精品解析：广西壮族自治区贵港市桂平市2025-2026学年九年级上学期期中质量检测数学试题

2025年秋季期期中教学质量检测九年级数学 （考试时间：120分钟，满分120分） 注意：答案一律填写在答题卡上，在试题卷上作答无效．考试结束将答题卡交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是正确） 1. 下列函数中，反比例函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，解题关键是掌握反比例函数的定义并能和其他函数进行区分．根据反比例函数的定义判断即可． 【详解】解：反比例函数需满足 （）， 选项A：，其中 ，符合定义，故符合题意； 选项B：，为正比例函数，故不符合题意； 选项C：，为二次函数，故不符合题意； 选项D：，为一次函数，故不符合题意． 故选：A． 2. 下列等式中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解其定义是解题关键． 利用一元二次方程的定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程，进行分析即可． 【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意； B、是一元一次方程，不合题意； C、含有2个未知数，不是一元二次方程，不合题意； D、含有分式不是一元二次方程，不合题意． 故选：A． 3. 如图，在中，已知，分别是边上的点，且．若，则的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解答本题的关键． 先根据平行得出，再根据相似三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：， ，， ， ， ， ， 故选：D． 4. 如图为人行天桥的示意图，若高长为10米，斜道长为30米，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正弦，理解正弦的定义是解题关键． 根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：∵长为10米，斜道长为30米， ∴根据题意得：， 故选：D 5. 已知反比例函数．下列选项正确的是（ ） A. 函数图象在第一、三象限 B. y随x的增大而减小 C. 函数图象在第二、四象限 D. y随x的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据性质逐一判断即可．根据反比例函数的性质，当时，图象两支位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大． 【详解】解：反比例函数中，，因此其图象的两支分布在第二、四象限，对应选项C正确，选项A错误． 当时，在第二象限（）和第四象限（）内，随的增大而增大．但选项D未明确“在每个象限内”，若跨象限变化（如从负数到正数），会减小，因此选项D的描述不准确．选项B“随的增大而减小”与时的性质矛盾，错误． 故选：C． 6. 一元二次方程配方后化为的等式正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查用配方法解一元二次方程，通过配方法将一元二次方程转化为完全平方形式即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选： A． 7. 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得的长度．解题的关键是正确判定相似三角形并运用相似三角形的性质列出比例式． 【详解】解：，， ， ， ， ∵动力臂，阻力臂， ， ， 的长为． 故选：B． 8. 人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若的长都为，当时，人字梯顶端离地面的高度约是___________．（结果精确到0.1m，参考依据： ，（　　） A. 2.1 B. 1.9 C. 1.8 D. 1.6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．通过作辅助线构造直角三角形，利用三角函数的定义求出顶端离地面的高度，再与选项对比得出答案． 【详解】解：过点作于点． ∵ ，， ∴ 是直角三角形，． 在中，，， ∵ ， ∴ ． 故选：C． 9. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式求解．首先确保二次项系数不为零，再计算判别式并使其非负． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴二次项系数，即． 令，即， 解得． ∴且 故选：C． 10. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、，以原点为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点的坐标为（　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．根据以原点为位似中心，位似比为，点的对应点坐标可能同向或反向，进行计算即可． 【详解】解：以原点为位似中心，位似比为， 点的对应点的坐标为或， 即点的坐标为或． 故选：D． 11. 为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，先用x表示出矩形的另一条边长，利用矩形的面积公式，列出方程即可． 【详解】解：设矩形的一边长为x米，则另一边长为米，由题意，得： ； 故选：C． 12. 如图，在平面直角坐标系中，将平移，得到，点在坐标轴上．若，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，坐标与图形变换—平移，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造相似三角形，是解题的关键．过点作轴，作交的延长线于点，证明，得到，根据点的坐标，结合的值，求出，平移求出点坐标，进而得到平移规则，再求出点坐标即可． 【详解】解：过点作轴，作交的延长线于点，则： ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平移， ∴， ∴， ∴将点先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点， ∴将点先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点， ∴； 故选B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 若点在反比例函数（为常数，且）的图象上，则___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求反比例函数解析式．经过函数的某点一定在函数的图象上． 直接把代入反比例函数中，即可解答． 【详解】解：把点代入反比例函数（为常数，且）中，得 ， 解得． 故答案为：2． 14. 若，则的值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要查了比例的性质．根据比例的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：4 15. 若是一元二次方程的一个根，则的值是___________． 【答案】2026 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，利用是一元二次方程的根，得到的值，然后代入表达式计算． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， 即． ∴． 代入， 得， 故答案为：2026． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，点都在双曲线上，且点在点的右侧，点的横坐标为，，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征和全等三角形的判定与性质的综合运用，解一元二次方程，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N， 由等腰三角形的判定与性质得出，证出，由证明，得出，，即可得出B点坐标，代入反比例函数，得到一元二次方程，解方程求解即可． 【详解】解：过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N，如图所示： 则， ∴四边形是矩形， ，，， ， ， ，， ， ， 把代入反比例函数的解析式得， ， 双曲线图象在第二象限， ， ，， ，，， ， ，， ， ， 双曲线经过B，则， ， 解得：（舍），， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）解方程：； （2）计算： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，特殊角的三角函数值，熟练计算是解题的关键． （1）首先去括号，然后利用因式分解法求出方程的解； （2）根据特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， 或， ； （2）解：原式， ， ， ． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，，与反比例函数的图象交于点．已知点的坐标为，点的坐标为，点在反比例函数的图象上，纵坐标为2． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接，，求四边形的面积． 【答案】（1）反比例函数的解析式为；一次函数解析式为 （2）10 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，反比例函数的图象与性质，割补法求四边形面积等知识，掌握反比例函数的图象与性质是关键． （1）把点的坐标代入反比例函数解析式中，求得的值，即可求得反比例函数解析式；由、的坐标，利用待定系数法求出一次函数的解析式； （2）点在反比例函数的图象上，纵坐标为2，则可求得点的横坐标，利用四边形的面积等于， 面积的和即可求解． 【小问1详解】 解：点的坐标为，且在反比例函数的图象上， ，即． 反比例函数的解析式为． 设直线的解析式为， 把、两点坐标分别代入得：，解得， 即直线的解析式为． 【小问2详解】 解：点在反比例函数的图象上，纵坐标为2， ，解得：． ． ∵直线的解析式为， ∴， 由题意知，， ． 19. 如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，． （1）求证：； （2）当时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴，， ，， ∵， ∴， ∴．明：∵四边形ABCD为菱形， ∴，， ，， ∵， ∴， ∴． （2）AE=9 【解析】 【分析】（1）根据四边形ABCD是菱形，得出，，根据平行线的性质和等边对等角，结合，得出，即可证明结论； （2）根据，得出，代入数据进行计算，即可得出AE的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， 即， 解得：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，根据题意得出，是解题关键． 20. 在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形愁态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况． （1）统计某电商平台，2024年12月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近两个月月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售量20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？ 【答案】（1）月平均增长率为 （2）售价应降低20元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程实际应用问题，根据题意找到相等关系是解题的关键． （1）设月平均增长率为，根据题意列出方程即可； （2）设售价应降低元，则可卖出件，利用每件获利乘以销售数量等于每天销售获利，列方程即可解答． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为， 由题意得，， 解得：（不合题意，舍去）， 答：月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设售价应降低元， 由题意得，， 整理得：， 解得：， 尽量减少库存， ， 答：售价应降低20元． 21. 如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D．经测得景点C位于景点B的北偏东方向上，位于景点A的北偏东方向上，景点B位于景点D的南偏西方向上．已知． （1）求的度数； （2）求景点C与景点D之间的距离．（结果保留根号） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）由题意可得，．从而得出，根据即可求解． （2）根据，得出．由（1）得．则，故．在中，解直角三角形求出，，从而求出．再根据，求出，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，由题意可得，． ． ． 【小问2详解】 解：， ． 由（1）得． ． 又， ． 在中，，， ， ． ． ， ． ． ∴景点C与景点D之间的距离为． 22. 阅读材料，解答问题： 材料1： 为了解方程如果我们把看成一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，，，，我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2： 已知实数，满足，．且，显然，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，．根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用：方程的解为_________ （2）利用上述方法求下列方程中的值： （3）拓展应用：已知实数，满足，且直接写出的值______． 【答案】（1），，， （2）5 （3） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数关系，阅读材料正确进行换元是解决问题的关键． （1）类比材料中方法，将换元为解方程即可； （2）令，将原方程换元后解方程即可； （3）令，，换元可推出m，n是方程的两个不相等的实数根，然后利用一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【小问1详解】 解：令，则原方程可化为， ∴， ∴，， ∴或3， ∴，，，； 故答案为：，，，； 【小问2详解】 解：令，则原方程可化为， ∴， ∴，， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 令，， 则，， ∴m，n是方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴； 故答案为：． 23. 如图1，已知四边形是矩形，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中，点E以每1个单位的速度从点A出发沿x轴正方向运动，连接，作交y轴于点P，连接交射线于点F，设运动时间为t秒． （1）当时， _____， _____； （2）当点P在原点上方，且时，求t的值和点P坐标； （3）在运动的过程中，是否存在以P，O，E为顶点的三角形与相似．若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）6，4 （2）， （3）点P的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，再解题时要根据已知条件再结合图形是解题的关键． （1）根据题意即可知的值，再求出为等腰直角三角形，则，然后求出是等腰直角三角形，因此； （2）首先证明，，可知，即可求出t的值，再证明 ，根据，可求出，进而即可求出答案； （3）分情况讨论，当P在y轴正半轴时和当P在y轴负半轴时，根据表示出，，再分类讨论，若和，分别求出t的值，再求出的长，即可求出点P的坐标． 【小问1详解】 解：当时，， ， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：6，4； 【小问2详解】 当点P在原点上方， 四边形是矩形， ， ， ， ， 即 解得：， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故点P的坐标为； 【小问3详解】 存在，理由如下： 当P在y轴正半轴时，由（2）可知，，， 若， ， ， 无解； 若， ， ， 即， 解得（舍去）， ， 点P的坐标为； 当P在y轴负半轴时， ，， ， ， ， ， ， ， ， 若， ， ， 即 解得（舍去）， ， 点P的坐标为； 若， ， ， 无解； 综上所述：点P的坐标为或 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季期期中教学质量检测九年级数学 （考试时间：120分钟，满分120分） 注意：答案一律填写在答题卡上，在试题卷上作答无效．考试结束将答题卡交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是正确） 1. 下列函数中，反比例函数的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列等式中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，已知，分别是边上的点，且．若，则的值是（　　） A. B. C. D. 4. 如图为人行天桥的示意图，若高长为10米，斜道长为30米，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 5. 已知反比例函数．下列选项正确的是（ ） A. 函数图象在第一、三象限 B. y随x的增大而减小 C. 函数图象在第二、四象限 D. y随x的增大而增大 6. 一元二次方程配方后化为的等式正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 8. 人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若的长都为，当时，人字梯顶端离地面的高度约是___________．（结果精确到0.1m，参考依据： ，（　　） A. 2.1 B. 1.9 C. 1.8 D. 1.6 9. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 10. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、，以原点为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点的坐标为（　　） A. B. C. 或 D. 或 11. 为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在平面直角坐标系中，将平移，得到，点在坐标轴上．若，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 若点在反比例函数（为常数，且）的图象上，则___________． 14. 若，则的值为________． 15. 若是一元二次方程的一个根，则的值是___________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，点都在双曲线上，且点在点的右侧，点的横坐标为，，则的值是___________． 三、解答题（本大题共7题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）解方程：； （2）计算： 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，，与反比例函数的图象交于点．已知点的坐标为，点的坐标为，点在反比例函数的图象上，纵坐标为2． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接，，求四边形的面积． 19. 如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，． （1）求证：； （2）当时，求的长． 20. 在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形愁态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况． （1）统计某电商平台，2024年12月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近两个月月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售量20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？ 21. 如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D．经测得景点C位于景点B的北偏东方向上，位于景点A的北偏东方向上，景点B位于景点D的南偏西方向上．已知． （1）求的度数； （2）求景点C与景点D之间的距离．（结果保留根号） 22. 阅读材料，解答问题： 材料1： 为了解方程如果我们把看成一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，，，，我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2： 已知实数，满足，．且，显然，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，．根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用：方程的解为_________ （2）利用上述方法求下列方程中的值： （3）拓展应用：已知实数，满足，且直接写出的值______． 23. 如图1，已知四边形是矩形，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中，点E以每1个单位的速度从点A出发沿x轴正方向运动，连接，作交y轴于点P，连接交射线于点F，设运动时间为t秒． （1）当时， _____， _____； （2）当点P在原点上方，且时，求t的值和点P坐标； （3）在运动的过程中，是否存在以P，O，E为顶点的三角形与相似．若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $