专题13 与角有关的计算（专项训练）数学新教材湘教版七年级上册
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内容正文：
专题13 与角有关的计算
常考题型·精准突破
题型1 角的相关定义及表示方法
题型2 角度制“度、分、秒”换算（重）
题型3 角的大小比较
题型4 角度制的四则运算（重）
题型5 求一个角的余角或补角（高频）
题型6 与余角、补角相关的求角问题（高频）
题型7 与角平分线相关的求角问题（难）
题型8 三角板摆放中的角度问题（高频）
题型9 同（等）角的余（补）角相等的应用（重）
题型10 双角平分线模型（重）
题型11 与角有关的探究性问题（难）
题型12 角度计算中的多解问题（高频）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 角的相关定义及表示方法
1．【答案】C
2．【答案】10个；，，，，，，，，，
【分析】分别写出以，，，为角的一条边的角，即可求解．
【详解】解：以为顶点的角有10个：
以为角的其中一条边：，，，，
以为角的其中一条边：，，，
以为角的其中一条边：，，
以为角的其中一条边：．
3．【答案】，，，，（从左往右）
【分析】根据图形，对照角的数字、希腊字母、顶点字母、三个大写字母的不同记法，一一对应写出同一个角的多种表示即可．
【详解】略
◆题型2 角度制“度、分、秒”换算
4．【答案】C
5．【答案】
6．【答案】
7．【答案】
8．【答案】 39 26 24
◆题型3 角的大小比较
9．【答案】B
10．【答案】B
11．【答案】B
◆题型4 角度制的四则运算
12．【答案】(1)
(2)
【分析】进行角度的加、减运算时，要将度与度、分与分、秒与秒分别相加、减，分、秒相加时逢60要进位，相减时，如不够要借1作60．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
13．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：．
（2）解：．
14．【答案】(1)
(2)
【分析】根据角度的计算法则，及角度的换算：，计算即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式．
15．【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了角度的四则运算，熟练掌握运算法则和正确进行度、分、秒之间的换算是解题的关键．
（1）根据度分秒的减法法则计算即可求解；
（2）根据度分秒的乘法和加法法则计算即可求解；
【详解】（1）解：
（2）解：．
16．【答案】(1)
(2)
【分析】本题是考查了角度制中的度分秒计算，解题关键是掌握度分秒是六十进制．
（1）（2）根据度分秒的计算方法进行计算即可．
【详解】（1）解：原式．
（2）解：原式．
◆题型5 求一个角的余角或补角
17．【答案】
【分析】先根据互补角的定义列出的表达式，再通过度分秒的借位换算完成减法计算．
【详解】解：∵与互补，
∴，
又∵，
∴
．
18．【答案】
【分析】本题考查余角、补角的定义及角度的单位换算．先根据互余的定义求出的度数，再利用补角的定义计算其补角．
【详解】解：∵与互余，
∴，
∵，
∴，
∵互为补角的两个角的和为，
∴的补角
，
故答案为：．
◆题型6 与余角、补角相关的求角问题
19．【答案】这个角的补角的度数为．
【分析】设这个角的度数为未知量，根据补角、余角的定义结合题干给出的数量关系列方程求解，进而计算其补角度数．
【详解】解：设这个角的度数为，则它的补角为，余角为，
根据题意，得，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化为得，
所以这个角的补角为．
答：这个角的补角的度数为．
20．【答案】
【分析】本题考查余角补角的概念和一元一次方程的应用． 先设出这个角的度数，根据题目中的数量关系列出一元一次方程，求解即可得到结果．
【详解】解：设这个角的度数为．
根据余角和补角的定义，这个角的余角为 ，补角为 ．
由题意得：．
展开整理得： ．
解得：．
21．【答案】，
【详解】解：∵比的2倍多，
∴，
∵与互补，
∴，
∴，
解得，
∴．
◆题型7 与角平分线相关的求角问题
22．【答案】/70度
23．【答案】20
24．【答案】
25．【答案】
◆题型8 三角板摆放中的角度问题
26．【答案】D
27．【答案】C
28．【答案】C
29．【答案】C
30．【答案】B
31．【答案】C
◆题型9 同（等）角的余（补）角相等的应用
32．【答案】55
33．【答案】
34．【答案】 互余 相等 同角的余角相等 相等 等角的补角相等 互补
【分析】本题考查了角度的比较.根据每个图形三角板的位置摆放可求出与的关系，即可判断是否互余或互补.
【详解】解：（1）图①可知，与一个直角组成一个平角，，可知 与互余．
（2）图②中都是同一个角的余角，根据同角的余角相等，可知与相等.
（3）图③中分别是同一个角的补角，根据等角的补角相等，可知与相等.
（4）图④中，组成一个平角，得，由互补的定义， 可知与互补．
故答案为：①互余 ② ③相等 ④同角的余角相等⑤相等⑥等角的补角相等⑦互补 ⑧．
◆题型10 双角平分线模型
35．【答案】
【分析】设，则，通过角平分线定义求出和，然后通过角度和差即可求解．
【详解】解：设，
∴，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
36．【答案】
【分析】设，则，．根据角平分线的定义和角的和差即可得到答案．
【详解】解：设，则，．
因为，分别为，的平分线，
所以，．
因为，
所以，
解得，
所以的度数为．
37．【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用角平分线的定义即可求解；
（2）根据角平分线的定义可得，，再利用角平分线的定义结合平角的定义即可求解；
（3）同（2）的方法求解即可．
【详解】（1）解：平分，平分．
，，
；
（2）解：平分，平分．
，，
又，
；
（3）解：平分，平分．
，，
，
．
38．【答案】（1）30，105；（2）；（3）或
【分析】（1）根据平角和角平分线的定义，分别求得，即可解答；
（2）根据角平分线的定义，分别求得，即可解答；
（3）运用分类讨论的思想方法，根据的度数和题中表示的所有角都是小于的角，分别讨论当在的右侧和左侧的情况，根据角平分线的定义和角度的和差运算，即可解答．
【详解】解：（1）∵边和边在同一条直线上，，
∴，
∵分别为的平分线，
∴，，
∴；
（2）∵分别为的平分线，，
∴，，
∵，
∴
（3）∵题中表示的所有角都是小于的角，
∴①如图3所示，当在的右侧，且时，
∵，，
∴，
∵分别是的平分线，
∴，，
∴；
②如图4所示，当在的右侧时，且时，
此时，，
∴，，
∴；
③如图5所示，当在的右侧时，且时，
此时，，
∴，，
∴；
④如图6所示，当在的左侧时，且时，
此时，，
∴，，
∴；
⑤如图7所示，当在的左侧时，且时，
此时，，
∴，，
∴；
⑥如图8所示，当在的左侧时，且时，
此时，，
∴，，
∴；
综上所述，当时，的度数为或．
◆题型11 与角有关的探究性问题
39．【答案】(1)①④⑥
(2)可以画出的角．理由如下：
先画三个角，拼接得到角，再在这个角内部叠放一个角（使一边重合），剩余部分即为
【分析】（1）和这两个角都是的倍数，因此它们的和差以及它们若干倍的和差也是的倍数，据此求解即可；
（2）根据即可得解；
【详解】（1）解：和这两个角都是的倍数，因此它们的和差以及它们若干倍的和差也是的倍数，
（先拼两个得到，再减去得到），
（先拼两个得到，再减去得到），
（先拼两个和一个，拼接得到），
其它角度无法由和的整数倍计算得到；
∴可以画出的角为①；④；⑥．
（2）略
40．【答案】(1)、
(2)①；②的度数为或
【分析】（1）运用角的和与差的计算即可得出答案，只要是的倍数的角都可以画出来；
（2）分平分和平分两种情况，利用角平分线的定义及角的和差关系分别求解即可．
【详解】（1）解：由题意可知，一副三角板中有、、、的角，
∵，，，，，，
∴还能用一副三角板画出、、、、、的角．
（2）解：①∵，，，
∴，
∵平分，
∴．
②如图，当平分时，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
如图，当平分时，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
综上所述：的度数为或．
41．【答案】(1)
(2)；或
(3)或 理由如下：根据题意，得，，
，
，
解得；
根据题意，得，，
，
解得；
(4)存在；或
【分析】（1）根据，解答即可．
（2）分且在的上方， 且在的下方，两种情况求解．
（3）根据题意，得，或，求解即可；
（4）当在的左侧时，此时，根据题意，得，当在的右侧时，此时，根据题意，得，求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，得，且，
故;
（2）解：三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转，旋转的时间为秒，
故旋转角．
当且在的上方时，
根据题意，得，，
，
，
解得；
当且在的下方时，
根据题意，得，，
，
，
解得；
（3）略
（4）解：根据题意，当在的左侧时，
此时，
根据题意，得，
整理，得，
解得；
当在的右侧时，
此时，
根据题意，得，
整理，得，
解得；
故当t为或时，;
42．【答案】(1)
(2)当是或时，，理由如下：
如图，
根据题意得：，
∵，即，
∴，
∴；
如图，
根据题意得：，
∵，即，
∴，
∴；
综上所述，当是或时，；
(3)或或或
【分析】（1）根据，即可求解；
（2）分两种情况，分别画出图形，即可求解；
（3）分四种情况，分别画出图形，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：，
∴；
（2）略
（3）解：若，
当位于的左侧时，如图，
根据题意得：，
∴，
∴，
∴；
当位于的右侧时，如图，
根据题意得：，
∴，
∴，
∴；
若，
当位于的左侧时，如图，
根据题意得：，
∴，
∴，
∴；
当位于的右侧时，如图，
根据题意得：，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的度数为或或或．
◆题型12 角度计算中的多解问题
43．【答案】或
【分析】由平分，得到，过点作射线，根据射线在内部或外部，分两种情况讨论，即可得出结果．
【详解】解：，平分，
，
的位置分两种情况：
①在内部：
；
②在外部：
，
综上，答案为：或．
44．【答案】或
【分析】本题需分两种情况讨论，即落在内部与落在外部，结合角平分线的定义与角的和差关系计算即可．
【详解】解：分两种情况进行计算：
①当落在的内部时：
平分，
，
平分，
，
．
②当落在的外部时：
平分，平分，
，
，
．
综上所述，的度数为或．
45．【答案】或
【分析】根据题目条件画出图形进行求角，注意要分两种情况，即、、三点在不在同一直线上．
【详解】①若、、在同一条直线上，如图：
与锐角互补，
，
平分，平分，
，
，
．
②当、、不在同一条直线上时，如图：
与锐角互补，
，
平分，平分，
，
，
．
综上所述：或．
46．【答案】或
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角的和差，解题的关键是掌握分类讨论的数学思想．
分两种情况进行讨论，根据线段的和差以及角平分线的定义进行求解即可．
【详解】解：分两种情况：
①如图所示，
此时，，
∵平分，
∴；
②如图所示，
此时，，
∵平分，
∴；
故答案为：或．
综合攻坚·知能拔高
1．【答案】B
2．【答案】B
3．【答案】B
4．【答案】A
5．【答案】
【详解】解：（1），；
（2）；
（3）；
（4）．
6．【答案】
【分析】本题主要考查余角的性质，将角度进行转化得到关系是解题的关键．
首先根据正方形的性质得到角度为，再进行角度转化即可得到、、三个角的数量关系．
【详解】解：如图，将三个大小相同的正方形的一个顶点O重合放置，
∴，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
7．【答案】/120度
【分析】设，则，求出，，得出，即可求出答案．
【详解】解：设，则．
∴．
∵平分，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
8．【答案】
【分析】利用角的和差关系：，代入各个含x的角度，列一元一次方程求出x，再计算．
【详解】∵，，，且，
∴，
解得，
∴．
9．【答案】 或
【分析】根据角的和差关系和平角的定义求出的度数，再表示出的度数，根据列式解方程即可．
【详解】解：，，
，
∴，
由题意得，，，，，
∴，
，
，
∴或
解得或；
综上所述，当t为21或25秒时，．
10．【答案】
【分析】根据题意得到，，从而求出，，进而根据余角的定义求解即可．
【详解】解：∵与互为补角，且比的一半大，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴的余角为．
11．【答案】或
【分析】首先判断的位置，存在两种情况：在内部，在外部，因为题目未明确的位置，所以需要分情况讨论．针对每种情况，根据角的和差关系计算出的度数．因为平分，所以利用角平分线的定义求出（或者）的度数．再根据角的和差关系，结合已知角的度数计算出的度数．
【详解】分两种情况：
①如图1，，
∵平分，
∴，
∴ ；
②如图2，．
∵平分，
∴
∴．
综上，的度数为或．
12．【答案】(1)；
(2)；
(3)
【分析】（1）根据题目提供的条件和角平分线的性质和两角互余的性质，求出角的度数即可；
（2）根据所提供的条件和角平分线的性质和两角互余的性质，求出角的度数即可；
（3）利用上面的计算过程即可得出结论．
【详解】（1）解：∵与互为余角，
∴，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：当，其它条件不变时，
；
（3）解：由（1）（2）可得：．
13．【答案】(1)；
(2)
(3)α的值为
(4)当射线，，，构成内余角时，t的值为秒或秒．
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用和角的和差的运算，掌握内余角的概念及计算方法是解题的关键．
（1）根据内余角定义计算即可；
（2）根据内余角可求出的度数，再根据即可求解；
（3）根据旋转的性质分别用含a的式子表示，的度数，再根据是的内余角列式求解即可；
（4）根据内余角的概念及计算方法，分类讨论，当在内部时；当在射线下方时；当在上方时：当在内部时，根据旋转的性质表示角的数量关系，求解即可．
【详解】（1）解：∵从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内余角，
∵射线，在的内部，是的内余角，
∴；
故答案为：；
（2）解：∵是的内余角，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
；
（3）解：已知，绕点O顺时针方向旋转一个角度（）得到，绕点O顺时针方向旋转一个角度得到，
∴，，
∴，，
∵是的内余角，
∴，
∴，
解得：，
∴α的值为；
（4）解：根据题意可得，，三角板绕顶点O以6度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为t秒，
当在内部时，如图所示，
，
∴，，
∴，，
若是的内余角时，
得，
∴，无解，
∴当在内部时，射线，，，不能构成内余角；
当在射线下方时，如图所示，
，
∴，，
若是的内余角，
∴，
解得：（秒）；
当在上方时，如图所示，
，
∴，，
若是的内余角，
∴，
解得：（秒）；
当在内部时，如图所示，
，
∴，，，
∴，
若是的内余角，
∴，无解，
∴当在内部时，射线，，，不能构成内余角；
综上所述，当射线，，，构成内余角时，t的值为秒或秒．
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专题13 与角有关的计算
常考题型·精准突破
题型1 角的相关定义及表示方法
题型2 角度制“度、分、秒”换算（重）
题型3 角的大小比较
题型4 角度制的四则运算（重）
题型5 求一个角的余角或补角（高频）
题型6 与余角、补角相关的求角问题（高频）
题型7 与角平分线相关的求角问题（难）
题型8 三角板摆放中的角度问题（高频）
题型9 同（等）角的余（补）角相等的应用（重）
题型10 双角平分线模型（重）
题型11 与角有关的探究性问题（难）
题型12 角度计算中的多解问题（高频）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 角的相关定义及表示方法
1．下列说法正确的是（ ）
A．由两条射线组成的图形叫作角
B．角的大小与角的两边长度有关
C．角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形
D．用放大镜看一个角，角的度数变大了
2．如图，以为顶点的角有多少个？请分别把它们写出来．
3．在下表中写出同一个角的不同的表示方法．
表示方法1
________
________
表示方法2
________
________
________
◆题型2 角度制“度、分、秒”换算
4．下列换算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．____________′．
6．_______________．
7．计算： __________°．
8．度分秒换算：（1）________°；（2）__________′_____″．
◆题型3 角的大小比较
9．如图，用同样大小的三角板比较和的大小，下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．没有量角器，无法确定
10．若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，比较各角的大小，下列说法不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
◆题型4 角度制的四则运算
12．计算：
(1)；
(2)．
13．计算：
(1)；
(2)．
14．计算：
(1)．
(2)．
15．计算：
(1)；
(2)
16．计算：（结果用度、分、秒表示）
(1)；
(2)．
◆题型5 求一个角的余角或补角
17．已知与互补，若，则___________．
18．已知与互余，且，则的补角是________度．
◆题型6 与余角、补角相关的求角问题
19．如果一个角的补角比这个角的余角的3倍还多，求这个角的补角的度数．
20．一个角的余角的3倍比它的补角的2倍少，求这个角的度数．
21．已知与互补，且比的2倍多，求与的度数．
◆题型7 与角平分线相关的求角问题
22．如图，射线平分，若，则_____．
23．如图，，，若平分，则______．
24．如图，已知在的内部，与互余，平分，，则____．
25．如图，，是的平分线，和互余，则的度数为_____．
◆题型8 三角板摆放中的角度问题
26．将一副三角尺按下列四种不同位置摆放，其中与互余的摆放方式是（ ）
A． B．
C． D．
27．将一副三角板按如下方式摆放，其中与不互补的是（ ）
A． B．
C． D．
28．将一块含有的等腰直角三角板按照如图方式摆放，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
29．把两块三角板按如图所示那样拼在一起，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
30．将一副三角尺的直角顶点重合，按图中位置摆放，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
31．如图，叠放在上，使顶点，重合，边落在内．已知，，，那么与的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
◆题型9 同（等）角的余（补）角相等的应用
32．如果与互补，与互补，且，，那么____．
33．如图所示，、都是直角，_____°．
34．如图，将一副三角尺按不同位置摆放，与之间有什么关系_________（选填“互余”“互补”或“相等”）？请说明你判断的依据．
（1）如图①，与_________，依据：_________．
（2）如图②，与_________，依据：_________．
（3）如图③，与_________，依据：_________．
（4）如图④，与_________，依据：_________．
◆题型10 双角平分线模型
35．如图，是钝角，，，是内的三条射线，若，平分，平分，那么的度数是______．
36．如图，，，分别为，的平分线，若，求的度数．
37．已知与共顶点O，点A，O，B在一条直线上，点C，D在直线同侧，，平分，平分．
(1)如图1，当时，求的度数．
(2)如图2，当时，若，求的度数．
(3)当时，若，直接写出的度数．（用含的代数式表示）
38．综合与实践
问题情境：直角三角板是学生常用的数学工具，其中蕴含着丰富的数学知识．某兴趣小组使用一副直角三角板进行数学探究，将两个三角板的一个顶点重合后摆放，，射线在平面内绕点转动．
特例分析：（1）如图1，当边和边在同一条直线上时，射线分别为的平分线，则________，________；
（2）如图2，边和不在同一条直线上，射线分别为的平分线．，求的度数．
拓展探究：（3）若保持三角板不动，将三角板绕点转动，射线分别是的平分线．当时，直接写出的度数．
注意：题中表示的所有角都是小于的角．
◆题型11 与角有关的探究性问题
39．综合与实践
【动手操作】
(1)如图，用一副三角尺中的和这两个角，就可以通过拼接或者叠合的方法画出，的角，如图中，．只用和这两个角（可以多次重复使用），你还可以画出以下哪些度数的角：________（填序号）．
①；②；③；④；⑤；⑥．
【思考表达】
(2)现有，角的两种模板，只能用这两种模板和铅笔画角，小红和小亮各有发现：
小红：因为，所以我可以画出的角．
小亮：因为，，我是先画出的角，画四次得到的角，再减去的角得到的角，所以我可以画出的角．利用，角的两种模板和铅笔，你可以画出的角吗？请说明理由．
40．解答以下问题
(1)数学课上，王老师让同学们准备一副三角板，并利用它们画出一些角，例如、、、等，小明利用三角板画出了一个的角，小乐利用三角板画出了一个的角，你还能用一副三角板画出多少度的角？_______（写出个即可，要求小于）
(2)小明将一个角的直角三角板的一边与直线重叠，在直线上方，，另一个的直角三角板与三角板共顶点，，并且，平分．
①当两个三角板如图1所示放置时，用含的代数式表示的度数_______；
②如果三角板固定不动，三角板可以绕点转动（角的大小可以变化），当三角板的一边平分时，求的度数．
41．如图1，点在直线上，过点引一条射线，使，将一个直角三角尺的直角顶点放在点处，直角边在射线上，另一边在直线的下方．
【操作一】：将图1中的三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转，当它完成旋转一周时停止，设旋转的时间为秒．
(1)的度数是__________．
(2)三角尺的边旋转的度数可表示为__________（用含的代数式表示）；当__________时，．
【操作二】：如图2，射线与射线重合．如图3，在三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，射线绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，当三角尺完成旋转一周时停止，射线也停止旋转，设旋转的时间为秒．
(3)当为何值时，，并说明理由？
(4)试探索：在三角尺与射线旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得？若存在，请求出所有满足题意的的值；若不存在，请说明理由．
42．【动手实践】
在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．请你利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究．
(1)【实验操作】如图1，当边和边重合时， 度；
(2)【实验操作】如图2，保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，当是多少度时（ ），？请说明理由；
(3)【拓展延伸】如图3，试探索：保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，使得与中其中一个角是另一个角的两倍，请直接写出所有满足题意的的度数．（ ）
◆题型12 角度计算中的多解问题
43．如图，，平分，若过点作射线，使，则的度数为______________．
45．与锐角互补，平分，平分，若，则_________（可用含的式子表示）．
46．已知在同一平面内，，射线在的外部，平分，若，则___________．
综合攻坚·知能拔高
1．下列换算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．在每个小正方形的边长为的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，和的顶点均在格点上，试比较与的大小关系（ ）
A． B． C． D．无法确定
3．如图，一副三角尺按图中所示位置摆放，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，将三角尺的直角顶点放在直线上，设的度数为，的度数为，若比的4倍还大，则可列方程组（ ）
A． B． C． D．
5．计算下列各题：
（1）________，________°__________′；
（2）__________________′；
（3）__________________′；
（4）__________________′．
6．如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则、、三个角的数量关系为________．
7．如图，平分，，已知，则的度数为_____________．
8．如图，已知，，，且，那么________．
9．已知一副三角板按如图拼接在一起，边、与直线重合，其中，．三角板绕点O按顺时针方向，以/秒的速度旋转；三角板绕点O按逆时针方向，以秒的速度旋转，旋转时间为t秒，旋转后记对应射线为．当为_________秒时，．
10．已知与互为补角，且比的一半大，求的余角．
11．已知，平分，求的度数．
12．如图，已知与互为余角，且，平分，平分．
(1)求的度数；
(2)如果已知，其他条件不变，求的度数；
(3)从以上求的过程中，你得出的结论是________．
13．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内余角．例：如图1，若射线，在的内部，且 度，则是的内余角．
(1)完成题干中的填空；
(2)如图1，，，若是的内余角，求的度数；
(3)如图2，已知，将绕点O顺时针方向转动一个角度（）得到，同时将绕点O顺时针方向转动角度得到．若是的内余角，求的值；
(4)已知，一块含有角的三角板的边与重合，边与重合，将三角板绕顶点O以/秒的速度按顺时针方向转动，如图3，设转动时间为t秒．在转动到与重合前，当射线，，，中，两条射线构成的角是另外两条射线构成的角的内余角时，直接写出t的值．
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专题13 与角有关的计算
常考题型·精准突破
题型1 角的相关定义及表示方法
题型2 角度制“度、分、秒”换算（重）
题型3 角的大小比较
题型4 角度制的四则运算（重）
题型5 求一个角的余角或补角（高频）
题型6 与余角、补角相关的求角问题（高频）
题型7 与角平分线相关的求角问题（难）
题型8 三角板摆放中的角度问题（高频）
题型9 同（等）角的余（补）角相等的应用（重）
题型10 双角平分线模型（重）
题型11 与角有关的探究性问题（难）
题型12 角度计算中的多解问题（高频）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 角的相关定义及表示方法
1．下列说法正确的是（ ）
A．由两条射线组成的图形叫作角
B．角的大小与角的两边长度有关
C．角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形
D．用放大镜看一个角，角的度数变大了
【答案】C
【分析】根据角的定义判断各选项的正误即可．
【详解】解：因为组成角的两条射线需有公共端点， 所以A选项说法错误，不符合题意；
因为角的大小与两边的长度无关，所以B选项说法错误，不符合题意；
因为角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，所以 C说法正确，符合题意；
因为用放大镜看角时角的度数不变，所以D说法错误，不符合题意．
2．如图，以为顶点的角有多少个？请分别把它们写出来．
【答案】10个；，，，，，，，，，
【分析】分别写出以，，，为角的一条边的角，即可求解．
【详解】解：以为顶点的角有10个：
以为角的其中一条边：，，，，
以为角的其中一条边：，，，
以为角的其中一条边：，，
以为角的其中一条边：．
3．在下表中写出同一个角的不同的表示方法．
表示方法1
________
________
表示方法2
________
________
________
【答案】，，，，（从左往右）
【分析】根据图形，对照角的数字、希腊字母、顶点字母、三个大写字母的不同记法，一一对应写出同一个角的多种表示即可．
【详解】略
◆题型2 角度制“度、分、秒”换算
4．下列换算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用度分秒的60进制换算规则，，逐一对选项换算验证即可得到正确结果．
【详解】解：对选项A：，A错误．
对选项B：，B错误．
对选项C：，∴ C正确．
对选项D： ，∴ D错误．
5．____________′．
【答案】
【详解】解：．
6．_______________．
【答案】
【分析】根据度分秒的换算，度分秒之间的进率为．将度的小数部分依次乘以进率换算为分和秒即可求解．
【详解】解：的整数部分为度，即．
剩余小数部分换算为分：．
的整数部分为分，即．
剩余小数部分换算为秒：．
因此．
7．计算： __________°．
【答案】
【分析】度分秒换算的核心是60 进制，从秒到分、分到度，依次除以 60，注意逐级换算，避免跳步出错．
度、分、秒的换算规则：，，将分、秒逐级转化为度即可．
【详解】
故答案为：．
8．度分秒换算：（1）________°；（2）__________′_____″．
【答案】 39 26 24
【分析】根据度分秒的换算关系，低级单位化高级单位除以进率，高级单位化低级单位乘以进率，计算即可．
【详解】解：（1）；
（2），
取的小数部分换算为秒：
，
因此．
◆题型3 角的大小比较
9．如图，用同样大小的三角板比较和的大小，下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．没有量角器，无法确定
【答案】B
【分析】通过比较角的另一边是在三角板的内部还是外部，即可确定角的大小关系．
【详解】解：由题意得，，
∴．
10．若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题需将三个角统一单位后比较大小，利用角度单位换算：，，把的度数换算成度分秒形式，再与、比较．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴
即
故选：B．
11．如图，比较各角的大小，下列说法不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用角的包含关系来判断角的大小即可．
【详解】解：由图可得，，，，，故ACD正确，B错误．
◆题型4 角度制的四则运算
12．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】进行角度的加、减运算时，要将度与度、分与分、秒与秒分别相加、减，分、秒相加时逢60要进位，相减时，如不够要借1作60．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
13．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：．
（2）解：．
14．计算：
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】根据角度的计算法则，及角度的换算：，计算即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式．
15．计算：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了角度的四则运算，熟练掌握运算法则和正确进行度、分、秒之间的换算是解题的关键．
（1）根据度分秒的减法法则计算即可求解；
（2）根据度分秒的乘法和加法法则计算即可求解；
【详解】（1）解：
（2）解：．
16．计算：（结果用度、分、秒表示）
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题是考查了角度制中的度分秒计算，解题关键是掌握度分秒是六十进制．
（1）（2）根据度分秒的计算方法进行计算即可．
【详解】（1）解：原式．
（2）解：原式．
◆题型5 求一个角的余角或补角
17．已知与互补，若，则___________．
【答案】
【分析】先根据互补角的定义列出的表达式，再通过度分秒的借位换算完成减法计算．
【详解】解：∵与互补，
∴，
又∵，
∴
．
18．已知与互余，且，则的补角是________度．
【答案】
【分析】本题考查余角、补角的定义及角度的单位换算．先根据互余的定义求出的度数，再利用补角的定义计算其补角．
【详解】解：∵与互余，
∴，
∵，
∴，
∵互为补角的两个角的和为，
∴的补角
，
故答案为：．
◆题型6 与余角、补角相关的求角问题
19．如果一个角的补角比这个角的余角的3倍还多，求这个角的补角的度数．
【答案】这个角的补角的度数为．
【分析】设这个角的度数为未知量，根据补角、余角的定义结合题干给出的数量关系列方程求解，进而计算其补角度数．
【详解】解：设这个角的度数为，则它的补角为，余角为，
根据题意，得，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化为得，
所以这个角的补角为．
答：这个角的补角的度数为．
20．一个角的余角的3倍比它的补角的2倍少，求这个角的度数．
【答案】
【分析】本题考查余角补角的概念和一元一次方程的应用． 先设出这个角的度数，根据题目中的数量关系列出一元一次方程，求解即可得到结果．
【详解】解：设这个角的度数为．
根据余角和补角的定义，这个角的余角为 ，补角为 ．
由题意得：．
展开整理得： ．
解得：．
21．已知与互补，且比的2倍多，求与的度数．
【答案】，
【详解】解：∵比的2倍多，
∴，
∵与互补，
∴，
∴，
解得，
∴．
◆题型7 与角平分线相关的求角问题
22．如图，射线平分，若，则_____．
【答案】/70度
【分析】根据角平分线的定义得到，求解即可．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴．
23．如图，，，若平分，则______．
【答案】20
【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，几何图中角度的计算，根据角的和差关系可得出，再根据角平分线的定义即可求出．
【详解】解：，，
，
平分，
，
故答案为：20．
24．如图，已知在的内部，与互余，平分，，则____．
【答案】
【分析】本题考查了余角的定义以及角平分线的定义，关键是根据角的和差关系与角平分线的定义列出方程求解．
【详解】解：设，
∵与互余，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴，解得．
故答案为：．
25．如图，，是的平分线，和互余，则的度数为_____．
【答案】
【分析】本题考查角的和差运算，角平分线的定义，余角的概念，掌握好相关知识是关键．
根据角平分线的定义得，从而计算出，根据余角的概念，求出即可．
【详解】解：∵是的平分线，
∴，
∵和互余，
∴，
∴．
故答案为：．
◆题型8 三角板摆放中的角度问题
26．将一副三角尺按下列四种不同位置摆放，其中与互余的摆放方式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了余角的定义，根据余角的定义逐个判断即可；熟练掌握余角的定义是解题的关键．
【详解】解：A、，互为补角，故不合题意．
B、与都是同一个角的余角，则，故不合题意；
C、，互为补角，故不合题意．
D、，与互余，故符合题意；
故选：D．
27．将一副三角板按如下方式摆放，其中与不互补的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：A项中，，∴；
B项中，，∴；
C项中，，，，符合题意；
D项中，，∴．
28．将一块含有的等腰直角三角板按照如图方式摆放，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等腰直角三角板的性质可知其在直线上的角为 ，利用平角的定义及对顶角性质建立 与 的关系，即可求解．
【详解】解： 三角板是含有 的等腰直角三角板 ，
三角板在直线上的角为 ，
∴ 与 的邻补角构成直角，
，
，
，
．
29．把两块三角板按如图所示那样拼在一起，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】识别图中两块三角板的类型及其对应角的度数，利用角的和差关系求解即可．
【详解】解：由图可知，是由两块三角板的两个角拼接而成．
．
30．将一副三角尺的直角顶点重合，按图中位置摆放，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可知 ，利用角的和差关系 即可求解．
【详解】解： 该图中一副三角尺的直角顶点重合，
．
31．如图，叠放在上，使顶点，重合，边落在内．已知，，，那么与的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据角的和差关系得出，，进而得出，即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，顶点，重合，，
∴，
∴，
∴．
◆题型9 同（等）角的余（补）角相等的应用
32．如果与互补，与互补，且，，那么____．
【答案】55
【分析】因为两个角互补则两角之和为，所以可以分别写出与、与的和的关系式．结合已知的条件，对两个互补关系式做等量代换，推导和的数量关系．根据得到的和的关系，代入的度数计算的度数．
【详解】解：与互补，与互补，
，，
，
，
又，
．
33．如图所示，、都是直角，_____°．
【答案】
【分析】此题考查了余角的性质，角的和差计算等知识，根据同角的余角相等得到，即可求出的度数．
【详解】解：反向延长射线得到直线，
∵、都是直角，
∴，．
∴，
∴．
故答案为：．
34．如图，将一副三角尺按不同位置摆放，与之间有什么关系_________（选填“互余”“互补”或“相等”）？请说明你判断的依据．
（1）如图①，与_________，依据：_________．
（2）如图②，与_________，依据：_________．
（3）如图③，与_________，依据：_________．
（4）如图④，与_________，依据：_________．
【答案】 互余 相等 同角的余角相等 相等 等角的补角相等 互补
【分析】本题考查了角度的比较.根据每个图形三角板的位置摆放可求出与的关系，即可判断是否互余或互补.
【详解】解：（1）图①可知，与一个直角组成一个平角，，可知 与互余．
（2）图②中都是同一个角的余角，根据同角的余角相等，可知与相等.
（3）图③中分别是同一个角的补角，根据等角的补角相等，可知与相等.
（4）图④中，组成一个平角，得，由互补的定义， 可知与互补．
故答案为：①互余 ② ③相等 ④同角的余角相等⑤相等⑥等角的补角相等⑦互补 ⑧．
◆题型10 双角平分线模型
35．如图，是钝角，，，是内的三条射线，若，平分，平分，那么的度数是______．
【答案】
【分析】设，则，通过角平分线定义求出和，然后通过角度和差即可求解．
【详解】解：设，
∴，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
36．如图，，，分别为，的平分线，若，求的度数．
【答案】
【分析】设，则，．根据角平分线的定义和角的和差即可得到答案．
【详解】解：设，则，．
因为，分别为，的平分线，
所以，．
因为，
所以，
解得，
所以的度数为．
37．已知与共顶点O，点A，O，B在一条直线上，点C，D在直线同侧，，平分，平分．
(1)如图1，当时，求的度数．
(2)如图2，当时，若，求的度数．
(3)当时，若，直接写出的度数．（用含的代数式表示）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用角平分线的定义即可求解；
（2）根据角平分线的定义可得，，再利用角平分线的定义结合平角的定义即可求解；
（3）同（2）的方法求解即可．
【详解】（1）解：平分，平分．
，，
；
（2）解：平分，平分．
，，
又，
；
（3）解：平分，平分．
，，
，
．
38．综合与实践
问题情境：直角三角板是学生常用的数学工具，其中蕴含着丰富的数学知识．某兴趣小组使用一副直角三角板进行数学探究，将两个三角板的一个顶点重合后摆放，，射线在平面内绕点转动．
特例分析：（1）如图1，当边和边在同一条直线上时，射线分别为的平分线，则________，________；
（2）如图2，边和不在同一条直线上，射线分别为的平分线．，求的度数．
拓展探究：（3）若保持三角板不动，将三角板绕点转动，射线分别是的平分线．当时，直接写出的度数．
注意：题中表示的所有角都是小于的角．
【答案】（1）30，105；（2）；（3）或
【分析】（1）根据平角和角平分线的定义，分别求得，即可解答；
（2）根据角平分线的定义，分别求得，即可解答；
（3）运用分类讨论的思想方法，根据的度数和题中表示的所有角都是小于的角，分别讨论当在的右侧和左侧的情况，根据角平分线的定义和角度的和差运算，即可解答．
【详解】解：（1）∵边和边在同一条直线上，，
∴，
∵分别为的平分线，
∴，，
∴；
（2）∵分别为的平分线，，
∴，，
∵，
∴
（3）∵题中表示的所有角都是小于的角，
∴①如图3所示，当在的右侧，且时，
∵，，
∴，
∵分别是的平分线，
∴，，
∴；
②如图4所示，当在的右侧时，且时，
此时，，
∴，，
∴；
③如图5所示，当在的右侧时，且时，
此时，，
∴，，
∴；
④如图6所示，当在的左侧时，且时，
此时，，
∴，，
∴；
⑤如图7所示，当在的左侧时，且时，
此时，，
∴，，
∴；
⑥如图8所示，当在的左侧时，且时，
此时，，
∴，，
∴；
综上所述，当时，的度数为或．
◆题型11 与角有关的探究性问题
39．综合与实践
【动手操作】
(1)如图，用一副三角尺中的和这两个角，就可以通过拼接或者叠合的方法画出，的角，如图中，．只用和这两个角（可以多次重复使用），你还可以画出以下哪些度数的角：________（填序号）．
①；②；③；④；⑤；⑥．
【思考表达】
(2)现有，角的两种模板，只能用这两种模板和铅笔画角，小红和小亮各有发现：
小红：因为，所以我可以画出的角．
小亮：因为，，我是先画出的角，画四次得到的角，再减去的角得到的角，所以我可以画出的角．利用，角的两种模板和铅笔，你可以画出的角吗？请说明理由．
【答案】(1)①④⑥
(2)可以画出的角．理由如下：
先画三个角，拼接得到角，再在这个角内部叠放一个角（使一边重合），剩余部分即为
【分析】（1）和这两个角都是的倍数，因此它们的和差以及它们若干倍的和差也是的倍数，据此求解即可；
（2）根据即可得解；
【详解】（1）解：和这两个角都是的倍数，因此它们的和差以及它们若干倍的和差也是的倍数，
（先拼两个得到，再减去得到），
（先拼两个得到，再减去得到），
（先拼两个和一个，拼接得到），
其它角度无法由和的整数倍计算得到；
∴可以画出的角为①；④；⑥．
（2）略
40．解答以下问题
(1)数学课上，王老师让同学们准备一副三角板，并利用它们画出一些角，例如、、、等，小明利用三角板画出了一个的角，小乐利用三角板画出了一个的角，你还能用一副三角板画出多少度的角？_______（写出个即可，要求小于）
(2)小明将一个角的直角三角板的一边与直线重叠，在直线上方，，另一个的直角三角板与三角板共顶点，，并且，平分．
①当两个三角板如图1所示放置时，用含的代数式表示的度数_______；
②如果三角板固定不动，三角板可以绕点转动（角的大小可以变化），当三角板的一边平分时，求的度数．
【答案】(1)、
(2)①；②的度数为或
【分析】（1）运用角的和与差的计算即可得出答案，只要是的倍数的角都可以画出来；
（2）分平分和平分两种情况，利用角平分线的定义及角的和差关系分别求解即可．
【详解】（1）解：由题意可知，一副三角板中有、、、的角，
∵，，，，，，
∴还能用一副三角板画出、、、、、的角．
（2）解：①∵，，，
∴，
∵平分，
∴．
②如图，当平分时，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
如图，当平分时，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
综上所述：的度数为或．
41．如图1，点在直线上，过点引一条射线，使，将一个直角三角尺的直角顶点放在点处，直角边在射线上，另一边在直线的下方．
【操作一】：将图1中的三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转，当它完成旋转一周时停止，设旋转的时间为秒．
(1)的度数是__________．
(2)三角尺的边旋转的度数可表示为__________（用含的代数式表示）；当__________时，．
【操作二】：如图2，射线与射线重合．如图3，在三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，射线绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，当三角尺完成旋转一周时停止，射线也停止旋转，设旋转的时间为秒．
(3)当为何值时，，并说明理由？
(4)试探索：在三角尺与射线旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得？若存在，请求出所有满足题意的的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)；或
(3)或 理由如下：根据题意，得，，
，
，
解得；
根据题意，得，，
，
解得；
(4)存在；或
【分析】（1）根据，解答即可．
（2）分且在的上方， 且在的下方，两种情况求解．
（3）根据题意，得，或，求解即可；
（4）当在的左侧时，此时，根据题意，得，当在的右侧时，此时，根据题意，得，求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，得，且，
故;
（2）解：三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转，旋转的时间为秒，
故旋转角．
当且在的上方时，
根据题意，得，，
，
，
解得；
当且在的下方时，
根据题意，得，，
，
，
解得；
（3）略
（4）解：根据题意，当在的左侧时，
此时，
根据题意，得，
整理，得，
解得；
当在的右侧时，
此时，
根据题意，得，
整理，得，
解得；
故当t为或时，;
42．【动手实践】
在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．请你利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究．
(1)【实验操作】如图1，当边和边重合时， 度；
(2)【实验操作】如图2，保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，当是多少度时（ ），？请说明理由；
(3)【拓展延伸】如图3，试探索：保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，使得与中其中一个角是另一个角的两倍，请直接写出所有满足题意的的度数．（ ）
【答案】(1)
(2)当是或时，，理由如下：
如图，
根据题意得：，
∵，即，
∴，
∴；
如图，
根据题意得：，
∵，即，
∴，
∴；
综上所述，当是或时，；
(3)或或或
【分析】（1）根据，即可求解；
（2）分两种情况，分别画出图形，即可求解；
（3）分四种情况，分别画出图形，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：，
∴；
（2）略
（3）解：若，
当位于的左侧时，如图，
根据题意得：，
∴，
∴，
∴；
当位于的右侧时，如图，
根据题意得：，
∴，
∴，
∴；
若，
当位于的左侧时，如图，
根据题意得：，
∴，
∴，
∴；
当位于的右侧时，如图，
根据题意得：，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的度数为或或或．
◆题型12 角度计算中的多解问题
43．如图，，平分，若过点作射线，使，则的度数为______________．
【答案】或
【分析】由平分，得到，过点作射线，根据射线在内部或外部，分两种情况讨论，即可得出结果．
【详解】解：，平分，
，
的位置分两种情况：
①在内部：
；
②在外部：
，
综上，答案为：或．
44．已知，若平分平分则_______．
【答案】或
【分析】本题需分两种情况讨论，即落在内部与落在外部，结合角平分线的定义与角的和差关系计算即可．
【详解】解：分两种情况进行计算：
①当落在的内部时：
平分，
，
平分，
，
．
②当落在的外部时：
平分，平分，
，
，
．
综上所述，的度数为或．
45．与锐角互补，平分，平分，若，则_________（可用含的式子表示）．
【答案】或
【分析】根据题目条件画出图形进行求角，注意要分两种情况，即、、三点在不在同一直线上．
【详解】①若、、在同一条直线上，如图：
与锐角互补，
，
平分，平分，
，
，
．
②当、、不在同一条直线上时，如图：
与锐角互补，
，
平分，平分，
，
，
．
综上所述：或．
46．已知在同一平面内，，射线在的外部，平分，若，则___________．
【答案】或
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角的和差，解题的关键是掌握分类讨论的数学思想．
分两种情况进行讨论，根据线段的和差以及角平分线的定义进行求解即可．
【详解】解：分两种情况：
①如图所示，
此时，，
∵平分，
∴；
②如图所示，
此时，，
∵平分，
∴；
故答案为：或．
综合攻坚·知能拔高
1．下列换算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】度、分、秒之间进率为60，即，，，根据换算规则逐一计算各选项即可得到答案．
【详解】解：对A选项：，故A错误；
对B选项：
，故B正确；
对C选项：
，故C错误；
对D选项：，故D错误．
2．在每个小正方形的边长为的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，和的顶点均在格点上，试比较与的大小关系（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【分析】本题主要考查了角的和与差，由网格线可知，，可得：，又因为，可得．
【详解】解：如下图所示，由网格可知，，
，
即，
，
．
故选：B．
3．如图，一副三角尺按图中所示位置摆放，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由同角的余角相等可知，，再结合，即可求解出的度数．
【详解】解：设，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
解得，．
4．如图所示，将三角尺的直角顶点放在直线上，设的度数为，的度数为，若比的4倍还大，则可列方程组（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据和之间的倍数关系和互余的关系列出方程组即可．
【详解】解：由图可知，
设的度数为，的度数为，比的4倍还大，
∴可列方程组为：．
5．计算下列各题：
（1）________，________°__________′；
（2）__________________′；
（3）__________________′；
（4）__________________′．
【答案】
【详解】解：（1），；
（2）；
（3）；
（4）．
6．如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则、、三个角的数量关系为________．
【答案】
【分析】本题主要考查余角的性质，将角度进行转化得到关系是解题的关键．
首先根据正方形的性质得到角度为，再进行角度转化即可得到、、三个角的数量关系．
【详解】解：如图，将三个大小相同的正方形的一个顶点O重合放置，
∴，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
7．如图，平分，，已知，则的度数为_____________．
【答案】
/120度
【分析】设，则，求出，，得出，即可求出答案．
【详解】解：设，则．
∴．
∵平分，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
8．如图，已知，，，且，那么________．
【答案】
【分析】利用角的和差关系：，代入各个含x的角度，列一元一次方程求出x，再计算．
【详解】∵，，，且，
∴，
解得，
∴．
9．已知一副三角板按如图拼接在一起，边、与直线重合，其中，．三角板绕点O按顺时针方向，以/秒的速度旋转；三角板绕点O按逆时针方向，以秒的速度旋转，旋转时间为t秒，旋转后记对应射线为．当为_________秒时，．
【答案】 或
【分析】根据角的和差关系和平角的定义求出的度数，再表示出的度数，根据列式解方程即可．
【详解】解：，，
，
∴，
由题意得，，，，，
∴，
，
，
∴或
解得或；
综上所述，当t为21或25秒时，．
10．已知与互为补角，且比的一半大，求的余角．
【答案】
【分析】根据题意得到，，从而求出，，进而根据余角的定义求解即可．
【详解】解：∵与互为补角，且比的一半大，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴的余角为．
11．已知，平分，求的度数．
【答案】或
【分析】首先判断的位置，存在两种情况：在内部，在外部，因为题目未明确的位置，所以需要分情况讨论．针对每种情况，根据角的和差关系计算出的度数．因为平分，所以利用角平分线的定义求出（或者）的度数．再根据角的和差关系，结合已知角的度数计算出的度数．
【详解】分两种情况：
①如图1，，
∵平分，
∴，
∴ ；
②如图2，．
∵平分，
∴
∴．
综上，的度数为或．
12．如图，已知与互为余角，且，平分，平分．
(1)求的度数；
(2)如果已知，其他条件不变，求的度数；
(3)从以上求的过程中，你得出的结论是________．
【答案】(1)；
(2)；
(3)
【分析】（1）根据题目提供的条件和角平分线的性质和两角互余的性质，求出角的度数即可；
（2）根据所提供的条件和角平分线的性质和两角互余的性质，求出角的度数即可；
（3）利用上面的计算过程即可得出结论．
【详解】（1）解：∵与互为余角，
∴，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：当，其它条件不变时，
；
（3）解：由（1）（2）可得：．
13．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内余角．例：如图1，若射线，在的内部，且 度，则是的内余角．
(1)完成题干中的填空；
(2)如图1，，，若是的内余角，求的度数；
(3)如图2，已知，将绕点O顺时针方向转动一个角度（）得到，同时将绕点O顺时针方向转动角度得到．若是的内余角，求的值；
(4)已知，一块含有角的三角板的边与重合，边与重合，将三角板绕顶点O以/秒的速度按顺时针方向转动，如图3，设转动时间为t秒．在转动到与重合前，当射线，，，中，两条射线构成的角是另外两条射线构成的角的内余角时，直接写出t的值．
【答案】(1)；
(2)
(3)α的值为
(4)当射线，，，构成内余角时，t的值为秒或秒．
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用和角的和差的运算，掌握内余角的概念及计算方法是解题的关键．
（1）根据内余角定义计算即可；
（2）根据内余角可求出的度数，再根据即可求解；
（3）根据旋转的性质分别用含a的式子表示，的度数，再根据是的内余角列式求解即可；
（4）根据内余角的概念及计算方法，分类讨论，当在内部时；当在射线下方时；当在上方时：当在内部时，根据旋转的性质表示角的数量关系，求解即可．
【详解】（1）解：∵从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内余角，
∵射线，在的内部，是的内余角，
∴；
故答案为：；
（2）解：∵是的内余角，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
；
（3）解：已知，绕点O顺时针方向旋转一个角度（）得到，绕点O顺时针方向旋转一个角度得到，
∴，，
∴，，
∵是的内余角，
∴，
∴，
解得：，
∴α的值为；
（4）解：根据题意可得，，三角板绕顶点O以6度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为t秒，
当在内部时，如图所示，
，
∴，，
∴，，
若是的内余角时，
得，
∴，无解，
∴当在内部时，射线，，，不能构成内余角；
当在射线下方时，如图所示，
，
∴，，
若是的内余角，
∴，
解得：（秒）；
当在上方时，如图所示，
，
∴，，
若是的内余角，
∴，
解得：（秒）；
当在内部时，如图所示，
，
∴，，，
∴，
若是的内余角，
∴，无解，
∴当在内部时，射线，，，不能构成内余角；
综上所述，当射线，，，构成内余角时，t的值为秒或秒．
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