1.2.4 【绝对值】培优题型专项训练 2026-2027学年人教版七年级数学上册

简一数理 培优题型专项训练 【绝对值】培优题型专项训练 （新教材人教版） 备注：本资料选题有一定难度，适合中等偏上学生，培优和拔尖需求！ 【题型1 绝对值的几何意义】 1．已知一个两位数，交换十位数字和个位数字后得到新数，新数比原数大45，若关于x的方程的所有整数解分别为，，…，，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．12 D．2 2．关于代数式的最值，下列说法正确的是（） A．最小值是0 B．最小值是3 C．最小值是 D．无最大值 3．我们知道：在数轴上，若点A，B分别表示实数a，b，则A，B两点之间的距离为．例如：式子的几何意义是数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离，则式子的最小值是________． 4．的最小值为______． 5．【背景知识】 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础、在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行深入探究． 【尝试运用】 点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．例如，数轴上3与1两点之间的距离表示为． (1)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为 ． (2)①若，则 ②若x表示一个有理数，则的最小值为 ，满足条件的所有整数x的和为 ． 【应用生活】 (3)为了便于研究，规定地面为0层，地上的楼层记为正数（而在实际生活中通常称地面为1层，没有标记0层）．已知有一高层写字楼，它的地下有2层，地上有32层，且该写字楼配备有两部电梯，当有两层同时按下电梯按键，电脑会按照这两层等待电梯时间的和最短来分配电梯．现有一人在层要坐电梯上去，另一人在20层要坐电梯下去，并且两人同时按下电梯按键．假设他们等待期间没有其他人按电梯按键，电梯平均通过一层的时间为0.8秒．如果原先有一部电梯停在10层，这两个人等待电梯时间的和是16秒，问另一部电梯原先可能停在哪一层？ 6．如图，在数轴上，点A、O、B表示的数分别为、0、12． (1)直接写出______，_______； (2)设点P在数轴上对应的数为x． ①若点P为线段的中点，求x的值； ②若点P为线段上的一个动点，化简的结果； (3)动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向终点B运动，同时动点N从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴在B、A两点之间往返运动，当点M运动到点B时，M和N两点同时停止运动．设运动时间为t秒，是否存在t值，使得？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 7．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，请同学们解决下面有关数轴的问题： (1)如图已知数轴上点A、B分别表示a、b，且与互为相反数，O为原点． ①______，______； ②将数轴沿某个点折叠，使得点A与表示的点重合，则此时与点B重合的点所表示的数为______； (2)m、n两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为．例如，5与两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，从而很容易就得出在数轴上表示5与两点之间的距离是7． ①若x表示一个有理数，则的最小值______． ②若x表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数x的和是______． ③当______时，取得最小值． (3)数轴上点C、D表示的数分别为4、． ①动点P从D出发，沿数轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动．经过多少秒P与C的距离是2个单位长度． ②在①的条件下，动点P出发的同时，动点Q从C出发，沿着数轴负方向以每秒1个单位长度的速度运动，经过______秒，点Q到点D的距离是点P到点C距离的2倍？ 8．对于有理数x，y，a，t，若，则称x和y关于a的“美好关联数”为t，例如：，则2和3关于1的“美好关联数”为3． (1)3和5关于2的“美好关联数”为 ； (2)若x和1关于0的“美好关联数”为4，求x的值； (3)若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，…，和关于40的“美好关联数”为1，…． ①的最小值为 ； ②求的最小值． 9.【背景介绍】：绝对值在初中数学中是一个基础核心概念和关键枢纽．它看似简单，却是连接算术与代数、串联多种数学思想的重要节点． 【应用】：（1）已知，都是有理数，若，则的值， 【引导思考1】：（2）分类讨论：如果，，求． 【引导思考2】：几何意义：表示数、在数轴上对应的点、之间的距离． （3）如图表示数在数轴上四个点的位置关系，且它们表示的数分别为、、、、若，，，则的值是 ． 【尝试应用】：（4）符号：，表示：对于数轴上任一点，和是与点相距个单位长度（）的两点．如果点、是数轴上的两个动点，，（其中，）．两点同时从原点出发，点向左，点向右运动，当时，求点、之间的距离． 【题型2 求一个数的绝对值】 1．将3，4，5，6，7，8六个数随机分成两组，每组3个，分别用，，和，，表示，且，，设，则m为______ 2．已知表示个互不相等的整数，这个数的绝对值都大于，且满足则的最大值是______． 3．已知，且，那么多项式的值为___________． 4．在一条直线上有依次排列的（）台机床在工作，我们要设置一个零件供应站，使这台机床到供应站的距离总和最小．要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形：如图①，如果直线上有台机床时，很明显设在和间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于和的距离． 如图②，如果直线上有台机床时，不难判断，供应站设在中间处最合适，不难知道，如果直线上有台机床，应设在第台与第台之间的任何地方；有台机床，应设在第台位置． (1)如果直线上有台机床，应在何处？ (2)有台机床时，应设在何处？ (3)求的最小值． (4)求的最小值． 5．阅读材料，解决下列问题：数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．结合数轴与绝对值的知识可知：在数轴上点，分别表示数，，则，两点之间的距离． 已知点，在数轴上，是线段上一点，多项式的次数为，项数为，当时，此多项式的值为． (1)_____，______，______； (2)如图1，数轴上的点，，表示的数分别是，，，则______； (3)在（2）的条件下，如图2，点在线段上，点在线段上，若点，分别从，出发以，（一个单位长度表示）的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示． ①当点，运动了时，求的值． ②设点，的运动时间为．当时，求的值． 6．同学们都知道，表示1与之差的绝对值，实际上也可以理解为1与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： (1)求_________； (2)同理，表示数轴上实数所对的点分别到和1006所对的两点距离相等，则_______________； (3)类似地，表示数轴上实数所对的点分别到和2所对的两点距离之和，若，则________________； (4)由以上探究，猜想对于任何实数，是否有最小值？如果有，请求出最小值；如果没有，请说明理由． 7．已知：，，．．．，都是不等于0的有理数，请你探究以下问题： (1)若，则共有__________个不同的值，它们分别是__________； (2)若，则共有__________个不同的值，它们分别是__________； (3)若，则共有__________个不同的值，它们分别是__________； (4)若，则共有__________个不同的值，它们分别是_____ (5)由以上探究可知，，则共有_____个不同的值； (6)的最大值和最小值的差等于_____，所有值的绝对值的和等于_____． 8．【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离． 这个结论可以推广为：点、在数轴上分别表示有理数、，则，两点之间的距离表示为，即．例如，在数轴上，表示和的点的距离为． 【问题解决】 (1)表示数轴上数x与______（填数字）之间的距离； (2)若点为数轴上一点，它所表示的数为，点在数轴上表示的数为，则______（用含的代数式表示）； 【关联运用】 (3)运用一：若，求的值； (4)运用二：已知动点、、分别从数轴、3、4的位置沿数轴正方向同时运动，速度分别为2个单位长度/秒，4个单位长度/秒，8个单位长度/秒．原点为点，线段，，的中点分别为，，，若，且的值为常数，求出和的值． 9．（阅读理解）我们知道，数轴上两点之间的距离可以用这两点所表示的数的差的绝对值来表示，例如：点A表示的数是a，点B表示的数是b，则A、B两点之间的距离． 根据以上信息，解决下列问题： (1)计算 ___ ； (2)若，求x的值； (3)若，求所有符合条件的整数x； (4)是否存在有理数x，使得有最大值？若存在，求出最大值及对应的x的取值范围；若不存在，请说明理由． 10．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如的几何意义是数轴上x对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． (1)填空：若，则x的值为 ； (2)直接写出式子的最小值为 ； (3)如图，在一条笔直的街道上有A，B，C，D，E五个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知A，B，C，D，E五个小区各有1个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这5个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的他们通过分析，发现在街道上的M处汇合使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请问汇合地点M设置在什么位置的时候，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，并求出此最小值． 【题型3 绝对值非负性】 1．已知整数满足，则满足条件的的值有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知a，b，c均为正整数，且，则的值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 3．在下列说法中： ①若，则； ②若，则； ③若是有理数，则一定是正数； ④若，则； ⑤已知a、b、c均为非零有理数，若，则的值为2或． 其中正确的个数为（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．设x、y、z为整数且满足，则代数式的值为____________ 5．定义一种新运算：对于任意有理数和，都有．下列结论正确的是_____________ ①若，则；②；③若a，b异号，则或； ④对于任意有理数，总有； 6．已知，，则的最小值为______． 7．如图，已知数轴上有A、B、C三点，点O为原点，点A、B在原点的右侧，点C在原点的左侧，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a、b满足，． (1)_______，_______，_______（直接写出答案）； (2)动点P从点C出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t（）；当t为何值时，点P、Q刚好相距10个单位长度? (3)在（2）的条件下，若点M从点A以每秒6个单位长度的速度向左与P、Q同时运动，当点M与点P或点Q相遇时，则立即改变运动方向，以原来的速度向相反方向运动，当P、Q相遇时，三个点均停止运动，求点M运动的总路程． 8．若与互为相反数，求的值． 9．如图，点A，B是数轴上的两点，点A对应的数为a，点B对应的数为b，且a，b满足 (1)____，____； (2)点P从A出发以每秒2个单位向右运动，运动时间为t秒，当时，求t的值； (3)C，D为数轴上两个动点（点C在点D的左侧），它们的运动方向相同，速度相同，且，若为定值的时长为3秒，为定值的时长为8秒，求点C的速度． 10．已知a，b为有理数，规定，，例如：，． (1)若，求的值： (2)求的最值： (3)若有理数a，b，c满足，，求的值． 【题型4 绝对值的其他应用】 1．下列说法正确的有（    ） ①已知a，b，c是非零的有理数，且时，则的值为1或； ②已知a，b，c是有理数，且，时，则的值为或3； ③已知时，那么的最大值为7，最小值为； ④若且，则式子的值为； ⑤如果定义，当，，时，的值为． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，，那么的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．不确定 3．设有理数a、b、c满足，且，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 4．已知，，，均为整数，且，若，，则的最大值为______． 5．设有理数a，b，c，满足，，且，则的最小值为______． 6．已知、、、、，满足下列条件：，，，，以此类推，的值是______． 7．的最小值是_____． 8．同学们都知道，表示4与的差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，同理也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离，就表示x在数轴上对应的点到的距离，由上面绝对值的几何意义，解答下列问题： (1)x与4的距离可以表示为__________，若，则__________． (2)若，则所有符合条件的整数x的和为__________． (3)当x的取值为多少时，有最小值，最小值是多少？ 9．【阅读】已知、两个数在数轴上对应的点为、，其中，求、两点之间的距离．小明利用绝对值的概念，结合数轴，进行探索：解：因为，所以有以下情况： 情况1：若，，如图，、两点之间的距离； 情况2：若，，如图，、两点之间的距离； 情况3：若，，如图，、两点之间的距离． 由此小明得出结论：若、两个数在数轴上对应的点为、，其中，则、两点之间的距离． [应用]在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点对应的数为． (1)若，，则 ． (2)若，，点到点的距离是点到点距离的倍． ①当时，求的值； ②对于任意一个的值，满足条件的点的个数始终有个，请直接写出取值范围． 10．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为 ，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题： （一）数轴上表示数的点和表示数2的点之间的距离是 ． （二）数轴上点A用数a表示， （1）若，那么a的值是 ． （2）最小值是 ． （3）最小值是 ． （4）当a为何值时，有最小值，最小值为多少？ 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 48 页 第 1 页 共 48 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 培优题型专项训练 【绝对值】培优题型专项训练 （新教材人教版） 备注：本资料选题有一定难度，适合中等偏上学生，培优和拔尖需求！ 【题型1 绝对值的几何意义】 1．已知一个两位数，交换十位数字和个位数字后得到新数，新数比原数大45，若关于x的方程的所有整数解分别为，，…，，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．12 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值、一元一次方程，由两位数交换数字后差45得出b与a的关系，代入方程求整数解，得到三个解后求绝对值表达式的最小值． 【详解】∵原数=，新数=， ∴， 即， ∴， ∵a为1至9的整数，b为0至9的整数， ∴a可取1，2，3，4，对应，7，8，9． 方程， 代入，得， ∴， 当时，；时，；时，不是整数；时，． ∴整数解为，，，即． ∴． 当y取2时，和最小为． ∴最小值为5． 故选：A． 2．关于代数式的最值，下列说法正确的是（） A．最小值是0 B．最小值是3 C．最小值是 D．无最大值 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，根据绝对值的意义表示到的距离与的距离的差，进而分类讨论绝对值符号，化简代数式，并分析各段取值范围，得出最值． 【详解】解：表示到的距离与的距离的差， ①当时，，， ∴ ②当时，，， ∴ ∴ ③当时，，， ∴ 综上所述，当时，有最小值为 故选：C． 3．我们知道：在数轴上，若点A，B分别表示实数a，b，则A，B两点之间的距离为．例如：式子的几何意义是数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离，则式子的最小值是________． 【答案】8 【分析】本题考查的是数轴上两点间的距离，关键是要理解两点间的距离，就是两个点表示的有理数的差的绝对值． 式子表示的是一个数到和的距离的和，那么应在和之间的线段上，由此可求出该式子的最小值． 【详解】解：∵表示数轴上与之间的距离，表示数轴上与之间的距离， ∴式子表示的是一个数到和的距离的和， ∴时，表示数的点到表示数和的点之间的距离最小， 和间的距离为， 的最小值为， 故答案为：． 4．的最小值为______． 【答案】 【分析】此题考查了绝对值的几何意义． 根据绝对值的几何意义，多个绝对值之和的最小值出现在中间的数值处．由于点从1到2026共2026个，是偶数，中间的数值为第1013个点和第1014个点的平均值，即． 【详解】解：设．当时，取得最小值． ． 故答案为． 5．【背景知识】 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础、在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行深入探究． 【尝试运用】 点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．例如，数轴上3与1两点之间的距离表示为． (1)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为 ． (2)①若，则 ②若x表示一个有理数，则的最小值为 ，满足条件的所有整数x的和为 ． 【应用生活】 (3)为了便于研究，规定地面为0层，地上的楼层记为正数（而在实际生活中通常称地面为1层，没有标记0层）．已知有一高层写字楼，它的地下有2层，地上有32层，且该写字楼配备有两部电梯，当有两层同时按下电梯按键，电脑会按照这两层等待电梯时间的和最短来分配电梯．现有一人在层要坐电梯上去，另一人在20层要坐电梯下去，并且两人同时按下电梯按键．假设他们等待期间没有其他人按电梯按键，电梯平均通过一层的时间为0.8秒．如果原先有一部电梯停在10层，这两个人等待电梯时间的和是16秒，问另一部电梯原先可能停在哪一层？ 【答案】(1) (2)①或；②， (3)另一部电梯原先可能停在或层 【分析】（1）根据两点之间的距离公式表示即可； （2）①表示数轴上表示x和的两点之间的距离为，据此求解即可； ②表示数轴上表示x的点到与的两点的距离之和，据此求解即可； （3）先分析停在10层的电梯先接谁，再计算另一部电梯原先可能停的层数． 【详解】（1）解：数轴上表示x和的两点之间的距离表示为． （2）解：①表示数轴上表示x和的两点之间的距离为， 当在右边时，； 当在左边时，； ②表示数轴上表示x的点到与的两点的距离之和， 当表示x的点在表示与的两点之间或重合时，取得最小值，最小值为； 满足条件的所有整数x为，它们的和为． （3）解：①如果10层电梯优先到20层接人，此人等待电梯时间（秒）， 因为这两个人等待电梯时间的和是16秒， 所以在层的人等待电梯时间（秒），则电梯通过层数为（层）， 所以另一部电梯原先可能停在层． ②如果10层电梯优先到层接人，此人等待电梯时间（秒）， 因为这两个人等待电梯时间的和是16秒， 所以在层的人等待电梯时间（秒），则电梯通过层数为（层）， 所以另一部电梯原先可能停在层， 综上所述，另一部电梯原先可能停在或层． 6．如图，在数轴上，点A、O、B表示的数分别为、0、12． (1)直接写出______，_______； (2)设点P在数轴上对应的数为x． ①若点P为线段的中点，求x的值； ②若点P为线段上的一个动点，化简的结果； (3)动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向终点B运动，同时动点N从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴在B、A两点之间往返运动，当点M运动到点B时，M和N两点同时停止运动．设运动时间为t秒，是否存在t值，使得？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)10；22 (2)①；②22 (3)存在，或11 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，线段中点的定义，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，绝对值的应用，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离的计算方法，即可得到答案； （2）①根据线段中点的定义，得到，列方程并求解，即得答案；②若点P为线段上的一个动点，则，根据两点之间的距离的计算方法，即得答案； （3）先求出点M表示的数，的长，然后分和两种情况，分别求出的长，再列方程分别求解，即得答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：10，22； （2）解：①∵点P为线段的中点， ∴， ∴， 解得． ②∵点P为线段上的一个动点， ∴， （3）解：∵动点M从A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在A，B之间向右运动，同时动点N从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动， ∴， ∴点M表示的数为； 当时，点N表示的数为； 当时，点N表示的数为． 当时，， ∴或， 解得或； 当时，， ∴或， 解得或． ∴存在t值，使得，或11． 7．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，请同学们解决下面有关数轴的问题： (1)如图已知数轴上点A、B分别表示a、b，且与互为相反数，O为原点． ①______，______； ②将数轴沿某个点折叠，使得点A与表示的点重合，则此时与点B重合的点所表示的数为______； (2)m、n两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为．例如，5与两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，从而很容易就得出在数轴上表示5与两点之间的距离是7． ①若x表示一个有理数，则的最小值______． ②若x表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数x的和是______． ③当______时，取得最小值． (3)数轴上点C、D表示的数分别为4、． ①动点P从D出发，沿数轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动．经过多少秒P与C的距离是2个单位长度． ②在①的条件下，动点P出发的同时，动点Q从C出发，沿着数轴负方向以每秒1个单位长度的速度运动，经过______秒，点Q到点D的距离是点P到点C距离的2倍？ 【答案】(1)①，② (2)①②③ (3)① 经过秒或秒 ②或 【分析】（1）①利用平方和绝对值的非负性求得的值；②折线与数轴的交点为重合两点的中点，利用数轴上两点间的距离找到中点所表示的数，进而可求得与B点重合的点所表示的数； （2）①利用绝对值的几何意义进行求解；②利用绝对值的几何意义进行求解；③利用绝对值的几何意义进行求解； （3）① 秒点表示的数为，根据P与C的距离是2个单位长度，列方程求解即可②运动秒后，点表示的数为，点表示的数为 ．依题意列方程，求得符合题意的解即可． 【详解】（1）解：①， 解得 ，， 故答案为：，； ②点与表示的点重合，则此两点间的距离为， ∵折线与数轴的交点为这两个点的中点， ∴中点与A的距离为， ∴中点表示的数为， 点B与中点的距离为， 则与B点重合的点表示的数为． 故答案为：5； （2）解：① 表示数轴上点到与的距离之和， 当 时，该和最小，为． 故答案为； ② 表示点到与的距离之和等于， ∵， ∴当时等式恒成立， 整数有 ， 和为 故答案为：； ③ 表示点到2，3，4三点的距离之和， 由绝对值几何意义，当 时该和最小． 故答案为：； （3）解：① 由题意，运动 秒点表示的数为， P与C的距离是2个单位长度， 则， 解得 或 ， 即 或 ． 答：经过秒或秒，P与C的距离是2个单位长度； ② 运动秒后，点表示的数为，点表示的数为 ．依题意： 当 时，， 得 ， ， ； 当 时， ， 得 ， ， ； 当 时， ， 得 ， ， （舍）． 故答案为：或． 【点睛】本题考查绝对值的非负性、数轴折叠对称点、绝对值的几何意义、解方程，掌握相关知识是解决问题的关键． 8．对于有理数x，y，a，t，若，则称x和y关于a的“美好关联数”为t，例如：，则2和3关于1的“美好关联数”为3． (1)3和5关于2的“美好关联数”为 ； (2)若x和1关于0的“美好关联数”为4，求x的值； (3)若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，…，和关于40的“美好关联数”为1，…． ①的最小值为 ； ②求的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3)①；② 【分析】本题考查了绝对值的应用，解题的关键是掌握绝对值的意义，数轴上点与点的距离． （1）根据“美好关联数”定义进行求解即可； （2）根据“美好关联数”定义列方程，再解方程即可； （3）①读懂题意寻找规律，利用规律计算； ②由①得到的规律写出含有绝对值的等式，分析两点表示的数的和的最小值，最后得出最小值． 【详解】（1）解：， ∴3和5关于2的“美好关联数”为4． （2） ∵x和1关于0的“美好关联数”为4， ∴， ∴， 解得：或． （3）解：①∵和关于1的“美好关联数”为1， ∴， ∴在数轴上可以看作数到1的距离与数到1的距离和为1， 当，时， ∴， ∴， 当，时， ∴， ∴， 当，时， ∴， ∴， ∴， ∴有最小值1． ②由题意可知：， 同理可得：的最小值； ， 同理可得：的最小值； 同理，，的最小值； ，的最小值； ； ，的最小值； ∴的最小值： ． 9.【背景介绍】：绝对值在初中数学中是一个基础核心概念和关键枢纽．它看似简单，却是连接算术与代数、串联多种数学思想的重要节点． 【应用】：（1）已知，都是有理数，若，则的值， 【引导思考1】：（2）分类讨论：如果，，求． 【引导思考2】：几何意义：表示数、在数轴上对应的点、之间的距离． （3）如图表示数在数轴上四个点的位置关系，且它们表示的数分别为、、、、若，，，则的值是 ． 【尝试应用】：（4）符号：，表示：对于数轴上任一点，和是与点相距个单位长度（）的两点．如果点、是数轴上的两个动点，，（其中，）．两点同时从原点出发，点向左，点向右运动，当时，求点、之间的距离． 【答案】（1）；（2）或，（3）5；（4）或． 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，非负数的性质，绝对值的几何意义，一元一次方程的应用： （1）根据非负数的性质求得的值，代入计算即可； （2）根据绝对值的意义即可求出，，进而代入计算即可； （3）由图可知：，化简绝对值可得，，，再根据即可求解 （4）可得设点P和点Q表示的数分别为，根据定义可得，根据得到，即，据此把看作一个整体，解绝对值方程即可得到答案． 【详解】（1）解：（1）， ， ， ， （2），， ，， 当，时，， 当，时，， 综上所述，的值为或． （3）由图可知：， ，，， ，，， ， 故答案为：． （4）设点和点表示的数分别为， ，， ， ， ， ， 当时， ， ， 点、之间的距离为； 当时， ， ， 点、之间的距离为； 综上所述，点、之间的距离为或． 【题型2 求一个数的绝对值】 1．将3，4，5，6，7，8六个数随机分成两组，每组3个，分别用，，和，，表示，且，，设，则m为______ 【答案】9 【分析】本题考查绝对值的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题．设，，分别是3，4，5，，，分别是8，7，6，进行计算求值；然后得出不论怎么分组，原式的值都为恒值9，m的值仍不变，由此即可确定答案． 【详解】解：∵将3，4，5，6，7，8六个数随机分成两组，每组3个，分别用，，和，，表示，且，， 设，，分别是3，4，5，，，分别是8，7，6 ， ∴． 由上可知，不论怎么分组，原式的值都为恒值9，故． 故答案为：9． 2．已知表示个互不相等的整数，这个数的绝对值都大于，且满足则的最大值是______． 【答案】590 【分析】本题主要考查有理数的乘方及绝对值的意义，解题的关键是理解题意；根据题意，得出，然后可得，的最大值需使a、b、c尽可能大且互异，然后分类进行求解即可． 【详解】解：由，且，得，故， 代入方程得，由且为整数，同理可得， ∴的最大值需使a、b、c尽可能大且互异， ∴当时，，由于，不满足互异，故取， 此时，，，， 时，，， 发现当值增大时，的值会逐渐变小，故时，取到最大值； 故最大值为590； 故答案为590． 3．已知，且，那么多项式的值为___________． 【答案】或3 【分析】由绝对值方程求解x和y的可能取值，再根据得到确定符合条件的x和y组合，最后计算的值． 本题考查了绝对值的化简，代数式的求值，熟练掌握化简绝对值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴或；或， 解得或；或， ∵， ∴， ∴，或，， ∴或． 故答案为：3或4053． 4．在一条直线上有依次排列的（）台机床在工作，我们要设置一个零件供应站，使这台机床到供应站的距离总和最小．要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形：如图①，如果直线上有台机床时，很明显设在和间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于和的距离． 如图②，如果直线上有台机床时，不难判断，供应站设在中间处最合适，不难知道，如果直线上有台机床，应设在第台与第台之间的任何地方；有台机床，应设在第台位置． (1)如果直线上有台机床，应在何处？ (2)有台机床时，应设在何处？ (3)求的最小值． (4)求的最小值． 【答案】(1)应该在第4台位置 (2)当为奇数时，应该在第台位置；当是偶数时，应该在第台和第台之间的任何位置 (3) (4) 【分析】本题考查了图形的变化规律，涉及去绝对值、有理数混合运算等知识，理解题意，找出规律，分类讨论是解题的关键． （1）由阅读材料，找准规律即可得到答案； （2）由阅读材料，找准规律即可得到答案； （3）由阅读材料，找准规律，去绝对值即可得到答案； （4）由阅读材料，找准规律，得到当时，有最小值，将代入代数式，去绝对值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：（1）由阅读材料可知，是奇数，故应该在第4台位置； （2）解：由阅读材料可知：当为奇数时，应该在第台位置；当是偶数时，应该在第台和第台之间的任何位置； （3）解：由题意，在直线上相当于有台机床，则当在所对应的点时，即当时，有最小值， ∴ ； （4）解：∵， ∴可以理解为：表示的点到一个1，两个，三个，，直到个的距离之和，共有：个点， ∵总点数为奇数，最小值出现在第个点对应的定点处， 设第个点对应的定点是，则， 可得， ∴第个点对应的定点是， 故当时，的值最小， ． 5．阅读材料，解决下列问题：数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．结合数轴与绝对值的知识可知：在数轴上点，分别表示数，，则，两点之间的距离． 已知点，在数轴上，是线段上一点，多项式的次数为，项数为，当时，此多项式的值为． (1)_____，______，______； (2)如图1，数轴上的点，，表示的数分别是，，，则______； (3)在（2）的条件下，如图2，点在线段上，点在线段上，若点，分别从，出发以，（一个单位长度表示）的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示． ①当点，运动了时，求的值． ②设点，的运动时间为．当时，求的值． 【答案】(1)3，3，6 (2) (3)①2；② 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值以及多项式，解题的关键是掌握多项式的定义，数轴上两点间的距离公式，找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）利用多项式的定义，可求出，的值，将代入原式，可求出的值； （2）结合（1），可得出点，，表示的数，利用数轴上两点间的距离公式，可求出，的长，再将其代入中，即可求出结论； （3）①找出运动时间为时，点，表示的数，利用数轴上两点间的距离公式，可求出，的长，再将其代入中，即可求出结论； ②当运动时间为秒时，点表示的数是，点表示的数是，利用数轴上两点间的距离公式，可用含的代数式表示出，，的长，结合，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：∵多项式的次数为，项数为， ∴，． 当时，， ． 故答案为：3，3，6． （2）根据题意得：点表示的数是， 点表示的数是， 点表示的数是， ，． ． 故答案为：． （3）①当点，运动了时， 点表示的数是， 点表示的数是， ，． ． ②当运动时间为秒时，点表示的数是，点表示的数是， ， ， ． ， ，解得． 当时， 的值为． 6．同学们都知道，表示1与之差的绝对值，实际上也可以理解为1与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： (1)求_________； (2)同理，表示数轴上实数所对的点分别到和1006所对的两点距离相等，则_______________； (3)类似地，表示数轴上实数所对的点分别到和2所对的两点距离之和，若，则________________； (4)由以上探究，猜想对于任何实数，是否有最小值？如果有，请求出最小值；如果没有，请说明理由． 【答案】(1)3 (2) (3)或3 (4)有，最小值为3． 【分析】本题考查数轴与绝对值，一元一次方程，理解绝对值的几何意义是解题的关键． （1）直接计算即可； （2）根据题意得，x所对点为和所对点的中点，根据中点公式即可求解； （3）根据和2所对的两点距离之和为9，得到或，分类讨论：①当时，②当时，逐个计算即可； （4）表示数轴上实数x所对点到和6对的两点距离之和，结合数轴可知最小值为． 【详解】（1）解：． 故答案为：3． （2）由题意知，实数x所对点到和1006所对的两点距离相等， ， 故答案为：； （3）， ∴或 ①当时， ， ， 解得； ②当时， ， ， 解得； 故答案为：或3； （4）表示数轴上实数x所对点到和6所对的两点距离之和， 结合数轴可知，当时，有最小值，最小值为． 7．已知：，，．．．，都是不等于0的有理数，请你探究以下问题： (1)若，则共有__________个不同的值，它们分别是__________； (2)若，则共有__________个不同的值，它们分别是__________； (3)若，则共有__________个不同的值，它们分别是__________； (4)若，则共有__________个不同的值，它们分别是_____ (5)由以上探究可知，，则共有_____个不同的值； (6)的最大值和最小值的差等于_____，所有值的绝对值的和等于_____． 【答案】(1)2；和 (2)3；和 (3)4；和 (4)5；，和 (5)2027 (6)4052；2054364 【分析】本题主要考查了化简绝对值，数字类的规律探索，有理数的四则混合计算，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）分和两种情况，化简绝对值，再计算除法即可得到答案； （2）分，，和四种情况，化简绝对值，再根据有理数的四则混合计算法则求解即可； （3）分三个数都为正数，一正两负，一负两正和三负四种情况，讨论求解即可； （4）分四个数都为正数，一正三负，两正两负，三正一负和四负四种情况，讨论求解即可； （5）根据前四问可得共有个不同的值，据此求解即可； （6）2026个全为正时最大，全为负时，据此可得第一空答案；根据绝对值的定义可得的所有不同值是从开始的逐渐增大的偶数，据此可得第二空的答案． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， ∴共有2个不同的值，它们分别是和； （2）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上，共有个不同的值，它们分别是和； （3）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上，共有个不同的值，它们分别是和； （4）解：当时，， 当中有三个正数，一个负数时，不妨设，则； 当中，有两个负数，两个正数时，不妨设， 则； 当中，有三个负数，一个正数时，不妨设， 则， 当时，， 综上，有5个不同的值，它们分别是，和； （5）解：由（1）（2）（3）（4）可知，共有个不同的值， ∴有2027个不同的值； （6）解：当都是正数时，有最大值，最大值为， 当都是负数时，有最小值，最小值为， ∴的最大值和最小值的差等于； 当中有1个负数时，（一正一负相消）， 当中有2个负数时，（一正一负相消）， 当中有3个负数时，（一正一负相消）， ……， 当中有2025个负数时，（一正一负相消）， ∴所有值的绝对值的和等于 ． 8．【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离． 这个结论可以推广为：点、在数轴上分别表示有理数、，则，两点之间的距离表示为，即．例如，在数轴上，表示和的点的距离为． 【问题解决】 (1)表示数轴上数x与______（填数字）之间的距离； (2)若点为数轴上一点，它所表示的数为，点在数轴上表示的数为，则______（用含的代数式表示）； 【关联运用】 (3)运用一：若，求的值； (4)运用二：已知动点、、分别从数轴、3、4的位置沿数轴正方向同时运动，速度分别为2个单位长度/秒，4个单位长度/秒，8个单位长度/秒．原点为点，线段，，的中点分别为，，，若，且的值为常数，求出和的值． 【答案】(1)1 (2) (3)4或 (4)， 【分析】本题为绝对值动点综合题，考查了数轴上绝对值的意义，绝对值的化简，数轴上点的距离运算，数轴上中点的表达，灵活根据动点的运动速度表达出点在数轴上的情况是解题的关键． （1）根据绝对值的意义作答即可； （2）根据绝对值的意义作答即可； （3）分类讨论的取值范围，结合绝对值的化简，运算分析即可； （4）根据运动情况，用含的式子表达出各点的值，再根据各点的值表达出和的长度，套入分析出的值后即可求得的值． 【详解】（1）解：表示数轴上数x与1之间的距离． 故答案为：1． （2）． 故答案为：． （3）当时， ，解得：． 当时， ，不符合题意． 当时， ，解得． 综上所述，的值为或4． （4）已知动点、、分别从数轴、3、4的位置沿数轴正方向同时运动，速度分别为2个单位长度/秒，4个单位长度/秒，8个单位长度/秒．原点为点，线段，，的中点分别为，，，若，且的值为常数，求出和的值． 设运动时间为，则点可表示为：，则点可表示为：，点可表示为：， 的中点为：，的中点为：，的中点为：． ，． ． 的值与的取值无关， ，解得． ． ． 9．（阅读理解）我们知道，数轴上两点之间的距离可以用这两点所表示的数的差的绝对值来表示，例如：点A表示的数是a，点B表示的数是b，则A、B两点之间的距离． 根据以上信息，解决下列问题： (1)计算 ___ ； (2)若，求x的值； (3)若，求所有符合条件的整数x； (4)是否存在有理数x，使得有最大值？若存在，求出最大值及对应的x的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)7 (2)或 (3)x为、2 (4)存在，最大值为5，此时 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握两点间距离的含义． （1）根据绝对值的意义化简即可； （2）根据数轴上两点间的距离求解即可； （3）分3种情况求解即可； （4）分3种情况求解即可． 【详解】（1）解： （2）解：表示x到3的距离为4， 则或； （3）解：式子表示x到和1的距离之和为5， 当时，，解得； 当时，，无解； 当时，，解得； 符合条件的整数x为、2； （4）解：存在， 当时，原式； 当时，原式，最大值小于5； 当时，原式； 故最大值为5，此时． 10．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如的几何意义是数轴上x对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． (1)填空：若，则x的值为 ； (2)直接写出式子的最小值为 ； (3)如图，在一条笔直的街道上有A，B，C，D，E五个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知A，B，C，D，E五个小区各有1个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这5个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的他们通过分析，发现在街道上的M处汇合使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请问汇合地点M设置在什么位置的时候，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，并求出此最小值． 【答案】(1)1或3 (2)6 (3)C， 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离，绝对值的几何意义，化简绝对值，解题的关键在于能够熟练掌握化简绝对值的方法． (1)根据绝对值的几何意义求解即可； (2)根据当x在4和之间时，有最小值，化简绝对值即可求解； (3) A，B，C，D，E分别在数轴上表示，，0，，，设M表示的数为x，距离之和为s，根据题意可知，当M在点C上时，A、B、D、E到C的距离之和最小，则，A、B、D、E到C的最小距离之和为∶，即可求解． 【详解】（1）解∶ 表示x所对应的点与2所对应的点之间的距离为1， 或． （2）解∶ 表示x所对应的点到4和所对应的点的距离之和，当x在4和之间时|有最小值， 的最小值为． 故答案为∶6． （3）解：设M表示的数为x，距离之和为s， 则所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和为∶ 表示x所对应的点到、、0、、五个点的距离之和， 奇数个点时在正中间的数时有最小值，即时，， 当M在点C上时，四个点到C的距离之和最小，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值为． 【题型3 绝对值非负性】 1．已知整数满足，则满足条件的的值有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性质和整数性质，理解相关知识是解答关键. 根据绝对值的非负性和整数性质，和均为非负整数，且和为1，因此只有两种可能情况：且，或且，分别求解和的整数值，计算的可能结果. 【详解】解：∵，且为整数， ∴ 和均为非负整数， ∴ 可能情况如下： 情况一：且 ∵， ∴ ∵， ∴或 ∴或， ∴或； 情况二：且  ∵， ∴或 ∵， ∴， ∴ ∴或 综上，的可能值为或，共个值. ∴ 故选： B. 2．已知a，b，c均为正整数，且，则的值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值分非负性，化简绝对值，由条件且均为正整数，可知可能为0或1，对应为3或2，分两种情况讨论，计算的值，结果均为6 【详解】解：，且为正整数， ≥ 0，， 可能为0或1， 当时， ，且， 或， ，，， ； 当，则， ，且， 为正整数， ， ，但为正整数，故， ，，， ， 综上，， 故选：C 3．在下列说法中： ①若，则； ②若，则； ③若是有理数，则一定是正数； ④若，则； ⑤已知a、b、c均为非零有理数，若，则的值为2或． 其中正确的个数为（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，熟练掌握绝对值的定义及分类讨论思想是解题的关键． 根据绝对值的性质，对每个说法逐一分析判断． 【详解】，，①正确； ，，，②错误； 当时，，不是正数，③错误； 当时，无意义，④错误； 若，当负数个数为1时，， 当负数个数为2时， 当负数个数为3时，，故⑤正确． 综上，①和⑤正确，共2个． 故选：． 4．设x、y、z为整数且满足，则代数式的值为____________ 【答案】2 【分析】由整数满足：，得出一个为0，一个为1，从而分情况求解后代值求解即可得到答案，将题中条件转化为解方程问题是解决问题的关键． 【详解】整数满足：， 一个为0，一个为1， ①当，即， 则， 则， ； ②当，即， 则， 则， ； 综上，代数式的值为2． 5．定义一种新运算：对于任意有理数和，都有．下列结论正确的是_____________ ①若，则；②；③若a，b异号，则或； ④对于任意有理数，总有； 【答案】①③/③① 【分析】本题考查新定义运算，涉及绝对值的性质．需逐一验证每个结论的正确性． 【详解】解：对于结论①：若，则． 由于绝对值非负性，故且， 即且， 解得， 因此结论①正确． 对于结论②：． 当时，，因此结论②错误． 对于结论③：若 a，b 异号． 当时，； 当时，； 当时，． 因此或， 综上，结论③正确． 对于结论④：取， 则， 而，两者不相等，因此结论④错误． 故答案为：①③． 6．已知，，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了化简含绝对值的式子，利用已知条件将绝对值表达式简化，结合确定变量符号组合，计算所有可能值后比较得出最小值． 【详解】解：由，得，，，故，，， ∴原式化为， 令，则， 由和可知，a，b，c中一正两负， ①若，，，则，，，原式 ， ②若，，，则，，，原式 ， ③若，，，则，，，原式 ， 通过比较得最小值为． 故答案为：． 7．如图，已知数轴上有A、B、C三点，点O为原点，点A、B在原点的右侧，点C在原点的左侧，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a、b满足，． (1)_______，_______，_______（直接写出答案）； (2)动点P从点C出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t（）；当t为何值时，点P、Q刚好相距10个单位长度? (3)在（2）的条件下，若点M从点A以每秒6个单位长度的速度向左与P、Q同时运动，当点M与点P或点Q相遇时，则立即改变运动方向，以原来的速度向相反方向运动，当P、Q相遇时，三个点均停止运动，求点M运动的总路程． 【答案】(1)5，8， (2)9或19秒 (3)84 【分析】（1）根据绝对值和平方数的非负性可以得解； （2）由题意得，点表示的数为，点表示的数为，则，即可求解； （3）当P、Q相遇时，，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵，点C在原点的左侧， ∴． （2）解：由题意得，点表示的数为，点表示的数为， ∵点P、Q相距10个单位长度， ∴， 解得，， ∴当t为9或19秒时，点P、Q刚好相距10个单位长度． （3）解：由题意得，点表示的数为，点表示的数为， ∴当P、Q相遇时，， 解得， ∴点M运动的总路程为． 8．若与互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】根据题意得到，求得，，然后将原式变形为，然后化简求解即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，，解得，， ∴原式 ． 【点睛】此题考查了绝对值的非负性，相反数的概念，分式求值，正确求解是解决此题的关键． 9．如图，点A，B是数轴上的两点，点A对应的数为a，点B对应的数为b，且a，b满足 (1)____，____； (2)点P从A出发以每秒2个单位向右运动，运动时间为t秒，当时，求t的值； (3)C，D为数轴上两个动点（点C在点D的左侧），它们的运动方向相同，速度相同，且，若为定值的时长为3秒，为定值的时长为8秒，求点C的速度． 【答案】(1)，4 (2)4.5或9 (3)每秒个单位 【分析】（1）根据非负数的性质即可求解； （2）由题意得，点P表示的数为，分别表示出、的长，根据题意列出方程，求出的值即可解答； （3）利用两点间的距离求出，设，动点C，D运动的速度为，要使为定值，只有当时，才为定值，此时需要满足、分别在两侧，分析可得；要使为定值，只有当时，才为定值，此时、在之间，分析可得，联立方程即可求出的值，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，4； （2）解：由题意得，点P表示的数为， ∴，， ∵， ∴， 解得或， ∴t的值为4.5或9； （3）解：， C，D为数轴上两个动点（点在点的左侧），它们的运动方向相同，速度相同， 长为定值， 设，动点C，D运动的速度为， 如图，要使为定值，只有当时，才为定值，此时需要满足、分别在两侧， ， 令点从出发向右运动，直到运动到时，都为定值，此时点运动的距离为的长，即， 为定值的时长为3秒， ， 如图，要使为定值，只有当时，才为定值，此时、在之间， ， 令点从出发向右运动，直到运动到时，都为定值，此时点运动的距离为的长，即， 为定值的时长为8秒， ， 即， 解得， 点的速度为每秒个单位． 【点睛】本题考查了非负数的性质、数轴上两点之间的距离、一元一次方程的应用、线段的和与差，熟练掌握以上知识点并灵活运用，运用分类讨论的思想是解题的关键． 10．已知a，b为有理数，规定，，例如：，． (1)若，求的值： (2)求的最值： (3)若有理数a，b，c满足，，求的值． 【答案】(1)13 (2)5 (3)8 【分析】本题考查了绝对值的性质与几何意义及去绝对值符号等知识点． （1）利用绝对值非负性，求出a和b的值后代入计算； （2）将表达式化为，利用数轴上的距离和求最小值； （3）根据条件推导出和，化简表达式求值． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，， ∴． （2）解：， ∵表示点a到4和的距离之和， ∴， ∴有最小值5． （3）解：∵，且， 设，，则， 若，则，即，解得， ∵， ∴与矛盾，故该情况舍去， 因此有，即， ∴，整理得， ∴，， 由，即， ∵，即， ∴成立， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，，， ∴原式． 【题型4 绝对值的其他应用】 1．下列说法正确的有（    ） ①已知a，b，c是非零的有理数，且时，则的值为1或； ②已知a，b，c是有理数，且，时，则的值为或3； ③已知时，那么的最大值为7，最小值为； ④若且，则式子的值为； ⑤如果定义，当，，时，的值为． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】①由题意可得，，则中有一个或三个值为负数，讨论求解即可；②由可得中有一个值为负数，求解即可；③根据化简绝对值，然后求解即可；④由题意可得或，分别求解即可；⑤根据题意可得异号，分两种情况求解即可． 【详解】解：①由可得，中有一个或三个值为负数， 当，时， 当时， 故①正确； ②由和得中有一个值为负数， ∴，， ∴， 故②错误； ③当时，，， 则，此时最大值为7，最小值为 当时，， 则 故③正确； ④由可得或 当时，与矛盾，舍去； 当时，，且 解得或 则， 故④正确； ⑤由题意可得异号， 当，时，，， 由可得，即符合题意，此时 则 当，时，， 由可得，即，与矛盾，舍去， 综上 故⑤正确； 正确的个数为4 故选：C 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，新定义问题，解题的关键是熟练应用绝对值的性质化简含有绝对值的式子． 2．|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，，那么的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．不确定 【答案】C 【分析】根据绝对值的意义，先求出a的值，然后进行化简，得到，则，，再进行化简计算，即可得到答案． 【详解】解：∵|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a， ∴当时，|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|有最小值8， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ∴ = = = = =0； 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，求代数式的值，解题的关键是掌握绝对值的意义，正确的求出，，． 3．设有理数a、b、c满足，且，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据可知，异号，再根据，以及，即可确定，，，，，在数轴上的位置，而表示到，，三点的距离的和，根据数轴即可确定． 【详解】解：∵， ∴a，c异号， ∵， ∴，， 又∵， ∴， 又∵表示到，，三点的距离的和， 当在时距离最小， 即最小，最小值是与之间的距离，即． 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值函数的最值问题，解决的关键是根据条件确定，，，，，之间的大小关系，把求式子的最值的问题转化为距离的问题，有一定难度． 4．已知，，，均为整数，且，若，，则的最大值为______． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的应用，由条件 和 ，确定和的取值范围，其乘积为，由于绝对值之和均为整数，分别计算对应和 的最大值，比较的大小，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：，， 由于，有， 因此， 同理，由于，有， 因此， 因为，且和为正整数， 若，， 由，有，即，得， 因为，有， 所以， 当时，，得或； 当时，，得或； 当时，，得 ； 因此最大为； 由，有，即，得， 因为，有， 所以； 若，则； 若，则， 当 时，（最大）；其他值对应更小， 因此最大为，最大为， 若，， 由，有，即 ，得， 因为，有， 所以故，且，得， 由，有，即，得， 因为，有， 所以， 若，则； 若 ，则 ， 当 时，（最大）；其他值对应更小， 综上可得， 最大为，， 所以最大值为， 故答案为：． 5．设有理数a，b，c，满足，，且，则的最小值为______． 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值的性质、整式的加减，根据题意将分成时，即；时，即，根据绝对值的性质及几何意义进行化简，即可求解；理解绝对值的几何意义，能进行分类进行讨论是解题的关键． 【详解】解：∵，，， 故当时，，即， ∵ ， ∴当时， 的最小值为到之间的距离， 为到之间的距离， ∴的最小值为 ； 当时，， 即， ∵ ； ∴当时， 的最小值为到之间的距离， 为到之间的距离， ∴的最小值为 ， 故答案为：或． 6．已知、、、、，满足下列条件：，，，，以此类推，的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的运算，通过有限次计算的结果，发现并总结规律，根据发现的规律即可求解，通过计算找到规律是解题的关键． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ， ， ∴由此可以看出，这列数是 ∵， ∴， 故答案为： ． 7．的最小值是_____． 【答案】 【分析】此题考查了求绝对值运算中的最小值问题，要根据算式先对的取值范围进行划分，再根据去绝对值符号法则进行化简，解题的关键是熟练掌握去绝对值符号法则． 【详解】当时， ， ； 当时， ， ； 当时， ； ∴的最小值是， 故答案为：． 8．同学们都知道，表示4与的差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，同理也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离，就表示x在数轴上对应的点到的距离，由上面绝对值的几何意义，解答下列问题： (1)x与4的距离可以表示为__________，若，则__________． (2)若，则所有符合条件的整数x的和为__________． (3)当x的取值为多少时，有最小值，最小值是多少？ 【答案】(1)；或． (2) (3)当时，式子有最小值，最小值为2550． 【分析】本题考查了绝对值的几何意义（数轴上两点间的距离）及最值问题，解题的关键是将绝对值表达式转化为数轴上点与点之间的距离，结合数轴位置分析求解． （1）根据绝对值几何意义直接表示距离；由距离等于定值，列方程求x的值． （2）先计算两个定点间的距离，判断x的取值范围，找出整数解后求和． （3）观察式子对称性，确定x的取值区间使距离和最小，再通过成对求和计算最小值． 【详解】（1）解：x与4的距离表示为； ∵表示x到2的距离为5， ∴或， 故答案为：；或． （2），表示x到1和的距离和； ∵1与的距离为， ∴x在之间，符合条件的整数x为、、、、，和为， 故答案为：． （3）式子表示x到、、…、、…、49、50共101个点的距离和； 根据对称性，当x在中间点时，距离和最小； 最小值为 答：当时，式子有最小值，最小值为2550． 9．【阅读】已知、两个数在数轴上对应的点为、，其中，求、两点之间的距离．小明利用绝对值的概念，结合数轴，进行探索：解：因为，所以有以下情况： 情况1：若，，如图，、两点之间的距离； 情况2：若，，如图，、两点之间的距离； 情况3：若，，如图，、两点之间的距离． 由此小明得出结论：若、两个数在数轴上对应的点为、，其中，则、两点之间的距离． [应用]在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点对应的数为． (1)若，，则 ． (2)若，，点到点的距离是点到点距离的倍． ①当时，求的值； ②对于任意一个的值，满足条件的点的个数始终有个，请直接写出取值范围． 【答案】(1)或 (2)①或；②且 【分析】（1）分两种情况讨论，即点在点的左侧，点在点的右侧； （2）①分两种情况讨论，即点在线段之间，点在点的左侧； ②分三种情况讨论，即点在点的左侧，点在线段之间，点在点的右侧． 【详解】（1）解：分两种情况： 当点在点的右侧，即时， ∵，， ∴， ∴； 当点在点的左侧，即时， ∵，， ∴， ∴； ∴或， 故答案为：或； （2）①分两种情况： 当点在线段之间时，，即， ∵，， ∴， ∴； 当点在点的左侧时，，即， ∵，， ∴， ∴； ∴或， 即的值为或； ②分三种情况： 当点在点的左侧时，， ∴； 当点在点的右侧时，， ∴； 当点在线段之间时，； 又∵点的个数始终有两个， ∴， 综上所述，的取值范围为且． 【点睛】本题考查两点间的距离，数轴，绝对值的意义，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 10．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为 ，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题： （一）数轴上表示数的点和表示数2的点之间的距离是 ． （二）数轴上点A用数a表示， （1）若，那么a的值是 ． （2）最小值是 ． （3）最小值是 ． （4）当a为何值时，有最小值，最小值为多少？ 【答案】（一）4；（二）（1）或；（2）2028；（3）；（4）a为时，的最小值为． 【分析】本题考查数轴，绝对值方程，熟练掌握数轴上点的特征，绝对值的意义是解题的关键． （一）根据两点间距离的求法直接写出即可； （二）（1）由题意可得或，求出的值即可； （2）根据绝对值的几何意义可知时，有最小值2028； （3）分类讨论，去绝对值符号即可解答； （4）将原式化为，根据绝对值的意义分段解答即可． 【详解】解：（一）表示数的点和表示数2的点之间的距离是， 故答案为：4； （二）（1）， 或， 解得或， 的值是或， 故答案为：或； （2）表示数轴上表示的点与、3的点的距离之和， 当时，的最小值是2028， 故答案为：2028； （3）当时，； 当时，， 时，取最小值为； 当时，， 综上所述，的最小值为， 故答案为：； （4）， ， 当时，有最小值， 当时，有最小值， 所以当时，原式有最小值， 最小值为 综上，a为时，的最小值为． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 48 页 第 1 页 共 48 页 学科网（北京）股份有限公司 $