3.1.2椭圆的简单几何性质12题型分类讲义（讲+练）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册同步知识·题型解题秘籍

本讲义聚焦椭圆的简单几何性质及直线与椭圆位置关系核心知识点，系统梳理焦点位置、标准方程、范围等几何性质，通过12类题型（含几何性质应用、标准方程求解、离心率等）构建从基础到综合的学习支架。 资料亮点在于题型分类全面，例题选自各地考题，培养学生用数学眼光分析卫星轨道等实际问题，用数学思维推理离心率范围，用数学语言表达弦长公式。课中辅助教师系统教学，课后助力学生查漏补缺。

2026-2027学年高二数学人教A版2019选择性必修第一册同步知识·题型解题秘籍 3.1.2椭圆的简单几何性质12题型分类 一、椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a 焦点 (±，0) (0，±) 焦距 |F1F2|＝2 对称性 对称轴：x轴、y轴　对称中心：原点 离心率 e＝∈(0,1) 二、直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法： 联立消去y得到一个关于x的一元二次方程． 直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及Δ的关系如表所示． 直线与椭圆 解的个数 Δ 两个不同的公共点 两解 Δ>0 一个公共点 一解 Δ＝0 没有公共点 无解 Δ<0 （一） 椭圆的简单几何性质 用标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式． (2)确定焦点位置．(焦点位置不确定的要分类讨论) (3)求出a，b，c. (4)写出椭圆的几何性质． 题型1：研究椭圆的简单几何性质 1．（2026高二·陕西商洛·期末）椭圆的短轴长为（   ） A． B． C． D． 2．（2026高二·河南驻马店·期末）已知椭圆的短轴的长为6，则该椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 3．（2026·河南安阳·模拟预测）已知椭圆的焦距为，则（    ） A．2 B． C． D． 4．【多选】（2026高二·湖南常德·期中）关于椭圆有以下结论，其中正确的有（    ） A．离心率为 B．长轴长是 C．焦距2 D．焦点坐标为 5．（2026高二·四川资阳·期末）曲线与曲线的（  ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 题型2：由几何性质求标准方程 6．（2026高二·江苏徐州·阶段检测）与椭圆有相同的焦点，且经过点的椭圆的标准方程为______. 7．（2026高二·重庆渝中·期末）离心率为，焦点在轴且长轴长为 6 的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 8．（假期必刷26椭圆）已知椭圆的中心为坐标原点，一个焦点为，长轴长是短轴长的2倍，则这个椭圆的标准方程为________． 9．（2026·河北张家口·模拟预测）已知椭圆的离心率为，则C的方程可以为（    ） A． B． C． D． 10．（26-27高三·全国·一轮复习）已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为，则椭圆方程为（    ） A．或 B． C．或 D．或 题型3：点和椭圆的位置关系 11．（2026高三·北京海淀·期末）已知椭圆的焦点在轴上，点，则（   ） A．在外 B．的长轴长为 C．在内 D．的焦距为 12．（2026高二·全国·课前预习）若点在焦点在轴上的椭圆内部，则的取值范围是______． 13．（2026高二·河南南阳·阶段检测）点与椭圆的位置关系为（    ） A．点在椭圆上 B．点在椭圆内 C．点在椭圆外 D．不确定 14．（2026高二·河北邯郸·阶段检测）直线与椭圆总有公共点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（2026高二·吉林四平·阶段检测）已知椭圆，则下列各点不在椭圆内部的是（    ） A． B． C． D． （二） 求椭圆的离心率 求椭圆离心率及取值范围的两种方法 (1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解． (2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围． 题型4：求椭圆的离心率 16．（26-27高三·全国·一轮复习）椭圆C：的左顶点为A，点P，Q均在C上且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 17．（2026高二·福建厦门·期末）已知椭圆的左焦点为，点，在上，轴，若，且的周长为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 18．（2026高二·四川成都·期末）设椭圆的右顶点为，上顶点为，若直线与圆：相切，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 19．（2026高二·湖南怀化·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、．过的直线与椭圆交于、两点，且满足．若是以为斜边的直角三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 20．（2026·浙江·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别是，过的直线交椭圆于两点，若（为坐标原点），，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型5：求椭圆的离心率的取值范围 21．（2026高二·广东江门·阶段检测）已知椭圆的左右焦点为，，以为直径的圆与椭圆有四个交点，则椭圆离心率的范围为（    ）． A． B． C． D． 22．（2026高二·湖南衡阳·期末）设椭圆C：的右焦点为F，椭圆C上的两点关于原点对称，且满足，，则椭圆C的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 23．（2026高二·江苏·开学考试）已知点P是椭圆C： 上动点，点A是椭圆C的上顶点．当P为下顶点时，取到最大值，则椭圆C的离心率的取值范围为________． 24．（2026高三·全国·专题练习）已知椭圆的两个焦点是，若在椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型6：由椭圆的离心率求参数 25．（2026·广东广州·模拟预测）已知椭圆（）的离心率为，则______． 26．（2026高二·上海松江·阶段检测）椭圆的两焦点分别为，设椭圆的离心率，则实数的取值范围是_____. 27．（2026高二·陕西·阶段检测）已知椭圆的离心率为，则的值为（    ） A．3 B． C． D． 28．（2026高二·河北邢台·阶段检测）若椭圆：的离心率是，则______. 29．（2026高二·安徽安庆·期中）已知离心率为的椭圆的方程为，则（   ） A．2 B． C． D．3 （三） 直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆的位置关系： 联立消去y得一个关于x的一元二次方程． 位置关系 解的个数 的取值 相交 两解 >0 相切 一解 =0 相离 无解 <0 注：直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用． 题型7：判断直线与椭圆的位置关系 30．（2026高二·全国·课后作业）直线与椭圆的公共点的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数个 31．（2026高二·福建宁德·阶段检测）直线与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离D．不确定，与的取值有关 32．（2026高二·上海浦东新·期中）已知椭圆，直线，则直线l与椭圆C的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 33．（2026高二·江西上饶·阶段检测）已知直线：与椭圆：有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 34．（2026高二·上海黄浦·期中）已知直线与椭圆，若无论k取何值，直线与椭圆恒有公共点，则m的取值范围______. （四） 求相交弦长问题 1.定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． 2.求弦长的方法 （1）交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． （2）根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：． 题型8：求直线与椭圆的相交弦长 35．（2026高二·上海·期末）著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式（ 分别为椭圆的长半轴长和短半轴长），为后续微积分的开拓奠定了基础.已知椭圆 . (1)求的面积； (2)若直线交于两点，求. 36．（2026高二·上海黄浦·期末）已知、分别为椭圆C：的左、右焦点，直线l交椭圆C于A、B两点． (1)求焦点、的坐标与椭圆C的离心率e的值； (2)若直线l过点且与圆相切，求弦长的值； 37．（2026高二·甘肃兰州·期中）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，是C上一点. (1)求C的方程； (2)已知斜率为1的直线l与C交于M，N两点，若，求l的方程. 38．（2026·山西晋城·模拟预测）已知直线与椭圆交于不同的两点A，B，若，则实数______． 39．（2026高三·全国·中职高考）过椭圆的左焦点作直线和椭圆交于A、B两点，且，则这样直线的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 40．（2026高二·全国·课堂例题）过椭圆的左焦点引直线交椭圆于A，B两点，且，则直线方程为______． 41．（2026高二·云南迪庆·期末）已知椭圆，点在椭圆上，且点到两焦点和的距离之和为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点的坐标为，过点的直线与椭圆交于（异于点）两点，且直线的斜率为，求的面积． 42．（2026高二·北京·期末）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，点为椭圆的右焦点． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知，，设直线与椭圆的另一个交点为，求三角形的面积． （五） 椭圆的中点弦问题 1、椭圆的中点弦结论： 若直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有. 2、椭圆的中点弦问题 （1）根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决. （2）点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系． 题型9：求解椭圆的中点弦问题 43．（2026高二·重庆·期末）椭圆 与直线 交于 两点，则线段 的中点为（    ） A． B． C． D． 44．（2026高二·江苏盐城·期中）已知直线l与椭圆相交于A，B两点，若弦AB的中点坐标为，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 45．（2026高二·陕西汉中·阶段检测）已知椭圆（且）与直线相交于A，B两点，且线段AB的中点的横坐标为1，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 46．（2026高二·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知椭圆：，若直线与椭圆相交于不同的两点，，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为______． 47．（2026高二·山西太原·期中）已知经过椭圆的左顶点和上顶点的弦的中点坐标为，则的标准方程为__________. 48．（2026高二·浙江温州·期中）直线过点且与椭圆相交于、两点，若线段的中点为则直线的斜率为_____. （六） 与椭圆有关的最值、范围问题的方法 (1)定义法：利用定义转化为几何问题处理． (2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解． (3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭圆的范围．　　　　 题型10：与椭圆有关的最值问题 49．（2026·辽宁·模拟预测）已知椭圆的焦点分别为，，点为上任意一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 50．（2026·山西临汾·模拟预测）椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上的点，则面积的最大值是（   ） A．12 B．15 C．20 D．25 51．（2026高二·重庆·阶段检测）已知椭圆 ，则该椭圆上的点到 的距离的最小值为（   ） A．2 B．4 C． D． 52．（2026高二·河南南阳·期中）已知点，，M是椭圆上一点，点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 53．（2026高二·浙江·期中）已知椭圆，为上的一动点，则点到直线距离的最大值为（   ） A． B． C．2 D． 54．（2026·四川广安·模拟预测）过椭圆上一点作圆的两条切线，点为切点，过的直线与轴、轴分别交于点、两点，则面积的最小值为（   ） A． B． C． D． （七） 1.求解直线或曲线过定点问题的策略 2.求定值问题的策略 题型11：椭圆的定点、定值问题 55．（2026高二·云南昆明·阶段检测）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线交椭圆于不同的两点和，若直线的斜率为1，且以为直径的圆经过椭圆的右顶点，求直线的方程. 56．（2026高二·云南昆明·期末）已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为，且C经过点． (1)求C的方程； (2)设C与y轴的正半轴交于点D，直线l：y=kx+m与C交于A、B两点（l不经过D点），且AD⊥BD．证明：直线l经过定点 57．（2026高三·陕西榆林·阶段检测）已知椭圆的右焦点为，A、B分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于不同的两点，，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求证：直线过定点. 58．（2026高三·北京·阶段检测）已知椭圆C的两个焦点分别为，，短轴长为2. (1)求椭圆C的标准方程及离心率； (2)M，D分别为椭圆C的左､右顶点，过M点作两条互相垂直的直线MA，MB交椭圆于A，B两点，直线AB是否过定点？并求出面积的最大值. 59．（2026·江苏泰州·模拟预测）已知，是过点的两条互相垂直的直线，且与椭圆相交于A，B两点，与椭圆相交于C，D两点． (1)求直线的斜率k的取值范围； (2)若线段，的中点分别为M，N，证明直线经过一个定点，并求出此定点的坐标． 60．（2026高二·四川绵阳·阶段检测）设椭圆过两点，O为坐标原点 (1)求椭圆E的方程; (2)设E的右顶点为D，若直线与椭圆E交于A，B两点(A，B不是左右顶点)且满足，证明:直线l过定点，并求该定点坐标. 61．（2026高二·北京·期末）已知椭圆的长轴长为4，以椭圆C的短轴为直径的圆经过椭圆的两个焦点，点分别是椭圆C的左、右顶点． (1)求圆和椭圆C的方程； (2)已知分别是椭圆C和圆上的动点（位于轴两侧），且直线与轴平行，直线，分别与轴交于点，．求证：为定值． 62．（2026高三·青海西宁·阶段检测）已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左､右顶点，为椭圆的上顶点，且. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线交椭圆于两点，直线的斜率为，直线的斜率为，求的值. 63．（2026高三·全国·专题练习）已知椭圆C：的两焦点与短轴的一个端点连接构成等腰直角三角形，直线与以椭圆C的右焦点为圆心，以为半径的圆相切. (1)求椭圆C的方程； (2)若过椭圆C右焦点F作直线L交椭圆C于A，B两点，交y轴于M点，且，.求证：为定值. （八） 椭圆的实际应用 解决椭圆的实际问题的基本步骤 (1)认真审题，理顺题中的各种关系，如等量关系． (2)结合所给图形及题意建立适当的平面直角坐标系． (3)利用椭圆知识及其他相关知识求解．　 题型12：椭圆的实际应用 64．（2026高二·福建福州·期末）北斗卫星导航系统是我国航天事业的重要成果，北斗卫星的运行轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，平均轨道高度约为2万千米到3.6万千米，属于中高地球轨道.某颗北斗卫星运动至近地点时，距离地球表面高度约为1.56万千米；运动至远地点时，距离地球表面高度约为3.16万千米.已知地球的半径约为0.64万千米，则该卫星运行轨迹的标准方程可以是（    ） A． B． C． D． 65．（2026高二·江苏泰州·期中）如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为的球体，近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离为（   ） A． B． C． D． 66．（2026高二·重庆·期末）椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线都有焦点.焦点，顾名思义，就是光线的聚集点，圆锥曲线具有丰富的光学性质.体外冲击波碎石术是椭圆光学性质在医疗方面的典型应用：治疗时，将患者体内的结石置于椭圆反射面的一个焦点处，在另一个焦点释放高能冲击波.依据椭圆光学性质，冲击波经反射后聚焦于结石，利用高强度能量将结石击碎，达到治疗目的，且对周围组织损伤小. 现有一个离心率为的椭圆反射面，过椭圆上任意一点作椭圆的切线，若焦点在切线上的射影在一个半径为的定圆上，则该椭圆的焦距为_______. 67．（2026高二·上海闵行·期中）已知太阳系中水星绕太阳旋转的轨道是一个椭圆，现将水星与太阳视作质点（忽略大小），如图所示建立平面直角坐标系，太阳在椭圆轨道的焦点处.资料显示，水星在点处离太阳最近，距离为46百万公里，在点处离太阳最远，距离为70百万公里.为水星某一时刻运行在轨道上的位置，将水星从远日点绕逆时针旋转到得到的角记为. (1)根据题干中的数据，计算水星绕太阳旋转轨道的离心率； (2)当时，求水星到太阳的距离.（单位：百万公里，精确到整数）. 1．（2026高二·广东广州·期末）比较下列四个椭圆的形状，其中更接近于圆的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·云南保山·模拟预测）设椭圆的离心率为，，，分别为其左、右焦点，点为椭圆短轴的一个端点，且的面积为2，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·广东茂名·模拟预测）已知椭圆C：（）的右顶点为A，上顶点为B，直线AB与以C的短轴为直径的圆交于点P（不同于B），若△POB（O为原点）为正三角形，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（2026高二·河南新乡·期末）已知A，B，C分别是椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，点在椭圆上且位于第四象限，连接PC与轴交于点．