1.2.4 绝对值（专项训练）初中数学人教版新教材七年级上册

**基本信息** 以几何意义为核心，构建“概念生成-性质应用-实际建模”的完整训练体系，突出数形结合与逻辑推理 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |绝对值的几何意义|8题（典例1-7规律探究）|数轴定位法、分类讨论求最值|通过距离模型建立几何意义与代数表达的联系，培养几何直观| |求一个数的绝对值|8题（典例2-6含字母计算）|直接计算法、符号规则应用|从具体数到字母表示，深化对绝对值定义的理解，发展抽象能力| |绝对值非负性|3题（典例3-3三角形判断）|非负性性质应用|结合代数推理解决几何问题，体现推理意识| |绝对值的其他应用|8题（典例4-7校车问题）|实际问题转化为绝对值模型|将生活情境抽象为数学问题，培养模型意识与应用能力|

1.2.4 绝对值（专项训练） 【人教版新教材】 ◆ 考点梳理 考点1 绝对值的几何意义 考点2 求一个数的绝对值 考点3 绝对值非负性 考点4 绝对值的其他应用 ◆ 习题精准练 考点1 绝对值的几何意义 习题1-1（单选题）数轴上不同的两点M、N到原点距离相等，已知点M表示，则点N表示的数是（ ） A．5 B． C．0 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据数轴的性质，到原点距离相等的两个不同点表示的数互为相反数，利用该性质即可求解． 【解析】∵数轴上不同的两点M、N到原点距离相等， ∴点M和点N表示的数互为相反数， ∵点M表示的数为，的相反数是， ∴点N表示的数是． 【试题来源】贵州省黔西南布依族苗族自治州册亨县2026年九年级总复习模拟试卷（数学） 习题1-2（单选题）点，，，在数轴上的位置如图所示，其中到原点的距离与到原点的距离相等的点是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据绝对值的几何意义，由各点到原点的距离进行判断即可． 【解析】观察数轴可知：点P到原点的距离为3， ∴到原点的距离为3． ∴到原点的距离与到原点的距离相等的点是点P． 【试题来源】2026年山西太原市小店区6月中考考前模拟数学试题 习题1-3（单选题）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ） A．－3 B． C． D．2 【答案】C 【解析】∵数轴上某点到原点的距离等于该点所表示的数的绝对值． ∴分别计算各选项的绝对值∶，，，． 比较大小得， ∴对应的点与原点距离最近． 【试题来源】2026年辽宁省铁岭县莲花第一初级中学中考前模拟数学试卷 习题1-4（填空题）如图，四个有理数分别在数轴上用点M、N、P、Q表示，若N，Q表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数是点________． 【答案】P 【分析】本题主要考查了相反数和绝对值的概念．先根据N，Q表示的有理数互为相反数，确定原点的位置，再确定图中表示绝对值最小的数是点P． 【解析】∵N，Q表示的有理数互为相反数， ∴原点在的中点处， 此时距离原点最近的点为P， 即图中表示绝对值最小的数是点P． 【试题来源】2026年陕西西安高新第一中学中考数学适应性练习（5.14） 习题1-5（填空题）已知（是整数），则的所有可能值中，最大值是________． 【答案】 【分析】先根据绝对值的性质求出的取值范围，再结合是整数确定所有符合条件的，最后找出其中的最大值即可． 【解析】∵， ∴数轴上，数对应的点到原点的距离小于， ∴， 又∵为整数， ∴的所有可能值为，，，，，，， ∴的所有可能值中，最大值为． 【试题来源】广东江门市2025-2026学年度第二学期义务教育质量监测题七年级数学 习题1-6（填空题）数轴上到原点距离为3个单位长度的点表示的数是________. 【答案】 【分析】根据数轴上点到原点距离的定义，结合绝对值的性质求解，所求数的绝对值等于3，即可得到对应的数． 【解析】设该点表示的数为，由题意得， 解得或， ∴数轴上到原点距离为3个单位长度的点表示的数是． 【试题来源】2026年陕西咸阳市永寿县常宁镇中学初中学业水平考试考前预测数学试卷 习题1-7（应用题）探究的最小值．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离． (1)因此，数轴上表示2和5的两点之间的距离是________，数轴上表示和的两个点之间的距离是3，那么的值为________． 探索规律： （Ⅰ）探究的最小值． 不妨设，表示数的点为，表示数的点为，表示数的点为． ①如图1，此时点在点的左侧，则； ②如图2，此时点在点A，B之间，则； ③如图3，此时点在点的右侧，则； 综上：当时，此时的最小值为． （Ⅱ）探究的最小值． 不妨设，表示数的点为，并由（Ⅰ）知：点必在之间； ①如图4，此时点在点，之间，则； ②如图5，此时点在点C，B之间，则； 显然当为0时，； 综上：当时，此时的最小值为． (2)探究的最小值． 不妨设，表示数的点为，并由（Ⅰ）知：点必在之间； ①如图6，此时点在点A，C之间， 则； ②如图7，此时点在点C，D之间， 则； ③如图8，此时点在点，之间，则________． 综上：当时，此时的最小值为________ …… 规律应用： (3)工厂加工车间工作流水线上依次间隔排着9个工作台A，B，C，D，E，F，G，H，K，一只工具箱应该放在________工作台（填字母），能使工作台上的工作人员取工具所走的总路程最短．最短路程是________m． 【答案】(1)3；2或；(2)；(3)40 【分析】（1）利用绝对值的几何意义求解；（2）利用绝对值的几何意义以及线段的和差求解；（3）根据结论得出最短距离的点，然后利用线段的和差求路程． 【解析】（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是， ∵数轴上表示和的两个点之间的距离是3， ∴， 解得或； （2）③； 综上：当时，此时的最小值为； （3）一只工具箱应该放在工作台（填字母），能使工作台上的工作人员取工具所走的总路程最短．最短路程是． 【试题来源】2026年安徽省宣城市宁国市中考二模数学试题 习题1-8（作图题）已知下列有理数：，，，，． (1)在给定的数轴上表示这些数． (2)这些数中是否存在两个数到原点的距离相同？若存在，请指出来，并写出这两个数之间所有的整数． 【答案】(1)数轴表示如图： (2)存在，由数轴可得和到原点的距离相同，这两个数之间所有的整数有：，， 【解析】（1），数轴表示见答案； （2）略 【试题来源】第02讲数轴（暑假预习讲义）新七年级数学新教材浙教版 考点2 求一个数的绝对值 习题2-1（单选题）数轴上表示下列各数的点中，最接近原点的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】数轴上一个数对应的点到原点的距离等于这个数的绝对值，要找最接近原点的点，只需比较各数的绝对值，绝对值最小的即为所求． 【解析】∵ 数轴上点到原点的距离等于该数的绝对值，，，， ∵ ∴对应的点到原点的距离最小，最接近原点． 【试题来源】2026年江苏省扬州市中考数学试题 习题2-2（单选题）某公司抽检盒装牛奶的容量，超过标准容量的部分记为正数，不足的部分记为负数，从容量的角度看，以下四盒牛奶容量最接近标准的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】容量最接近标准容量，即与标准容量偏差的绝对值最小，计算各选项偏差的绝对值，比较大小即可得到结果． 【解析】∵，，，， 又， ∴的偏差绝对值最小，容量最接近标准． 【试题来源】2026年宁夏回族自治区吴忠市第三中学中考前模拟数学试题 习题2-3（单选题）计算：（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】． 【试题来源】2026年陕西省中考数学试题 习题2-4（单选题）的绝对值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数计算即可． 【解析】， ． 【试题来源】2026年甘肃省部分校初中学业水平考试标准检测试卷（二）数学 习题2-5（单选题）下列各数中，是负数的是（ ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【解析】选项A中，，是正数，不符合题意； 选项B中，0既不是正数，也不是负数，不符合题意； 选项C中，，是负数，符合题意； 选项D中，，是正数，不符合题意． 【试题来源】2026年河南平顶山市宝丰县第三教研区中考考前模拟数学试题 习题2-6（填空题）若，则________． 【答案】 【解析】∵， ∴． 【试题来源】第03讲绝对值（暑假预习讲义）新七年级数学新教材浙教版 习题2-7（填空题）计算：________． 【答案】0 【解析】． 【试题来源】第03讲绝对值与有理数的大小比较（暑假预习培优讲义，6题型技巧3重难拓展+中考真题+提分培优）新七年级数学新教材人教版 习题2-8（判断题）判断对错 (1)一定是非负数； (2)一定是非负数； (3)若，则； (4)若，则． 【答案】(1)错误；(2)正确；(3)错误；(4)正确 【解析】（1）∵一定是非负数 ∴一定是非正数， ∴（1）“错误”； （2）∵一定是非负数， ∴（2）“正确”； （3）∵，则或， 所以（3）“错误”； （4）∵， ∴m、n互为相反数， ∴， ∴（4）“正确”． 【试题来源】第03讲绝对值（暑假预习讲义）新七年级数学新教材浙教版 考点3 绝对值非负性 习题3-1（单选题）设x是有理数，那么下列各式中一定表示正数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，，， 当时，， ， 是正数． 【试题来源】2026年河南驻马店市汝南县九年级下学期初中生学情分析与测评数学 习题3-2（填空题）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是________． 【答案】 【分析】利用绝对值的非负性，得出的最小值进而确定表达式的最大值即可． 【解析】为有理数， ， ， ，当且仅当时，即时取等号， 最大值为． 【试题来源】第1章有理数（暑假单元自测）新七年级数学新教材湘教版 习题3-3（问答题）已知a，b，c是的三边长．若，试判断的形状． 【答案】等边三角形 【分析】根据等式得出，即可得出结论． 【解析】∵，，， ∴，， ∴，， 即， ∴是等边三角形． 【试题来源】河北省邯郸市肥乡区2025-2026学年七年级下学期6月期末数学试题 考点4 绝对值的其他应用 习题4-1（单选题）某品牌挂面每袋的标准质量为，质检员随机抽取了4袋挂面进行称重，得到以下数据：．这4袋挂面中，质量最接近标准质量的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为与相差与相差与相差，与相差，所以质量最接近标准质量的是． 【试题来源】2026年广东省河源市紫金县敬梓中学二模数学试题 习题4-2（单选题）一电脑公司5月6日到9日仓库的电脑进出记录如下（记运进为正，单位：台）： 日期 5月6日 5月7日 5月8日 5月9日 进出数量 0 则仓库里电脑数量变化最大的一天是（ ） A．6日 B．7日 C．8日 D．9日 【答案】A 【分析】电脑数量变化的大小与变化量的绝对值有关，正负仅表示进出方向，只需比较每日进出数量的绝对值大小即可得到答案． 【解析】，，，． ∵ ∴5月6日仓库电脑数量变化最大． 【试题来源】2026年浙江省温州市苍南县中考二模考试数学试题 习题4-3（单选题）在直线上描出几个点，分别表示五个数：4.5，，1，，．其中，离0最近的数是（ ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】一个数到0的距离等于该数的绝对值，离0最近的数就是绝对值最小的数，计算各数的绝对值后比较大小即可得到结果． 【解析】，，，，， ∵， ∴的绝对值最小，即离0最近． 【试题来源】黑龙江省绥化市望奎县四中联考2025-2026学年六年级下学期5月期中数学试题 习题4-4（单选题）2026年石家庄、沧州等市中考体育抽考项目都是1分钟跳绳，在评定标准中，男生1分钟跳绳的满分标准是175个，在一次练习中，不够满分标准的部分用负数表示，下列四名男生的成绩中，与满分标准相差最小的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出与满分标准相差的绝对值，比较各数绝对值的大小即可得到答案． 【解析】，，， ∵ ∴的绝对值最小，即与满分标准相差最小 【试题来源】河北省邯郸市复兴区实验中学2025-2026学年九年级下学期4月月考数学试题 习题4-5（填空题）市场监管局对某超市的装大米进行抽测，下表记录了其中6款被抽测大米的重量，则编号________的重量最符合标准． 编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 超出标准的重量（千克） 【答案】⑤ 【分析】本题考查正数和负数的意义，以及绝对值的作用，解题的关键是理解绝对值的意义．比较各编号超出标准重量的绝对值，绝对值越小表示越接近标准重量． 【解析】计算各编号超出标准重量的绝对值：①，②，③，④，⑤，⑥． ∵， ∴绝对值最小为0.01，对应编号⑤． 故答案为⑤． 【试题来源】福建省厦门市金尚中学2025-2026学年七年级上学期数学期末试卷 习题4-6（填空题）的最小值为________ 【答案】15 【分析】本题考查绝对值及数轴上点的距离，题目难度较大，解题关键理解绝对值的几何意义．数轴上有奇数个点，到这些点距离之和最小的点即是正中间那个点，据此求解即可． 【解析】可以看成数轴上一个表示的点到1个、个、3个、4个、5个的距离之和，共个点， ∵数轴上有奇数个点，到这些点距离之和最小的点即是正中间那个点，15个点正中间的是第8个点， ∴当时，有最小值， 最小值， 故答案为：． 【试题来源】湖北省武汉市洪山区洪山四校2025-2026学年七年级上学期1月月考数学试题 习题4-7（填空题）如图所示，公路旁自西向东依次有，，…，共6处住宅和一所学校．每个工作日早上，每处住宅各有1名学生需乘同一辆校车前往该学校，校车仅在设于某一住宅处的车站停车一次，每名学生需从自家住宅沿公路步行至该车站乘车，6名学生都上车后，校车沿公路向东行驶至学校． 已知每名学生在相邻两处住宅间的步行时间均为，校车在相邻两处住宅间的行驶时间均为，校车从处至学校的行驶时间为．一名学生的理想通勤时间是指该学生从自家住宅至车站的步行时间与校车从车站至学校的行驶时间之和（不考虑其他因素）． （1）若车站设在处，则住在处的学生的理想通勤时间为________； （2）若当车站设在处时这6名学生的理想通勤时间之和最小，则________． 【答案】     34     5 【分析】（1）求出到之间有4个相邻住宅间隔，即可求解；（2）求出学生从处总步行时间和以及6名学生的校车行驶时间和，可得总时间和为，即可求解． 【解析】（1）根据题意得：到之间有个相邻住宅间隔， 所以住在处的学生的理想通勤时间为； （2）车站设在处， 学生从处总步行时间和为． 校车从处到学校的行驶时间为， 所以6名学生的校车行驶时间和为， 总时间和为， 时，总时间和为； 时，总时间和为； 时，总时间和为； 时，总时间和为； 时，总时间和为； 时，总时间和为； 因为， 所以时，总时间和最小， 【试题来源】2026年北京市中考数学试卷 习题4-8（填空题）若，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的定义，熟练掌握绝对值的几何意义（一个数的绝对值是它在数轴上对应点到原点的距离）是解题的关键．本题可根据绝对值的定义，分析出绝对值为3的数有两个，进而得到的取值． 【解析】∵绝对值的定义是：一个数的绝对值表示这个数在数轴上所对应点到原点的距离， ∴到原点距离为3的点有两个，分别是3和， ∵， ∴或， 故答案为：． 【试题来源】2025-2026学年七年级上学期1月期末数学试题 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2.4 绝对值（专项训练） 【人教版新教材】 ◆ 考点梳理 考点1 绝对值的几何意义 考点2 求一个数的绝对值 考点3 绝对值非负性 考点4 绝对值的其他应用 ◆ 习题精准练 考点1 绝对值的几何意义 习题1-1（单选题）数轴上不同的两点M、N到原点距离相等，已知点M表示，则点N表示的数是（ ） A．5 B． C．0 D．无法确定 习题1-2（单选题）点，，，在数轴上的位置如图所示，其中到原点的距离与到原点的距离相等的点是（ ） A． B． C． D． 习题1-3（单选题）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ） A．－3 B． C． D．2 习题1-4（填空题）如图，四个有理数分别在数轴上用点M、N、P、Q表示，若N，Q表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数是点________． 习题1-5（填空题）已知（是整数），则的所有可能值中，最大值是________． 习题1-6（填空题）数轴上到原点距离为3个单位长度的点表示的数是________. 习题1-7（应用题）探究的最小值．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离． (1)因此，数轴上表示2和5的两点之间的距离是________，数轴上表示和的两个点之间的距离是3，那么的值为________． 探索规律： （Ⅰ）探究的最小值． 不妨设，表示数的点为，表示数的点为，表示数的点为． ①如图1，此时点在点的左侧，则； ②如图2，此时点在点A，B之间，则； ③如图3，此时点在点的右侧，则； 综上：当时，此时的最小值为． （Ⅱ）探究的最小值． 不妨设，表示数的点为，并由（Ⅰ）知：点必在之间； ①如图4，此时点在点，之间，则； ②如图5，此时点在点C，B之间，则； 显然当为0时，； 综上：当时，此时的最小值为． (2)探究的最小值． 不妨设，表示数的点为，并由（Ⅰ）知：点必在之间； ①如图6，此时点在点A，C之间， 则； ②如图7，此时点在点C，D之间， 则； ③如图8，此时点在点，之间，则________． 综上：当时，此时的最小值为________ …… 规律应用： (3)工厂加工车间工作流水线上依次间隔排着9个工作台A，B，C，D，E，F，G，H，K，一只工具箱应该放在________工作台（填字母），能使工作台上的工作人员取工具所走的总路程最短．最短路程是________m． 习题1-8（作图题）已知下列有理数：，，，，． (1)在给定的数轴上表示这些数． (2)这些数中是否存在两个数到原点的距离相同？若存在，请指出来，并写出这两个数之间所有的整数． 考点2 求一个数的绝对值 习题2-1（单选题）数轴上表示下列各数的点中，最接近原点的是（ ） A． B． C． D． 习题2-2（单选题）某公司抽检盒装牛奶的容量，超过标准容量的部分记为正数，不足的部分记为负数，从容量的角度看，以下四盒牛奶容量最接近标准的是（ ） A． B． C． D． 习题2-3（单选题）计算：（ ） A． B． C． D． 习题2-4（单选题）的绝对值是（ ） A． B． C． D． 习题2-5（单选题）下列各数中，是负数的是（ ） A． B．0 C． D． 习题2-6（填空题）若，则________． 习题2-7（填空题）计算：________． 习题2-8（判断题）判断对错 (1)一定是非负数； (2)一定是非负数； (3)若，则； (4)若，则． 考点3 绝对值非负性 习题3-1（单选题）设x是有理数，那么下列各式中一定表示正数的是（ ） A． B． C． D． 习题3-2（填空题）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是________． 习题3-3（问答题）已知a，b，c是的三边长．若，试判断的形状． 考点4 绝对值的其他应用 习题4-1（单选题）某品牌挂面每袋的标准质量为，质检员随机抽取了4袋挂面进行称重，得到以下数据：．这4袋挂面中，质量最接近标准质量的是（ ） A． B． C． D． 习题4-2（单选题）一电脑公司5月6日到9日仓库的电脑进出记录如下（记运进为正，单位：台）： 日期 5月6日 5月7日 5月8日 5月9日 进出数量 0 则仓库里电脑数量变化最大的一天是（ ） A．6日 B．7日 C．8日 D．9日 习题4-3（单选题）在直线上描出几个点，分别表示五个数：4.5，，1，，．其中，离0最近的数是（ ） A．1 B． C． D． 习题4-4（单选题）2026年石家庄、沧州等市中考体育抽考项目都是1分钟跳绳，在评定标准中，男生1分钟跳绳的满分标准是175个，在一次练习中，不够满分标准的部分用负数表示，下列四名男生的成绩中，与满分标准相差最小的是（ ） A． B． C． D． 习题4-5（填空题）市场监管局对某超市的装大米进行抽测，下表记录了其中6款被抽测大米的重量，则编号________的重量最符合标准． 编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 超出标准的重量（千克） 习题4-6（填空题）的最小值为________ 习题4-7（填空题）如图所示，公路旁自西向东依次有，，…，共6处住宅和一所学校．每个工作日早上，每处住宅各有1名学生需乘同一辆校车前往该学校，校车仅在设于某一住宅处的车站停车一次，每名学生需从自家住宅沿公路步行至该车站乘车，6名学生都上车后，校车沿公路向东行驶至学校． 已知每名学生在相邻两处住宅间的步行时间均为，校车在相邻两处住宅间的行驶时间均为，校车从处至学校的行驶时间为．一名学生的理想通勤时间是指该学生从自家住宅至车站的步行时间与校车从车站至学校的行驶时间之和（不考虑其他因素）． （1）若车站设在处，则住在处的学生的理想通勤时间为________； （2）若当车站设在处时这6名学生的理想通勤时间之和最小，则________． 习题4-8（填空题）若，则________． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $