3.1.2 椭圆的简单几何性质（3）课件-同步讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.1.2 椭圆的简单几何性质 第3课时 例1.动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数 ,求动点的轨迹. 椭圆的第二定义 O x y M H F l • d 解：设. 由题意知，点的轨迹就是集合 即，. 化简得，. . 《课本》P113 例1.动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数 ,求动点的轨迹. 椭圆的第二定义 O x y M H F l • d 问题:你能否由例1猜想椭圆的新定义形式？应如何表达？ a=5, b=3, c=4 F(4,0)，常数 ，直线l： F(c,0) 猜想：平面内动点到定点的距离和到定直线的距离之比为常数的点的轨迹是椭圆. 椭圆的第二定义 平面内动点到定点的距离和到定直线的距离之比为常数的点的轨迹是椭圆. O x y M H F l • d 其中，定点是椭圆的焦点； 定直线叫做椭圆的准线； 常数是椭圆的离心率. 点与椭圆的位置关系 点与椭圆有哪些位置关系？如何判断？ 若 ＋ ＝1，P在椭圆上； 若 ＋ ＞1，P在椭圆外； 若 ＋ ＜1，P在椭圆内. 设将点代入椭圆方程左侧，与右侧1比大小. 直线和椭圆的位置关系 相离 相切 相交 直线与椭圆的位置关系有几种？ 怎么判断它们之间的位置关系？能用几何法吗？ 不能！ 因为他们不像圆一样有统一的半径。 所以只能用代数法 直线和椭圆的位置关系 代数法判断直线与椭圆的位置关系： 联立消去得到一个关于的一元二次方程. 直线和椭圆的位置关系 例2. 如图示，已知直线和椭圆.为何值时，直线与椭圆：(1)有两个公共点? (2)有且只有一个公共点? (3)没有公共点? 《课本》P114 O x y F2 l • F1 • 解：联立，消去，得 . . (1)当，即时，直线与椭圆有两个不同的公共点. (2)当，即时，直线与椭圆有且只有一个不同的公共点. (3)当，即或时，直线与椭圆没有公共点. 解：直线恒过定点， 则只需点在椭圆上或椭圆内. 直线和椭圆的位置关系 变式1：直线和椭圆总有公共点，则的范围是 . ,即. 且，. 直线和椭圆的位置关系 变式2：已知椭圆，直线，椭圆上是否存在一点，使得： (1)它到直线的距离最小？最小距离是多少？ (2)它到直线的距离最大？最大距离是多少？ 由. 《课本》P116 解：由直线和椭圆的方程可以知道，直线与椭圆无公共点. 设与平行的直线. 令，得或. 当时，直线椭圆上的点到直线的距离最小，为 当时，直线椭圆上的点到直线的距离最大，为 设直线与椭圆的交点为 直线和椭圆的弦长公式 当直线与椭圆相交时，如何求弦长？ B (1)两点距离： (2)弦长公式： . . 直线和椭圆的弦长公式 例3.经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于两点，求线段的长. 《课本》P114 O x y F1 F2 A B 由. 解：由已知，,直线.设. ，. . 直线和椭圆的弦长公式 解：联立 整理，得3x2－6x＋1＝0， ∴x1＋x2＝2，x1x2＝ ， ｜AB｜＝ ｜x1－x2｜＝ ＝ ＝ ＝ . 变式1. 已知椭圆与直线，相交于两点，求线段的长. 直线和椭圆的弦长公式 变式2. 过椭圆 ＋ ＝1的一个焦点作长轴的垂线与椭圆相交于两点，则 ＝(　　) A. B. C. D. 3 D 《全优课堂》P97 B 过椭圆的一个焦点且与对称轴垂直的弦叫做通径，通径长为. 解：设直线,. 由. 直线和椭圆的弦长公式 变式3.已知椭圆，斜率为1的直线与C交于M，N两点，若，求的方程. M 直线与椭圆相交， .即. ，. . 解得. 直线的方程为或. 直线和椭圆的弦长公式 . 设直线与椭圆的交点为. 联立消去得到一个关于的方程：. ，. . 直线和椭圆的弦长公式 变式4.已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与E交于A，B两点，若，求的方程. 解：由题知. (1)当的斜率不存在时，.代入椭圆得，此时，不合题意. (2)当的斜率存在时，设. 由得. >0. 设，则，. . 解得. 直线的方程为或. A 直线和椭圆的弦长公式 变式4.已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与E交于A，B两点，若，求的方程. 解法2：由题知. (1)当的斜率为0时，.代入椭圆得，此时，不合题意. (2)当的斜率不为0时，设. 由得. >0. 设，则，. . 解得. 直线的方程为或. A 直线和椭圆的弦长公式 A A 直线方程的常见设法： (1)若已知轴上一点, 设 (2)若已知轴上一点, 设 课堂小结 ① ⇒直线与椭圆相交； ② ⇒直线与椭圆相切； ③ ⇒直线与椭圆相离； 1.直线与椭圆的位置关系判断 联立消去得到一个关于的方程：. 2. 弦长公式： . . $