3.1.2 第2课时 直线与椭圆的位置关系（Word版）-【满分思维·同步精炼】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步测试学生用书（人教A版）

第2课时　 直线与椭圆的位置关系 　 直线与椭圆位置关系的判断 1.直线kx＋y＋2k－1＝0（k∈R）与椭圆＋＝1的交点个数为（　　） A.1 B.2 C.1或2 D.无法确定 2.设直线y＝x＋m，椭圆9x2＋16y2＝144. （1）直线与椭圆有一个公共点，则m满足的条件是　　　　； （2）直线与椭圆有两个公共点，则m满足的条件是　　　　； （3）直线与椭圆没有公共点，则m满足的条件是　　　　. 3.曲线＋＝1上的点到直线x－2y＋8＝0距离的最小值为　　　　. 弦长与中点弦 4.（2026·浙南联盟联考）直线y＝x＋1被椭圆＋＝1所截得的弦的中点坐标是（　　） A.（，） B.（，） C.（－，） D.（－，－） 5.经过椭圆＋y2＝1的左焦点F1作倾斜角为60°的直线l，直线l与椭圆C相交于A，B两点，则线段AB的长为（　　） A.　　　B. C.2　　　D. 6.已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的一条弦所在的直线方程是2x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M，则椭圆的离心率是（　　） A. B. C. D. 7.已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，且椭圆C经过点（0，1），长轴长为2. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点M（1，0）且斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，求弦长｜AB｜； （3）若直线l与椭圆相交于C，D两点，且弦CD的中点为P，求直线l的方程. 椭圆实际应用问题 8.椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，如图所示.设椭圆C的两个焦点分别为F1（－c，0），F2（c，0）（c＞0）.若光线由F1发出经椭圆C两次反射后回到F1经过的路程为12c，点P是椭圆C上除顶点外的任意一点，C在点P处的切线为l，F2在l上的射影H在圆x2＋y2＝9上，则△PF1F2的周长为（　　） A.3 B.4 C.6 D.8 9.[学科融合]假设卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约为1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约为3.35万千米，则卫星运行的轨迹方程可以为（　　） A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 　 1.已知斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则｜AB｜的最大值为（　　） A. B. C. D. 2.已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，过点F且斜率为1的直线l交C于A，B两点，若｜AB｜＝a，则C的离心率为（　　） A. B. C. D. 3.[一题多解]已知椭圆E：x2＋＝1，若过点M（t，0）（t＜－1）的两条直线l1，l2与E都只有一个交点，且l1⊥l2，则t＝（　　） A.－ B. C.3 D.－3 4.（多选）已知椭圆C：＋＝1内一点M（1，2），直线l与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则（　　） A.C的焦点坐标为（2，0），（－2，0） B.C的长轴长为2 C.直线l的方程为x＋y－3＝0 D.｜AB｜＝ 5.已知椭圆C：＋＝1上存在关于直线l：y＝2x＋m对称的点，则实数m的取值范围为　　　　　　. 6.设椭圆C：＋＝1的左焦点为F，过F的直线l与椭圆C交于A，B两点（其中点A在x轴上方），点M坐标为，若直线l的倾斜角为60°，则＝　　　　. 7.已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，点A（2，1）在椭圆C上. （1）求椭圆C的标准方程； （2）直线l：y＝x＋m与椭圆C交于M，N两点. （i）求m的取值范围； （ii）若｜MN｜＝，求m的值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　直线与椭圆的位置关系 [教材知识——一遍过] 1.C 2.（1）m＝±5　（2）－5＜m＜5　（3）m＞5或m＜－5 3.　解析：令x－2y＋m＝0与＋＝1相切，联立方程整理得25y2－16my＋4m2－36＝0， Δ＝256m2－400（m2－9）＝0，可得m＝±5， 当x－2y＋5＝0，此时与x－2y＋8＝0的距离为＝. 当x－2y－5＝0，此时与x－2y＋8＝0的距离为＝， 所以曲线上的点到直线x－2y＋8＝0距离的最小值为. 4.C　联立消去y， 得3x2＋4x－2＝0， 设直线与椭圆交于点A（x1，y1），B（x2，y2）， 则x1＋x2＝－， 故AB的中点横坐标x0＝＝－. 纵坐标y0＝x0＋1＝－＋1＝.故选C. 5.B　在＋y2＝1中，a2＝2，b2＝1， 所以c2＝a2－b2＝1，即c＝1， 故左焦点为F1（－1，0），而tan 60°＝，故直线l的方程为y＝（x＋1）， 联立＋y2＝1得7x2＋12x＋4＝0，Δ＝122－4×7×4＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2）， 由根与系数的关系得x1＋x2＝－，x1x2＝， 则由弦长公式得｜AB｜＝·＝.故选B. 6.B　设直线2x－y＋5＝0与椭圆相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，弦的中点坐标是M， 则x1＋x2＝－，y1＋y2＝，直线AB的斜率k＝＝2. 联立得＋＝0， ∴＝－×＝2，∴＝，故椭圆的离心率e＝＝＝.故选B. 解决中点弦问题的两种方法 （1）根与系数的关系法：联立直线与曲线的方程，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； （2）点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率关系求解. ｜方法技巧｜ 7.解：（1）由题意设椭圆C的方程为＋＝1（a＞b＞0）， 因为椭圆经过点（0，1）且长轴长为2，所以a＝，b＝1， 所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1. （2）由已知设直线l的方程为y＝x－1，设A（x1，y1），B（x2，y2）. 将直线y＝x－1代入＋y2＝1，得3x2－4x＝0， 所以x1＋x2＝，x1x2＝0， ｜AB｜＝＝＝. （3）设C（x3，y3），D（x4，y4），弦CD的中点为P， 于是＝，＝，即x3＋x4＝y3＋y4＝1， 由于点C，D在椭圆上，故＋＝1，＋＝1， 两式相减得到＋－＝0，即＋（y3＋y4）（y3－y4）＝0， 故＋y3－y4＝0，于是＝－＝kl， 故直线l的方程是y－＝－， 整理得2x＋4y－3＝0. 利用根与系数的关系解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：①设直线方程，设交点坐标为（x1，y1），（x2，y2）；②联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算Δ；③列出根与系数的关系式；④将所求问题或题中的关系转化为x1＋x2，x1x2（或y1＋y2，y1y2）的形式；⑤代入根与系数的关系式求解. ｜规律方法｜ 8.D　光线由F1发出经椭圆C两次反射后回到F1经过的路程为12c，得4a＝12c，即a＝3c. 延长F1P，F2H交于点A，如图，由光的反射定律知PH垂直平分线段F2A，连接OH，则OH是△F1F2A的中位线，于是｜OH｜＝｜F1A｜＝（｜PF1｜＋｜PF2｜）＝a， 而点H在圆x2＋y2＝9上，则a＝3，c＝1，△PF1F2的周长等于2a＋2c＝6＋2＝8. 9.A　设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c， 由题可知，1.35＋1.3＋3.35＝2a，即a＝3. 因为卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，地球半径约为0.65万千米， 所以a－c＝1.35＋0.65＝2，可得c＝1， 因此b2＝a2－c2＝32－12＝8，结合选项可知A满足. [综合素养——全提升] 1.B　设直线l的方程为y＝x＋m，由得3x2＋4mx＋2（m2－1）＝0， 由Δ＝16m2－24（m2－1）＞0，得m2－3＜0， 则 所以｜AB｜＝｜x1－x2｜＝＝×≤， 当m＝0时取到最大值，此时直线l的方程为y＝x. 2.B　设F（c，0），A（x1，y1），B（x2，y2），则直线l：y＝x－c， 联立方程消去y得（b2＋a2）x2－2a2cx＋a2（c2－b2）＝0， 则可得Δ＞0，x1＋x2＝，x1x2＝， 则｜AB｜＝＝＝a，整理得3b2＝a2， 又b2＝a2－c2，则3c2＝2a2，则e＝＝. 3.A　由题意可知过点M（t，0）（t＜－1）与椭圆E相切直线的斜率存在，如图. 方法一：设切线方程为y＝k（x－t），直线l1，l2的斜率分别为k1，k2， 联立方程消去y可得（k2＋2）x2－2k2tx＋k2t2－2＝0， 则Δ＝4k4t2－4（k2＋2）（k2t2－2）＝0，整理可得（t2－1）k2－2＝0. 因为t＜－1，则t2－1＞0，可知k1，k2为关于k的方程（t2－1）k2－2＝0的两根， 若l1⊥l2，则k1k2＝－＝－1，解得t＝±.因为t＜－1，所以t＝－. 方法二：利用椭圆＋＝1在点（x0，y0）处的切线方程为＋＝1.设切点分别为（x1，y1），（x2，y2），则l1：x1x＋y＝1，l2：x2x＋y＝1.因为点M是l1，l2的交点，代入直线方程可得x1＝x2＝，将x1＝x2＝代入椭圆方程可得｜y1｜＝｜y2｜＝. 由l1⊥l2，可得·＝－1，＝， 即由l1⊥l2，可得＝＝，易知t≠1， 所以t2＝3，所以t＝－. 方法三：由椭圆的对称性，结合M在x轴上，可知直线l2的斜率为1，所以直线l2的方程为y＝x－t，代入椭圆方程x2＋＝1，得3x2－2tx＋t2－2＝0，利用Δ＝0，易求t＝－. 方法四：由直线l2的斜率为1，椭圆的切线方程为x2x＋y＝1，可知－＝1，结合点M在切线上，可得x2＝，y2＝－.代入椭圆方程x2＋＝1，解得t＝－. 4.CD　由C：＋＝1，得椭圆的焦点在y轴上，且a2＝8，b2＝4， 则a＝2，b＝2，c＝＝2， 所以椭圆的焦点坐标为（0，2），（0，－2），长轴长为2a＝4，故选项A、B错误. 设A（x1，y1），B（x2，y2），则＋＝1，＋＝1， 两式作差得＝－. 因为M（1，2）为线段AB的中点，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝4， 所以＝－＝－＝－1， 所以直线l的方程为y－2＝－（x－1），即x＋y－3＝0，故选项C正确. 由得3x2－6x＋1＝0，则x1＋x2＝2，x1x2＝， 所以｜AB｜＝·＝×＝，故选项D正确. 5.　解析：设椭圆＋＝1上关于直线l：y＝2x＋m对称的两点为A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点为M（x0，y0），则kAB·2＝－1，得kAB＝－，且y0＝2x0＋m. 设AB：y＝－x＋n，则由得x2－nx＋n2－3＝0， 则Δ＝n2－4（n2－3）＞0，解得－2＜n＜2， 且x1＋x2＝n，x1x2＝n2－3， 所以x0＝，y0＝－x0＋n＝n. 又y0＝2x0＋m，所以n＝2×＋m，得m＝－， 又－2＜n＜2，所以－＜m＜. 6.2　解析：由题意可知F（－2，0），则直线l的方程为y＝（x＋2）， 联立直线与椭圆的方程得⇒32x2＋108x＋63＝0，解得x1＝－，x2＝－， 由于A点在x轴上方，所以A，B， 因此＝ ＝＝2. 7.解：（1）因为点A（2，1）在椭圆C上，所以＋＝1. 椭圆C的离心率为＝，a2＝b2＋c2，解得a2＝8，b2＝2. 故椭圆C的标准方程为＋＝1. （2）联立得5x2＋8mx＋4m2－8＝0（*）. （i）Δ＝（8m）2－4×5（4m2－8）＞0，解得－＜m＜， 所以m的取值范围为（－，）. （ii）设M（x1，y1），N（x2，y2），由（*）式有x1＋x2＝－，x1x2＝， 由弦长公式有＝， 整理得m2＝1，解得m＝±1且满足－＜m＜， 所以m＝±1. 学科网（北京）股份有限公司 $