若的面积比的面积大1，则点的横坐标为（   ） A．1 B． C． D． 5．（2026高二·广东广州·期末）如图，直线交椭圆于两点，分别交轴正半轴、轴正半轴于两点，且，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 6．（2026高二·湖南岳阳·期末）设，分别是椭圆（）的左、右焦点，直线过交椭圆于，两点（点在轴下方），交轴正半轴于点，已知椭圆的离心率，且，则（    ） A． B． C． D． 7．（2026高二·陕西延安·期末）已知焦点在轴上的椭圆的焦距为2，则的值为（    ） A． B． C．5 D．3 8．（2026高二·上海长宁·期中）椭圆和（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．顶点相同 9．（2026高二·全国·课后作业）中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 10．（2026高三·全国·开学考试）已知椭圆的焦点在轴上，若焦距为4，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 11．（2026高二·陕西榆林·期中）已知椭圆E：与直线相交于A，B两点，O是坐标原点，如果是等边三角形，那么椭圆E的离心率等于（　　） A． B． C． D． 12．（2026高二·四川内江·阶段检测）已知点A、B为椭圆的长轴顶点，P为椭圆上一点，若直线PA，PB的斜率之积的范围为，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．（2026高二·黑龙江绥化·期中）直线：与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交 14．（2026高三·全国·中职高考）通过椭圆的焦点且垂直于x轴的直线l被椭圆截得的弦长等于（    ） A． B．3 C． D．6 15．【多选】（2026高二·全国·课后作业）已知椭圆与直线交于两点，且，则实数＝（    ） A． B． C． D． 16．（2026高二·湖北·期中）设直线与椭圆相交于两点，且的中点为，则（    ） A． B． C． D． 17．【多选】（2026·云南·模拟预测）已知椭圆：的两个焦点分别为，，点为上的动点，以下正确的是（     ） A．椭圆离心率为 B．的周长为6 C．的最小值为 D．面积的最大值为 18．【多选】（2026·河南周口·模拟预测）已知是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，是椭圆上的动点，轴，垂足为，且点为的中点，轴，垂足为，且点为的中点，则（    ） A． B．的最小值为 C．面积的最大值为 D．面积的最大值为 19．（2026高二·云南昆明·阶段检测）设是圆：上一点，则圆在处的切线方程为，由此类比可得到的正确结论是：设是椭圆：上一点，则椭圆在处的切线方程为_________________． 20．（2026高二·四川凉山·期末）蒙日圆涉及几何学中的一个重要定理，该定理的内容是：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭圆的中心，这个圆称为椭圆的蒙日圆．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，它的蒙日圆的方程是，则该椭圆的方程为______． 21．（2026高二·浙江·期中）已知、为椭圆的左、右焦点，点为该椭圆上一点，且满足，若的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，则该椭圆的离心率为______. 22．（2026高三·浙江杭州·阶段检测）过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线交椭圆于两点，则__________. 23．（2026高三·全国·专题练习）设，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，若0，则的面积为________． 24．（2026高二·上海·期中）已知椭圆，且点和点在该椭圆上.若过点的直线交于另一点，且的面积为9，则的方程为__________. 25．（2026高二·陕西汉中·期末）已知椭圆的两个焦点分别是，，并且其离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆有两个公共点，求实数的取值范围. 26．（2026高二·陕西咸阳·期末）已知椭圆：的焦距为4，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若斜率为的直线过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于、两点，求弦的长度． 27．（2026高二·广西崇左·期末）已知椭圆：的离心率为，左顶点为．点，点M在C上，且线段的中点在y轴正半轴上．设直线与C的另一个交点为H． (1)求C的方程； (2)求直线的斜率及点H的坐标． 28．（2026高二·全国·专题练习）设直线与椭圆的方程分别为与，问为何值时， (1)直线与椭圆有一个公共点； (2)直线与椭圆有两个公共点； (3)直线与椭圆没有公共点． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年高二数学人教A版2019选择性必修第一册同步知识·题型解题秘籍 3.1.2椭圆的简单几何性质12题型分类 一、椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a 焦点 (±，0) (0，±) 焦距 |F1F2|＝2 对称性 对称轴：x轴、y轴　对称中心：原点 离心率 e＝∈(0,1) 二、直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法： 联立消去y得到一个关于x的一元二次方程． 直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及Δ的关系如表所示． 直线与椭圆 解的个数 Δ 两个不同的公共点 两解 Δ>0 一个公共点 一解 Δ＝0 没有公共点 无解 Δ<0 （一） 椭圆的简单几何性质 用标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式． (2)确定焦点位置．(焦点位置不确定的要分类讨论) (3)求出a，b，c. (4)写出椭圆的几何性质． 题型1：研究椭圆的简单几何性质 1．（2026高二·陕西商洛·期末）椭圆的短轴长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由椭圆方程知，故短轴长为. 2．（2026高二·河南驻马店·期末）已知椭圆的短轴的长为6，则该椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意求出的值，再由离心率公式求解即可. 【详解】因为椭圆的短轴的长为6， 所以，解得， 所以， 所以离心率. 3．（2026·河南安阳·模拟预测）已知椭圆的焦距为，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】先由判断椭圆的长轴在轴上，再设半焦距为，利用及“焦距”为列方程求． 【详解】因为，所以，椭圆的长轴在轴上，长半轴长为，短半轴长为． 设椭圆的半焦距为，则. 因为椭圆的焦距为，即. 解得.代入，得. 即. 所以.解得. 因为，所以. 4．【多选】（2026高二·湖南常德·期中）关于椭圆有以下结论，其中正确的有（    ） A．离心率为 B．长轴长是 C．焦距2 D．焦点坐标为 【答案】ACD 【分析】将椭圆方程化为标准方程，再由椭圆的几何性质可得选项. 【详解】将椭圆方程化为标准方程为 所以该椭圆的焦点在轴上，焦点坐标为，故焦距为2，故C、D正确； 因为所以长轴长是，故B错误， 因为，所以，离心率，故A正确. 故选：ACD 5．（2026高二·四川资阳·期末）曲线与曲线的（  ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 【答案】D 【分析】根据椭圆的性质求出两个椭圆的即可判断． 【详解】曲线表示焦点为，长轴长为10的椭圆； 曲线表示焦点为，长轴长为的椭圆． 故两椭圆的焦距相等，长轴长、短轴长、离心率不一定相等． 故选：D. 题型2：由几何性质求标准方程 6．（2026高二·江苏徐州·阶段检测）与椭圆有相同的焦点，且经过点的椭圆的标准方程为______. 【答案】 【分析】设所求椭圆的标准方程为，由题意有，把点代入椭圆方程，求出即可. 【详解】所求椭圆与椭圆的焦点相同，则其焦点在y轴上，半焦距c有， 设它的标准方程为，于是得， 又点在所求椭圆上，即有， 联立两个方程得，解得，则， 所以所求椭圆的标准方程为. 故答案为： 7．（2026高二·重庆渝中·期末）离心率为，焦点在轴且长轴长为 6 的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设为长半轴长，为短半轴长，为半焦距，因为离心率为，可得， 因为长轴长为 6，可得，所以，，所以，， 因为焦点在轴，所以椭圆的标准方程为. 8．（假期必刷26椭圆）已知椭圆的中心为坐标原点，一个焦点为，长轴长是短轴长的2倍，则这个椭圆的标准方程为________． 【答案】 【详解】由题知，椭圆的焦点在轴上，且， 又长轴长是短轴长的2倍，故，即， 则有，解得，， 则椭圆的标准方程为． 9．（2026·河北张家口·模拟预测）已知椭圆的离心率为，则C的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设椭圆的焦距为. 由题意得，则， 所以，即， 结合选项依次判断，只有A选项满足. 10．（26-27高三·全国·一轮复习）已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为，则椭圆方程为（    ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】由条件知，所以，，则， 当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为； 当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为. 综上所述，椭圆的标准方程为或. 题型3：点和椭圆的位置关系 11．（2026高三·北京海淀·期末）已知椭圆的焦点在轴上，点，则（   ） A．在外 B．的长轴长为 C．在内 D．的焦距为 【答案】A 【分析】根据椭圆方程及焦点位置求出的范围，即可判断. 【详解】因为椭圆的焦点在轴上，所以， 则的长轴长为，焦距为，故B、D错误； 因为，所以，所以，所以，所以点在外，故A正确，C错误. 故选：A 12．（2026高二·全国·课前预习）若点在焦点在轴上的椭圆内部，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据椭圆焦点在轴上可得，再根据点在椭圆内部列式求解. 【详解】因为椭圆的焦点在轴上，则， 又因为点在椭圆内部，则，解得， 所以的取值范围是． 故答案为：. 13．（2026高二·河南南阳·阶段检测）点与椭圆的位置关系为（    ） A．点在椭圆上 B．点在椭圆内 C．点在椭圆外 D．不确定 【答案】B 【分析】将点代入椭圆即可求解. 【详解】由于，所以在内， 故选：B 14．（2026高二·河北邯郸·阶段检测）直线与椭圆总有公共点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由直线过定点，结合点与椭圆的位置关系列出不等式，即可得到结果. 【详解】直线过定点，只需该点落在椭圆内或椭圆上，∴， 解得，又， 故选：C． 15．（2026高二·吉林四平·阶段检测）已知椭圆，则下列各点不在椭圆内部的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点和椭圆位置关系的判断方法，分别把点的坐标代入椭圆方程的左侧部分，计算其数值大于的点即为答案. 【详解】由椭圆方程为， 因为，所以点在椭圆内部，A错误； 因为，所以点在椭圆内部，B错误； 因为，所以点在椭圆外部，C正确； 因为，所以点在椭圆内部，D错误. 故选：C. （二） 求椭圆的离心率 求椭圆离心率及取值范围的两种方法 (1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解． (2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围． 题型4：求椭圆的离心率 16．（26-27高三·全国·一轮复习）椭圆C：的左顶点为A，点P，Q均在C上且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，设， 则·， 所以椭圆的离心率=. 17．（2026高二·福建厦门·期末）已知椭圆的左焦点为，点，在上，轴，若，且的周长为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由椭圆的对称性可知，又因为的周长为， 所以， 设，， 则， 因为，所以，即， 又因为点，在上，所以， 所以，整理得， 即，所以.    18．（2026高二·四川成都·期末）设椭圆的右顶点为，上顶点为，若直线与圆：相切，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点的坐标，得到直线的方程，利用与圆相切得到关系，进而求出椭圆的离心率. 【详解】由于椭圆的右顶点为，上顶点为， 所以，，故直线的方程为即， 若直线与圆：相切， 则， 化简得， 两边除以，得 ， 设，那么，解得 ，或（舍去）， 所以，，，. 19．（2026高二·湖南怀化·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、．过的直线与椭圆交于、两点，且满足．若是以为斜边的直角三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，可得出，利用椭圆的定义结合勾股定理可得出与的等量关系，可得出的值，然后在中利用余弦定理可得出与的关系，即可得出椭圆的离心率的值. 【详解】不妨设，则，， 由椭圆定义可得，， 因为是以为斜边的直角三角形，由勾股定理可得， 即，整理可得， 即，解得或（舍去）， 所以，，， ， 由余弦定理可得， 整理可得，故椭圆的离心率为. 20．（2026·浙江·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别是，过的直线交椭圆于两点，若（为坐标原点），，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据题意设，得到.根据，得到，根据勾股定理得到，再求离心率即可. 【详解】如图所示：    设，因为，所以. 又因为，所以，即. 因为，所以. 因为，所以. 在中，，解得， 即，所以，即. 所以，. 故选：B 题型5：求椭圆的离心率的取值范围 21．（2026高二·广东江门·阶段检测）已知椭圆的左右焦点为，，以为直径的圆与椭圆有四个交点，则椭圆离心率的范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的直径及圆与椭圆交点的个数可得，据此可求出椭圆的离心率. 【详解】因为以为直径的圆与椭圆有四个交点，所以， 即，，，所以，即， 又因为，所以椭圆离心率的取值范围为． 故选：A． 22．（2026高二·湖南衡阳·期末）设椭圆C：的右焦点为F，椭圆C上的两点关于原点对称，且满足，，则椭圆C的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设椭圆的左焦点为，连接，，利用椭圆对称性结合，推出，设，，推出，继而令，推得，从而求得的关系式，求得答案. 【详解】如图所示，设椭圆的左焦点为，连接，， 由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形，又，即FA⊥FB， 所以四边形为矩形，所以， 设，，在中，，，， 可得， 所以，令，得． 又，得，所以，所以， 结合，所以，所以，所以， 即椭圆C的离心率的取值范围为， 故选：B． 23．（2026高二·江苏·开学考试）已知点P是椭圆C： 上动点，点A是椭圆C的上顶点．当P为下顶点时，取到最大值，则椭圆C的离心率的取值范围为________． 【答案】 【分析】设 ，则 可化为 ，由 时， 取得最大值，可得 ，化简可得结果. 【详解】由题意， ，设 ，因为 ， ， 所以 ， ，因为当 时， 取得最大值，所以 ， 可得 ，即 . 故答案为： . 24．（2026高三·全国·专题练习）已知椭圆的两个焦点是，若在椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义和题设等式求出焦半径，再结合椭圆中焦半径的范围，求解不等式即得离心率范围.． 【详解】由椭圆的定义，得， 又，联立解得， 因， 即 ,解得, 则离心率， 又，所以． 题型6：由椭圆的离心率求参数 25．（2026·广东广州·模拟预测）已知椭圆（）的离心率为，则______． 【答案】4 【详解】显然，故，解得. 26．（2026高二·上海松江·阶段检测）椭圆的两焦点分别为，设椭圆的离心率，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】根据椭圆的方程和离心率公式可得到，结合椭圆的离心率的取值范围解不等式即可. 【详解】依题意，设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，则，所以， 又椭圆的离心率为，所以， 即，即，解得， 则实数的取值范围是. 故答案为：. 27．（2026高二·陕西·阶段检测）已知椭圆的离心率为，则的值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】先将椭圆的方程转化为椭圆的标准方程，进而结合的范围得，再根据离心率公式计算即可得答案. 【详解】椭圆变形为， 因为，所以，所以椭圆的焦点在轴上，， 所以离心率，解得. 故选：D. 28．（2026高二·河北邢台·阶段检测）若椭圆：的离心率是，则______. 【答案】7 【分析】根据离心率公式建立方程求解即可. 【详解】由题意可得，，且，则， 因为椭圆的离心率为，所以，解得. 故答案为：7. 29．（2026高二·安徽安庆·期中）已知离心率为的椭圆的方程为，则（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【分析】由椭圆的离心率求法得，进而求目标式的值. 【详解】由题设，可得， 所以. 故选：C （三） 直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆的位置关系： 联立消去y得一个关于x的一元二次方程． 位置关系 解的个数 的取值 相交 两解 >0 相切 一解 =0 相离 无解 <0 注：直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用． 题型7：判断直线与椭圆的位置关系 30．（2026高二·全国·课后作业）直线与椭圆的公共点的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数个 【答案】C 【分析】联立直线与椭圆的方程消去y，再利用判别式判断作答. 【详解】由消去y并整理得，显然， 所以直线与椭圆相交，有2个公共点. 故选：C 31．（2026高二·福建宁德·阶段检测）直线与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离D．不确定，与的取值有关 【答案】A 【分析】分析直线的特点，联立直线与椭圆的方程，根据判别式确定位置关系 【详解】直线，化简可得：，则直线过定点， 将定点代入椭圆方程，则得到：， 因为，所以定点在椭圆的内部， 所以过定点的直线与椭圆相交. 故选：A. 32．（2026高二·上海浦东新·期中）已知椭圆，直线，则直线l与椭圆C的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】A 【分析】根据直线方程可得直线过定点，判断点与椭圆C的位置关系即可得结果. 【详解】对于直线，整理得， 令，解得， 故直线过定点. ∵，则点在椭圆C的内部， 所以直线l与椭圆C相交. 故选：A. 33．（2026高二·江西上饶·阶段检测）已知直线：与椭圆：有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立直线与椭圆的方程，令判别式大于0求解即可. 【详解】将直线的方程与椭圆的方程联立，得，消去得①， 因为直线与椭圆有公共点，所以方程①有实数根，则，得. 故选：B． 34．（2026高二·上海黄浦·期中）已知直线与椭圆，若无论k取何值，直线与椭圆恒有公共点，则m的取值范围______. 【答案】 【分析】首先确定直线的定点，再判断定点与圆锥曲线的关系，即可列式求解. 【详解】由于表示椭圆，则且，① 直线恒过定点，若满足题意，则点在椭圆上或椭圆内， 所以，②，由①②得， 所以的取值范围是 （四） 求相交弦长问题 1.定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． 2.求弦长的方法 （1）交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． （2）根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：． 题型8：求直线与椭圆的相交弦长 35．（2026高二·上海·期末）著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式（ 分别为椭圆的长半轴长和短半轴长），为后续微积分的开拓奠定了基础.已知椭圆 . (1)求的面积； (2)若直线交于两点，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意求出，再根据公式求解即可. （2）联立两方程，根据韦达定理以及弦长公式求解即可. 【详解】（1）椭圆 的方程为 ，所以 ，则 .所以椭圆 的面积 . （2）联立，得 . 设，则. 所以. 36．（2026高二·上海黄浦·期末）已知、分别为椭圆C：的左、右焦点，直线l交椭圆C于A、B两点． (1)求焦点、的坐标与椭圆C的离心率e的值； (2)若直线l过点且与圆相切，求弦长的值； 【答案】(1) ，， (2) 【分析】（1） 利用椭圆标准方程直接求焦点、离心率； （2）结合直线与圆相切的条件求直线方程，最后用弦长公式计算弦长. 【详解】（1）椭圆为标准形式，得，， 因此，. 故焦点坐标为，，离心率. （2）当直线的斜率存在时， 设过的直线方程为，即. 因直线与圆相切，圆心到直线距离等于半径1： ， 平方化简得，即. 将代入椭圆方程，代入整理得： 设，由韦达定理得，. 由弦长公式： 代入数值计算： 斜率不存在时直线到原点距离为，不满足相切，故舍去，最终.    37．（2026高二·甘肃兰州·期中）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，是C上一点. (1)求C的方程； (2)已知斜率为1的直线l与C交于M，N两点，若，求l的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知条件列出关于的方程组求解； （2）设直线l：y＝x＋m，，直线方程与椭圆方程联立方程组，消元后应用韦达定理，然后由圆锥曲线中的弦长公式求解. 【详解】（1）由题可知解得a＝2，， 所以C的方程为. （2）设直线l：y＝x＋m，. 由得，则， ， 解得，所以l的方程为. 38．（2026·山西晋城·模拟预测）已知直线与椭圆交于不同的两点A，B，若，则实数______． 【答案】4 【详解】联立，得 ， 则，解得，且， 所以，解得． 39．（2026高三·全国·中职高考）过椭圆的左焦点作直线和椭圆交于A、B两点，且，则这样直线的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】先求过左焦点的通径长度，由椭圆的性质：过左焦点的弦长最短为通径长，最长为长轴长，结合已知弦长判断直线的条数即可. 【详解】左焦点为，若直线垂直x轴，则直线为， 代入椭圆方程得，可得，此时通径长， 所以，由椭圆性质知：的直线有仅只有一条. 故选：B 40．（2026高二·全国·课堂例题）过椭圆的左焦点引直线交椭圆于A，B两点，且，则直线方程为______． 【答案】或 【分析】先将椭圆方程化为标准方程，然后求出，从而可求出左焦点的坐标，设直线为，代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系，结合弦长公式列方程可求出，从而可求出直线方程. 【详解】椭圆，即，则，，，左焦点为， 设直线为，， 由，得， 整理得， 因为， 所以， 所以， ，解得， 所以直线为， 即或． 故答案为：或    41．（2026高二·云南迪庆·期末）已知椭圆，点在椭圆上，且点到两焦点和的距离之和为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点的坐标为，过点的直线与椭圆交于（异于点）两点，且直线的斜率为，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的定义求得后即可求得椭圆的标准方程； （2）由题意求得直线方程，直线与椭圆联立方程根据弦长公式求得，再利用点到直线的距离公式及三角形面积公式计算即可求解. 【详解】（1）由已知可得，化简可得， ， 则椭圆方程为； （2）设，， 由已知可得直线，即， 联立直线与椭圆，消去可得， 则，， 则， 又点到直线的距离， 所以； 42．（2026高二·北京·期末）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，点为椭圆的右焦点． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知，，设直线与椭圆的另一个交点为，求三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据离心率及焦点求出即可得解； （2）求出直线的方程，联立椭圆方程求出点，即可求三角形面积. 【详解】（1）因为，， 所以，， 所以椭圆的标准方程为. （2）由，可得， 所以直线：，    由 ，解得（舍），或， 所以. 因为，， 所以三角形的面积为. （五） 椭圆的中点弦问题 1、椭圆的中点弦结论： 若直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有. 2、椭圆的中点弦问题 （1）根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决. （2）点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系． 题型9：求解椭圆的中点弦问题 43．（2026高二·重庆·期末）椭圆 与直线 交于 两点，则线段 的中点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直线方程与椭圆方程联立结合韦达定理即可求解. 【详解】设，联立得， 所以，所以线段的中点的横坐标为， 代入得，所以线段的中点为. 故选：B 44．（2026高二·江苏盐城·期中）已知直线l与椭圆相交于A，B两点，若弦AB的中点坐标为，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点差法即可求解. 【详解】设， 则，两式相减可得， 即. 因为弦AB的中点坐标为，所以， 所以. 易知，所以， 所以直线l的方程为，化简得. 经验证满足题意，故直线l的方程为. 故选：A. 45．（2026高二·陕西汉中·阶段检测）已知椭圆（且）与直线相交于A，B两点，且线段AB的中点的横坐标为1，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】利用点差法得到关于的方程，解出后验证即可. 【详解】设，两点的坐标分别为，，则， 又两式作差得， 故，所以，解得． 此时椭圆方程为，联立直线方程有， ，则此时直线与椭圆有两个交点，符合题意. 故选：B． 46．（2026高二·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知椭圆：，若直线与椭圆相交于不同的两点，，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为______． 【答案】/ 【分析】利用点差法求解直线的斜率. 【详解】设，， 因为线段的中点坐标为，所以，， 将点，代入椭圆方程可得：， 两式相减得，即， 也即，所以. 设直线的斜率为，则. 故答案为：. 47．（2026高二·山西太原·期中）已知经过椭圆的左顶点和上顶点的弦的中点坐标为，则的标准方程为__________. 【答案】 【分析】根据椭圆的几何性质直接可得. 【详解】椭圆的左顶点和上顶点的坐标分别为， 由题意可得，解得， 所以的标准方程为 故答案为：. 48．（2026高二·浙江温州·期中）直线过点且与椭圆相交于、两点，若线段的中点为则直线的斜率为_____. 【答案】 【分析】设点坐标，代入椭圆中，作差化简可得答案. 【详解】设 和 为直线与椭圆的交点，且 为 中点，因此： ， 点 和 满足椭圆方程： ， 将方程 (1) 减去 (2)：， 因式分解：， 代入中点坐标：， 得：， 整理得：， 因此，斜率 . 故答案为：． （六） 与椭圆有关的最值、范围问题的方法 (1)定义法：利用定义转化为几何问题处理． (2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解． (3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭圆的范围．　　　　 题型10：与椭圆有关的最值问题 49．（2026·辽宁·模拟预测）已知椭圆的焦点分别为，，点为上任意一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义以及基本不等式即可求解. 【详解】已知椭圆的焦点分别为，，点为上任意一点，所以， 则根据椭圆的定义可知， 由基本不等式得，当且仅当时取等号，此时点在椭圆的短轴的端点处，符合题意， 因此的最大值是. 50．（2026·山西临汾·模拟预测）椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上的点，则面积的最大值是（   ） A．12 B．15 C．20 D．25 【答案】A 【分析】利用焦点三角形的几何性质求解即可. 【详解】 的面积为 所以 故选：A. 51．（2026高二·重庆·阶段检测）已知椭圆 ，则该椭圆上的点到 的距离的最小值为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义和性质进行求解即可. 【详解】因为椭圆方程为，所以， 所以右顶点坐标为，. 根据椭圆性质可知，椭圆上到右焦点距离最短的点为右顶点， 所以最小值为. 故选：A. 52．（2026高二·河南南阳·期中）已知点，，M是椭圆上一点，点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出点的轨迹方程，利用两点间距离公式和二次函数结合椭圆的范围可求答案. 【详解】设点的坐标为，则，化简得， 则点的轨迹是以点为圆心，的圆. 设.因为，， 所以当时，取得最大值5. 因为，故的最大值为. 故选：B 53．（2026高二·浙江·期中）已知椭圆，为上的一动点，则点到直线距离的最大值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】依题意设，利用点到直线的距离、辅助角公式及余弦函数的性质求出最大值. 【详解】椭圆，即，又为上的一动点， 设， 则点到直线距离， 又， 所以当时有最大值， 即点到直线距离的最大值为． 故选： D． 54．（2026·四川广安·模拟预测）过椭圆上一点作圆的两条切线，点为切点，过的直线与轴、轴分别交于点、两点，则面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可设，再由切点弦直线得到，，再利用面积公式结合三角恒等变形求值域即可. 【详解】设，由题知， 则同时也在圆上， 又在圆上，则的方程为， ，，. 故选：A. （七） 1.求解直线或曲线过定点问题的策略 2.求定值问题的策略 题型11：椭圆的定点、定值问题 55．（2026高二·云南昆明·阶段检测）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线交椭圆于不同的两点和，若直线的斜率为1，且以为直径的圆经过椭圆的右顶点，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）由椭圆的离心率及过点，结合，列方程求解即可. （2）设直线l的方程为，与椭圆方程联立，韦达定理，由题意，结合韦达定理利用数量积的坐标运算求解，即可得解. 【详解】（1）因为椭圆C的离心率为，且过点， 所以，， 又，解得，，则椭圆C的方程. （2）设直线l的方程为， 联立，消去y并整理得，， 由韦达定理得，， 因为以MN为直径的圆经过椭圆C的右顶点，所以， 即， 整理得， 因为，， 所以， 即，解得或， 因为， 所以当或时，满足条件， 则直线的方程为或. 56．（2026高二·云南昆明·期末）已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为，且C经过点． (1)求C的方程； (2)设C与y轴的正半轴交于点D，直线l：y=kx+m与C交于A、B两点（l不经过D点），且AD⊥BD．证明：直线l经过定点 【答案】(1) (2) 由已知得， 由，得， 故， 设，，则，， ，， 由得， 即， 所以，解得或， ①当 时，直线 经过点，舍去； ②当时，显然有，直线 经过定点． 【分析】（1）由题意可得，设椭圆，求得椭圆的另一个焦点坐标，利用定义求解，再求得b，即可求出椭圆方程. （2）由已知得，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系可得A，B横纵坐标的和与积，结合AD⊥BD，得，由此求解m值，当时，有，直线l经过定点． 【详解】（1）设椭圆的方程为，一个焦点为， 所以，椭圆的另一个焦点为， 又C经过点，所以由椭圆定义得： ， 即，所以, 所以的方程为. （2）略 57．（2026高三·陕西榆林·阶段检测）已知椭圆的右焦点为，A、B分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于不同的两点，，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求证：直线过定点. 【答案】(1) (2) 联立得， 设，，可得，， 由题知， 即， 即，解得， ∴直线的方程为，故直线恒过定点. 【分析】（1）由题可得，据此可求得椭圆方程； （2）将直线方程与椭圆方程联立，后由韦达定理结合，可得m与k的关系即可得直线恒过的定点. 【详解】（1）由题知，，，， 由的面积为，得， 又，代入可得，，∴椭圆的方程为. （2）略 58．（2026高三·北京·阶段检测）已知椭圆C的两个焦点分别为，，短轴长为2. (1)求椭圆C的标准方程及离心率； (2)M，D分别为椭圆C的左､右顶点，过M点作两条互相垂直的直线MA，MB交椭圆于A，B两点，直线AB是否过定点？并求出面积的最大值. 【答案】(1)， (2)直线过定点，面积的最大值 【分析】（1）根据条件求出的值即可； （2）联立直线方程和椭圆方程后利用两直线垂直可算出，然后利用点到直线的距离算三角形面积，利用函数性质求最值即可. 【详解】（1）解：由题意得： ， 故可知 椭圆方程为：，离心率为： （2）M，D分别为椭圆C的左､右顶点 又由（1）可知： 设直线AB的方程为：，， 联立方程可得： 有韦达定理可知：， 又 又 展开后整理得：，解得：或（舍去） 直线恒过定点 令 则 由对勾函数的单调性可知： 所以，当且仅当，即时取等号 此时的最大值为： 59．（2026·江苏泰州·模拟预测）已知，是过点的两条互相垂直的直线，且与椭圆相交于A，B两点，与椭圆相交于C，D两点． (1)求直线的斜率k的取值范围； (2)若线段，的中点分别为M，N，证明直线经过一个定点，并求出此定点的坐标． 【答案】(1)； (2)直线经过一个定点，定点.证明如下： 设，，由（1）得， 所以，则， 所以，则， 同理， 则直线的方程为， 化简整理得 因此直线经过一个定点． 【分析】（1）根据直线，均与椭圆相交，联立方程利用求解；（2）利用韦达定理分别求M，N的坐标，进而求出直线的方程判断定点． 【详解】（1）根据题意直线，的斜率均存在且不为0 直线，分别为，， 联立得， 由得，则或， 同理，则， 所以k的取值范围为． （2）略 60．（2026高二·四川绵阳·阶段检测）设椭圆过两点，O为坐标原点 (1)求椭圆E的方程; (2)设E的右顶点为D，若直线与椭圆E交于A，B两点(A，B不是左右顶点)且满足，证明:直线l过定点，并求该定点坐标. 【答案】(1) (2)由（1）知，设 由可知，，所以，   即： 所以  （※） 联立直线和椭圆方程，消去y，得： 由所以   代入方程※，可得，即得 所以，所以， 所以，直线l 的方程为 所以，过定点或，根据题意，舍去 所以，直线过定点 【分析】（1）将椭圆上的两点代入椭圆方程中，再解方程即可； （2）先将转化为，再直线与椭圆联立，建立方程后进一步化简直线方程即可获得解决. 【详解】（1）因为椭圆E: （a，b>0）过两点， 所以，解得，得，所以椭圆E的方程为. （2）略 61．（2026高二·北京·期末）已知椭圆的长轴长为4，以椭圆C的短轴为直径的圆经过椭圆的两个焦点，点分别是椭圆C的左、右顶点． (1)求圆和椭圆C的方程； (2)已知分别是椭圆C和圆上的动点（位于轴两侧），且直线与轴平行，直线，分别与轴交于点，．求证：为定值． 【答案】(1)，； (2)    设，， 则，，， 所以方程，令时，，即， 方程为，令时，，即， 则， 所以， 即，所以， 故为定值． 【分析】（1）根据椭圆定义可知，又，因此易求得，得椭圆方程，从而也得到圆的方程； （2）设出，，分别代入椭圆方程和圆的方程得到两个关系式，写出直线的方程，求出M点坐标，同理写出方程，求出N点坐标，再求得向量，并计算数量积，结果为0，可得． 【详解】（1）依题意，得，， 所以圆方程，椭圆方程． （2）略 62．（2026高三·青海西宁·阶段检测）已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左､右顶点，为椭圆的上顶点，且. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线交椭圆于两点，直线的斜率为，直线的斜率为，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数量积公式，可得关系，根据离心率，可得的关系，联立求解，即可得答案. （2）将直线与椭圆联立，结合韦达定理，设，可得，表达式，由题意得的表达式，化简整理，即可得答案. 【详解】（1）由题意，所以， 因为，所以， 又离心率，解得， 联立解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）将直线与椭圆联立，得， 设，则， 又，所以， 所以 . 63．（2026高三·全国·专题练习）已知椭圆C：的两焦点与短轴的一个端点连接构成等腰直角三角形，直线与以椭圆C的右焦点为圆心，以为半径的圆相切. (1)求椭圆C的方程； (2)若过椭圆C右焦点F作直线L交椭圆C于A，B两点，交y轴于M点，且，.求证：为定值. 【答案】(1)； (2)由题意得直线的斜率存在，， 所以设直线方程为，令得，则， 将直线方程代入椭圆方程得：， 因为在椭圆内部，则直线与椭圆必有两个交点， 设 则， 由， 即， ， . 【分析】（1）根据相切得到，再分析得，联立即可得到方程； （2）设直线方程为，将其与椭圆方程联立得到韦达定理式，再求出，再通分代入韦达定理式即可. 【详解】（1）由题意：以椭圆的右焦点为圆心， 以为半径的圆的方程为， 所以圆心到直线的距离①， 因为椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，所以，联立①得，， 故所求椭圆方程为. （2）略. （八） 椭圆的实际应用 解决椭圆的实际问题的基本步骤 (1)认真审题，理顺题中的各种关系，如等量关系． (2)结合所给图形及题意建立适当的平面直角坐标系． (3)利用椭圆知识及其他相关知识求解．　 题型12：椭圆的实际应用 64．（2026高二·福建福州·期末）北斗卫星导航系统是我国航天事业的重要成果，北斗卫星的运行轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，平均轨道高度约为2万千米到3.6万千米，属于中高地球轨道.某颗北斗卫星运动至近地点时，距离地球表面高度约为1.56万千米；运动至远地点时，距离地球表面高度约为3.16万千米.已知地球的半径约为0.64万千米，则该卫星运行轨迹的标准方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用长轴长为，近地点离焦点距离为，即可得椭圆参数的取值，从而可得椭圆方程. 【详解】由题意知，卫星的运行轨迹为椭圆，地球的球心为该椭圆的一个焦点， 设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为， 则由题可知， 近地点到焦点距离为：， 即，所以椭圆方程可以为：， 故选：B． 65．（2026高二·江苏泰州·期中）如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为的球体，近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆离心率以及卫星近地点离地面的距离列方程，求解得出椭圆的长半轴和半焦距，即可求得答案. 【详解】由题意，不妨以椭圆中心为坐标原点，建立如图所示坐标系，    则椭圆方程为， 则，且，解得，， 故该卫星远地点离地面的距离为， 又，所以. 故选：A. 66．（2026高二·重庆·期末）椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线都有焦点.焦点，顾名思义，就是光线的聚集点，圆锥曲线具有丰富的光学性质.体外冲击波碎石术是椭圆光学性质在医疗方面的典型应用：治疗时，将患者体内的结石置于椭圆反射面的一个焦点处，在另一个焦点释放高能冲击波.依据椭圆光学性质，冲击波经反射后聚焦于结石，利用高强度能量将结石击碎，达到治疗目的，且对周围组织损伤小. 现有一个离心率为的椭圆反射面，过椭圆上任意一点作椭圆的切线，若焦点在切线上的射影在一个半径为的定圆上，则该椭圆的焦距为_______. 【答案】 【分析】作出图形，延长、交于点，连接，由光线反射可得出，且为的中点，结合中位线的性质和椭圆的定义可求出的值，进而可得出的值，由此可得出该椭圆的焦距. 【详解】如下图所示： 不妨设椭圆的焦点在轴上，、分别为椭圆的左、右焦点，连接， 延长、交于点， 由题意可知，点与点关于直线对称，则，且为的中点， 又因为为的中点，则， 所以，点在以圆心为原点，半径为的圆上，故， 由题意可得，解得，故该椭圆的焦距为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于利用光线反射结合椭圆的定义、中位线的性质计算出的值，结合已知条件以及、、的关系求解. 67．（2026高二·上海闵行·期中）已知太阳系中水星绕太阳旋转的轨道是一个椭圆，现将水星与太阳视作质点（忽略大小），如图所示建立平面直角坐标系，太阳在椭圆轨道的焦点处.资料显示，水星在点处离太阳最近，距离为46百万公里，在点处离太阳最远，距离为70百万公里.为水星某一时刻运行在轨道上的位置，将水星从远日点绕逆时针旋转到得到的角记为. (1)根据题干中的数据，计算水星绕太阳旋转轨道的离心率； (2)当时，求水星到太阳的距离.（单位：百万公里，精确到整数）. 【答案】(1)； (2)约为68百万公里. 【分析】（1）根据给定条件，求出椭圆的长半轴长及半焦距即可. （2）利用椭圆的定义及余弦定理，结合（1）中信息计算得解. 【详解】（1）令水星绕太阳旋转的椭圆轨道长半轴长为，半焦距为， 依题意，，解得， 所以水星绕太阳旋转轨道的离心率. （2）令水星绕太阳旋转的椭圆轨道的另一个焦点为， 在中，，令，则， 由余弦定理得， 即，整理得， 由（1）得， 所以水星到太阳的距离约为68百万公里. 1．（2026高二·广东广州·期末）比较下列四个椭圆的形状，其中更接近于圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算出各选项中椭圆的离心率后，比较离心率大小，借助离心率越小椭圆越接近于圆判断即可得. 【详解】椭圆离心率； 对于椭圆 ，其离心率， 对于椭圆 ，则离心率， 对于椭圆 ，离心率， 对于椭圆 ，离心率， 因为，所以， 离心率越小椭圆越接近于圆，因为选项D的椭圆离心率最小，所以更接近于圆. 2．（2026·云南保山·模拟预测）设椭圆的离心率为，，，分别为其左、右焦点，点为椭圆短轴的一个端点，且的面积为2，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由椭圆离心率为，得，即，又因为，所以， 又点为椭圆短轴顶点，则，解得，所以， 即椭圆的方程为. 3．（2026·广东茂名·模拟预测）已知椭圆C：（）的右顶点为A，上顶点为B，直线AB与以C的短轴为直径的圆交于点P（不同于B），若△POB（O为原点）为正三角形，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆标准方程得出的坐标，进而得到直线的方程，结合题干写出圆的方程，利用正三角形的性质求出点的坐标，将的坐标代入直线的方程，得到与的关系式，进而求解离心率. 【详解】如图所示，椭圆中，右顶点，上顶点， 直线的截距式方程为：， 以短轴为直径的圆的圆心在原点，半径为，方程为， 为正三角形，，结合在第一象限，可得点坐标为， 将的坐标代入直线方程可得， 化简得：， 因为椭圆离心率，且， 所以，解得. 4．（2026高二·河南新乡·期末）已知A，B，C分别是椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，点在椭圆上且位于第四象限，连接PC与轴交于点．若的面积比的面积大1，则点的横坐标为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，由题可知， 又，所以． 设为坐标原点，则，所以， 设，则，解得. 5．（2026高二·广东广州·期末）如图，直线交椭圆于两点，分别交轴正半轴、轴正半轴于两点，且，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将代入椭圆，两式相减，得到，结合斜率公式和中点公式，化简得到，即可求解. 【详解】设 将代入椭圆，可得， 两式相减，可得，即， 因为，所以， 则直线的斜率为． 6．（2026高二·湖南岳阳·期末）设，分别是椭圆（）的左、右焦点，直线过交椭圆于，两点（点在轴下方），交轴正半轴于点，已知椭圆的离心率，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，设，进而得到，，，再根据余弦定理建立方程求解即可. 【详解】由题意，，即， 由于，，则， 设，则， 在中，，，， 由余弦定理得， 则， 解得，即.    7．（2026高二·陕西延安·期末）已知焦点在轴上的椭圆的焦距为2，则的值为（    ） A． B． C．5 D．3 【答案】D 【分析】根据焦点的位置可得的取值范围，结合焦距可求的值. 【详解】因为焦点在轴，故，而焦距是2，故即， 故选：D. 8．（2026高二·上海长宁·期中）椭圆和（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．顶点相同 【答案】C 【分析】由椭圆的简单几何性质求解即可. 【详解】对于椭圆， ，，，∴，，， ∴长轴长，短轴长，焦距， 对于椭圆， ，，，∴，，， ∴长轴长，短轴长，焦距， ∴椭圆和的长轴长和短轴长均不相等，故顶点不相同，焦距相等. 故选：C. 9．（2026高二·全国·课后作业）中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆几何性质可知，代入椭圆标准方程即可求得结果. 【详解】根据题意可设椭圆方程为， 易知，且，解得； 所以，故椭圆方程为. 故选：A 10．（2026高三·全国·开学考试）已知椭圆的焦点在轴上，若焦距为4，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的焦点在轴上，焦距为4，结合a,b,c之间的关系以及离心率公式可得答案. 【详解】由题得，即， 由焦距为4得，解得， 可得椭圆方程为，所以，， 所以离心率为. 故选：B. 11．（2026高二·陕西榆林·期中）已知椭圆E：与直线相交于A，B两点，O是坐标原点，如果是等边三角形，那么椭圆E的离心率等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意不妨设点B在第一象限， 则，结合直线OB的斜率运算求解即可. 【详解】联立方程，解得， 不妨设点B在第一象限， 则， 由题意可知：OB的倾斜角是，则， 所以椭圆的离心率. 故选：C．      12．（2026高二·四川内江·阶段检测）已知点A、B为椭圆的长轴顶点，P为椭圆上一点，若直线PA，PB的斜率之积的范围为，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆性质结合离心率运算处理． 【详解】由题得：，所以 故选：A． 13．（2026高二·黑龙江绥化·期中）直线：与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交 【答案】A 【分析】方法1：先求含参直线l恒过定点M，研究定点M与椭圆的位置关系可判断直线l与椭圆的位置关系； 方法2：代数法，联立直线l与椭圆方程，消参后可由判断出直线l与椭圆的位置关系. 【详解】方法1： ∵，即：， ∴直线l恒过定点， 又∵椭圆 ∴， ∴定点M在椭圆内， ∴直线l与椭圆相交. 方法2： ∴恒成立， ∴直线l与椭圆相交. 故选：A. 14．（2026高三·全国·中职高考）通过椭圆的焦点且垂直于x轴的直线l被椭圆截得的弦长等于（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】B 【分析】根据椭圆方程写出一条过焦点且垂直于x轴的直线，代入椭圆方程求交点纵坐标，即可得弦长. 【详解】由题设，不妨设过焦点且垂直于x轴的直线， 代入椭圆方程得，可得，故被椭圆截得的弦长等于. 故选：B 15．【多选】（2026高二·全国·课后作业）已知椭圆与直线交于两点，且，则实数＝（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】联立椭圆方程与直线方程，用韦达定理即可表示出弦长并结合即可求解. 【详解】由消去并整理，得 设，则. 由题意得，即，解得． 故选：AD. 16．（2026高二·湖北·期中）设直线与椭圆相交于两点，且的中点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，进而根据点差法求解即可. 【详解】解：设，故有①，②， 所以，两式作差得，即， 所以，， 因为的中点为， 所以， 所以 故选：A 17．【多选】（2026·云南·模拟预测）已知椭圆：的两个焦点分别为，，点为上的动点，以下正确的是（     ） A．椭圆离心率为 B．的周长为6 C．的最小值为 D．面积的最大值为 【答案】ABD 【分析】由椭圆方程求出，即得离心率，判断A；根据椭圆的定义即可求出的周长，判断B；由椭圆上一点到焦点的距离最小值为，判断C；结合图形可知，当的边上的高最大时其面积最大，计算即可判断D. 【详解】由题可知，，则，则离心率，故A正确； 由椭圆的定义可知，， 所以的周长为，故B正确； 由图知，椭圆上一点到焦点的距离最小值为，即，故C错误； 由，则当点在上顶点或下顶点时， 即取得最大值时，面积的最大值为，故D正确. 18．【多选】（2026·河南周口·模拟预测）已知是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，是椭圆上的动点，轴，垂足为，且点为的中点，轴，垂足为，且点为的中点，则（    ） A． B．的最小值为 C．面积的最大值为 D．面积的最大值为 【答案】ACD 【分析】代入点A坐标，可得m值，根据椭圆的定义，即可判断A的正误；设点，可得点B坐标，代入椭圆方程，可得点P的轨迹，根据点与圆的位置关系，结合两点间距离公式，可判断B的正误；分析可得当时，的面积最大，代入数据，可判断C的正误；设点，可得面积的表达式，结合基本不等式，即可得答案. 【详解】对于A，点在椭圆上，，解得， ，故A正确. 对于B，设点，则.将点的坐标代入椭圆的方程， 得，即，点的轨迹方程为， 则的最小值为点到圆心的距离减去半径， 即，故B错误. 对于C，由B可知，，则当时，的面积最大， 为，故C正确. 对于D，由椭圆对称性，设点在第一象限，， . ，当且仅当时，等号成立， 面积的最大值为，故D正确. 19．（2026高二·云南昆明·阶段检测）设是圆：上一点，则圆在处的切线方程为，由此类比可得到的正确结论是：设是椭圆：上一点，则椭圆在处的切线方程为_________________． 【答案】 【分析】根据题目要求，利用类比思想，观察原题中的字母变化，从而总结规律得出结论. 【详解】原题中要求利用类比得出结论， 注意观察在处的切线方程为， 可以看出圆的方程中一个换为，一个换为，即可得到切线方程， 所以方程中一个换为，一个换为，可以得到切线方程为：， 故答案为：. 20．（2026高二·四川凉山·期末）蒙日圆涉及几何学中的一个重要定理，该定理的内容是：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭圆的中心，这个圆称为椭圆的蒙日圆．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，它的蒙日圆的方程是，则该椭圆的方程为______． 【答案】 【分析】设椭圆方程为，取椭圆的右顶点和上顶点作椭圆的两条切线，求出交点坐标，又因为在圆上，代入求出，然后根据椭圆的离心率和的关系即可求解. 【详解】设椭圆方程为，则椭圆的右顶点为，上顶点，过作椭圆的切线，则交点坐标为， 因为椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，所以在圆上，则， 又因为，， 所以，则椭圆方程为， 故答案为：. 21．（2026高二·浙江·期中）已知、为椭圆的左、右焦点，点为该椭圆上一点，且满足，若的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，则该椭圆的离心率为______. 【答案】/ 【分析】根据椭圆定义并利用余弦定理可得，再根据正弦定理可知外接圆半径，由等面积法可知内切圆半径，再根据面积比即可计算出离心率. 【详解】根据题意画出图象如下图所示：    利用椭圆定义可知，且； 又，利用余弦定理可知： ， 化简可得； 所以的面积为； 设的外接圆半径为，内切圆半径为； 由正弦定理可得，可得； 易知的周长为， 利用等面积法可知，解得； 又的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，即， 所以，即可得，所以； 离心率. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求解椭圆焦点三角形外接圆与内切圆半径问题，通常利用正弦定理计算外接圆半径，由等面积法公式可计算出内切圆半径，即可实现问题求解. 22．（2026高三·浙江杭州·阶段检测）过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线交椭圆于两点，则__________. 【答案】 【分析】求出直线的方程，与椭圆方程联立，求出两点的坐标，进而可求出的值，即可得答案. 【详解】由题意可得，所以直线的方程为， 由，得或， 不妨设，则， 所以. 23．（2026高三·全国·专题练习）设，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，若0，则的面积为________． 【答案】 【分析】根据向量数量积为得到与的位置关系，再结合椭圆定义以及直角三角形中的勾股定理求解出的值，则面积可求. 【详解】， ，． 设，，则． ，． ，． ．． 24．（2026高二·上海·期中）已知椭圆，且点和点在该椭圆上.若过点的直线交于另一点，且的面积为9，则的方程为__________. 【答案】或 【分析】以为底，求出三角形的高，即点到直线的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到点坐标，则得到直线的方程 【详解】，则直线的方程为，即， ， 设点到直线的距离为，则， 则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可， 此时该平行线与椭圆的交点即为点， 设该平行线的方程为：， 则，解得或， 当时，联立，解得或， 即或， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，联立得， ，此时该直线与椭圆无交点. 综上直线的方程为或. 25．（2026高二·陕西汉中·期末）已知椭圆的两个焦点分别是，，并且其离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆有两个公共点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用椭圆的焦点与离心率求出，即得椭圆方程； （2）将直线方程与椭圆方程联立消元后，根据判别式为正，解不等式即得的取值范围. 【详解】（1）依题意可得，，可得， 则， 故椭圆的标准方程为. （2）联立，消元整理得 由，解得或. 即实数的取值范围为. 26．（2026高二·陕西咸阳·期末）已知椭圆：的焦距为4，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若斜率为的直线过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于、两点，求弦的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由离心率和焦距列出等式，求得即可； （2）由弦长公式即可求解. 【详解】（1）由题知得，， 所以椭圆的方程为． （2）椭圆的右焦点，所以直线的方程为：， 代入椭圆的方程，化简得，， 设，，由韦达定理知，，， 故． 由弦长公式，得， 即弦的长度为． 27．（2026高二·广西崇左·期末）已知椭圆：的离心率为，左顶点为．点，点M在C上，且线段的中点在y轴正半轴上．设直线与C的另一个交点为H． (1)求C的方程； (2)求直线的斜率及点H的坐标． 【答案】(1) (2)斜率为，点的坐标为 【分析】（1）根据题目条件列出关于，和的方程，求出，，进而可写出椭圆C的方程. （2）先设出点，利用中点坐标公式得出线段的中点，结合点在y轴正半轴上及点M在椭圆C上，列出方程组求出点坐标，根据直线的斜率公式可得出直线的斜率；进而可得出直线的方程，联立椭圆和直线的方程可得出点的坐标. 【详解】（1）因为椭圆：的离心率为，左顶点为， 所以，解得：， 所以椭圆C的方程为：. （2）    设点的坐标为， 因为点， 则线段的中点的坐标为. 因为线段的中点在y轴正半轴上， 所以，解得. 又因为点M在椭圆C上， 所以， 则，即点的坐标为， 所以直线的斜率为，直线的方程为，即. 联立椭圆C和直线的方程，整理得：， 解得：或. 结合题目要求可知点H的横坐标为. 将代入直线的方程可得， 所以点的坐标为 . 28．（2026高二·全国·专题练习）设直线与椭圆的方程分别为与，问为何值时， (1)直线与椭圆有一个公共点； (2)直线与椭圆有两个公共点； (3)直线与椭圆没有公共点． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】联立直线与椭圆方程，分别根据判别式等于，大于，小于可求出结果. 【详解】（1）由直线方程得，代入椭圆方程后整理得． 上述方程的判别式． 由此可知： 当时，，直线与椭圆只有一个公共点． （2）当时，，直线与椭圆有两个公共点． （3）当或时，，直线与椭圆无公共点．    学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $