含x的代数式表示） 【答案】/ 【分析】本题主要考查了列代数式及数轴．根据所给对应关系，用含x的代数式表示出数轴A上对齐的点所表示的数即可． 【详解】解：由题知， 因为数轴A上表示8的点与数轴B的原点对齐， 则数轴B上表示数字，，0，1，2，…，的点分别与数轴A上表示数字12，10，8，6，4，…，的点对应， 所以数轴B上表示数x的点与数轴A上对齐的点所表示的数为． 故答案为：． 6．数轴上点表示的数是（为整数且），对点执行如下操作：先找到对应的点，再将这个点向原点方向平移一个单位长度，这样的一个操作叫完成一次近跳跃，到达原点后停止运动．点表示的数为，点表示的数为，，若线段上存在一点，使，则称是的“可及点”． (1)①，，点表示的数为，当_________时（把符合要求的所有选项填入空格中），点是线段的可及点． A．    B．    C．    D． ②，经过次近跳跃后，所到达位置对应的数为 ． (2)①，经过五次近跳跃后的点是的可及点，，求的取值范围． ②若，为正偶数，存在满足：经过正偶数次近跳跃后的点都是的可及点，直接写出的最大值． 【答案】(1)①ABD，② (2)①，② 【分析】（1）①根据可及点的定义逐项判断即可； ②根据近跳跃的定义求出经过次近跳跃后，所到达位置对应的数； （2）①，经过五次近跳跃后的点对应的数，再根据可及点的定义和求出的取值范围； ②找到经过正偶数次近跳跃后到达的点表示的数的变化规律，根据可及点的定义得到关于的不等式，解不等式求出的最大值． 【详解】（1）①解：设点表示的数为，点表示的数为， ， ， 当时， 可得：， 解得：或， 其中在线段上， 是线段的可及点， 故A选项符合题意； 当时， 可得：， 解得：或， 其中和都在线段上， 是线段的可及点， 故B选项符合题意； 当时， 可得：， 解得：或， 其中和都不在线段上， 不是线段的可及点， 故C选项不符合题意； 当时， 可得：， 解得：或， 其中在线段上， 是线段的可及点， 故D选项符合题意； ②解：第一次近跳跃： ， ， 再向原点平移个单位长度，可得：； 第二次近跳跃： 令，则， 再向原点平移一个单位长度，可得：； 第三次近跳跃： 令，则， 再向原点平移一个单位长度，可得：； 第四次近跳跃： 令，则， 再向原点平移一个单位长度，可得：； ，经过次近跳跃后，所到达位置对应的数为； （2）①解：，经过四次近跳跃后的点是， 第五次近跳跃： 令，则， 再向原点平移一个单位长度，可得：， 经过五次近跳跃后的点是的可及点， 设线段上与表示的点的距离是的点表示的数是， 则有， 解得：，， 当表示的点在线段上时， 则，， ， ， ； 当表示的点在线段上时， 则，， ， ， ； 综上所述，的取值范围为； ②解：， ， 第次近跳跃得到的点表示的数为：， 第次近跳跃得到的点表示的数为：， 第次近跳跃得到的点表示的数为：， 第次近跳跃得到的点表示的数为：， ， 第次近跳跃得到的点表示的数为：， 直到跳到原点停止， 经过正偶数次近跳跃后对应的点表示的数最大是，最小是， 当经过正偶数次近跳跃后对应的点表示的数是时， ，， 线段一定包括或， 当经过正偶数次近跳跃后对应的点表示的数是时， ，， 线段一定包括或， 且， 经过正偶数次近跳跃后的点都是的可及点， ， ， 解得：； 的最大值是 【题型2 利用数轴比较两个有理数的大小】 1．有理数在数轴上的位置如图所示，则下列结论中正确的有（　　） ①；②；③；④    A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了用数轴表示数，绝对值的化简，整式的加减，正确化简绝对值是解答本题的关键； 先判断出，然后对每一个式子进行判断即可； 【详解】解：由数轴可知：， ∴，，，， ∴①②③错误，④正确 故选：A ． 2．如图，点，，在数轴上表示的有理数分别是，，，若，，则原点的位置在（   ） A．点的左边 B．点的右边 C．点与点之间 D．点与点之间 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，有理数的乘法．根据数轴上点A、B、C的位置得出，结合得出，或，再结合可得出原点的位置在线段上． 【详解】解：∵，， ∴，或， ∵， ∴， ∴，， ∴原点的位置点与点之间． 故选：D． 3．已知有理数，，，，其中，为负数，，为正数，且． (1)画出数轴，并标出表示数，，，的点的大致位置． (2)将，，，，，按照从小到大的顺序排列． (3)比较，，，的大小． (4)若有理数满足，试比较，，之间的大小． 【答案】(1) 在数轴上标出表示数，，，的点如图①． (2) (3) (4)或 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较以及数轴上的表示，根据题意画出，，的大致位置是解题的关键． （1）根据已知条件，分析出，，，距离原点的远近即可解答； （2）根据相反数的定义，结合（1）中数轴画出的，，的大致位置即可解答； （3 ）化简可得(负数)，(正数)，结合（1）中所画中，，的大致位置即可解答； （4）由题意可知为正数且，但是不知道有理数的情况，故分三种情况()讨论即可． 【详解】（1）解：，为负数，，为正数，且． 正数部分：距离原点最远，其次是 负数部分：距离原点最远，其次是 （2）解：在数轴上标出表示数，，，，，的点如图②， 所以． （3）解：为正数，为负数 (负数)，(正数) 在数轴上标出表示数，，，的点如图③， 所以． （4）解：需分以下三种情况讨论： ①若，因为，所以，不符合题意，舍去； ②若，因为，且，所以； ③若，因为，且，所以． 综上所述，或． 4．如图，在一个水平的“气垫导轨”上做小球碰撞实验．轨道架上有三个大小、质量完全相同的小球、、，轨道两端各有一个挡板和，挡板间的距离为，其中到左挡板的距离为，到右挡板的距离为，、两球相距，现以轨道所在直线画数轴，球在原点，球表示的数为．解答下列问题： (1)球表示的数为________，左挡板表示的数为________； (2)碰撞实验中（小球大小、相撞时间不计），小球做匀速直线运动，当一小球以一速度撞向另一静止小球时，这个小球停留在被撞小球的位置，被撞小球则以同样的速度向前运动，小球撞到左右挡板则以相同的速度反向运动．假设，两球同时开始运动．运动时间为． ①若球以每秒的速度向左运动，球以每秒的速度向右运动，当、两球相撞时停止运动．令，其中，表示点、之间的距离，表示点、之间的距离．请探究在运动过程中，与的数量关系； ②若球以每秒的速度向左运动，球以每秒的速度向左运动，当、两球第一次相撞时，相撞点在原点左侧．距离原点处，求与的比值． 【答案】(1)40， (2)① ②或． 【分析】（1）直接根据球和挡板的位置以及已知条件确定左挡板和球表示的数即可； （2）①由题意可得：左挡板表示的数为，球表示的数为，A球表示的数为0，球表示的数为40， 右挡板N表示的数为120，易得当、两球相撞时的时间；然后分、、、四种情况解答即可．②由题意可得相撞点表示的数为，当时，进而相撞时球的路程为，相撞时球的路程为，根据相撞时两球所用的时间相等求出；当时，进而相撞时球的路程为，相撞时球的路程为，根据相撞时两球所用的时间相等求出． 【详解】（1）解：球在原点，球表示的数为，到左挡板的距离为， 左挡板表示的数为， 挡板间的距离为，其中到左挡板的距离为，到右挡板的距离为，、两球相距， 、两球相距， 球表示的数为； （2）解：①由题意可得：左挡板表示的数为，球表示的数为，A球表示的数为，球表示的数为， 右挡板表示的数为， 、两个小球从出发到碰撞三个小球的路程和为， ， 、两球从出发到相撞所需时间，此时两球停止运动， 球从出发到与球碰撞需要的时间是，球从出发到与右挡板碰撞需要的时间是， 当时，球以每秒的速度向左运动，球以每秒的速度向右运动， 球表示的数，球表示的数， ，， ， ； 当时，球以每秒的速度向左运动，球撞挡板后以每秒的速度向左运动， 球表示的数，球表示的数， ，， ， ； 当时，球撞球后停止运动，球以每秒的速度向左运动，球继续以每秒的速度向左运动， 球表示的数，球表示的数， ，， ， ； 当时，球撞球后停止运动，球以每秒的速度向右运动，球继续以每秒的速度向左运动， 球表示的数，球表示的数， ，， ， ； 综上所述，． ②、两球第一次相撞时，相撞点在原点左侧．距离原点处， 相撞点表示的数为， 当时， 相撞时球的路程为，球的路程为， 设第一次相撞用时为，则， ，即； 当时， 即球向左运动与挡板相撞后向右运动时与球相撞， 相撞点在原点左侧．距离原点处， 相撞时球运动的路程为，球运动的路程是， 设第一次相撞用时为，则， 即； 综上所述，或． 【题型3 数轴上两点之间的距离】 1．下列说法中，正确的个数（    ） ①若，则； ②三点在数轴上对应的数分别是、6、，若相邻两点的距离相等，则； ③若代数式的值与无关，则该代数式的值为； ④如图，数轴上A，B，C三点表示的数分别为a，b，c． 若，则最小值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查利用绝对值的性质进行化简，分数有意义的条件，数轴上点之间的距离，掌握相关知识是解决问题的关键．若，则， 故①错误；三点在数轴上对应的数分别是、6、，若相邻两点的距离相等，应该有三种情况，故②错误；若代数式的值与无关，则，故③错误；由乘积是常数推出取值范围，进而求出最小值为，故④正确． 【详解】解：若，则， 故①错误； 三点在数轴上对应的数分别是、6、，若相邻两点的距离相等， 则或或， 或或，故②错误； 若代数式的值与无关， 则，故③错误； ∵， ∴， ∴，，， ∴当时：有最小值为，故④正确． 故选： A． 2．一条数轴上有从左至右5个点、、、、，其中点表示的数为4，点表示的数为，且，则数对应的点所在线段是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，由题意得，推出，进而得点表示的数为；即可求解； 【详解】解：∵点表示的数为4，点表示的数为， ∴； ∵， ∴； ∴点表示的数为； ∵， ∴数对应的点所在线段是； 故选：A 3．如图，数轴上有M，N两点和一条线段，规定：若线段的中点R在线段上（点R能与点P或点Q重合），则称点M与点N关于线段“中线对称”． （注：把一条线段分成相等的两条线段的点，叫作线段的中点） 已知点O为数轴的原点，点A表示的数为，点B表示的数为4，点C表示的数为x，若点A与点C关于线段“中线对称”，则x的最大值为________． 【答案】12 【分析】根据“中线对称”的定义，求解即可． 【详解】解：如图，根据题意可知，当点A与点C关于线段“中线对称”，点B为的中点时，x的值最大， ∵点A表示的数为，点B表示的数为4， ∴， ∴， ∴点C表示的数为， ∴x的最大值为12． 4．如图，数轴上O、A两点的距离为9，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，…（n≥3，n是整数）处，则经过这样2026次跳动后的点与点O的距离是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离．先根据规律得出各点表示的数，进而求出点2026次跳动的点表示的数，即可得出答案． 【详解】解：由题意可得， 点表示的数为， 点表示的数为， 点表示的数为， …， 点表示的数为， ∴点表示的数为． ∴点与点O的距离是：． 故答案为：． 5．在数轴上，点A表示的数为1，点B表示的数为3．对于数轴上的图形M，给出如下定义：P为图形M 上任意一点，Q为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形M 关于线段的极小距离，记作，线段：如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形M 关于线段 的极大距离，记作，线段． 例如：点K表示的数为4，则点K，线段， 点K，线段． 已知点O为数轴原点，点C，D为数轴上的动点． (1)点O，线段 ． 点O，线段 ； (2)若点C， D表示数分别为m， ，线段，线段．求m的值； (3)点C从原点出发，以每秒2个单位长度沿x轴正方向匀速运动：点D从表示数的点出发，第1秒以每秒2个单位长度沿x轴正方向匀速运动，第2秒以每秒4个单位长度沿x轴负方向匀速运动，第3秒以每秒6个单位长度沿x轴正方向匀速运动，第4秒以每秒8个单位长度沿x轴负方向匀速运动，…，按此规律运动，C，D两点同时出发，设运动的时间为t秒，线段，线段，求t． 【答案】(1)1；3 (2)m的值为或5 (3)t的值为0或或或3 【分析】（1）根据题中的信息直接求解即可； （2）分为线段在线段左侧和右侧两种情况，左侧时线段，线段，右侧时线段，线段，代入求值即可； （3）根据点D运动的方向，分类讨论，将点D和点B表示的数列出来，当时，线段，线段为点B表示的数减去点D表示的数；当时，线段，线段为点B表示的数减去点D表示的数；当时，线段，线段为点C表示的数减去点A表示的数或点B表示的数减去点D表示的数；当时，线段，线段已经大于5了，分别代入求值即可． 【详解】（1）解：由题可知，点O，线段， 点O，线段； （2）解：分为两种情况讨论， 当线段在线段左侧时， 线段，线段， 解得：； 当线段在线段右侧时， 线段，线段， 解得：； 综上所述，m的值为或5； （3）解：t秒时，点C表示的数为，分为以下四种情况， 第一种，当时，点D表示的数是， 线段，线段， 解得：； 第二种，当时，点D表示的数是， 线段，线段， 解得：； 第三种，当时，点D表示的数是， 线段，线段或线段，线段， 解得：或； 第四种，当时，线段，线段，无解； 综上所述，t的值为0或或或3． 6．七年级数学兴趣小组开展数学微项目学习，他们决定研究南宁地铁的运行． 素材一 如图是南宁地铁号线的线路图，为了研究方便，地铁运行过程中速度看成匀速，每相邻两站的间距都可近似看成相等．且相邻两站间地铁的运行时间都为分钟，每站停靠时间为秒． 素材二 小安用数轴上的动点来表示地铁的运行，他以火车东站为原点建立了如图所示的数轴．其中数字表示佛子岭站，数字代表百花岭站．以此类推，动点每运动到一个整点时．都需要暂停秒，代表地铁到达停靠． 问题解决 探究 （）如图，数字表示________站 探究 （）如图，若小瑞从火车东站出发往南湖方向，出发时间为分钟，当分钟时，此时小瑞离火车东站距离多远？ （）若从原点出发，运动分钟到数字和数字之间（不含数字和数字），求点在数轴上表示的数（用含的代数式表示）． 探究 （）若小瑞在百花岭站上车，坐地铁往南湖方向，同时小安在万象城站上车，往南宁东站方向坐地铁．若两辆地铁恰好同时从百花岭站和万象城站出发，出发多久后两人在数轴上刚好相距个单位长度． 【答案】（）凤岭；（）个单位长度；（）；（）分钟或分钟 【分析】（）根据题意解答即可求解； （）根据题意求出火车运行的时间分，进而根据路程速度时间解答即可求解； （）求出点运动到数字（含停靠）的时间，根据数轴上两点间距离公式解答即可求解； （）分相遇前相距个单位长度和相遇后相距个单位长度，分别列式解答即可求解； 本题考查了数轴上的动点问题，掌握数轴上两点间距离公式是解题的关键． 【详解】解：（）由题意可得，数字表示凤岭站， 故答案为：凤岭； （）∵相邻两站间地铁的运行时间都为分钟，每站停靠时间为秒， ∴当时，火车运行的时间为分钟， ∴此时小瑞离火车东站距离为个单位长度； （）当点运动到数字时（含停靠时间），用时分钟， ∴此时点在数轴上表示的数为； （）①相遇前相距个单位长度时，出发时间分钟； ②相遇后相距个单位长度，出发时间分钟； 答：出发分钟或分钟后两人在数轴上刚好相距个单位长度． 【题型4 数轴动点问题】 1．如图，点为原点，、为数轴上两点，，且，点从点开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点开始运动时，点、分别以每秒5个单位和每秒2个单位的速度同时向右运动，设运动时间为秒，若的值在某段时间内不随着的变化而变化，则的值为（   ） A．5或7 B．3或5或7 C．3或5 D．3或7 【答案】A 【分析】本题考查数轴上的动点问题，整式加减中的无关型问题，先求出点表示的数，根据点的移动规则，求出移动后点表示的数，分点在点右侧和左侧，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴点表示的数为，点表示的数为5， ∴运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴， 当点在点右侧时，， 则： ； ∵的值在某段时间内不随着的变化而变化， ∴， ∴； 当点在点左侧时，， 则： ； ∵的值在某段时间内不随着的变化而变化， ∴， ∴； 综上：或； 故选A． 2．如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示12，点C表示24，点D表示36，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为；点A与点B在数轴上的“友好距离”为21个单位长度，并表示为，以此类推． 已知动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动，当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的3倍．经过点C后立刻恢复初始速度．动点P从点A出发运动至点D的过程中，某个时刻满足，此时动点P运动的时间是_______．    【答案】14.5或19.5秒 【分析】本题考查了数轴动点问题，确定满足时，点P所在的位置是解题的关键．分点P在上和点P在上两种情况进行讨论求解，设P点所对应的数为x，根据，求出x的值，再根据点P的运动速度，求出相应的运动时间． 【详解】解：设P点所对应的数为， ①当点P在上， ∵，， 又∵， ∴， 解得，， ∵动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度运动，点A表示， ∴动点P从点A到点O，所用时间为（秒）， ∵当动点P运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半，初始速度为2个单位长度/秒， ∴动点P运动到点O与点B之间时，速度为1个单位长度/秒， ∴动点P运动从点O运动到10时，所用时间为（秒）， ∴满足，此时动点P运动的时间是（秒）； ②当点P在上， ∵，， 又∵， ∴， 解得，， ∵动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度运动，点A表示， ∴动点P从点A到点O，所用时间为（秒）， ∵当动点P运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半，初始速度为2个单位长度/秒， ∴动点P运动到点O与点B之间时，速度为1个单位长度/秒， ∴动点P从点O运动到B时，所用时间为（秒）， ∵当动点P运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的3倍，初始速度为2个单位长度/秒， ∴动点P运动到点B与点C之间时，速度为6个单位长度/秒， ∴动点P从点B运动到C时，所用时间为（秒）， ∴动点P从点C运动到26时，所用时间为（秒）， ∴满足，此时动点P运动的时间是（秒）； 综上，满足，此时动点P运动的时间是14.5秒或19.5秒． 故答案为：14.5或19.5秒． 3．一个跳蚤在一条数轴上，从0开始，第1次向右跳1单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，依此规律下去，当它跳第2025次落下时，落点在数轴上表示的数是______． 【答案】1013 【分析】本题主要考查了正负数的应用，有理数的加减混合运算，解题的关键是根据题意列出算式． 规定向右为正方向，根据题意列出算式进行求解即可． 【详解】解：根据题意得，规定向右为正方向， ， 故答案为：1013． 4．如图所示，在数轴上点表示的数分别为，，，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为 (1)则______，______，______； (2)点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点、点分别以每秒个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问： ①运动秒后，点与点之间的距离为多少？用含t的代数式表示 ②的值是否随着运动时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变；请求其值； (3)由第（1）小题可以发现，三条线段的长度之间满足的数量关系．若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，三条线段的长度之间又存在怎样的数量关系，请直接写出答案． 【答案】(1) (2)①；②不变；值为 (3)当时，，当时，，当时， 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题： （1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）①由点以每秒1个单位长度的速度向左运动，点以每秒2个单位长度的速度向右运动，得到运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，再根据两点间的距离公式即可得到答案； ②由点以每秒单位长度的速度向右运动，得到运动秒后，点表示的数为，从而得到，再计算出，即可得到答案； （3）分别表示出的长度，然后分情况讨论得出之间的关系，即可得到答案． 【详解】（1）解：在数轴上点表示的数分别为，，， ，，， 故答案为：； （2）①点以每秒个单位长度的速度向左运动，点以每秒个单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：，点表示的数为：， 点与点之间的距离为：； ②点以每秒单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：， ， ， 的值不会随着时间的变化而改变； （3）点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：，点表示的数为：，点表示的数为：， ，，， 当时，， 当时，， 当时，， 随着运动时间的变化，之间存在类似于（1）的数量关系． 5．七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴” 素材1 如图，将一条数轴在原点 O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”． 图中点A表示， 点B表示12， 点C表示24， 点 D表示36，我们称点 A与点 D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为 ． 素材2 动点 P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点 B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点 B与点 C之间时速度变为初始速度的两倍．经过点 C后立刻恢复初始速度． 问题解决 探索 1 动点 P从点 A运动至点 B需要多少时间？ 探索 2 动点P从点A出发，运动 t秒至点B和点C之间时，求点 P表示的数 （用含 t的代数式表示）； 【答案】探索1：秒；探索2：． 【分析】本题主要考查数轴上动点计算问题、数轴上两点间距离问题等知识点，理解题意并掌握相关的知识是解题的关键． 探索1：先求得和的长度，再说明点P在和上的速度为2个单位长度/秒和1个单位长度/秒，再根据时间、路程、速度的关系列式计算即可； 探索2：由探索1可得P在段运动时间为：秒，进而得到，结合点B表示12即可解答． 【详解】解：探索1：∵点A表示， 点B表示12， ∴，， ∵P在段初始速度为2个单位长度/秒，P在段初始速度的一半， ∴P在段速度为1个单位长度/秒， ∴P从点A运动至点B的时间为：（秒）； 探索2：∵P的初始速度为2个单位长度/秒，P在段初始速度的两倍， ∴P在段速度为4个单位长度/秒， ∵点B表示12，点C表示24， ∴ 由探索1可得：P在段运动时间为：秒， ∴， ∴P表示的数为：． 6．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．回答下列问题： (1)①数轴上表示x和2的两点A和B之间的距离是 ； ②在①的情况下， 如果， 那么x为 ； (2)探究问题：代数式的最小值是多少？ 如图，点、、分别表示数、、，， ∵的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点在线段上时，，当点在点的左侧或点的右侧时，， ∴的最小值是． 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： ①直接写出式子的最小值是______； ②工厂加工车间工作流水线上依次间隔米排着个工作台、、、、，一只配件箱应该放在工作台____处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是_______米． (3)若点、、在数轴上分别表示数、、，点、、同时开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)①；②5或 (2)①2；②；12； (3)其值不随时间变化，恒为2 【分析】本题考查绝对值的几何意义（数轴上两点间的距离）及动点问题，解题的关键是利用＂绝对值表示数轴上两点距离＂的几何意义，结合数轴分析最值或动点的距离变化． （1）①根据绝对值的几何意义求两点距离； ②结合距离列方程求； （2）①利用绝对值的几何意义，分析点在线段上时的距离和最小值； ②利用绝对值的几何意义，求解工作流水线的最短路径问题； （3）表示出动点运动秒后的位置，计算和的长度，再求差值判断是否变化． 【详解】（1）解：①数轴上表示和2的两点距离，根据绝对值的几何意义，为， ②若，则，解得或，即或， 故答案为：①；②5或； （2）解：①代数式的几何意义是数轴上点到0、1、2的距离之和． 当时，距离和为，此时和最小． 故答案为：2； ②5个工作台、、、、依次间隔2米，相当于数轴上的点，最短路径是将配件箱放在中间位置（即处）． 最短路程为：到的距离到的距离到的距离到的距离米． 故答案为：，12； （3）解：秒后，点的位置：，点的位置：，点的位置：， ， ， 因此， 其值不随时间变化，恒为2． 【题型5 数轴上的规律探究】 1．如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为上，，，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】B 【分析】本题主要考查数轴，以及找规律问题，找到圆的滚动规律是解题的关键．根据圆的滚动规律可知3次一个循环，将各选项中的数字除以3，根据余数可判定求解． 【详解】解：由题意得：圆沿着数轴正方向滚动一次按点，点，点的顺序排列， 即圆的滚动规律为3次一个循环，则： ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； 点对应的数轴上的数可能为2024. 故选：B． 2．一个机器人从数轴的原点出发，沿数轴的正方向，以每前进3步后退1步的程序运动．设该机器人每秒前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长度，（为正整数）表示第秒时该机器人在数轴上的位置所对应的数．现给出下列结论：①；②；③；④；⑤，其中错误的是（    ） A．②④⑤ B．①④ C．①③ D．③⑤ 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字规律，数轴，找到规律是解题的关键． 根据该机器人每秒前进或后退1步，且从原点沿数轴正方向出发，每前进3步后退1步循环运动，所以该机器人从原点开始每4秒前进3步后退1步，即每4 秒前进2步，得出，按照此规律逐项进行判断即可． 【详解】解：因为该机器人每秒前进或后退1步，且从原点沿数轴正方向出发，每前进3步后退1步循环运动，所以该机器人从原点开始每4秒前进3步后退1步，即每4 秒前进2步． 所以 故①错误，②正确； 因为，所以第80秒是第20个运动周期的最后一步，为后退1步，即，因此．故③错误； 令，解得．所以．从101秒到104秒，该机器人先前进3步，再后退1步，所以，即．故④正确；同理，得．所以 故⑤正确． 综上，错误的是①③． 故选：C． 3．如图，在数轴上点A表示1，现将点A沿数轴做如下移动：第一次点A向左移动3个单位长度到达点，第二次将点向右移动6个单位长度到达点，第三次将点向左移动9个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，则线段的长度是_________． 【答案】60 【分析】本题主要考查利用数轴探求规律的问题，可以结合每次移动的距离得到序数相邻的两个点之间的距离，由最简单的开始分析可得规律； 根据点的每次移动的方向和移动的距离，可以得到则；；；；；根据每次数字的变化规律，可以得到这个距离是3的倍数，即字母的最大序数乘以3，由此可以得到的长度. 【详解】解：第1次点A向左移动3个单位长度至点，则； 第2次从点向右移动6个单位长度至点，则； 第3次从点向左移动9个单位长度至点，则； 第4次从点向右移动12个单位长度至点，则； 第5次从点向左移动15个单位长度至点，则； …… 所以第20次移动后得：. 故答案为：60. 4．（1）阅读以下材料，并回答问题． 如图，将一根木棒放在数轴上（数轴的单位长度为1cm），木棒左端与数轴上的点重合，右端与数轴上的点重合．    若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为27；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为6． ①请列式求出这根木棒的长； ②填空：图中点所表示的数是________，点所表示的数是________； （2）借助上面的方法解决下面的问题： 一天，小明去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要43年才出生；你若是我现在这么大，我已经是122岁啦！” ①请列式求出奶奶和小明的年龄差： ②填空：小明现在的年龄为________（岁），奶奶现在的年龄为________（岁） 【答案】（1）①这根木棒的长为7；②；（2）①；②， 【分析】本题考查了一个线段模型的运用，数轴上两点的距离，有理数的加减法和除法，解题的关键在于运用材料的解题模型去求解奶奶与小明的年龄差，进而求出奶奶的年龄和小明的年龄． （1）①最大数减去最小数，再除以3即可；②依次加7即可解答； （2）①；②用减去得到奶奶年龄，再减55即可得到小明年龄． 【详解】解：（1）①，， 这根木棒的长为7； ②图中点所表示的数是：，点所表示的数是：， 故答案为：； （2）①奶奶和小明的年龄差为：（岁）， ②奶奶现在的年龄：（岁），小明现在的年龄：（岁）． 故答案为：，． 5．已知数轴上有不重合的三个点，点表示的数为，点与点到原点的距离相等，点在原点的左侧，且到点的距离为7． (1)求点表示的数． (2)假设动点分别从点同时出发，动点的速度为每秒2个单位长度，动点的速度为每秒1个单位长度，当动点与动点距离为1个单位长度时，设运动时间为，求： ①动点与动点应同时向______（填“左”或“右”）运动； ②动点与动点相遇前的时间及此时动点表示的数； ③动点与动点相遇后的时间及此时动点表示的数． (3)在数轴上，有一个动点，从点出发，在数轴上作有规律的运动：第一次从点出发向左运动1个单位长度到点，第二次从点向右运动2个单位长度到点，第三次从点向左运动3个单位长度到点，第四次从点向右运动4个单位长度到点……按照此规律不断地左右运动，当第2025次运动到点时，请直接写出点所对应的数． 【答案】(1)B表示的数为：5；C表示的数为 (2)①左；②6秒，此时点M表示的数为；③8秒，此时点M表示的数为； (3) 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，用数轴表示有理数，有理数的四则运算： （1）根据数轴上两点距离计算公式得到点到原点的距离为，再由点A和点B不重合，点B表示的数为5，再用点B表示的数减去点C到点的距离即可求出点C表示的数，最后在数轴上表示出点A，点B，点C即可； （2）①设运动时间为t，由于，且点M的运动速度大于点N的运动速度，故只有当M、N同时向左运动时，动点M与动点N的距离才可能为1个单位长度；②二者相遇前运动距离为，再算出时间进而可求出M表示的数；③二者相遇后运动距离为，再算出时间进而可求出M表示的数； （3）根据题意可得动点P每相邻的两次运动相当于向右移动1个单位长度，据此求出2024次运动后点P表示的数，再由第2025次点P是向左运动2025个单位长度进行求解即可． 【详解】（1）解：∵点表示的数为，点与点到原点的距离相等， ∴点到原点的距离为， ∵点A和点B不重合， ∴点B表示的数为5， ∵点在原点的左侧，且到点的距离为7， ∴点C表示的数为， （2）解：①设运动时间为t， ∵，且点M的运动速度大于点N的运动速度， ∴只有当M、N同时向左运动时，动点M与动点N的距离才可能为1个单位长度， 故答案为：左 ②当M、N相遇前二者相距1个单位长度时，则，此时点M表示的数为； ③当M、N相遇后二者相距1个单位长度时，则，此时点M表示的数为； （3）解：有一个动点，从点出发，在数轴上作有规律的运动：第一次从点出发向左运动1个单位长度到点，第二次从向右运动2个单位长度到点，第三次从向左运动3个单位长度到点，第四次从向右运动4个单位长度到点……， ∴动点P每相邻的两次运动相当于向右移动1个单位长度， ∴第2024次运动后点P向右运动个单位长度，即此时点P表示的数为， ∵第2025次点P是向左运动2025个单位长度， ∴表示的数为． 6．将两个数轴平行放置，并使二者的刻度数上下对齐，再将两个数轴的原点连接起来，就构成一个“双轴系”．定义“双轴系”中两个点、的距离：如果、两点在同一个数轴上，则二者之间的距离定义和通常的距离一致，；如果、两点分别位于两个数轴上，定义． 利用“双轴系”定义一种“有向数”，记号是在通常数的右边加上“”或“”，例如，“”表示上层数轴中表示数“”的点，“”表示下层数轴中表示数“”的点，“”、“”分别表示上下两个数轴的原点． (1)在双轴系中与的距离为：________；与的距离为________； (2)现有只电子蚂蚁甲从“”所表示的点出发不断跳跃，依次跳至、、、、、、、、、…，另有一只电子蚂蚁乙从“”所表示的点出发，然后跳跃到，接着又跳回，其后再次跳到，下一步又跳回，按此规律在和之间来回跳动．假设两只蚂蚁同时跳跃同时落下，步调一致． ①当蚂蚁甲第次跳到所表示的点时，请问此时蚂蚁甲共跳跃了________次； ②当乙蚂蚁跳跃次时，在双轴系上是否存在一点，满足到甲蚂蚁的距离是到乙蚂蚁距离的倍．若存在，直接写出点表示的数，不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)①；②存在，点表示的数为或 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，有理数混合运算的应用，解绝对值方程，数轴上的动点问题，解题的关键是数形结合，熟练掌握数轴上两点间距离． （1）根据题意列出算式，进行计算即可； （2）①根据跳跃规律，找出蚂蚁甲第次跳到所表示的点即可；②点表示的数为，根据题意得出，蚂蚁乙跳跃次时，即跳到，蚂蚁甲跳到，然后根据点的位置分两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：由题意得， 与的距离为：， 与的距离为：． 故答案为：；． （2）①解：由题意及跳跃规律可得， 蚂蚁甲第次跳到所表示的点时，即跳到， 此时蚂蚁甲共跳跃了：（次）． 故答案为：． ②解：存在． 由题意及跳跃规律可得， 当蚂蚁乙跳跃次时，即跳到； 又， 此时蚂蚁甲跳到． 设点表示的数为，故分两种情况： 情况一：当点与蚂蚁甲同轴时， 由题意可得，， 此时方程无解； 情况二：当点与蚂蚁乙同轴时， 由题意可得，， 当时，即， 解得，； 当时，即， 解得，，不符合，故舍去； 当时，即， 解得，， 综上，或． 答：存在一点，满足到甲蚂蚁的距离是到乙蚂蚁距离的倍，点表示的数为或． 【相反数】 【题型1 相反数的定义综合应用】 1．下列说法正确的有（    ）． ①0是多项式；②角是两条射线组成的图形；③互补且相等的两个角都是直角；④单项式的系数是，次数是5；⑤如果是正数，那么一定是负数；⑥的奇数次幂等于；⑦一个有理数和它的相反数的积是负数；⑧如果线段，则点是线段的中点；⑨连接两点间的线段，叫做这两点的距离；⑩在单价一定的情况下，购买《故事会》的总价和数量成反比例． A．5个 B．3个 C．2个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查代数式的概念，几何图形的基本知识点，相反数的概念和等量关系，熟练掌握相关的知识是关键． 根据对应的知识点，逐一判断每个说法的正误即可． 【详解】解：对于①，0是单项式，不是多项式，故①错误； 对于②，角由同一个端点出发的两条射线组成，题干描述不清，故②错误； 对于③，两角互补，则和为，若同时两角相等，则均为，故③正确； 对于④，单项式的系数为，不是，故④错误； 对于⑤，正数的相反数是负数，故⑤正确； 对于⑥，的奇数次幂为，故⑥正确； 对于⑦，若有理数为0，则不满足要求，故⑦错误； 对于⑧，点不一定在线段上，故⑧错误； 对于⑨，连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离，题干漏了关键词“长度”，故⑨错误； 对于⑩，单价一定时，总价与数量成正比例，不是反比例，故⑩错误. ∴正确的有③、⑤、⑥，共3个． 故选：B． 2．如图，一个正方体纸盒的六个面上填有不同的数或式，从不同方向看到的情形如图，如果相对两个面的数或式的值互为相反数，则的值为（    ） A．1 B． C．0 D．2025 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方体展开图，通过邻面找对面，代数求值，解题的关键是找出对面． 根据图形找出对面，表示出代数式的值，然后代数求值即可． 【详解】解：由两个图可得，的邻面为， ∴的对面为， ∴；① 由第1个和第3个图形可得，的邻面为， ∴的对面为， ∴；② ∴由第1个和第2个图形可得，的邻面为， ∴的对面为， ∴； 由①+②得， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．下列说法正确的序号是（   ） ①已知a，b是非零的有理数，若，则； ②若a，b为两个负有理数且，则； ③已知a，b，c是非零的有理数，若，则结果的符号为正； ④已知a，b，c是非零的有理数，且时，则的值为1或； A．①④ B．①②④ C．①③④ D．①② 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的概念、不等式的基本性质、绝对值的性质以及有理数的乘法法则和符号确定，掌握绝对值的性质和有理数乘法的符号确定是解题的关键．①根据相反数的概念分析即可；②根据不等式的基本性质分析即可；③根据有理数的乘法法则和符号确定以及绝对值的性质分析即可，注意要分类讨论；④根据绝对值的性质和有理数乘法的符号确定分析即可，注意要分类讨论． 【详解】解：①因为（a，b非零），则，所以，故①正确； ②因为a，b为两个负有理数，，不等式两边同乘负数b，不等号方向改变，所以，故②正确； ③因为=，分子、分母同时乘a，得，则=，又，所以只需要讨论的符号，由可知，a，b，c中有1个或3个负数，则有和两种情况，当时，，所以；当时，，所以，所以结果的符号可能为正，也可能为负，故③错误； ④因为，所以a，b，c中有1个或3个负数，当有1个负数时，和为； 当有3个负数时，和为，所以和为1或-3，故④正确； 综上，正确说法为①②④， 故选：B． 4．已知方程的解与关于的方程的解互为相反数，则的值是________． 【答案】225 【分析】本题考查一元一次方程的求解以及相反数的应用。先解第一个方程得到的值，再根据“解互为相反数”得到第二个方程的解，代入后求出，最后计算的值． 【详解】解：解方程 因为两个方程的解互为相反数，所以关于的方程的解为 把代入方程解得： 将代入解得： 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法和相反数的概念，解题关键是通过“解互为相反数”建立联系，逐步求出参数，再代入计算代数式的值． 5．已知是方程的解． (1)写出a与b满足的关系式； (2)如图是一个正方体的表面展开图，每组相对面上所标的两个数都互为相反数，在a与b满足（1）中的关系式的前提下，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了方程的解，正方体的表面展开图相对面上的数字问题，相反数的定义． （1）将代入计算即可； （2）根据相对面上所标的两个数都互为相反数得到，代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：把代入方程中得：， ∴， ∴， ∴； （2）解：由题意得：与是相对面， ∵相对面上所标的两个数都互为相反数， ∴， 把代入中得：， 解得：． 6．因为，所以与互为“友好数”． (1)求的“友好数”为 ． 判断与是否互为“友好数”，并说明理由． (2)若有理数与互为“友好数”，与互为相反数，求代数式的值． (3)对于有理数（且），设的“友好数”为；的倒数；的“友好数”为；的倒数为；…；依次按如上的操作，得到一组数，，，，，…．当时，求的值． 【答案】(1)① ②与是互为“友好数”， 理由如下：根据“友好数”定义，需验证两数积是否等于两数和． 计算两数和：； 计算两数积：； ∵ 两数和等于两数积， ∴ 与3互为“友好数”． (2) (3)的值为 【分析】（1）①设的“友好数”为，根据定义可得，即可求解； ②根据“友好数”定义，分别计算与的和、积，若两者相等则互为“友好数”； （2）由“友好数”定义得，由相反数性质得，将其代入代数式展开化简，消去未知量即可求值； （3）从开始，依次求出至，找出数字循环周期，用2025除以周期得余数，根据余数确定对应的值． 【详解】（1）解：①设的“友好数”为，根据定义可得， 解得：， ∴的“友好数”为， ②略 （2）解：∵ 与互为“友好数”， ∴ ； ∵ 与互为相反数， ∴ ． 将代入代数式： ． （3）解：当时， 由“友好数”定义：， 解得； 是的倒数：； 由“友好数”定义：， 解得； 是的倒数：； 由“友好数”定义：，解得； 是的倒数：． 观察得：数列以为周期循环，周期为6． ∵ 余3， ∴ ． 【点睛】本题考查了对新定义“友好数”的理解与应用、一元一次方程的应用，相反数的性质、代数式的化简求值以及数字循环规律的探究，解题的关键是紧扣“友好数”的定义（两数积等于两数和），结合相反数性质、代数式化简方法及循环规律求解各问． 【题型2 相反数的应用】 1．若互为相反数，互为倒数，并且的立方等于它本身． (1)若，且，，试求的值． (2)若，试讨论：为有理数时，是否存在最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在最大值，2 【分析】本题主要考查同学们对相反数，绝对值，倒数等考点的理解以及分类讨论思想的应用.熟知相关知识点是正确解答此题的关键． (1)首先根据题意得出绝对值里面的数的正负性，然后进行去绝对值计算求出的值，从而得出的值，最后将所求的式子进行化简得出答案； (2)首先根据题意得出，当时，分别根据，和三种情况分别将绝对值进行化简得出答案，从而求出最值；根据同样的方法得出时的最值，从而得出答案． 【详解】（1）解： ，互为相反数， ， ，， 的立方等于它本身，且， ，， ， ， ； （2）解：若，此时， ①若，则， 当时，， 当时， 当时。 当为有理数时，存在最大值为2； ②若，同理可得，当为有理数时，存在最大值为2， 综上所述，当，为有理数时，存在最大值为2． 2．在数轴上，点位于原点的左侧，表示数，点表示的数是1，点位于点的右侧，表示数，记．例如下图中，当，时，． 在线段上取点，其表示的数为，在线段上取点，其表示的数为． 则下列说法中，所有正确说法的序号是__________． ①； ②； ③当时，对于任意的点，总能找到点，使得； ④当时，对于任意的点，总能找到点，使得． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查数轴概念，相反数的定义，根据题意得到判断①，根据，判断②，根据特殊值判断③，根据相反数的定义，表示出，结合，判断④即可． 【详解】解：①∵，即 ∴①成立，故正确； ②∵ ∵， 又∵在线段上取点，其表示的数为， 在线段上取点，其表示的数为 ∴，成立，故②正确 ③若，而，当时，不能找到， ∴当时，对于任意的点，不一定找到点，使得，故③不正确． ④如图，设点表示的数即为，则， 将线段向右平移1个单位得到，则点与点重合，则表示的数为， 对于任意的点，都在上，则对任意的表示的点都在上 表示的点都在上， ∵当时，即，则 ∴在上总能找到点表示，即，即 ∴当时，对于任意的点，总能找到点，使得，故④正确． 故答案为：①②④． 【有理数的大小比较】 【题型1 有理数大小比较】 1．下列结论：①若 ，那么一定是 2；②两个数比较大小，绝对值大的反而小；③，则或；④若互为相反数，则，正确的说法的个数是（    ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】A 【分析】本题考查了有理数大小比较，求一个数的绝对值，相反数的关系等，熟练掌握以上定义和性质是解题的关键． 利用有理数大小比较，求一个数的绝对值，相反数的关系等定义和性质，进行逐项判断即可． 【详解】解：①若 ，则，该选项错误，不符合题意； ②两个负数比较大小，绝对值大的反而小，该选项错误，不符合题意； ③由可知，若，则，此时； 若，则，此时，该选项正确，符合题意； ④当时，不成立，该选项错误，不符合题意； 故选：A． 2．有理数a，b，满足，且，下列结论：①  ②  ③  ④  其中正确的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题考查了数轴、绝对值，由有理数a，b，满足，且，再根据有理数的运算法则、相反数、绝对值、平方分别对每一项进行判断，即可得出答案． 【详解】解：∵有理数a，b，满足， ∴，故①正确； ∵有理数a，b，满足，且， ∴，， ∴，故②错误， ∵有理数a，b，满足，且， ∴，，， ∴，故③正确， ∵有理数a，b，满足，且， ∴， 则，故④错误， ∴正确的有①③． 故选：B． 3．如果，，那么与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】相乘的这些分数的特点是分母都是偶数，分子都是奇数；再写出一道分数相乘，使它们分子都是偶数，分母都是奇数， 把这两道算式相乘，得出积为，由此进一步再做比较即可得解． 【详解】解：设， ∵，， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴，即， 故选A． 【点睛】本题考查了比较有理数的大小，采用适当的方式将有理数放大后比较是解题的关键． 4．下列说法中，正确的有________． ①若，，且，则； ②若三个连续的奇数中，最小的一个为，则最大的一个是； ③若，则可能的值有4个； ④使得成立的的值有无数个． 【答案】②、③、④ 【分析】本题考查了绝对值的计算，绝对值的化简，连续奇数的表示法，有理数的乘法，熟练掌握绝对值的化简与计算是解题的关键． 对于①，去绝对值，去平方，同时根据，得到的值，进而求得的值为，故错误；对于②，根据连续奇数的表示方法，容易得到第三个连续奇数为，故正确；对于③，分情况讨论，得到可能的值为四个，故正确；对于④，在时，方程都成立，故有无数个解． 【详解】解：对于①， ∵，，且， ∴，或，， ∴或， 故①错误； 对于②， 三个连续奇数最小为，则最大为， 故②正确； 对于③， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴可能值有个， 故③正确； 对于④， 当时，， 故有无数个值， 故④正确． 故答案为：②、③、④． 5．3个有理数a、b、c两两不等，则，，中有____________个是负数． 【答案】2 【分析】本题考查符号法则的运用，即同号为正，异号得负．根据题意，a、b、c两两不等，可设，易得，，，进而可得，，的符号，进而可得答案． 【详解】解：根据题意，a、b、c两两不等， 可设， 易得，，， 则，，中有2个是负数， 故答案为2． 6．有理数a，b，满足，且，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有______（填序号）． 【答案】①③/③① 【分析】此题考查了数轴、绝对值，由有理数a，b，满足，且，再根据有理数的运算法则、相反数、绝对值分别对每一项进行判断，即可得出答案． 【详解】解：∵有理数a，b，满足，且， ∴，故①正确； ∵有理数a，b，满足，且， ∴，， ∴，故②错误， ∵有理数a，b，满足，且， ∴，，， ∴，故③正确， ∵有理数a，b，满足，且， 当，时，， ∴说法错误，故④错误， ∴正确的有①③． 故答案为：①③． 7．如图是一个数字传输器，箭头代表传输路径，方框代表传输方式，菱形代表判断，理解这个数字传输器的工作原理，回答下列问题： (1)当时，____________；当时，___________； (2)若输出的值为0，则输入的为___________；（用含的代数式表示，为正整数） (3)若是自然数，请写出的所有可能值________________． 【答案】(1)3，1 (2) (3)0，1，2，3 【分析】（1）根据这个数字传输器的工作原理和操作步骤正向推导即可得出答案； （2）根据这个数字传输器的工作原理和操作步骤反向推导即可得出答案； （3）将自然数逐个输入求得输出，通过观察、分析，即可总结出规律． 【详解】（1）根据这个数字传输器的工作原理，可知： 当时， ∵3不大于3， ∴取相反数，得：， ∵不大于0， ∴取绝对值，得：3， ∴当时，； 当， ∵2024大于3， ∴加，得：， ∵2019大于3， ∴加，得：， ∵2014大于3， ∴加，得：， …… ∵9大于3， ∴加，得：， ∵4大于3， ∴加，得：， ∵不大于3， ∴取相反数，得：， ∵1大于0， ∴取倒数，得：1， ∴当，； 故答案为：3，1； （2）若输出的y的值为0， ∵0没有倒数， ∴0是取绝对值而来， ∴取绝对值之前的值是：0， 又∵0是取相反数而来， ∴取相反数之前的值是：0， ∵0是输入的x经过若干次加而来， 即， ∴， 故答案为： （3）当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， …… 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 故答案为：0，1，2，3． 【点睛】本题主要考查了程序流程图与有理数计算，有理数大小比较，有理数的加法运算，求一个数的相反数，求一个数的绝对值，求倒数等知识点，弄懂题意并熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 8．探索研究： (1)比较下列各式的大小（用“<”或“”或“=”连接）． ①__________； ②__________； ③__________； ④__________ (2)通过以上比较，请你分析､归纳出当为有理数时，__________（用“<”或“”或“=”或“≥”或“≤”连接）． (3)根据（2）中得出的结论，当时，则的取值范围是__________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了绝对值的性质与有理数的大小比较。解题关键是通过计算具体式子的绝对值，归纳出与的大小关系，再利用这一结论分析含绝对值的等式，确定未知数的取值范围． （1）每一个小题计算后进行比较； （2）由（1）的例子归纳即可； （3）由（2）的结论回答即可． 【详解】（1）解：①, ②, ③, ④, 故答案为：； （2）通过（1）的例子可归纳： 当同号（或其中一个为０）时，; 当异号时，． 故答案为：； （3）, ． 由（2）的结论，当与同号（或时，． 故答案为：． 9．根据数学研究对象本质属性的共同点和差异点，将事物分类，然后对划分的每一类进行研究的方法叫做“分类讨论”方法． (1)比较下列各式的大小（用“”、“”、“”连接） ① ；② ； ③ ；④ ． (2)、为有理数，通过比较、分析，归纳与的大小关系为 ． （用“”、“”、“”、“”、“”连接） (3)根据（2）中得出的结论，当时，x的取值范围是 ；整数，，，满足，，则 ． 【答案】(1)①；②；③；④ (2) (3)；或． 【分析】本题考查了绝对值，有理数的大小比较，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据绝对值的定义和有理数的加法，将各式计算出结果，再进行比较即可； （2）根据（1）中的结果，总结得出结论即可； （3）根据题意，结合（2）的结论推出x与同号或等于0，进而得出结论；根据（2）的结论得出与异号，然后分两种情况化简绝对值求得的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：①∵， ∴； ②∵，， ∴； ③∵，，， ∴； ④∵，， ∴． 故答案为：①；②；③；④． （2）解：由（1）可得： 当a与b同号或a、b中至少有一个为0，则； 当a与b异号，则， ∴、为有理数时，． 故答案为：． （3）解：∵， ∴， ∴x与同号，或者， ∴． ∵，，， ∴与异号， 令，，则，，且与异号， ①当，时，， ∴， ∴， 解得或2； ②当，时，， ∴， ∴， 解得或； ∴或． 故答案为：；或． 10．如图，数轴上有点a，b，c三点    (1)用“<”将a，b，c连接起来． (2)______1，______0（填“<”、“>”、“=”） (3)化简：． (4)求下列各式的最小值： ①的最小值为______； ②的最小值为______； ③当________时，的最小值为________． 【答案】(1) (2)， (3) (4)①2；②；③； 【分析】（1）根据数轴上右边的数大于左边的数可得答案； （2）由，可得，由，可得； （3）先判断，，，再化简绝对值，合并同类项即可； （4）①由数对应的点在数，数对应的点之间时，即时，最小，再计算即可；②由数对应的点在数，数对应的点之间时，即时，最小，再计算即可；③由数对应的点与数对应的点重合时，即时，最小，再计算即可. 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴； （3）∵，，， ∴ ； （4）①∵表示数对应的点到数，数对应的点的距离之和， ∴当数对应的点在数，数对应的点之间时，即时，最小， 此时； ②∵表示数对应的点到数，数对应的点的距离之和， ∴当数对应的点在数，数对应的点之间时，即时，最小， 此时； ③∵表示数对应的点到数，数，数对应的点的距离之和， ∴当数对应的点与数对应的点重合时，即时，最小， 此时. 【点睛】本题考查的是利用数轴比较有理数的大小，数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义的应用，化简绝对值，熟练的利用绝对值的几何意义求解代数式的最小值是解本题的关键. 【题型2 有理数大小比较的实际应用】 1．枇杷是福清市一都镇传统特产，具有皮薄，汁多，味清甜，吃后沁心润喉，是老少皆宜的美味佳品．请阅读以下材料，完成学习任务： 材料一：某批发市场计划准备从福清市一都镇运输一批枇杷到甲地出售，为保证枇杷新鲜需用带冷柜的货车运输或空运．货车运输的平均速度为80千米/时，飞机的平均速度为800千米/时， 方案一：从福清市一都镇直接用带冷柜的货车运输一批枇杷到甲地； 方案二：从福清市一都镇先用带冷柜的货车运输到机场用时1小时后用飞机空运到甲地； 方案二比方案一少用11小时，且路程少160千米． 材料二：已知有一批枇杷用带冷柜的货车每辆运8吨，则刚好运完，若每辆运7吨，则还剩2吨枇杷没有装上车． 材料三：在材料一与材料二的条件下，运这批枇杷从福清市一都镇到甲地 陆运单价 冷柜车 空运单价 7000元/吨 400元/（小时·辆） 10000元/吨 注意：如选方案二空运，则陆运时间段只收冷柜使用费，且在飞行途中不收冷柜使用费． 参考公式：冷柜使用费冷柜使用单价使用时间车辆数目；总费用路费冷柜使用费． 请同学们根据材料一、材料二提供的信息完成3个任务： (1)请求出从福清市一都镇直接用带冷柜的货车运输一批枇杷到甲地的时间； (2)这批枇杷共有_______吨． (3)本次从福清市一都镇直接用带冷柜的货车运输一批枇杷到甲地，冷柜车一次运8吨，应选用那种方案使得总费用较少？ 【答案】(1)小时 (2) (3)方案一 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用（行程问题，其他问题），有理数四则混合运算的实际应用，有理数大小比较的实际应用等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程和算式是解题的关键． （1）根据“方案二比方案一少用11小时，且路程少160千米”列方程求解即可； （2）根据“每辆运8吨，则刚好运完，若每辆运7吨，则还剩2吨枇杷没有装上车” 列方程求解即可； （3）先分别求出两种方案的总费用，再比较大小即可． 【详解】（1）解：设从福清市一都镇直接用带冷柜的货车运输一批枇杷到甲地的时间为小时，则用飞机空运到甲地的时间为小时， 由题意得： ， 解得：， 从福清市一都镇直接用带冷柜的货车运输一批枇杷到甲地的时间为小时； （2）解：设这批枇杷共有吨， 由题意得： ， 解得：， 故答案为：； （3）解：方案一： （元）， 方案二： （元）， ， 应选方案一， 答：应选用方案一使得总费用较少． 2．项目式学习 【项目主题】帆布包和小熊外衣的制作与营销 【项目背景】文创社准备筹集资金为学校对西藏林芝市察隅县的“温暖传递，共筑梦想”的帮扶活动捐款，现购入一批长方形帆布，准备制作出帆布包和小熊进行义卖同学们针对制作和营销推广，开展了以下研究：      环节一：制作 素材1 共有900张帆布，一张长方形帆布（规格：长100厘米，宽80厘米）有两种剪裁方式．方式1：如图1，四角剪去四个相同的小正方形，则可缝制成底面周长为104厘米的长方体无盖帆布包；方式2：如图2，沿虚线剪成8个相同的长方形，每个小长方形可配给图1的帆布包做盖子．    素材2 1．所有帆布都要剪裁，且每张帆布只能选择一种剪裁方式；2．接缝处所需布料忽略不计；由于设计问题，图2中每个小长方形宽度需要比图1底面长方形的宽度更宽一些；3．图1和图2中的阴影部分为余料，图1中的余料用来为小熊制作外衣． 问题解决 问题1 研究帆布包形状按方式1剪下的正方形边长为__________厘米． 问题2 若全部做成有盖帆布包．设其中按方式1剪裁的帆布如何配套有张，请你求出的值． 问题3 若同时制作有盖和无盖帆布包，设有盖帆布包有个，则按方式2剪裁的帆布有__________张，按方式1剪裁的帆布有__________张，无盖包的数量有__________个（均用含的代数式表示）． 环节二：营销推广 素材11500元的部分总价超过1500元的部分 销售价格      物品 单价元/个 有盖包 50 无盖包 40 小熊 20 素材2 团购优惠方案 文创活动场面火爆，为减少排队时间、增加销量，现推出两个团购优惠方案： 物品 团购优惠1 团购优惠2 有盖包 买4个送1个小熊 总价不超过 500元 不优惠 无盖包 买5个送1个小熊 总价超过 500元但不超过 1500 元的部分 九折优惠 小熊 买10个送1个小熊 总价超过1500元的部分 八折优惠 素材3 团购优惠如何使用 （1）两个团购优惠方案只能选择一种． （2）为了节省排队时间，一个班级只能使用一次优惠． （3）“团购优惠1”示例：A班：共需要4个有盖包，5个无盖包，13个小熊． 费用为元； B班：共需要30个小熊，通过享受两次“买10送1”， 费用为元． 问题解决 任务1 小深班同学共买了10个有盖包，10个无盖包，15个小熊，若不使用团购优惠，则共应付__________元． 任务2 在任务1的条件下，若小深班选择团购优惠，请你帮忙为小深班同学们选择一个最优惠的购买方案（需通过计算说明）． 任务3 另有小圳班也参加团购，已知他们购买了12个有盖包和10个无盖包，且实际共获得的小熊的数量介于30和40个之间（包括30和40）．他们经过计算发现，两种团购优惠方案的价格相等．则小圳班实际共获得了__________个小熊． 【答案】环节一： 问题1： 问题2 ： 问题3：，， 环节二： 任务1： 任务2：团购优惠1：（元）， 团购优惠2：（元）， （元）， ∵， ∴应选择团购优惠； 任务3：或 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用（方案选择），有理数四则混合运算的实际应用，有理数大小比较的实际应用等知识点，熟练掌握长方体表面展开图、配套问题、购买优惠问题并根据题中的等量关系正确列出方程是解题的关键． 问题1：设小正方形边长为，根据题意列方程求解即可； 问题2：按方式1剪裁的帆布有张，按方式2剪裁的帆布有张，配套得，解方程即可求出的值； 问题3：有盖帆布包有个，按方式2剪裁的帆布有张，则按方式1剪裁的帆布有张，无盖包有个； 任务1：根据题意直接列式计算即可； 任务2：团购优惠1：（元），团购优惠2：（元），进行比较即可得出最优惠的购买方案； 任务3： 当时，团购优惠1：，团购优惠2：，于是可得，解得；当时，团购优惠1：，团购优惠2：，于是可得，解得；于是得解． 【详解】解：问题1： 设小正方形边长为， 则：， 解得：， 故答案为：； 问题2： ∵按方式1剪裁的帆布有张， ∴按方式2剪裁的帆布有张， ∴， 解得：； 问题3： ∵有盖帆布包有个， ∴按方式2剪裁的帆布有张，按方式1剪裁的帆布有张， ∴无盖包的数量为：个， 故答案为：，，； 任务1： 共应付款：（元）， 故答案为：1200； 任务2： 略 任务3： 设共获得m个小熊（）， 当时， 团购优惠1：， 团购优惠2：， ∴， 解得：，符合题意； 当时， 团购优惠1：， 团购优惠2：， ∴， 解得：，符合题意； 综上，小圳班实际共获得了或个小熊， 故答案为：或． 3．在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从地出发，晚上到达地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）． ，，，，，，，，． (1)请你帮忙确定地位于地的什么方向，距离地有多少千米？ (2)救灾过程中，冲锋舟离出发点最远处有_____千米． (3)若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为30升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ 【答案】(1)地位于地东方，距离地有22千米 (2)25 (3)8升 【分析】（1）根据有理数的加法，可得和，再根据向东为正，结合和的符号可判定方向及距离； （2）首先计算每次行程后与出发点的距离，再比较有理数的大小，可得答案； （3）首先计算当天航行的总里程，进而可得当天耗油量，再根据耗油量与已有的油量，可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴地位于地东方，距离地有22千米； （2）路程记录中各点离出发点的距离分别为： 千米， 千米， 千米， 千米， 千米， 千米， 千米， 千米， 千米， ∵， ∴救灾过程中，冲锋舟离出发点最远处有25千米． 故答案为：25； （3） 千米， 升， ∴冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充8升油． 【点睛】本题主要考查了正负数的意义、化简绝对值、有理数比较大小、有理数混合运算的应用等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 4．随着出行方式的多样化，某市三类打车方式的收费标准如下： 出租车 滴滴快车 出行 3千米以内：10元 路程：1.2元/千米 路程：1.6元/千米 超过3千米的部分：2.4元/千米 时间：0.6元/分钟 时间：0.4元/分钟 已知三种打车的平均车速均为40千米/小时．如：乘坐8千米，耗时分钟．出租车的收费为：（元）；滴滴快车的收费为：元）；出行的收费为：（元）． (1)如果乘车路程20千米，某乘客选择了出行和出租车这两种打车方式，哪种方式更省钱？ (2)出行和滴滴快车为了竞争客户，分别推出了优惠方式：滴滴快车对于乘车路程在6千米以上（含6千米）的客户每次收费减免11元；出行车费半价优惠．若乘车路程千米，请分别列出滴滴快车和出行的费用，并求出当时，哪种出行方式更省钱？ 【答案】(1)出行更省钱 (2)，，滴滴快车更省钱 【分析】本题考查了分段计费，熟练掌握总价与单价和数量的关系，列代数式，列一元一次方程，是解题关键． （1）先求出运行时间，出行的打车费包括里程费和分钟费，出租车出行的打车费包括3千米前后两段费用，直接列式计算比较即得； （2）根据滴滴快车对于乘车路程在6千米以上（含6千米）的客户每次收费减免11元；出行车费半价优惠，列出各自的费用表达式，再把分别代入计算比较即得． 【详解】（1）由题意得：（分钟）， 则出行的打车费为：（元）； 则出租车出行的打车费为：（元）； ， 出行更省钱． （2）设打车的路程为千米， 依题意得： 出行的收费为：元， 滴滴快车的收费为：元， 当时， （元）， （元）， ， 滴滴快车更省钱． 5．对于数轴上的点和线段，给出如下定义：若点与线段上一点的距离等于线段的长，则称点是线段的“强关联点”． （1）点表示的数分别是，2． ①在，0，4中，线段的“强关联点”所表示的数有______； ②线段的“强关联点”所表示的数最大为______，最小为______； （2）线段的长为． ①线段的“强关联点”所表示的数中，最大数与最小数的差为______； ②线段的长为，若存在点，使得点既是线段的“强关联点”，也是线段的“强关联点”．将线段的“强关联点”所表示的数中的最大数与线段的“强关联点”所表示的数中的最小数的差记为，则的最大值为______（用含的式子表示）． 【答案】 ，4 5 【分析】本题主要考查了有理数和数轴，两点之间的距离，有理数的加减运算，解题的关键是理解题意，并掌握数学结合的思想． （1）①假设线段上的点为，则，根据定义逐项进行判断即可； ②根据题意，列出算式求最值即可； （2）①根据定义，两个最值点的距离为线段长度的3倍； ②根据题意画出图形，借助数轴求出最值即可． 【详解】解：（1）①， 假设线段上的点为，则， 若， 解得，符合题意； 若， 解得或，均不符合题意； 若， 解得，符合题意； ∴线段的“强关联点”所表示的数有，4， 故答案为：，4； ②根据题意得， 线段的“强关联点”所表示的数最大为； 线段的“强关联点”所表示的数最小为； 故答案为：5，； （2）①根据题意得， 线段的“强关联点”所表示的数中，最大数与最小数的差为， 故答案为：； ②如图所示，当点为时，既是线段的“强关联点”，也是线段的“强关联点”， ∴的最大值为， 故答案为：． 6．小江有7张写着不同数字的卡片，请按要求抽取出卡片，完成下列各题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是____________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是____________； (3)从中取山3张卡片，使这3张卡片乘积结果为，请写出所有的情况． 【答案】(1) (2) (3)，，，． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算， （1）找出与，使其乘积最大即可； （2）找出与，使其商最小即可； （3）利用“24点”游戏规则写出两个符合要求的式子即可． 熟练掌握有理数的混合运算法则并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】（1）解：根据乘法法则，同号相乘为正，并且两个负数相乘时，绝对值越大乘积越大， ∴比较和，这两个数的绝对值相对较大， ∴选择和，它们的乘积为， 故答案为：； （2）解：根据除法法则，异号相除为负，要使商最小，就要让被除数的绝对值尽可能大，除数的绝对值尽可能小， ∴在这些数中，是较大的绝对值，\是较小的绝对值， ∴根据除法运算，， ∴2张卡片上数字相除的商最小，最小值是， 故答案为：； （3）解：根据同号得正，异号为负可得，三个数相乘，负数的个数为奇数， ∴按此规律满足3张卡片乘积结果为的等式有， ， ， ， ． 7．我们规定：如果，那么表示与中较小的数，“”表示与中较大的数；如果，那么． (1)______ (2)求的值（运算顺序为从左到右）； (3)若，且、均为正整数，求的所有可能的值． 【答案】(1)5 (2) (3)1、2、3、8、9 【分析】本题考查有理数的大小比较、新定义、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． （1）根据新定义计算即可． （2）根据新定义可以发现当时，根据这个规律计算即可． （3）根据新定义得，，，所以，然后分类讨论即可． 【详解】（1）解：根据新定义可得， 故答案为：5； （2）解：根据新定义可得当时，， 所以 ； （3）解：∵，，，且， ∴， 当时， ∵，， ∴， ∴， 当时，，， ∴，，符合题意； 当时，，， ∴，，符合题意； 当时， ∵，， ∴， ∴， 当时，，， ∴，， ∴或，符合题意； 当时，，， ∴，， ∴，符合题意； 综上所述，的所有可能的值1、2、3、8、9． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 64 页 第 1 页 共 64 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 培优题型专项训练 【数轴、相反数、有理数的大小比较】培优题型专项训练 （新教材人教版） 备注：本资料选题有一定难度，适合中等偏上学生，培优和拔尖需求！ 【数轴】 【题型1 用数轴上的点表示有理数】 1．正方形在数轴上的位置如图所示，点A，D对应的数分别为和0，若正方形绕着顶点逆时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为，则翻转2024次后，数轴上的数所对应的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 2．数轴上的点，，分别表示数，，，它们的位置如图所示，若点在原点左侧，则表示数1的点的位置正确的是（    ） A．在原点和点之间 B．在原点和点之间 C．与点重合 D．在点的右边 3．对于数轴上两条线段a，b，给出如下定义：P，Q分别为a，b上任意一点，P，Q两点间距离的最小值记作；P，Q两点间距离的最大值记作．O为原点，线段a，b的长度分别为2和4，表示的点在线段a上． （1）若表示的点也在线段a上，表示6和10的点在线段b上，则 _______ ． （2）若原点O在线段a上，点A也在线段a上，点A表示的数为x．点B在线段b上，点B表示的数为y（x，y均为整数）．当，时，对应的 ______________ ． 4．如图，数轴上点表示的数分别为，点在之间，若图中有一条线段是另一条线段的两倍，则点表示的数可以为_______ ． 5．如图，水平放置且正方向相反的数轴A和数轴B，数轴A的单位长度是数轴B的2倍，若数轴A上表示8的点与数轴B的原点对齐，则数轴B上表示数x的点与数轴A上对齐的点所表示的数为________．（用含x的代数式表示） 6．数轴上点表示的数是（为整数且），对点执行如下操作：先找到对应的点，再将这个点向原点方向平移一个单位长度，这样的一个操作叫完成一次近跳跃，到达原点后停止运动．点表示的数为，点表示的数为，，若线段上存在一点，使，则称是的“可及点”． (1)①，，点表示的数为，当_________时（把符合要求的所有选项填入空格中），点是线段的可及点． A．    B．    C．    D． ②，经过次近跳跃后，所到达位置对应的数为 ． (2)①，经过五次近跳跃后的点是的可及点，，求的取值范围． ②若，为正偶数，存在满足：经过正偶数次近跳跃后的点都是的可及点，直接写出的最大值． 【题型2 利用数轴比较两个有理数的大小】 1．有理数在数轴上的位置如图所示，则下列结论中正确的有（　　） ①；②；③；④    A．个 B．个 C．个 D．个 2．如图，点，，在数轴上表示的有理数分别是，，，若，，则原点的位置在（   ） A．点的左边 B．点的右边 C．点与点之间 D．点与点之间 3．已知有理数，，，，其中，为负数，，为正数，且． (1)画出数轴，并标出表示数，，，的点的大致位置． (2)将，，，，，按照从小到大的顺序排列． (3)比较，，，的大小． (4)若有理数满足，试比较，，之间的大小． 4．如图，在一个水平的“气垫导轨”上做小球碰撞实验．轨道架上有三个大小、质量完全相同的小球、、，轨道两端各有一个挡板和，挡板间的距离为，其中到左挡板的距离为，到右挡板的距离为，、两球相距，现以轨道所在直线画数轴，球在原点，球表示的数为．解答下列问题： (1)球表示的数为________，左挡板表示的数为________； (2)碰撞实验中（小球大小、相撞时间不计），小球做匀速直线运动，当一小球以一速度撞向另一静止小球时，这个小球停留在被撞小球的位置，被撞小球则以同样的速度向前运动，小球撞到左右挡板则以相同的速度反向运动．假设，两球同时开始运动．运动时间为． ①若球以每秒的速度向左运动，球以每秒的速度向右运动，当、两球相撞时停止运动．令，其中，表示点、之间的距离，表示点、之间的距离．请探究在运动过程中，与的数量关系； ②若球以每秒的速度向左运动，球以每秒的速度向左运动，当、两球第一次相撞时，相撞点在原点左侧．距离原点处，求与的比值． 【题型3 数轴上两点之间的距离】 1．下列说法中，正确的个数（    ） ①若，则； ②三点在数轴上对应的数分别是、6、，若相邻两点的距离相等，则； ③若代数式的值与无关，则该代数式的值为； ④如图，数轴上A，B，C三点表示的数分别为a，b，c． 若，则最小值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．一条数轴上有从左至右5个点、、、、，其中点表示的数为4，点表示的数为，且，则数对应的点所在线段是（   ） A． B． C． D． 3．如图，数轴上有M，N两点和一条线段，规定：若线段的中点R在线段上（点R能与点P或点Q重合），则称点M与点N关于线段“中线对称”． （注：把一条线段分成相等的两条线段的点，叫作线段的中点） 已知点O为数轴的原点，点A表示的数为，点B表示的数为4，点C表示的数为x，若点A与点C关于线段“中线对称”，则x的最大值为________． 4．如图，数轴上O、A两点的距离为9，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，…（n≥3，n是整数）处，则经过这样2026次跳动后的点与点O的距离是______． 5．在数轴上，点A表示的数为1，点B表示的数为3．对于数轴上的图形M，给出如下定义：P为图形M 上任意一点，Q为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形M 关于线段的极小距离，记作，线段：如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形M 关于线段 的极大距离，记作，线段． 例如：点K表示的数为4，则点K，线段， 点K，线段． 已知点O为数轴原点，点C，D为数轴上的动点． (1)点O，线段 ． 点O，线段 ； (2)若点C， D表示数分别为m， ，线段，线段．求m的值； (3)点C从原点出发，以每秒2个单位长度沿x轴正方向匀速运动：点D从表示数的点出发，第1秒以每秒2个单位长度沿x轴正方向匀速运动，第2秒以每秒4个单位长度沿x轴负方向匀速运动，第3秒以每秒6个单位长度沿x轴正方向匀速运动，第4秒以每秒8个单位长度沿x轴负方向匀速运动，…，按此规律运动，C，D两点同时出发，设运动的时间为t秒，线段，线段，求t． 6．七年级数学兴趣小组开展数学微项目学习，他们决定研究南宁地铁的运行． 素材一 如图是南宁地铁号线的线路图，为了研究方便，地铁运行过程中速度看成匀速，每相邻两站的间距都可近似看成相等．且相邻两站间地铁的运行时间都为分钟，每站停靠时间为秒． 素材二 小安用数轴上的动点来表示地铁的运行，他以火车东站为原点建立了如图所示的数轴．其中数字表示佛子岭站，数字代表百花岭站．以此类推，动点每运动到一个整点时．都需要暂停秒，代表地铁到达停靠． 问题解决 探究 （）如图，数字表示________站 探究 （）如图，若小瑞从火车东站出发往南湖方向，出发时间为分钟，当分钟时，此时小瑞离火车东站距离多远？ （）若从原点出发，运动分钟到数字和数字之间（不含数字和数字），求点在数轴上表示的数（用含的代数式表示）． 探究 （）若小瑞在百花岭站上车，坐地铁往南湖方向，同时小安在万象城站上车，往南宁东站方向坐地铁．若两辆地铁恰好同时从百花岭站和万象城站出发，出发多久后两人在数轴上刚好相距个单位长度． 【题型4 数轴动点问题】 1．如图，点为原点，、为数轴上两点，，且，点从点开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点开始运动时，点、分别以每秒5个单位和每秒2个单位的速度同时向右运动，设运动时间为秒，若的值在某段时间内不随着的变化而变化，则的值为（   ） A．5或7 B．3或5或7 C．3或5 D．3或7 2．如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示12，点C表示24，点D表示36，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为；点A与点B在数轴上的“友好距离”为21个单位长度，并表示为，以此类推． 已知动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动，当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的3倍．经过点C后立刻恢复初始速度．动点P从点A出发运动至点D的过程中，某个时刻满足，此时动点P运动的时间是_______．    3．一个跳蚤在一条数轴上，从0开始，第1次向右跳1单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，依此规律下去，当它跳第2025次落下时，落点在数轴上表示的数是______． 4．如图所示，在数轴上点表示的数分别为，，，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为 (1)则______，______，______； (2)点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点、点分别以每秒个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问： ①运动秒后，点与点之间的距离为多少？用含t的代数式表示 ②的值是否随着运动时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变；请求其值； (3)由第（1）小题可以发现，三条线段的长度之间满足的数量关系．若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，三条线段的长度之间又存在怎样的数量关系，请直接写出答案． 5．七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴” 素材1 如图，将一条数轴在原点 O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”． 图中点A表示， 点B表示12， 点C表示24， 点 D表示36，我们称点 A与点 D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为 ． 素材2 动点 P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点 B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点 B与点 C之间时速度变为初始速度的两倍．经过点 C后立刻恢复初始速度． 问题解决 探索 1 动点 P从点 A运动至点 B需要多少时间？ 探索 2 动点P从点A出发，运动 t秒至点B和点C之间时，求点 P表示的数 （用含 t的代数式表示）； 6．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．回答下列问题： (1)①数轴上表示x和2的两点A和B之间的距离是 ； ②在①的情况下， 如果， 那么x为 ； (2)探究问题：代数式的最小值是多少？ 如图，点、、分别表示数、、，， ∵的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点在线段上时，，当点在点的左侧或点的右侧时，， ∴的最小值是． 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： ①直接写出式子的最小值是______； ②工厂加工车间工作流水线上依次间隔米排着个工作台、、、、，一只配件箱应该放在工作台____处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是_______米． (3)若点、、在数轴上分别表示数、、，点、、同时开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【题型5 数轴上的规律探究】 1．如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为上，，，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 2．一个机器人从数轴的原点出发，沿数轴的正方向，以每前进3步后退1步的程序运动．设该机器人每秒前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长度，（为正整数）表示第秒时该机器人在数轴上的位置所对应的数．现给出下列结论：①；②；③；④；⑤，其中错误的是（    ） A．②④⑤ B．①④ C．①③ D．③⑤ 3．如图，在数轴上点A表示1，现将点A沿数轴做如下移动：第一次点A向左移动3个单位长度到达点，第二次将点向右移动6个单位长度到达点，第三次将点向左移动9个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，则线段的长度是_________． 4．（1）阅读以下材料，并回答问题． 如图，将一根木棒放在数轴上（数轴的单位长度为1cm），木棒左端与数轴上的点重合，右端与数轴上的点重合．    若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为27；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为6． ①请列式求出这根木棒的长； ②填空：图中点所表示的数是________，点所表示的数是________； （2）借助上面的方法解决下面的问题： 一天，小明去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要43年才出生；你若是我现在这么大，我已经是122岁啦！” ①请列式求出奶奶和小明的年龄差： ②填空：小明现在的年龄为________（岁），奶奶现在的年龄为________（岁） 5．已知数轴上有不重合的三个点，点表示的数为，点与点到原点的距离相等，点在原点的左侧，且到点的距离为7． (1)求点表示的数． (2)假设动点分别从点同时出发，动点的速度为每秒2个单位长度，动点的速度为每秒1个单位长度，当动点与动点距离为1个单位长度时，设运动时间为，求： ①动点与动点应同时向______（填“左”或“右”）运动； ②动点与动点相遇前的时间及此时动点表示的数； ③动点与动点相遇后的时间及此时动点表示的数． (3)在数轴上，有一个动点，从点出发，在数轴上作有规律的运动：第一次从点出发向左运动1个单位长度到点，第二次从点向右运动2个单位长度到点，第三次从点向左运动3个单位长度到点，第四次从点向右运动4个单位长度到点……按照此规律不断地左右运动，当第2025次运动到点时，请直接写出点所对应的数． 6．将两个数轴平行放置，并使二者的刻度数上下对齐，再将两个数轴的原点连接起来，就构成一个“双轴系”．定义“双轴系”中两个点、的距离：如果、两点在同一个数轴上，则二者之间的距离定义和通常的距离一致，；如果、两点分别位于两个数轴上，定义． 利用“双轴系”定义一种“有向数”，记号是在通常数的右边加上“”或“”，例如，“”表示上层数轴中表示数“”的点，“”表示下层数轴中表示数“”的点，“”、“”分别表示上下两个数轴的原点． (1)在双轴系中与的距离为：________；与的距离为________； (2)现有只电子蚂蚁甲从“”所表示的点出发不断跳跃，依次跳至、、、、、、、、、…，另有一只电子蚂蚁乙从“”所表示的点出发，然后跳跃到，接着又跳回，其后再次跳到，下一步又跳回，按此规律在和之间来回跳动．假设两只蚂蚁同时跳跃同时落下，步调一致． ①当蚂蚁甲第次跳到所表示的点时，请问此时蚂蚁甲共跳跃了________次； ②当乙蚂蚁跳跃次时，在双轴系上是否存在一点，满足到甲蚂蚁的距离是到乙蚂蚁距离的倍．若存在，直接写出点表示的数，不存在，说明理由． 【相反数】 【题型1 相反数的定义综合应用】 1．下列说法正确的有（    ）． ①0是多项式；②角是两条射线组成的图形；③互补且相等的两个角都是直角；④单项式的系数是，次数是5；⑤如果是正数，那么一定是负数；⑥的奇数次幂等于；⑦一个有理数和它的相反数的积是负数；⑧如果线段，则点是线段的中点；⑨连接两点间的线段，叫做这两点的距离；⑩在单价一定的情况下，购买《故事会》的总价和数量成反比例． A．5个 B．3个 C．2个 D．4个 2．如图，一个正方体纸盒的六个面上填有不同的数或式，从不同方向看到的情形如图，如果相对两个面的数或式的值互为相反数，则的值为（    ） A．1 B． C．0 D．2025 3．下列说法正确的序号是（   ） ①已知a，b是非零的有理数，若，则； ②若a，b为两个负有理数且，则； ③已知a，b，c是非零的有理数，若，则结果的符号为正； ④已知a，b，c是非零的有理数，且时，则的值为1或； A．①④ B．①②④ C．①③④ D．①② 4．已知方程的解与关于的方程的解互为相反数，则的值是________． 5．已知是方程的解． (1)写出a与b满足的关系式； (2)如图是一个正方体的表面展开图，每组相对面上所标的两个数都互为相反数，在a与b满足（1）中的关系式的前提下，求a的值． 6．因为，所以与互为“友好数”． (1)求的“友好数”为 ． 判断与是否互为“友好数”，并说明理由． (2)若有理数与互为“友好数”，与互为相反数，求代数式的值． (3)对于有理数（且），设的“友好数”为；的倒数；的“友好数”为；的倒数为；…；依次按如上的操作，得到一组数，，，，，…．当时，求的值． 【题型2 相反数的应用】 1．若互为相反数，互为倒数，并且的立方等于它本身． (1)若，且，，试求的值． (2)若，试讨论：为有理数时，是否存在最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 2．在数轴上，点位于原点的左侧，表示数，点表示的数是1，点位于点的右侧，表示数，记．例如下图中，当，时，． 在线段上取点，其表示的数为，在线段上取点，其表示的数为． 则下列说法中，所有正确说法的序号是__________． ①； ②； ③当时，对于任意的点，总能找到点，使得； ④当时，对于任意的点，总能找到点，使得． 【有理数的大小比较】 【题型1 有理数大小比较】 1．下列结论：①若 ，那么一定是 2；②两个数比较大小，绝对值大的反而小；③，则或；④若互为相反数，则，正确的说法的个数是（    ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 2．有理数a，b，满足，且，下列结论：①  ②  ③  ④  其中正确的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 3．如果，，那么与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．下列说法中，正确的有________． ①若，，且，则； ②若三个连续的奇数中，最小的一个为，则最大的一个是； ③若，则可能的值有4个； ④使得成立的的值有无数个． 5．3个有理数a、b、c两两不等，则，，中有____________个是负数． 6．有理数a，b，满足，且，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有______（填序号）． 7．如图是一个数字传输器，箭头代表传输路径，方框代表传输方式，菱形代表判断，理解这个数字传输器的工作原理，回答下列问题： (1)当时，____________；当时，___________； (2)若输出的值为0，则输入的为___________；（用含的代数式表示，为正整数） (3)若是自然数，请写出的所有可能值________________． 8．探索研究： (1)比较下列各式的大小（用“<”或“”或“=”连接）． ①__________； ②__________； ③__________； ④__________ (2)通过以上比较，请你分析､归纳出当为有理数时，__________（用“<”或“”或“=”或“≥”或“≤”连接）． (3)根据（2）中得出的结论，当时，则的取值范围是__________． 9．根据数学研究对象本质属性的共同点和差异点，将事物分类，然后对划分的每一类进行研究的方法叫做“分类讨论”方法． (1)比较下列各式的大小（用“”、“”、“”连接） ① ；② ； ③ ；④ ． (2)、为有理数，通过比较、分析，归纳与的大小关系为 ． （用“”、“”、“”、“”、“”连接） (3)根据（2）中得出的结论，当时，x的取值范围是 ；整数，，，满足，，则 ． 10．如图，数轴上有点a，b，c三点    (1)用“<”将a，b，c连接起来． (2)______1，______0（填“<”、“>”、“=”） (3)化简：． (4)求下列各式的最小值： ①的最小值为______； ②的最小值为______； ③当________时，的最小值为________． 【题型2 有理数大小比较的实际应用】 1．枇杷是福清市一都镇传统特产，具有皮薄，汁多，味清甜，吃后沁心润喉，是老少皆宜的美味佳品．请阅读以下材料，完成学习任务： 材料一：某批发市场计划准备从福清市一都镇运输一批枇杷到甲地出售，为保证枇杷新鲜需用带冷柜的货车运输或空运．货车运输的平均速度为80千米/时，飞机的平均速度为800千米/时， 方案一：从福清市一都镇直接用带冷柜的货车运输一批枇杷到甲地； 方案二：从福清市一都镇先用带冷柜的货车运输到机场用时1小时后用飞机空运到甲地； 方案二比方案一少用11小时，且路程少160千米． 材料二：已知有一批枇杷用带冷柜的货车每辆运8吨，则刚好运完，若每辆运7吨，则还剩2吨枇杷没有装上车． 材料三：在材料一与材料二的条件下，运这批枇杷从福清市一都镇到甲地 陆运单价 冷柜车 空运单价 7000元/吨 400元/（小时·辆） 10000元/吨 注意：如选方案二空运，则陆运时间段只收冷柜使用费，且在飞行途中不收冷柜使用费． 参考公式：冷柜使用费冷柜使用单价使用时间车辆数目；总费用路费冷柜使用费． 请同学们根据材料一、材料二提供的信息完成3个任务： (1)请求出从福清市一都镇直接用带冷柜的货车运输一批枇杷到甲地的时间； (2)这批枇杷共有_______吨． (3)本次从福清市一都镇直接用带冷柜的货车运输一批枇杷到甲地，冷柜车一次运8吨，应选用那种方案使得总费用较少？ 2．项目式学习 【项目主题】帆布包和小熊外衣的制作与营销 【项目背景】文创社准备筹集资金为学校对西藏林芝市察隅县的“温暖传递，共筑梦想”的帮扶活动捐款，现购入一批长方形帆布，准备制作出帆布包和小熊进行义卖同学们针对制作和营销推广，开展了以下研究：      环节一：制作 素材1 共有900张帆布，一张长方形帆布（规格：长100厘米，宽80厘米）有两种剪裁方式．方式1：如图1，四角剪去四个相同的小正方形，则可缝制成底面周长为104厘米的长方体无盖帆布包；方式2：如图2，沿虚线剪成8个相同的长方形，每个小长方形可配给图1的帆布包做盖子．    素材2 1．所有帆布都要剪裁，且每张帆布只能选择一种剪裁方式；2．接缝处所需布料忽略不计；由于设计问题，图2中每个小长方形宽度需要比图1底面长方形的宽度更宽一些；3．图1和图2中的阴影部分为余料，图1中的余料用来为小熊制作外衣． 问题解决 问题1 研究帆布包形状按方式1剪下的正方形边长为__________厘米． 问题2 若全部做成有盖帆布包．设其中按方式1剪裁的帆布如何配套有张，请你求出的值． 问题3 若同时制作有盖和无盖帆布包，设有盖帆布包有个，则按方式2剪裁的帆布有__________张，按方式1剪裁的帆布有__________张，无盖包的数量有__________个（均用含的代数式表示）． 环节二：营销推广 素材11500元的部分总价超过1500元的部分 销售价格      物品 单价元/个 有盖包 50 无盖包 40 小熊 20 素材2 团购优惠方案 文创活动场面火爆，为减少排队时间、增加销量，现推出两个团购优惠方案： 物品 团购优惠1 团购优惠2 有盖包 买4个送1个小熊 总价不超过 500元 不优惠 无盖包 买5个送1个小熊 总价超过 500元但不超过 1500 元的部分 九折优惠 小熊 买10个送1个小熊 总价超过1500元的部分 八折优惠 素材3 团购优惠如何使用 （1）两个团购优惠方案只能选择一种． （2）为了节省排队时间，一个班级只能使用一次优惠． （3）“团购优惠1”示例：A班：共需要4个有盖包，5个无盖包，13个小熊． 费用为元； B班：共需要30个小熊，通过享受两次“买10送1”， 费用为元． 问题解决 任务1 小深班同学共买了10个有盖包，10个无盖包，15个小熊，若不使用团购优惠，则共应付__________元． 任务2 在任务1的条件下，若小深班选择团购优惠，请你帮忙为小深班同学们选择一个最优惠的购买方案（需通过计算说明）． 任务3 另有小圳班也参加团购，已知他们购买了12个有盖包和10个无盖包，且实际共获得的小熊的数量介于30和40个之间（包括30和40）．他们经过计算发现，两种团购优惠方案的价格相等．则小圳班实际共获得了__________个小熊． 3．在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从地出发，晚上到达地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）． ，，，，，，，，． (1)请你帮忙确定地位于地的什么方向，距离地有多少千米？ (2)救灾过程中，冲锋舟离出发点最远处有_____千米． (3)若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为30升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ 4．随着出行方式的多样化，某市三类打车方式的收费标准如下： 出租车 滴滴快车 出行 3千米以内：10元 路程：1.2元/千米 路程：1.6元/千米 超过3千米的部分：2.4元/千米 时间：0.6元/分钟 时间：0.4元/分钟 已知三种打车的平均车速均为40千米/小时．如：乘坐8千米，耗时分钟．出租车的收费为：（元）；滴滴快车的收费为：元）；出行的收费为：（元）． (1)如果乘车路程20千米，某乘客选择了出行和出租车这两种打车方式，哪种方式更省钱？ (2)出行和滴滴快车为了竞争客户，分别推出了优惠方式：滴滴快车对于乘车路程在6千米以上（含6千米）的客户每次收费减免11元；出行车费半价优惠．若乘车路程千米，请分别列出滴滴快车和出行的费用，并求出当时，哪种出行方式更省钱？ 5．对于数轴上的点和线段，给出如下定义：若点与线段上一点的距离等于线段的长，则称点是线段的“强关联点”． （1）点表示的数分别是，2． ①在，0，4中，线段的“强关联点”所表示的数有______； ②线段的“强关联点”所表示的数最大为______，最小为______； （2）线段的长为． ①线段的“强关联点”所表示的数中，最大数与最小数的差为______； ②线段的长为，若存在点，使得点既是线段的“强关联点”，也是线段的“强关联点”．将线段的“强关联点”所表示的数中的最大数与线段的“强关联点”所表示的数中的最小数的差记为，则的最大值为______（用含的式子表示）． 6．小江有7张写着不同数字的卡片，请按要求抽取出卡片，完成下列各题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是____________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是____________； (3)从中取山3张卡片，使这3张卡片乘积结果为，请写出所有的情况． 7．我们规定：如果，那么表示与中较小的数，“”表示与中较大的数；如果，那么． (1)______ (2)求的值（运算顺序为从左到右）； (3)若，且、均为正整数，求的所有可能的值． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 64 页 第 1 页 共 64 页 学科网（北京）股份有限公司 $