专题03 线段和角计算问题中涉及数学思想方法的四类综合题型（高效培优专项训练）数学湘教版2024七年级上册

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题03 线段和角计算问题中涉及数学思想方法的四类综合题型 题型归纳 目录 题型一：分类讨论思想在线段的计算中的应用.。 .1 题型二：分类讨论在角的计算中的应用. .6 题型三：整体思想及从特殊道一般思想解决线段和差问题.12 题型四：整体思想及从特殊道一般思想解决角和差问题…23 题型专练 题型一：分类讨论思想在线段的计算中的应用 1.(25-26七年级上全国期末)已知线段AB=10cm,点C是直线AB上的一点，BC=4cm.若M是AC的 中点，N是BC的中点，则线段MN的长度为() A.7cm B.5cm C.3cm D.5cm或3cm 2.(25-26七年级上河北衡水·期中)竹竿作为一种常见的天然植物材料，具有多种作用和功效，如图，将 根竹竿AB从P处分成两部分，截断后的各段竹竿中有一段长为90cm,若AP:PB=3:5,则这根竹竿的 原长为() A P B A.140cm或200cm B.144cm或200cm C.144cm或240cm D.140cm或240cm 3.(25-26七年级上·四川成都期中)如图，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB、AC和BC,若其中 有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”. A C (1)线段的中点」 这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）： (2)若AB=12cm,点C是线段AB的巧点，则AC最长为Cm; 4.(2526七年级上院西西安月考)如图，在直线B上有C,D两点，且满足4C-号CD号8D=4cm,点 M从点C出发沿射线CD方向以2cm/s的速度运动，同时点N从B出发沿射线BA以1cm/s的速度运动.点 P、Q分别为AM、BN的中点，当BN=2DM时，PQ=Cm. A C D B 5.(25-26七年级上山西太原·月考)如图，C为线段AD上一点，B为线段CD的中点，且 AD =15cm,BC=3cm A C B 1/7 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)图中共有_条线段； (2)求线段AC的长； (3)若点E在直线AD上，且EA=4cm,求线段BE的长， 6.(25-26七年级上全国·期末)如图，一直线上有线段AB,AB=a.一线段CD在该直线上运动，且 CD=b,a,b满足(a-12)2+(b-6)2=0(点A在点B的左侧，点C在点D的左侧)· A B A B 备用图 (I)当点D与点B重合时，求AC的长： (②)M,N分别是线段AC,BD的中点，当BC=4时，求MN的长. (3)当线段CD运动到点B,D间的距离为1时，若有一点P在点D的右侧且位于线段AB的延长线上，求 PA+PB-PC-PD的值. 题型二：分类讨论在角的计算中的应用 1.(25-26七年级上江苏南京月考)已知∠A0B=58°，∠B0C=12°，0M是∠B0C的平分线，则∠AOM 的度数为() A.46° B.64° C.46°或64° D.52°或64° 2.(17-18七年级上.宁夏银川期末)已知∠A0B=20°，∠A0C=80°，0D平分∠A0B,0M平分∠A0C ,则∠MOD的度数是() A.20°或50° B.20°或609 C.30°或60° D.30°或509 3.(2025七年级上·广东深圳专题练习)己知∠A0B=100°，∠B0C=40°，OM平分∠AOC,∠AOM的 度数为 4.(24-25七年级上河南洛阳·期末)己知LA0B=80°，∠B0C=50°.若0M平分∠A0B,ON平分 ∠BOC,则∠MON的度数为 5.(25-26七年级上山东·期末)已知点O是直线AB上的一点，∠C0D=90°，OE平分∠B0C. 图1 图2 (1)如图1，若∠A0C=30°，求∠D0E的度数： (2)如图2，若LA0C=a(o为锐角)，请直接写出∠D0E的度数（用含a的代数式表示）： (3)在(2)的条件下，将∠C0D绕点O顺时针旋转，使得OC恰好平分∠AOE,求0的度数. 6.(2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习)如图，在∠A0B内部有两条射线0C、OD,0C平分∠AOD. 2/7 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C(E) D B(F) 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠A0B=70,∠B0D=20°，求∠B0C的度数， (2)如图2，若∠A0B与∠BOD互余，(1)问中结论是否仍然成立，并说明理由. ③)在(2)的条件下，如图3，∠E0F从与∠C0B重合处开始，绕着点0旋转，若∠FOA=∠A0C,且满 足2∠F0C-60°=∠E0C-2∠C0D,求∠F0B的度数 题型三：整体思想及从特殊道一般思想解决线段和差问题 1.(25-26七年级上·吉林长春·期中)如图，点C在线段AB上，AC=2cm,AB=6cm,点P以1cm/s的速 度从点A沿线段AB向点B运动；同时点Q以2cm/s的速度从点B沿线段BA向点A运动，到达A点立即原 速返回点B,当点P运动到点B时，点P、Q都停止运动.设点P运动的时间为(S, APC⑨ 一B (1)当t=1时，求PQ的长； (2)用含t的代数式表示AQ的长： (3)当点C为P⑨中点时，求t的值： (4)若点D是线段AQ的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使DP的长度保持不变？如果存在， 求出DP的长度并写出其对应的时间段；如果不存在，请说明理由 2.(25-26七年级上河南周口·月考)综合与实践 在学习数轴与线段的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“优点”进行研究 定义：点C在线段AB上，若BC=2AC或AC=2BC,则称点C是线段AB的优点”，线段AC,BC称作 互为“优点”伴侣线段。 B -2-1012345678 图1 图2 (1)观察判断 如图1，点C为线段AB的优点”. ①若AC=6,AC<BC,则AB= ②若点D也是线段AB的“优点”（不同于点C),则AC BD(填“=”或“≠”)： (2)性质探究 3/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 如图2，在原点为O的数轴上有E,F两点，其中E点表示的数为1，F点表示的数为4.若点M在点N的 左侧，且M,N均为线段OF的优点”，求线段MN的长； (3)拓展应用 在(2)的探究中，若点G在线段EF的延长线上，且线段EF与GF互为“优点”伴侣线段，请直接写出点G 表示的数， 3.(25-26七年级上河南周口·月考)如图，A,B,C,D是直线I上的四个点，M,N分别是AB,CD的中 点 A M B CND (1)若BM=2,CN=1.8,BC=5,求AD的长； (2)若MN=10,BC=6,求AD的长： (3)若MN=a,BC=b,请直接写出AD的长（用含a,b的式子表示）. 4.(25-26七年级上全国·期末)【新知理解】如图，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB,AC和 BC,若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”. C B (1)下列说法正确的有 (填序号). ①若点C是线段AB的中点，则点C是线段AB的巧点； ②若点D在线段AB上，且BD=,AB,则点D是线段AB的巧点： 【解决问题】(2)己知线段AB=15cm,动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动：点Q 从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P,Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动 停止，设移动的时间为s.当为何值时，A,P,Q三点中其中一点恰好是以另外两点为端点的线段的 巧点？ 5.(25-26七年级上江苏苏州·期末)如图1，已知数轴上有三点A,B,C,点B是线段AC的中点. A B 图1 A B C -400 0100 图2 (①)若点A对应的数是-12，点C对应的数是8，则点B对应的数是； (②)在(1)的条件下，若点A对应的数是x,点C对应的数是y,请你猜想：线段AC的中点B对应的数是 (含x的代数式表示) (3)图2，在数轴上，若点D,B,C对应的数分别是-400,0,100，点A是线段DB中点，动点P、Q分别从D、B 两点同时出发沿数轴向左运动，点P、Q的速度分别为10单位长度/秒、5单位长度秒，点M为线段PQ中 点，在上述运动过程中， 4/7 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ①t为何值MP=3BC. ②QC-M的值是否发生变化？若不变，求其值：若改变，请说明理由， 6.(25-26七年级上·湖北武汉·月考)已知C为线段AB上一点(B在A左侧)，如图1，且AC=a,BC=b C A 图1 B C A 备用图 B A 各用图 (①)若关于x的方程b-8x2+x3-=1是一元一次方程，则AB= (2)在(1)的条件下，点D为直线AB上一点，M为线段BD中点，若CM=3,求CD的长， (3)若a=3,G，H分别从A,B出发沿直线4B向左运动，点G的运动速度是点H运动速度的子倍，D、 E分别是BG、CG的中点.若运动到某一时刻恰好CG=4DE,求B AB 题型四：整体思想及从特殊道一般思想解决角和差问题 1.(24-25七年级上安微宣城期末)如图，己知OB,0C是∠A0D内部的两条射线，0M平分∠A0B, ON平分∠COD, A M B D (1)若∠A0D=96°，∠B0C=40°，求∠M0N的度数. (2)若∠AOD=a,LM0N=B,求∠B0C的度数.（用a,6含的式子表示） 2.(23-24七年级上.全国课后作业)己知：O是直线AB上的一点，∠C0D是直角，OE平分∠B0C· E D A O B 图1 图2 D (1)如图1，若∠A0C=30°.则∠D0E=一 (2)在图1中，若LA0C=a,则∠D0E= (用含o的代数式表示)： 5/7 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)将图1中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，探究∠A0D和∠B0E的度数之间的关系.写出你 的结论，并说明理由 3.(25-26七年级上河北石家庄，期中)在同一平面内，我们把有公共顶点和一条公共边的两个角称为“共边 角”，例如：图中∠A0B和∠BOC都有公共顶点O和一条公共边OB,所以这两个角是“共边角”. B ① ② 【问题解决】：(1)如图②，∠A0B和∠B0C “共边角”（填“是”或“不是”）： (2)当两个“共边角”为60°和30°时，它们非公共边的两边的夹角是 (3)若0D、OE分别平分“共边角”∠AOC和∠BOC,请以图①为例来说明∠D0E与∠AOB的数量关系； 【知识迁移： (4)在同一条直线上，我们把有一个公共端点的两条线段称为“共端点线段”，例如：AB和BC都有公共端 点B,所以这两条线段是“共端点线段”；若两条“共端点线段”的长度分别为m和n,则这两条线段的中点之 间的距离为 4.(25-26七年级上江苏宿迁·月考)定义：如果∠α=2∠B+∠y,则称∠a是∠B、∠y的加权伴随角.例 如=50°，∠B=20°，∠y=10°，此时∠a=2∠B+∠y,所以∠a是∠B、4y的加权伴随角.而 2∠y+∠β=40°，所以∠a不是L?、∠B的加权伴随角. 应用： A B (1)如果∠1=30°，∠2=40°，∠3=100°， ①∠3 (填“是”或“不是”)∠1、∠2的加权伴随角： ②∠3 (填“是”或“不是”)∠2、∠1的加权伴随角： (2)点O在直线AB上，点C、D分别为射线OA、OB上一点，射线OC以每秒10°顺时针旋转，同时射线 0D以每秒15°逆时针旋转，设旋转的时间为t(0<t<12)秒， ①当t=3时，判断∠COD是否为∠AOC、∠BOD的加权伴随角，并说明理由； ②若∠A0C=2∠C0D,求t的值. 5.(25-26七年级上江苏苏州·月考)已知，O是直线AB上的一点，∠C0D是直角，OE平分∠B0C. 6/7 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 -B 图1 图2 (1)如图1，若∠A0C=30°，则∠D0E=— (2)在图1中，若∠A0C=a,则∠D0E=°（用含a的代数式表示）： (3)将图1中的∠D0C绕顶点O顺时针旋转至图2的位置. ①探究∠AOC和LDOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； ②在∠AOC的内部有一条射线0F,满足：LA0C-4LA0F=2LB0E+LA0F,试确定LA0F与LD0E的 度数之间的关系，说明理由， 6.(2025七年级上重庆万州.专题练习)如图1，平面上顺时针排列射线0A,OB,0C,0D, ∠B0C=90°，∠A0D在∠B0C外部且为钝角，LA0B:LC0D=4:5,射线OM,ON分别平分∠AOC, ∠A0D(题目中所出现的角均小于180°且大于0°) M 图1 备用图1 备用图2 (1)若∠A0D=144°，∠A0M=_ -，∠CON= (2)4∠CON-∠A0M的值是否随着∠A0D的变化而变化？若不变，求出该定值；若要变，请说明理由； (3)在(1)的条件下，将∠A0B绕点0以每秒3°的速度顺时针旋转得到∠A,OB,(OA,OB的对应边分别是 OA,OB,),若旋转时间为t秒(0<t<120),当∠A,OC+6°=∠B,OD时，求出t的值. 7/7 专题03 线段和角计算问题中涉及数学思想方法的四类综合题型 目录 题型一：分类讨论思想在线段的计算中的应用 1 题型二：分类讨论在角的计算中的应用 6 题型三：整体思想及从特殊道一般思想解决线段和差问题 12 题型四：整体思想及从特殊道一般思想解决角和差问题 23 题型一：分类讨论思想在线段的计算中的应用 1．（25-26七年级上·全国·期末）已知线段，点C是直线上的一点，．若M是的中点，N是的中点，则线段的长度为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了线段中点的性质和线段的和差计算，分类讨论是解题的关键．分两种情况：点C在点B右侧与点C在点B左侧，分别计算的长度即可． 【详解】解：∵点C是直线上一点，，， ∴当点C在点B右侧时，如图， ∴， ∵M是中点， ∴， ∵N是中点， ∴， ∴； 当点C在点B左侧时，如图， ∴， ∵M是中点， ∴， ∵N是中点， ∴， ∴． 综上所述，的长度为． 故选：B． 2．（25-26七年级上·河北衡水·期中）竹竿作为一种常见的天然植物材料，具有多种作用和功效，如图，将一根竹竿从处分成两部分，截断后的各段竹竿中有一段长为，若，则这根竹竿的原长为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差，比例，正确理解比例关系及分情况讨论是解题的关键．分两种情况讨论求解即可． 【详解】解：分两种情况： 当时， ， ， ； 当时，则， ． 综上，这根竹竿的原长为或． 故答案为：C． 3．（25-26七年级上·四川成都·期中）如图，点C在线段上，图中共有三条线段和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”． （1）线段的中点 这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； （2）若，点C是线段的巧点，则最长为 ； 【答案】 是 8 【分析】本题主要考查线段和差倍分的计算，理解线段的数量关系是关键． （1）根据“巧点”的计算方法判定即可； （2）根据“巧点”的计算，分类讨论即可求解． 【详解】解：（1）∵线段的长是线段中点分割的两条线段长度的2倍， ∴线段的中点是这条线段的“巧点”， 故答案为：是； （2）∵，点C是线段的巧点， ∴当点C在中点的左边，即，则； 当点C在中点，即，则； 当点C在中点的右边，则； 故最长为， 故答案为：8． 4．（25-26七年级上·陕西西安·月考）如图，在直线上有，两点，且满足．点从点出发沿射线方向以的速度运动，同时点从出发沿射线以的速度运动．点、分别为、的中点，当时， ． 【答案】或 【分析】本题考查和线段有关的动点问题，准确判断动点的位置是解题的关键． 对点的位置进行分类讨论，分别求出当点在之间与在右边情况下满足要求的动点运动时间，通过时间得出各线段的长度，最终求出的长度． 【详解】解：∵， ∴，， 设运动时间为， 当点在之间时，如下图所示： ，， ∵，即，解得， 此时，，， 即； 当点在右边时，如下图所示： ，， ∵，即，解得， 此时，，， 即． 故答案为：或． 5．（25-26七年级上·山西太原·月考）如图，C为线段上一点，B为线段的中点，且． (1)图中共有 条线段； (2)求线段的长； (3)若点E在直线上，且，求线段的长． 【答案】(1)6 (2)的长为 (3)的长为或 【分析】本题考查了线段两点间的距离，线段中点的有关计算，直线、射线、线段，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据图形，即可解答； （2）先利用线段中点的定义可得，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （3）分两种情况：当点E在线段的延长线上时；当点E在线段上时；然后分别进行计算即可解答． 【详解】（1）解：图中共有6条线段，分别是：， 故答案为：6； （2）解：点B为的中点，， ， ， ， 的长为； （3）解：分两种情况： 当点E在线段的延长线上时，如图： ，． ； 当点E在线段上时，如图： ，． ， ∴ 综上所述：的长为或． 6．（25-26七年级上·全国·期末）如图，一直线上有线段，一线段在该直线上运动，且，a，b满足（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧） (1)当点D与点B重合时，求的长； (2)，N分别是线段，的中点，当时，求的长． (3)当线段运动到点B，D间的距离为1时，若有一点P在点D的右侧且位于线段的延长线上，求的值． 【答案】(1) (2) (3)4或 【分析】本题考查了平方的非负性，线段的和差． （1）根据平方的非负性得到，，根据计算即可； （2）分两种情况结合线段中点的定义根据线段的和差作答即可； （3）分两种情况根据线段的和差作答即可． 【详解】（1）解：因为，，， 所以，， 所以，， 所以， 当点D与点B重合时，如图1所示，所以 （2）解：因为，所以有以下两种情况： ①当点C在点B的左侧时，如图2所示． 因为，， 所以， 因为M，N分别是线段，的中点， 所以，， 所以 ②当点C在点B的右侧时，如图3所示． 因为，， 所以， 因为M，N分别是线段，的中点， 所以， 因为， 所以 综上所述，的长为 （3）解：有以下两种情况： ①当点D在点B的左侧时，，如图4所示． 设， 则，，， 所以； ②当点D在点B的右侧时，，如图5所示． 设， 则，，， 所以 综上所述，的值为4或 题型二：分类讨论在角的计算中的应用 1．（25-26七年级上·江苏南京·月考）已知是的平分线，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角的和差计算，先由角平分线的定义求出的度数，再分两种情况：射线在的内部和射线在的外部，根据角的和差关系讨论求解即可． 【详解】解：∵是的平分线， ∴； 当射线在的内部时，则， 当射线在的外部时，则， 综上所述，的度数为或， 故选：D． 2．（17-18七年级上·宁夏银川·期末）已知，，平分，平分，则的度数是（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的定义和角的计算，分情况分析是解题的关键． 先由角平分线定义求出和的度数，再分与在同侧、异侧两种情况，通过角的和差计算得的结果即可． 【详解】∵，平分， ∴， ∵，平分， ∴， 情况1：与在同侧， ， 情况2：与在异侧， ， ∴为或． 故选：D． 3．（2025七年级上·广东深圳·专题练习）已知，，平分，的度数为 【答案】或 【分析】本题考查角平分线定义及角的计算，弄清题意画出正确图形是解题关键 依据角的和差关系求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数即可． 【详解】解：当在外部时，如图①所示， ∵， ∴， 又∵平分， ∴， 当在内部时，如图②所示， ∵， ∴， 又∵平分， ∴， 故答案为：70°或． 4．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）已知，．若平分，平分，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，正确利用分类讨论得出答案是解答本题的关键． 根据题意画出图形，分两种情况：当落在的内部时；当落在的外部时；利用角的和差关系计算即可解答． 【详解】解：如图，当落在的内部时： 平分， ， 平分， ， ； 如图，当落在的外部时： 平分， 平分， ，， ， 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 5．（25-26七年级上·山东·期末）已知点O是直线上的一点，，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若（为锐角），请直接写出的度数（用含的代数式表示）； (3)在（2）的条件下，将绕点O顺时针旋转，使得恰好平分，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查角的运算，角平分线的定义； （1）由可得，平分，可求出，最后根据即可求解； （2）将（1）的过程中的的度数用代替，即可求出的度数； （3）由，可求出，平分，可求出，再由平分，得，列出方程求解即可. 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴. （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴. （3）解：恰好平分，当在直线下方时，如图所示， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 当在直线上方时，如图所示， 同理可得：. 综上：. 6．（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，在内部有两条射线，平分． (1)如图1，若，，求的度数． (2)如图2，若与互余，（1）问中结论是否仍然成立，并说明理由． (3)在（2）的条件下，如图3，从与重合处开始，绕着点O旋转，若，且满足，求的度数． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3)或 【分析】（1）根据题意以及角平分线的定义求解即可； （2）设，根据与互余可得，进而可知，，然后结合角平分线的定义，即可证明结论； （3）设，易得，结合（2）可知，然后分在右侧和在左侧两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ； （2）解：成立，理由如下： 设， 与互余， ， ， ， 平分， ， ， 即（1）问结论成立； （3）解：设， ， ， ∵平分， ∴， ∵从与重合处开始，绕着点O旋转， ∴， 当在右侧时，如下图， ，， ， ， ， ，解得， ； 当在左侧时，如下图， ，， ， ， ， ，解得， ． 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了几何图形中角度计算、角平分线的定义、余角等知识，解题关键是熟练掌握相关知识，并运用分情况讨论的思想分析问题． 题型三：整体思想及从特殊道一般思想解决线段和差问题 1．（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图，点C在线段上，，．点P以的速度从点A沿线段向点B运动；同时点Q以的速度从点B沿线段向点A运动，到达A点立即原速返回点B，当点P运动到点B时，点P、Q都停止运动．设点P运动的时间为． (1)当时，求的长； (2)用含t的代数式表示的长； (3)当点C为中点时，求t的值； (4)若点D是线段的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使的长度保持不变？如果存在，求出的长度并写出其对应的时间段；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，；当时， (3) (4)， 【分析】（1）求出当时，， ，然后列式求解即可； （2）首先求出点Q到达点A的时间为，点P到达点B的时间为，然后分两种情况列式即可； （3）根据题意分两种情况讨论，分别列方程求解即可； （4）根据题意分两种情况讨论，分别表示出求解即可． 【详解】（1）当时，， ∴； （2）∵，点Q以的速度从点B沿线段向点A运动，到达A点立即原速返回点B，点P以的速度从点A沿线段向点B运动， ∴点Q到达点A的时间为，点P到达点B的时间为 ∴当时， ∴； 当时，； （3）当时，，， ∵点C为中点， ∴，即 解得，（此时点三点重合，舍去）； 当时，，， ∵点C为中点， ∴，即， 解得 综上所述，； （4）当时， ∵点D是线段的中点， ∴ ∴ ∴的长度随t的变化而变化 当时， ∴ ∴，是定值 ∴当时，的长度不变，为3． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，两点之间距离的概念，中点定义，线段和差计算等，运用分类讨论思想是解题的关键． 2．（25-26七年级上·河南周口·月考）综合与实践 在学习数轴与线段的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“优点”进行研究． 定义：点在线段上，若或，则称点是线段的“优点”，线段，称作互为“优点”伴侣线段． (1)观察判断 如图1，点为线段的“优点”． ①若，则__________________； ②若点也是线段的“优点”（不同于点），则________________（填“=”或“”）； (2)性质探究 如图2，在原点为的数轴上有E，F两点，其中点表示的数为1，F点表示的数为4．若点在点的左侧，且M，N均为线段的“优点”，求线段的长； (3)拓展应用 在（2）的探究中，若点在线段的延长线上，且线段与互为“优点”伴侣线段，请直接写出点表示的数． 【答案】(1)①18；② (2) (3)5.5或10 【分析】本题考查数轴相关知识点，线段之间的数量关系，用数轴上点表示有理数，解答本题需要分类讨论多种情况，解题的关键是读懂题中“优点”，“优点”伴侣线段的定义． （1）①由即可求解；②利用“优点”定义求出即可； （2）根据点M在N左侧，再由“优点”定义求解即可； （3）根据点G在线段的延长线上，可得出或，求解即可． 【详解】（1）解：①∵点C为线段的“优点”，， ∴， ∴， 故答案为：18； ②如图， ∵点D是线段的“优点”（不同于点）， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵点表示的数为4， ∴， 当点在点左侧时，则，， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵点E表示的数为1，点F表示的数为4， ∴， 线段互为“优点”伴侣线段时，有或， 当时，， ∴点表示的数为， 当时，， ∴点表示的数为10， 综上，点表示的数为或10． 3．（25-26七年级上·河南周口·月考）如图，A，B，C，D是直线上的四个点，M，N分别是，的中点． (1)若，求的长； (2)若，求的长； (3)若，请直接写出的长（用含a，b的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了线段中点的定义，线段的计算，理解线段中点的定义，熟练掌握线段的计算是解题的关键． （）根据线段的和，可得的长，根据线段中点的性质，可得与的关系，与的关系，根据线段的和，可得答案； （）先根据线段的和与差，计算出的长，再根据线段中点的性质，可得与的关系，与的关系，根据线段的和，可得答案； （）根据（）的解题过程，即可解答； 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．（25-26七年级上·全国·期末）【新知理解】如图，点在线段 上，图中共有三条线段，和 ，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段 的“巧点”． （1）下列说法正确的有______（填序号）． 若点是线段的中点，则点是线段 的巧点； 若点在线段上，且，则点是线段 的巧点； 【解决问题】（2）已知线段，动点从点出发，以 的速度沿向点匀速移动；点从点出发，以 的速度沿向点匀速移动，点， 同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当为何值时，， ， 三点中其中一点恰好是以另外两点为端点的线段的巧点？ 【答案】（）（）当为或或或或时，，， 三点中其中一点恰好是以另外两点为端点的线段的巧点． 【分析】本题考查了线段中点的定义，线段的和与差，一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （）通过线段中点的定义，线段的和与差，“巧点”定义逐一判断即可； （）由题意知， ，根据题意可得点不可能为线段 的巧点，然后分当点为线段的巧点时，当点为线段的巧点时，两种情况分别列方程求解即可， 【详解】解：（）∵点是线段的中点， ∴， ∴点是线段 的巧点，故正确； ∵点在线段上，且， ∴， ∴点是线段 的巧点，故正确； 故答案为：； （）由题意知，， ， 由题意可得点不可能为线段 的巧点， 故分两种情况：当点为线段的巧点时， ，即，解得 ； ，即，解得 ； ，即，解得 ． 当点为线段的巧点时， ，即，解得 （舍去）； ，即，解得 ； ，即，解得 ． 综上所述，当为或或或或时，，， 三点中其中一点恰好是以另外两点为端点的线段的巧点． 5．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）如图，已知数轴上有三点A，B，C，点B是线段的中点． (1)若点A对应的数是，点C对应的数是8，则点B对应的数是_____； (2)在（1）的条件下，若点A对应的数是x，点C对应的数是y，请你猜想：线段的中点B对应的数是_______(含x的代数式表示) (3)图2，在数轴上，若点对应的数分别是点A是线段中点，动点、分别从D、B两点同时出发沿数轴向左运动，点、的速度分别为10单位长度/秒、5单位长度/秒，点M为线段中点，在上述运动过程中， ①为何值． ②的值是否发生变化？若不变，求其值；若改变，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)当为秒时；②不变，值为 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，解一元一次方程，列代数式，线段的和差关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先求出，根据中点的性质得到，即可得到点表示的数； （2）根据点对应的数是，点对应的数是，线段的中点表示的数是，故猜想点对应的数是，点对应的数是，则线段的中点对应的数是，即可作答． （3）①由题意得到，，计算出，，可得到，根据为的中点，得到，根据，即可得到的值； ②由①可知：，，，，，根据点是的中点，得到，可得到，整理得出为定值，原题得证． 【详解】（1）解：∵ 数轴上点对应的数是，点对应的数是， ， 而点是线段的中点， ， ∴， ∴点表示的数是， 故答案为； （2）解：由（1）得数轴上点对应的数是，点对应的数是，线段的中点表示的数是， 则， 当点对应的数是，点对应的数是，则线段的中点对应的数是， 故答案为； （3）解：∵点对应的数是，点对应的数是，点表示的数是， ，， ∵动点、分别从D、B两点同时出发沿数轴向左运动，点、的速度分别为10位长度/秒、5单位长度/秒， ∴，， ， ∴为的中点， ， ， 解得：， 即当为秒时； ②不变，理由如下： 由①可知：，，，，， ∵为的中点， ， ，则， 为定值． 6．（25-26七年级上·湖北武汉·月考）已知为线段上一点（在左侧），如图1，且，． (1)若关于的方程是一元一次方程，则______． (2)在（1）的条件下，点为直线上一点，为线段中点，若，求的长． (3)若，，分别从，出发沿直线向左运动，点的运动速度是点运动速度的倍，、分别是、的中点．若运动到某一时刻恰好，求． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了一元一次方程、动点问题、线段中点的性质以及代数式： （1）根据一元一次方程的定义求解出，结合图1，用线段之间的关系即可得到； （2）设，分情况讨论即可； （3）设的速度为，则的速度为，运动时间为，由得，分情况用表示的长度，结合中点性质得，由列方程求出，进而计算． 【详解】（1）解：关于的方程是一元一次方程， ， 解得：， ，， ． 故答案为：． （2）解：设， 点在右侧，在右侧， 则， 为线段中点， ， 则， 解得：； 此时，符合位置要求； 点在左侧，在之间， 则， ， 则， 解得：，符合位置要求； 综上所述，或． （3）解：设的速度为，则的速度为，运动时间为， 则， ， ， 当在右侧，之间，， 是的中点， ， 是中点， ， ， ， ， 得， ； 当在之间（）， 则， ， ，， ， ， ， 得， 此时，与在之间矛盾，舍去； 当在左侧（）， 则， ， ，， ， ， ， 得， ， ． 综上所述，或． 题型四：整体思想及从特殊道一般思想解决角和差问题 1．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）如图，已知，是内部的两条射线，平分，平分， (1)若，，求的度数． (2)若，，求的度数．（用α，β含的式子表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线定义，几何图形中角的计算，解题的关键是数形结合，注意整体思想应用． （1）先根据，，求出，再根据角平分线定义得出，，从而求出，最后求出结果即可； （2）先根据，，求出，再根据，求出结果即可． 【详解】（1）解：由条件可知 ， ∵平分，平分， ∴，， ∵ ， ∴ ； （2）解：由条件可知 ， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴ ． 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）已知：O是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若．则 ________°． (2)在图1中，若，则________．(用含的代数式表示)； (3)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，探究和的度数之间的关系．写出你的结论，并说明理由． 【答案】(1)15 (2) (3)，见解析 【分析】本题考查了角的有关计算和角平分线定义的应用，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． （1）求出，求出，根据角平分线求出，代入求出即可． （2）类似（1）的解题过程可得出结论； （3）先根据角平分线的定义得出，结合，，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵是直角，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：∵是直角，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：． （3）解：．理由如下： ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）在同一平面内，我们把有公共顶点和一条公共边的两个角称为“共边角”，例如：图中和都有公共顶点O和一条公共边，所以这两个角是“共边角”． 【问题解决】：（1）如图②，和___________“共边角”（填“是”或“不是”）； （2）当两个“共边角”为和时，它们非公共边的两边的夹角是___________； （3）若、分别平分“共边角”和，请以图①为例来说明与的数量关系； 【知识迁移】： （4）在同一条直线上，我们把有一个公共端点的两条线段称为“共端点线段”，例如：和都有公共端点B，所以这两条线段是“共端点线段”；若两条“共端点线段”的长度分别为m和n，则这两条线段的中点之间的距离为___________； 【答案】（1）是；（2）或；（3）；（4）或 【分析】本题考查了角的和差、角平分线、与线段中点有关的计算，熟练掌握角平分线和线段中点的计算是解题关键． （1）根据“共边角”的定义解答即可得； （2）分两种情况，画出图形（见解析），根据角的和差解答即可得； （3）先根据角平分线的定义可得，，则可得，再根据角的和差可得，据此建立等式化简即可得； （4）根据题意设和是两条“共端点线段”，且，点分别为的中点，则，，再分三种情况：①当点在线段上时，②当点在线段的延长线上时，③当点在线段的延长线上时，根据线段的和差计算即可得． 【详解】解：（1）∵和都有公共顶点和一条公共边， ∴和是“共边角”， 故答案为：是． （2）由题意，设和是“共边角”，且，， 如图，当在的内部时， 则它们非公共边的两边的夹角是； 如图，当在的左侧时， 则它们非公共边的两边的夹角是； 故答案为：或． （3）∵、分别平分“共边角”和， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴． （4）由题意，设和是两条“共端点线段”，且，点分别为的中点， ∴，． ①如图，当点在线段上时， ∴； ②如图，当点在线段的延长线上时， ∴； ③如图，当点在线段的延长线上时， ∴； 综上，的长度为或， 即这两条线段的中点之间的距离为或， 故答案为：或． 4．（25-26七年级上·江苏宿迁·月考）定义：如果，则称是、的加权伴随角．例如，，，此时，所以是、的加权伴随角．而，所以不是、的加权伴随角． 应用： (1)如果，，， ①_______（填“是”或“不是”）、的加权伴随角： ②_______（填“是”或“不是”）、的加权伴随角： (2)点在直线上，点、分别为射线、上一点，射线以每秒顺时针旋转，同时射线以每秒逆时针旋转，设旋转的时间为秒． ①当时，判断是否为、的加权伴随角，并说明理由； ②若，求的值． 【答案】(1)①是；②不是； (2)①是的加权伴随角，理由见解析；②，或 【分析】本题主要考查了角的计算．解决本题的关键是熟练掌握新定义——加权伴随角，分类讨论． （1）根据，可知是和的加权伴随角；②根据，可知不是和的加权伴随角； （2）①时，得到，，，可知是和的加权伴随角； ②根据，， ，分， 和，两种情况解答． 【详解】（1）①∵，，， ∴， ∴是和的加权伴随角； 故答案为：是； ②∵， ∴不是和的加权伴随角； 故答案为：不是； （2）①是的加权伴随角，理由： 当时， ，，， ∴， ∴是和的加权伴随角； ②∵，， 且， ∴当时， ， 解得，； 当时， ， 解得，； 综上，或． 5．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）已知，O是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若，则______． (2)在图1中，若，则______°（用含a的代数式表示）； (3)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2的位置． ①探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； ②在的内部有一条射线，满足：，试确定与的度数之间的关系，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①；②，理由见解析 【分析】本题考查角的计算、角平分线的定义、角的和与差，解题的关键是根据题目中的信息，建立各个角之间的关系，然后找出所求问题需要的条件． （1）利用邻补角定义、角平分线的定义和角的和差的意义解答即可； （2）由第（1）问的求法，可以直接写出的度数； （3）①首先写出和的度数之间的关系，由是直角，平分，，可以建立各个角之间的关系，从而可以得到和的度数之间的关系； ②首先得到与的度数之间的关系，由，是直角，平分，和的关系，可以建立各个角之间的关系，从而可以得到与的度数之间的关系． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵是直角， ∴； 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵是直角， ∴； 故答案是：； （3）解：①，理由： 设，则， ∵平分， ∴， ∵是直角， ∴， ∴； ②． 理由：∵，， ∴， 即， ∵，， ∴，又， ∴． 化简，得． 6．（2025七年级上·重庆万州·专题练习）如图1，平面上顺时针排列射线，，，，，在外部且为钝角，，射线，分别平分，（题目中所出现的角均小于且大于） (1)若，________，________； (2)的值是否随着的变化而变化？若不变，求出该定值；若要变，请说明理由； (3)在（1）的条件下，将绕点以每秒的速度顺时针旋转得到（，的对应边分别是，），若旋转时间为秒（），当时，求出的值． 【答案】(1)； (2)的值不会随着的变化而变化，且定值为 (3)t的值为50或者112 【分析】（1）由周角求出，根据求得，，从而求出，再根据角平分线定义求出和，从而可得出结论； （2）设，则，，再用含的式子表示，，代入可得结论； （3）求出，，分五种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴，； ∴， ∵射线，分别平分，， ∴，， ∴， 故答案为：，； （2）解：的值不会随着的变化而变化， 理由如下： 设， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵射线，分别平分，， ∴，， ∴， ∴， ∴的值不会随着的改变而改变，且定值为； （3）解：，， 且题目中所出现的角均小于且大于， 当， 时，    ∵， ∴， 此时，无解； 当， 时，    ∵， ∴， 解得，； 当， ，    ∵， ∴， 此时无解． 当，，    ∵， ∴， 解得：． 当， ，    ∵， ∴， 此时无解． 综上：t的值为50或者． 【点睛】本题考查角平分线的定义、角的和差以及一元一次方程在几何方面的运用，是学习方程之后接触平面几何中一道典型的数型结合题，有利于对数学学科本质的认识．在计算时易出错不会用一个式子代入表示另一个式子，隐含了数学消元思想，熟练掌握各知识点是解题的关键． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $