精品解析：广西壮族自治区贵港市桂平市2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

新课程教研联盟2026年秋季期期中自主练习检测 九年级 数学 （全卷满分120分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是正确） 1. 指出一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【详解】解：一元二次方程的二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 2. 已知，，，是成比例线段，若，，，则的值是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵，，，是成比例线段， ∴， 代入，， 得：， 解得． 3. 如图，在中，，如果，，那么的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦的定义解答，锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作． 【详解】解：∵，， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦． 4. 若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的周长比是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比是， ∴这两个相似三角形的周长比是． 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 无实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：， 方程有两个不相等的实数根， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 6. 如图，，，，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，从而列出比例式，求得的长度． 【详解】解：已知，根据平行线分线段成比例的性质可得， 将，，代入比例式可得， ，解得． 7. 如图，在中，，，则的长是（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理．正确作出辅助线是解题关键．过点A作于点D．由等腰三角形三线合一的性质得出．根据，可求出，最后根据勾股定理可求出，即得出． 【详解】解：如图，过点A作于点D． ∵， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴． 故选B． 8. 年桂平市“乡镇杯”篮球联赛（简称“浔”）是市内最大的群众篮球赛事．“浔”有支代表队参赛，常规赛若采取单循环形式（每两支球队之间比赛场），共需进行场比赛，则可列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据比赛规则为单循环以及总比赛数为场，列出方程即可． 【详解】解：共有支球队参赛，单循环赛每两支球队之间比赛场， 每支球队需与除自身外的支球队各比赛场． 每场比赛会被两支球队重复计算次，需去掉重复计数， 总比赛场数为，已知总比赛场数为场， 可列方程． 9. 如图，四边形与四边形是以原点为位似中心的位似图形．若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对应点坐标求出位似比，再利用对应边之比等于位似比求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵四边形与四边形是以原点为位似中心的位似图形， ∴，即， ∴． 10. 如图是某商场自动扶梯的示意图．自动扶梯与地面的坡角为，在自动扶梯下方地面处测得扶梯顶端的仰角为，、之间的距离为，则自动扶梯的垂直高度（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质得到，再根据三角函数定义即可求解． 【详解】解：， 又， ， ， 在中， ． 故选C． 11. 某中学有一块长，宽的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小明同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为，则可列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，则有的空白区域，又已知花带宽度为，列出方程即可得到正确答案． 【详解】解：矩形空地的长为，宽为， 矩形空地的面积为． 计划在这块空地上划出四分之一的区域种花， 剩余空白区域的面积占总面积的比例为， 即空白区域面积为． 由图可知，空白区域的长为，宽为， 则空白区域的面积可列出方程． 故选D． 12. 如图所示，是等边三角形，被一边平行于的矩形所截，被截成三等份，若面积为18，则阴影部分的面积是（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】先根据矩形的性质和平行线的性质定理得到，则，，再根据面积比等于相似比的平方求解． 【详解】解：∵是等边三角形，被一边平行于的矩形所截， ∴， ∴，， ∵被截成三等份， ∴， ∴，， ∴，， ∵面积为18， ∴，， ∴阴影部分的面积为：． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 已知，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的变形代入求值，准确的计算是解决本题的关键． 将所求表达式拆分为，然后代入计算即可． 【详解】解：由题意得， ． 故答案为：． 14. 若关于的一元二次方程的一根为，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】先把代入方程，可得关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一根为， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值．解题的关键理解一元二次方程的解的定义．也考查了解一元一次方程． 15. 如图，ABC是一块锐角三角形的材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是____mm． 【答案】48 【解析】 【详解】试题分析：设该正方形的边长是a，则符合题意得式子= 考点：比例分析 点评：本题主要考查了图形的线段比例的分析，通过比例的大小从而列比例式求解 16. 如图，在正方形中，为边上一点，连接，．若，，则________． 【答案】10 【解析】 【分析】先根据正切的定义求出的长，则可得的长，再在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，且， ∴，， 在中，， 解得， ∴， ∴在中，． 三、解答题（本大题共7题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 按要求完成下列各题 （1）解方程：； （2）计算： 【答案】（1）， （2）2 【解析】 【小问1详解】 解： 或 ∴，； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 如图，，分别在的边，的延长线上，，，，，． （1）求的长； （2）运用你所学过的知识，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据，证明，进而得出，代入数据，即可求解； （2）根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，进而得出，代入数据，即可求解． 【小问1详解】 解：， ，， ， ， ，，， ∴， ． 答：所求的长是． 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ， 又，，， ， ． 答：所求的面积是18． 19. 已知一元二次方程 （1）若方程有两个相等的实数根，求的值； （2）若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）方程有两个相等的实数根，即根的判别式，求解即可； （2）根据根与系数的关系可以得到，，再代入，然后解关于的方程即可． 【小问1详解】 解：方程有两个相等实数根， ， 即：， 解得，或． 【小问2详解】 解：由一元二次方程根与系数的关系，得 ， ， 解得． 20. 为测量学校旗杆的高度，九年级各班运用了多种测量方法． （1）如图1，一班小明在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为__________； （2）如图2，二班小颖站在操场上点处，前面水平放置镜面，并通过镜面观测到旗杆消费消费顶部A．小组同学测得小颖的眼睛距地面高度，小颖到镜面距离，镜面到旗杆的距离．据此可得旗杆高度为__________； （3）如图3，三班小亮在自己与旗杆之间的地面上直立一根标杆，并通过标杆顶端观测到旗杆顶部A．小组同学测得小亮的眼睛距地面高度，标杆，小王到标杆距离，标杆到旗杆距离，求旗杆的高度． 【答案】（1） （2） （3）旗杆的高度为 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，平行投影以及等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形判定和性质是解题的关键． （1）影长恰好等于自己的身高，可知是等腰直角三角形，由平行投影性质可知，是等腰直角三角形，即可求得答案； （2）利用已知判定，结合相似三角形的性质进行求解即可； （3）过作于，交于，先求出，再证，利用相似三角形的性质得，即可得出． 【小问1详解】 解：∵影长恰好等于自己的身高， ∴是等腰直角三角形， 由平行投影性质可知，是等腰直角三角形， 则， 故答案为∶； 【小问2详解】 解：如图 ， 由反射定律可知， 又， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 则旗杆高度为米， 故答案为：； 【小问3详解】 如图：过作于，交于， 则，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 答：旗杆的高度为． 21. 渭河是黄河的最大支流，在陕西省境内长达．某数学兴趣小组开展测量渭河河道宽度的实践活动．他们在确保安全的前提下，选取了一段相对笔直的河道开展活动，记录如下： 活动主题 测量渭河某段河道的宽度 活动方案 方案一 方案二 测量示意图 测量过程 1．在河道一侧的岸边选取两个观测点，； 2．测量，的度数； 3．测量，两点之间的距离． 1．在河道一侧的岸边选取两个观测点，，分别在，的延长线上选取点，，使得； 2．测量，两点之间的距离，，两点之间的距离，与之间的距离． 测量数据 ，，． ，，． 备注 1．点是为了测量河道的宽度，在河道另一侧的岸边选取的参照点； 2．图中所有点均在同一平面内； 3．参考数据：，，． 请从以上两种方案中任选一种，帮助他们求出这段河道的宽度（即点到的距离）． 【答案】这段河道的宽度为 【解析】 【分析】方案一：过点作于点，解和求解即可；方案二：过点作于点，交于点，可得，根据相似三角形的相似比等于对应边高之比求解即可． 【详解】解：方案一：过点作于点， ∵， ∴在中，， 在中，， ∵，， ∴，解得， ∴这段河道的宽度为； 方案二：过点作于点，交于点， ∵ ∴，， ∴， ∵，，， ∴，解得， ∴， 答：这段河道的宽度为． 22. 【情境再现】 （1）如图1所示，在正方形中，点，分别在边，上，且．请你直接写出线段与的数量关系是__________； 【探究迁移】 （2）如图2所示，在矩形中，若，点，，，分别在矩形的边，，，上，且．请你猜测是多少，并证明你的猜测结果的正确性； 【拓展应用】 （3）如图3所示，在四边形中，，，，点，分别在边，上，且，，则的长是__________． 【答案】（1） （2） ， 证明：如下图，过点作交于点，过点作交于点， 在矩形中，，， ，， 四边形是平行四边形， ，同理可得， 又，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）通过已知条件证明，从而得到； （2）过点作交于点，过点作交于点，先证明四边形是平行四边形，得到，同理可得，再证明得到，即； （3）过作于，延长，交于，证明可得，得到，进而得到，设，在和中，利用特殊角的三角函数值构造关于的方程，最终求得的长． 【小问1详解】 解：如图，与的交点记作点， 在正方形中，有，， ． ， ， ， ． 在与中， ， ． 【小问2详解】 解：，证明略． 【小问3详解】 解：如下图，过作于，延长，交于， 则有， ， ， ， ， ， ． ，，， ， ， ． ，， ， ． ， 设，则， ， ，解得，即． 23. 综合与实践 【问题情境】如图，，，，为矩形的四个顶点，，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动，当点到达点时，点随之停止运动，设运动时间为． 【推理计算】 （1）_________，_________．（用含的代数式表示） （2）当为多少时，点和点的距离为？ 【拓展延伸】 （3），两点同时出发，直接写出当为何值时，是以为腰的等腰三角形？ 【答案】（1）， （2）为或 （3）2或或 【解析】 【分析】（1）根据速度公式分别表示出的线段长度； （2）通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理列出关于的一元二次方程求解； （3）根据以为腰，分和两种情况讨论，分别列方程求解． 【小问1详解】 解：由题意可得，，， ； 【小问2详解】 解：过点作于， 点P到达点B的时间为， ∴， 四边形为矩形， ， ∵， 四边形为矩形，四边形为矩形， ，， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， 解得或， 当或时，点和点的距离为； 【小问3详解】 解：由（2）得，，，， ∵是以为腰的等腰三角形， ∴当时，即， ∴， 解得或（舍去）； 当时，即， ， 整理得， 解得， ∴，符合题意， ，符合题意． 综上，满足条件的的值为2或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新课程教研联盟2026年秋季期期中自主练习检测 九年级 数学 （全卷满分120分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是正确） 1. 指出一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 已知，，，是成比例线段，若，，，则的值是( ) A. B. C. D. 3. 如图，在中，，如果，，那么的值为（　　） A. B. C. D. 4. 若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的周长比是（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 无实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 6. 如图，，，，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，则的长是（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 9 8. 年桂平市“乡镇杯”篮球联赛（简称“浔”）是市内最大的群众篮球赛事．“浔”有支代表队参赛，常规赛若采取单循环形式（每两支球队之间比赛场），共需进行场比赛，则可列方程是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形与四边形是以原点为位似中心的位似图形．若，，，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图是某商场自动扶梯的示意图．自动扶梯与地面的坡角为，在自动扶梯下方地面处测得扶梯顶端的仰角为，、之间的距离为，则自动扶梯的垂直高度（ ） A. B. C. D. 11. 某中学有一块长，宽的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小明同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为，则可列方程是（ ） A. B. C. D. 12. 如图所示，是等边三角形，被一边平行于的矩形所截，被截成三等份，若面积为18，则阴影部分的面积是（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 已知，则的值为___________． 14. 若关于的一元二次方程的一根为，则的值是______． 15. 如图，ABC是一块锐角三角形的材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是____mm． 16. 如图，在正方形中，为边上一点，连接，．若，，则________． 三、解答题（本大题共7题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 按要求完成下列各题 （1）解方程：； （2）计算： 18. 如图，，分别在的边，的延长线上，，，，，． （1）求的长； （2）运用你所学过的知识，求． 19. 已知一元二次方程 （1）若方程有两个相等的实数根，求的值； （2）若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 20. 为测量学校旗杆的高度，九年级各班运用了多种测量方法． （1）如图1，一班小明在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为__________； （2）如图2，二班小颖站在操场上点处，前面水平放置镜面，并通过镜面观测到旗杆消费消费顶部A．小组同学测得小颖的眼睛距地面高度，小颖到镜面距离，镜面到旗杆的距离．据此可得旗杆高度为__________； （3）如图3，三班小亮在自己与旗杆之间的地面上直立一根标杆，并通过标杆顶端观测到旗杆顶部A．小组同学测得小亮的眼睛距地面高度，标杆，小王到标杆距离，标杆到旗杆距离，求旗杆的高度． 21. 渭河是黄河的最大支流，在陕西省境内长达．某数学兴趣小组开展测量渭河河道宽度的实践活动．他们在确保安全的前提下，选取了一段相对笔直的河道开展活动，记录如下： 活动主题 测量渭河某段河道的宽度 活动方案 方案一 方案二 测量示意图 测量过程 1．在河道一侧的岸边选取两个观测点，； 2．测量，的度数； 3．测量，两点之间的距离． 1．在河道一侧的岸边选取两个观测点，，分别在，的延长线上选取点，，使得； 2．测量，两点之间的距离，，两点之间的距离，与之间的距离． 测量数据 ，，． ，，． 备注 1．点是为了测量河道的宽度，在河道另一侧的岸边选取的参照点； 2．图中所有点均在同一平面内； 3．参考数据：，，． 请从以上两种方案中任选一种，帮助他们求出这段河道的宽度（即点到的距离）． 22. 【情境再现】 （1）如图1所示，在正方形中，点，分别在边，上，且．请你直接写出线段与的数量关系是__________； 【探究迁移】 （2）如图2所示，在矩形中，若，点，，，分别在矩形的边，，，上，且．请你猜测是多少，并证明你的猜测结果的正确性； 【拓展应用】 （3）如图3所示，在四边形中，，，，点，分别在边，上，且，，则的长是__________． 23. 综合与实践 【问题情境】如图，，，，为矩形的四个顶点，，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动，当点到达点时，点随之停止运动，设运动时间为． 【推理计算】 （1）_________，_________．（用含的代数式表示） （2）当为多少时，点和点的距离为？ 【拓展延伸】 （3），两点同时出发，直接写出当为何值时，是以为腰的等腰三角形？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $