精品解析：陕西渭南市大荔县东府初级中学2026～2027学年度第一学期第一次阶段性作业九年级数学试卷

2026~2027学年度第一学期第一次阶段性作业 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共4页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，答题卡交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先排除非整式的选项，再根据自变量最高次数判断剩余选项． 【详解】解：A选项自变量最高次数为1，是一次函数，不符合． B选项符合二次函数定义，符合． C选项与D选项的分母均含自变量，不是整式函数，不符合． 2. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：移项得， 提取公因式得， ∴或， 解得，． 3. 若二次函数（、为常数，且）的图象经过点，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把代入得到，再整体代入运算即可． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴把代入可得：， 整理得：， ∴． 4. 已知点在抛物线上，则点关于该抛物线的对称轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合二次函数图象上点的坐标特征与轴对称性质求解． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴将代入解析式得，即点的坐标为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点关于直线对称的点的纵坐标不变，横坐标为，即坐标为． 5. 某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤．如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤即可得出结果． 【详解】解：对于乙的步骤：方程两边同时除以2，得； 故出现错误的是乙同学. 6. 二次函数为常数）的图象如图所示，若关于的方程有实数根，则的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把方程的解的情况，看成抛物线和直线的交点问题，根据方程有实数根，得到两个图像有交点，结合顶点坐标求解． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，顶点坐标为． 函数的最大值为． 关于的方程有实数根， 有实数解，即抛物线与直线有交点． ． 7. 已知一个三角形的两边长分别为、，第三边长是方程的一个根，则这个三角形的周长为（ ） A. 13 B. 12 C. 11或13 D. 12或13 【答案】A 【解析】 【分析】先求解一元二次方程得到第三边的候选值，再结合三角形三边关系筛选有效边长，计算周长． 【详解】解：解得，． 三角形两边长分别为、， 当第三边长为时，，不能构成三角形，舍去； 当第三边长为时，，满足三角形三边关系， 三角形周长为． 8. 二次函数（、为常数，）的图象与轴的交点坐标分别为和，且，下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两根均为正数确定的符号，结合一元二次方程根的判别式、处的函数值判断各选项． 【详解】解：∵二次函数图象与轴交于、，且， ∴，， 由根与系数的关系得，， ∵， ∴，即，故A错误； ∵抛物线与轴有两个不同交点， ∴，即， ∴，故B错误； ∵，抛物线开口向上，且， ∴当时，，即， ∴，故C正确； 取满足的，， 则，得，，得， 此时，故D错误． 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则c的值是______． 【答案】0 【解析】 【分析】把代入得，即可求出c的值． 【详解】解：把代入， 则， 解得． 10. 若一个抛物线与轴的一个交点坐标为，则这个抛物线的函数解析式可以是_________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：设抛物线的解析式为（）. ∵抛物线经过点， ∴将，代入解析式，可得，即， 任意选取满足上述等式且的参数值，即可得到符合要求的解析式， 例如取，，，对应解析式为 验证：当时，，说明该抛物线经过点，满足题干要求． 11. 为将劳动教育纳入人才培养全过程，某高校加大投入，建设校园农场，已知该农场某种作物的年总产量从2023年的增加到2025年的．设该校这种作物总产量平均每年的增长率为，则根据题意可列方程为_________ 【答案】 【解析】 【分析】已知2023年的作物初始产量，经过连续两年的增长得到2025年的最终产量，设年平均增长率为，根据连续增长的数量关系列方程即可． 【详解】解：∵设该校这种作物总产量平均每年的增长率为． ∴2024年的作物总产量为． ∵2025年的产量在2024年的产量基础上按相同的年增长率增长． ∴2025年的作物总产量为． ∵2025年的实际总产量为． ∴可列方程． 12. 已知二次函数（为常数，），当时，的最小值为，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】明确二次函数的开口方向与对称轴位置，结合给定的取值范围，判断函数最小值对应的自变量取值，代入解析式建立方程求解 【详解】解：∵二次函数为顶点式，且， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点是函数的最高点， ∵给定x的取值范围是，对称轴落在该区间内， ∴区间内的函数值随对应点到对称轴距离的增大而减小， 计算区间端点到对称轴的距离： 到的距离为， 到的距离为， ∴当时，函数取得区间内的最小值， 将代入解析式，得最小值为， ∴， 解得：． 13. 对于实数定义一种新运算：，例如．若是方程的两个根，则的值为_________． 【答案】10 【解析】 【分析】先根据新运算规则将给定方程转化为标准一元二次方程，再结合方程根的定义与根与系数的关系，通过整体代入法计算所求代数式的值，无需求解方程的具体根． 【详解】解：∵新运算定义为， ∴代入，，可得， ∵是该方程的根， ∴将代入方程得，即， ∵对于一元二次方程，由根与系数的关系可得两根之积， ∴将，代入所求代数式可得． 14. 如图，已知顶点A的坐标为，点B在y轴上，且轴，过B，C，D三点的抛物线的顶点坐标为，则的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线顶点坐标设出顶点式，利用平行四边形性质及抛物线对称性确定长度，进而得到长度及点坐标，求出抛物线解析式后得到点纵坐标，最后利用平行四边形面积公式求解． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的表达式为， 四边形是平行四边形， 轴，， 点与点关于抛物线对称轴对称， 点在轴上， 点的横坐标为，点的横坐标为， ， ， 点的坐标为，轴， 点的坐标为， 将点代入抛物线中得， 解得． 抛物线的表达式为， 令，得， 点的坐标为， 边上的高为， 平行四边形的面积为． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】先找出a，b，c，再求出的值，根据求根公式即可求出答案． 【详解】解：， ， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有提公因式法、公式法，因式分解法等，根据方程的系数特点灵活选择恰当的方法进行求解是解题的关键． 16. 已知二次函数（为常数），求该二次函数图象的开口方向． 【答案】该二次函数图象开口向下 【解析】 【分析】由二次函数的定义求出，从而可得二次函数的解析式为，再结合二次函数的性质即可得出结果． 【详解】解：由题意可得， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为， ∴该二次函数图象开口向下． 17. 已知代数式的值比代数式的值大3，求的值． 【答案】或 【解析】 【分析】根据两个代数式的大小关系列一元二次方程，通过配方法求解即可． 【详解】解：根据题意列等式，得 ， ， ， ， 开平方得 解得 综上所述，的值为或． 18. 将抛物线向上平移3个单位长度后得到新的抛物线，判断点是否在新抛物线上，并说明理由． 【答案】点不在新抛物线上，理由如下： ∵原抛物线解析式为，向上平移3个单位长度， ∴新抛物线解析式为，即， 将代入，得， ∵， ∴点不在新抛物线上． 【解析】 【分析】由二次函数的平移法则可得新抛物线解析式为，再求出当时的值，从而即可得出结果． 【详解】略． 19. 如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，点M是二次函数图象的顶点，连接AM、BM，求的面积． 【答案】8 【解析】 【分析】先根据，确定点A，点B的坐标，抛物线的顶点坐标，根据，解答即可． 【详解】解：根据题意，得二次函数的图象与x轴交于A、B两点， 令， 得， 解得． ， ， ， ， ∴． 20. 已知关于的一元二次方程，求证：无论取何值，方程都没有实数根． 【答案】证明：对于一元二次方程， ，，， 根的判别式 ． 无论取何值，都有， ， ，即， 无论取何值，方程都没有实数根． 【解析】 【分析】先确定，，，代入，化简得；再由，推出，即，从而方程没有实数根． 【详解】见答案 21. 近年来，各地深挖传统文化，结合现代设计推出文创潮品，既拉近文物与公众距离，又推动文化产业发展与消费升级．我省晋祠景区设置了一块矩形文创展销区，已知该展销区的长比宽多2米，为迎接旅游旺季，工作人员计划对该展销区进行扩建，从而可多摆放一些文创展示架；若将该展销区的长和宽分别增加3米，则扩建后展销区的面积为48平方米，求原矩形文创展销区的长和宽． 【答案】原矩形文创展销区的长为5米，宽为3米 【解析】 【分析】通过设原矩形的宽为未知数，根据长与宽的关系表示出长，再结合扩建后的面积列出方程求解即可． 【详解】解：设原矩形文创展销区的宽为米，因为长比宽多米，所以长为米， 则扩建后的宽为米，扩建后的长为米， ∴， 解方程得（宽度不能为负，舍去）， ∴， ∴原矩形文创展销区的长为5米，宽为3米． 22. 已知二次函数，利用描点法画该函数图象列表如下： x … 0 1 2 3 5 … y … 5 0 m n … （1）上表中，___________，___________； （2）①在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； ②观察图象，当时，函数y的取值范围是___________． 【答案】（1）， （2）①画出二次函数的图象如图所示： ② 【解析】 【分析】（1）将，分别代入计算即可得出结果； （2）①根据表格描点、连线即可画图；②根据函数图象即可得出结果． 【小问1详解】 解：在中，当时，，即， 当时，，即； 【小问2详解】 解：①图略； ②观察图象，当时，函数y的取值范围是． 23. 关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 【答案】（1）． （2）． 【解析】 【分析】第问由“有两个不相等的实数根”得，解关于的不等式，求出的取值范围； 第问先用韦达定理写出、，代入条件后得到关于的一元一次方程，解出后还必须回到第问所得的范围中检验． 【小问1详解】 解：方程有两个不相等实数根 【小问2详解】 解：根据根与系数的关系：， 代入条件： 检验：，满足范围，． 24. 综合与实践： 【项目主题】探究新款迷你无人机校园营销案． 【项目背景】某校科技实践小组计划引入一批符合国家微型无人机标准、具备简易编程模块的新款迷你无人机，作为教育实践器材，并希望通过校园营销活动筹集社团活动经费． 【项目实施】校园调查发现该迷你无人机的进价为每架元，当售价定为每架元时，每天能销售架，每架的售价每降低1元，每天可多销售架． （1）设每天销售获得的利润为元，每架迷你无人机的售价应降低元，求与之间的函数关系式； （2）当每架迷你无人机的售价降低多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）（）． （2）当每架迷你无人机的售价降低元时，每天获得的利润最大，最大利润是元． 【解析】 【分析】第问先根据利润问题的基本等量关系，建立总利润和降价金额之间的函数关系，结合实际意义确定自变量取值范围； 第问利用二次函数的图像性质，判断开口方向，找到顶点位置，验证顶点在取值范围内后求出最大利润． 【小问1详解】 解：每架降价元后，单件利润为， 每天销量为． 由“总利润单件利润销量”得： 售价不能低于进价，，即． ∴ 【小问2详解】 解： 中，，抛物线开口向下，顶点处取最大值． 顶点横坐标：， 在内， 当时取最大值． 代入得： ． 答：当每架售价降低元时，每天获得的利润最大，最大利润为元． 25. 如图1是该沙漠边缘地区常见的抛物线状沙丘（一种风积地貌），其平面轮廓呈抛物线状．如图2，已知某一抛物线状沙丘两翼端点的水平距离，沙丘弧顶最高点P到的距离为，抛物线的对称轴垂直于，以所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，现计划从点M到点N种植一排胡杨（M、N在抛物线上，点M在点N的左侧）． （1）求抛物线状沙丘的函数表达式； （2）轴于点E，轴于点F，若，求M、N两点之间的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，主要考查待定系数法求二次函数解析式，已知自变量值求函数值等．正确理解题意是关键； （1）先求出顶点坐标，再设该抛物线的表达式，再将代入即可得到； （2）将代入（1）中求得的解析式中即可求出答案． 【小问1详解】 解：根据题意可得抛物线状沙丘的顶点坐标为， 故设抛物线的函数表达式为． 将点代入，得， 解得， 抛物线状沙丘的函数表达式为． 【小问2详解】 解：令，得， 解得，， ， 、两点之间的距离为． 26. 【问题探究】 （1）如图1，是等腰直角三角形，，，点为边上一点（不与端点重合），连接，以为直角顶点，在右侧作等腰直角三角形，连接，设，的面积为． ①的长为___________； ②求关于的函数解析式． 【问题解决】 （2）图2是某公园计划修建主题活动区域的示意图，，在上找一点，在上方找一点，连接、、，将区域修建为体育健身活动区域，将区域修建为文艺活动表演区域，根据规划要求，设的长为，的面积为．求与之间的函数关系式，并求出当的值为时，的面积． 【答案】（1）①4；② （2）， 【解析】 【分析】（1）①根据勾股定理，得； ②首先证明，得到，利用直角三角形的面积公式，求解即可． （2）连接，证明都是等边三角形，过点E作交的延长线于点H，根据，，得到；过点A作于点G，利用等边三角形的性质，勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：①∵，， ∴； ②解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为， ∴． 【小问2详解】 解：如图，连接， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ∵， ∴， ∴， 过点E作交的延长线于点H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的长为， ∴，， ∴， ∵的面积为 ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴； 当时，得， 整理，得， 解得， ∵， ∴舍去， 故， 过点A作于点G， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年度第一学期第一次阶段性作业 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共4页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，答题卡交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 3. 若二次函数（、为常数，且）的图象经过点，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知点在抛物线上，则点关于该抛物线的对称轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤．如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 二次函数为常数）的图象如图所示，若关于的方程有实数根，则的取值范围是（） A. B. C. D. 7. 已知一个三角形的两边长分别为、，第三边长是方程的一个根，则这个三角形的周长为（ ） A. 13 B. 12 C. 11或13 D. 12或13 8. 二次函数（、为常数，）的图象与轴的交点坐标分别为和，且，下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则c的值是______． 10. 若一个抛物线与轴的一个交点坐标为，则这个抛物线的函数解析式可以是_________．（写出一个即可） 11. 为将劳动教育纳入人才培养全过程，某高校加大投入，建设校园农场，已知该农场某种作物的年总产量从2023年的增加到2025年的．设该校这种作物总产量平均每年的增长率为，则根据题意可列方程为_________ 12. 已知二次函数（为常数，），当时，的最小值为，则的值为_________． 13. 对于实数定义一种新运算：，例如．若是方程的两个根，则的值为_________． 14. 如图，已知顶点A的坐标为，点B在y轴上，且轴，过B，C，D三点的抛物线的顶点坐标为，则的面积为___________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 16. 已知二次函数（为常数），求该二次函数图象的开口方向． 17. 已知代数式的值比代数式的值大3，求的值． 18. 将抛物线向上平移3个单位长度后得到新的抛物线，判断点是否在新抛物线上，并说明理由． 19. 如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，点M是二次函数图象的顶点，连接AM、BM，求的面积． 20. 已知关于的一元二次方程，求证：无论取何值，方程都没有实数根． 21. 近年来，各地深挖传统文化，结合现代设计推出文创潮品，既拉近文物与公众距离，又推动文化产业发展与消费升级．我省晋祠景区设置了一块矩形文创展销区，已知该展销区的长比宽多2米，为迎接旅游旺季，工作人员计划对该展销区进行扩建，从而可多摆放一些文创展示架；若将该展销区的长和宽分别增加3米，则扩建后展销区的面积为48平方米，求原矩形文创展销区的长和宽． 22. 已知二次函数，利用描点法画该函数图象列表如下： x … 0 1 2 3 5 … y … 5 0 m n … （1）上表中，___________，___________； （2）①在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； ②观察图象，当时，函数y的取值范围是___________． 23. 关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 24. 综合与实践： 【项目主题】探究新款迷你无人机校园营销案． 【项目背景】某校科技实践小组计划引入一批符合国家微型无人机标准、具备简易编程模块的新款迷你无人机，作为教育实践器材，并希望通过校园营销活动筹集社团活动经费． 【项目实施】校园调查发现该迷你无人机的进价为每架元，当售价定为每架元时，每天能销售架，每架的售价每降低1元，每天可多销售架． （1）设每天销售获得的利润为元，每架迷你无人机的售价应降低元，求与之间的函数关系式； （2）当每架迷你无人机的售价降低多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 25. 如图1是该沙漠边缘地区常见的抛物线状沙丘（一种风积地貌），其平面轮廓呈抛物线状．如图2，已知某一抛物线状沙丘两翼端点的水平距离，沙丘弧顶最高点P到的距离为，抛物线的对称轴垂直于，以所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，现计划从点M到点N种植一排胡杨（M、N在抛物线上，点M在点N的左侧）． （1）求抛物线状沙丘的函数表达式； （2）轴于点E，轴于点F，若，求M、N两点之间的距离． 26. 【问题探究】 （1）如图1，是等腰直角三角形，，，点为边上一点（不与端点重合），连接，以为直角顶点，在右侧作等腰直角三角形，连接，设，的面积为． ①的长为___________； ②求关于的函数解析式． 【问题解决】 （2）图2是某公园计划修建主题活动区域的示意图，，在上找一点，在上方找一点，连接、、，将区域修建为体育健身活动区域，将区域修建为文艺活动表演区域，根据规划要求，设的长为，的面积为．求与之间的函数关系式，并求出当的值为时，的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $