第一章有理数——绝对值及其应用拓展培优AB卷 2026-2027学年人教版数学七年级上册

【绝对值及其应用】题集 · A卷（基础夯实）（教师版） 难度说明：★基础　★★提升　　建议用时：45 分钟 方法导航：绝对值的代数意义与分类讨论（三步法） 1. 辨符号：先判断绝对值内式子的正负（可借助数轴或已知范围），正数照抄、负数取相反数； 1. 去符号：注意括号内每一项都要变号，如 ； 1. 分类讨论：遇含字母的 型，按 、 分成「」与「」，再按负因数的奇偶汇总取值。 小贴士：化简时先「定符号」再去绝对值；遇到 型，先想「正数得 、负数得 」。 一、基础巩固（★） 1. 已知 、、 在数轴上的位置如图所示，化简 。 数轴上 a、b、c 的位置 　　【知识点】结合数轴化简绝对值　【难度】★ 　　【答案】 　　【解析】 由图知 ，所以 ，；又 ，故 。原式 。 2. 若 ，求 的取值范围。 　　【知识点】已知范围化简绝对值　【难度】★ 　　【答案】 　　【解析】 由 知 ，故 。 3. 下列说法中正确的是（　　） A. 一定是正数　　B. 一定是负数　　C. 一定大于 　　D. 如果 ，那么 　　【知识点】绝对值的非负性　【难度】★ 　　【答案】 　　【解析】 A 错： 时 不是正数；B 错： 时 ；C 错： 时 ，并不大于 ；D 对： 说明 。故选 D。 4. 当 时，求 的值，并说明 与它的关系。 　　【知识点】绝对值的代数意义　【难度】★ 　　【答案】 当 时为 ，当 时为 ； 与它取值完全相同 　　【解析】 当 时 ；当 时 。 的取值只由 的符号决定，与 完全相同。 二、能力提升（★★） 5. 计算：______。 　　【知识点】绝对值的化简求值　【难度】★★ 　　【答案】 　　【解析】 原式 。 6. 计算：______。 　　【知识点】绝对值的化简求值　【难度】★★ 　　【答案】 　　【解析】 原式 。 7. 若 ，化简： （1）； （2）； （3）； （4）。 　　【知识点】已知范围化简绝对值　【难度】★★ 　　【答案】 （1）；（2）；（3） 或 ；（4） 或 　　【解析】 （1） 时 ，故 ；（2） 时 ，故 ；（3）。当 时 ，和为 ；当 时 ，和为 ；（4）。当 时再加 ，得 ；当 时再加 ，得 。 8. 已知 ，求 的所有可能值。 　　【知识点】 的化简　【难度】★★ 　　【答案】 或 　　【解析】 ① 时 ；② 时 ；③ 一正一负时 （或 ）。故 的值为 或 。 9. 设 、、 是不为 的有理数，则 的值有（　　） A. 种　　B. 种　　C. 种　　D. 种 　　【知识点】 的化简　【难度】★★ 　　【答案】 　　【解析】 、、 各取 或 ，三数之和只能是 ，共 种。故选 B。 10. 已知 ，且 、、 均不为 ，求 的所有可能值。 　　【知识点】绝对值综合　【难度】★★ 　　【答案】 　　【解析】 由 知三数中「两个正数一个负数」或「一个正数两个负数」， 的符号则随负数个数的奇偶而定。① 两正一负（设 ）：；② 一正两负（设 ）：。故原式的值恒为 。 11. 有理数 、、、 满足 ，求 的值。 　　【知识点】 的化简　【难度】★★ 　　【答案】 或 　　【解析】 由 知 ，故 中有 个或 个负数。① 有 个负数时，符号因子之和为 ；② 有 个负数时，符号因子之和为 。故值为 或 。 12. 已知 、 是不为 的有理数，求 的值。 　　【知识点】 的化简　【难度】★★ 　　【答案】 或 　　【解析】 ① 同号时 ，而 ，故 （都正）或 （都负）；② 异号时两项符号因子之和为 ，，故 。综上，值为 或 。 13. 已知三个非零有理数 、、，记 的最大值为 ，最小值为 ，求 的值。 　　【知识点】 的化简　【难度】★★ 　　【答案】 　　【解析】 三个符号因子之和，全正时为 ，全负时为 ，故 ，。所以 。 14. 、、 为非零有理数，且 ，求 的值。 　　【知识点】 的化简　【难度】★★ 　　【答案】 　　【解析】 且三数非零，故为「两正一负」或「一正两负」，即三个符号因子中必有 个同号、 个异号。不妨设 ：两项乘积 ；设 ：两项乘积 。故原式的值为 。 学科网（北京）股份有限公司 $ 【绝对值及其应用】题集 · B卷（拔高挑战）（教师版） 难度说明：★★★拔高　★★★★挑战　　建议用时：60 分钟 方法导航：绝对值的代数意义与分类讨论（三步法） 1. 辨符号：先判断绝对值内式子的正负（可借助数轴或已知范围），正数照抄、负数取相反数； 1. 去符号：注意括号内每一项都要变号，如 ； 1. 分类讨论：遇含字母的 型，按 、 分成「」与「」，再按负因数的奇偶汇总取值。 小贴士：多字母的绝对值问题，先把每个因子拆成 （符号因子），再按负数个数的奇偶性分类讨论。 一、拓展拔高（★★★） 1. 计算：______。 　　【知识点】绝对值的化简求值　【难度】★★★ 　　【答案】 　　【解析】 原式 。 2. 请回答下列各题： （1）若 ，化简 ； （2）若 ，化简 ； （3）、、 为三角形的三边长，化简 ，结果是（　　）（选项见下）； （4）若 ，则 ______。 A. 　　B. 　　C. 　　D. 　　【知识点】已知范围化简绝对值　【难度】★★★ 　　【答案】 （1）；（2）；（3）；（4） 　　【解析】 （1） 时 、，原式 ；（2） 时 ，分子 ，分母 ，故原式 ；（3）由三角形三边关系知 、、，原式 ，选 A；（4），故 ，，和为 。 3. 已知 ，且 ，根据 、 的不同取值， 有（　　） A. 唯一确定的值　　B. 种不同的值　　C. 种不同的值　　D. 种不同的值 　　【知识点】 的化简　【难度】★★★ 　　【答案】 　　【解析】 ① 时 ；② 时 ；③ 异号时 （或 ）。只有 与 两个值，故选 B。 4. 已知 、、 是非零有理数，则 的可能值共有（　　）个。 A. 　　B. 　　C. 　　D. 　　【知识点】绝对值综合　【难度】★★★ 　　【答案】 　　【解析】 设 、、（各取 或 ），则 ，原式 。按 的符号逐一列举 种情形：三正：；两正一负：负者为 时 ，负者为 （或 ）时 ；一正两负：正者为 （或 ）时 ，正者为 时 ；三负：。故原式可能为 ，共 个。故选 C。 5. 已知 、、 都不等于 ，则 的值为（　　） A. 或 　　B. 或 　　C. 或 　　D. 或 或 　　【知识点】绝对值综合　【难度】★★★ 　　【答案】 　　【解析】 ① 全正：；② 两正一负：；③ 一正两负：；④ 全负：。故值为 、 或 ，选 D。 二、挑战冲刺（★★★★） 6. 下列说法正确的有（　　）个。 ① 若 ，则 ； ② 若 ，则 ； ③ 若 ，则 ； ④ 若 ，则 的值一定为 。 A. 　　B. 　　C. 　　D. 　　【知识点】 的化简　【难度】★★★★ 　　【答案】 　　【解析】 ① 错： 时 也成立，但 不是正数；② 对： 说明 ；③ 对： 说明 异号，两符号因子之和为 ；④ 错： 时原式可能为 （一负两正）或 （三负）。综上只有 ②③ 正确，共 个，选 B。 7. 已知 、、 都不为零，且 的最大值为 ，最小值为 ，则 的值为______。 　　【知识点】 的化简　【难度】★★★★ 　　【答案】 　　【解析】 全正时取最大值 ，全负时取最小值 ，即 ，。故 。 8. 若 、、 都不为 ，求 的值。 　　【知识点】绝对值的代数意义　【难度】★★★★ 　　【答案】 或 　　【解析】 设 、、，则原式 （ 由负数个数的奇偶决定）。① 全正：；一负两正：；② 一正两负：；全负：。故原式的值只能为 或 。 9. 解答下列问题： （1）观察：，，，设 （）为整数，用关于 的等式表示这个规律：______。 （2）已知 ，，，求 的值。 （3）已知三个有理数 、、 的积是正数，它们的和是负数，求 的值。 　　【知识点】绝对值综合　【难度】★★★★ 　　【答案】 （1）；（2） 或 ；（3） 　　【解析】 （1）左边是相差 的两个数之积，右边是中间数的平方减 ，即 ；（2）由 得 ，即 。，，只有 满足 ，故 或 ；（3）积为正、和为负，说明三个数中恰有 个负数、 个正数，符号因子之和为 。 10. 如果 ，，，求 的值。 　　【知识点】 的化简　【难度】★★★★ 　　【答案】 　　【解析】 把三个不等式两两相加：、、，故 都为正数。所以 ，原式 。 11. 已知 ，试求 的值。 　　【知识点】 的化简　【难度】★★★★ 　　【答案】 　　【解析】 和为 说明 中有 个正数、 个负数，故 ，。不妨设 ，则 、、，故 。所以原式 。 12. 有理数 、、、 满足 ，求 的值。 　　【知识点】 的化简　【难度】★★★★ 　　【答案】 、 或 　　【解析】 说明 ，即 中有 个、 个或 个负数。① 个负数（全正）：和为 ；② 个负数：和为 ；③ 个负数（全负）：和为 。故值为 、 或 。 13. 已知数轴上 、、 的位置如图所示（，且 ），化简 。 数轴上 a、b、c 的位置 　　【知识点】结合数轴化简绝对值　【难度】★★★★ 　　【答案】 　　【解析】 由图知 ，，且由 得 。于是，，。原式 。 选做（挑战） 选 1. 已知 、、 是不为 的有理数，且 ，，，求 的值。 　　【知识点】绝对值的代数意义　【难度】★★★★ 　　【答案】 　　【解析】 即 ，又 ，故 ，； 且 ，故 ，； 即 ，且 ，故 ，。所以原式 。 选 2. 已知 、、 是非零有理数，求 的所有可能值。 　　【知识点】绝对值综合　【难度】★★★★ 　　【答案】 或 　　【解析】 记 等，各项都是符号因子， 由两数是否同号决定。① 全正：；② 全负：；③ 两正一负或一正两负：三个单数项之和为 ，三个两项之积之和恒为 ，三项积为 ，两类情形合计均为 （如 、）。故所有可能值为 或 。 学科网（北京）股份有限公司 $ 【绝对值及其应用】题集 · B卷（拔高挑战）（学生版） 班级：____________　姓名：____________　日期：____________ 难度说明：★★★拔高　★★★★挑战　　建议用时：60 分钟 方法导航：绝对值的代数意义与分类讨论（三步法） 1. 辨符号：先判断绝对值内式子的正负（可借助数轴或已知范围），正数照抄、负数取相反数； 1. 去符号：注意括号内每一项都要变号，如 ； 1. 分类讨论：遇含字母的 型，按 、 分成「」与「」，再按负因数的奇偶汇总取值。 小贴士：多字母的绝对值问题，先把每个因子拆成 （符号因子），再按负数个数的奇偶性分类讨论。 一、拓展拔高（★★★） 1. 计算：______。 　　【知识点】绝对值的化简求值　【难度】★★★ 　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  2. 请回答下列各题： （1）若 ，化简 ； （2）若 ，化简 ； （3）、、 为三角形的三边长，化简 ，结果是（　　）（选项见下）； （4）若 ，则 ______。 A. 　　B. 　　C. 　　D. 　　【知识点】已知范围化简绝对值　【难度】★★★ 　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  3. 已知 ，且 ，根据 、 的不同取值， 有（　　） A. 唯一确定的值　　B. 种不同的值　　C. 种不同的值　　D. 种不同的值 　　【知识点】 的化简　【难度】★★★ 　　  　　  　　  4. 已知 、、 是非零有理数，则 的可能值共有（　　）个。 A. 　　B. 　　C. 　　D. 　　【知识点】绝对值综合　【难度】★★★ 　　  　　  　　  5. 已知 、、 都不等于 ，则 的值为（　　） A. 或 　　B. 或 　　C. 或 　　D. 或 或 　　【知识点】绝对值综合　【难度】★★★ 　　  　　  　　  二、挑战冲刺（★★★★） 6. 下列说法正确的有（　　）个。 ① 若 ，则 ； ② 若 ，则 ； ③ 若 ，则 ； ④ 若 ，则 的值一定为 。 A. 　　B. 　　C. 　　D. 　　【知识点】 的化简　【难度】★★★★ 　　  　　  　　  　　  7. 已知 、、 都不为零，且 的最大值为 ，最小值为 ，则 的值为______。 　　【知识点】 的化简　【难度】★★★★ 　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  8. 若 、、 都不为 ，求 的值。 　　【知识点】绝对值的代数意义　【难度】★★★★ 　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  9. 解答下列问题： （1）观察：，，，设 （）为整数，用关于 的等式表示这个规律：______。 （2）已知 ，，，求 的值。 （3）已知三个有理数 、、 的积是正数，它们的和是负数，求 的值。 　　【知识点】绝对值综合　【难度】★★★★ 　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  10. 如果 ，，，求 的值。 　　【知识点】 的化简　【难度】★★★★ 　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  11. 已知 ，试求 的值。 　　【知识点】 的化简　【难度】★★★★ 　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  12. 有理数 、、、 满足 ，求 的值。 　　【知识点】 的化简　【难度】★★★★ 　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  13. 已知数轴上 、、 的位置如图所示（，且 ），化简 。 数轴上 a、b、c 的位置 　　【知识点】结合数轴化简绝对值　【难度】★★★★ 　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  选做（挑战） 选 1. 已知 、、 是不为 的有理数，且 ，，，求 的值。 　　【知识点】绝对值的代数意义　【难度】★★★★ 　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  选 2. 已知 、、 是非零有理数，求 的所有可能值。 　　【知识点】绝对值综合　【难度】★★★★ 　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  学科网（北京）股份有限公司 $ 【绝对值及其应用】题集 · A卷（基础夯实）（学生版） 班级：____________　姓名：____________　日期：____________ 难度说明：★基础　★★提升　　建议用时：45 分钟 方法导航：绝对值的代数意义与分类讨论（三步法） 1. 辨符号：先判断绝对值内式子的正负（可借助数轴或已知范围），正数照抄、负数取相反数； 1. 去符号：注意括号内每一项都要变号，如 ； 1. 分类讨论：遇含字母的 型，按 、 分成「」与「」，再按负因数的奇偶汇总取值。 小贴士：化简时先「定符号」再去绝对值；遇到 型，先想「正数得 、负数得 」。 一、基础巩固（★） 1. 已知 、、 在数轴上的位置如图所示，化简 。 数轴上 a、b、c 的位置 　　【知识点】结合数轴化简绝对值　【难度】★ 　　  　　  　　  　　  　　  　　  2. 若 ，求 的取值范围。 　　【知识点】已知范围化简绝对值　【难度】★ 　　  　　  　　  　　  　　  3. 下列说法中正确的是（　　） A. 一定是正数　　B. 一定是负数　　C. 一定大于 　　D. 如果 ，那么 　　【知识点】绝对值的非负性　【难度】★ 　　  　　  　　  4. 当 时，求 的值，并说明 与它的关系。 　　【知识点】绝对值的代数意义　【难度】★ 　　  　　  　　  　　  　　  　　  二、能力提升（★★） 5. 计算：______。 　　【知识点】绝对值的化简求值　【难度】★★ 　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  6. 计算：______。 　　【知识点】绝对值的化简求值　【难度】★★ 　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  7. 若 ，化简： （1）； （2）； （3）； （4）。 　　【知识点】已知范围化简绝对值　【难度】★★ 　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  8. 已知 ，求 的所有可能值。 　　【知识点】 的化简　【难度】★★ 　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  9. 设 、、 是不为 的有理数，则 的值有（　　） A. 种　　B. 种　　C. 种　　D. 种 　　【知识点】 的化简　【难度】★★ 　　  　　  　　  10. 已知 ，且 、、 均不为 ，求 的所有可能值。 　　【知识点】绝对值综合　【难度】★★ 　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  11. 有理数 、、、 满足 ，求 的值。 　　【知识点】 的化简　【难度】★★ 　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  12. 已知 、 是不为 的有理数，求 的值。 　　【知识点】 的化简　【难度】★★ 　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  13. 已知三个非零有理数 、、，记 的最大值为 ，最小值为 ，求 的值。 　　【知识点】 的化简　【难度】★★ 　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  14. 、、 为非零有理数，且 ，求 的值。 　　【知识点】 的化简　【难度】★★ 　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  学科网（北京）股份有限公司 $