精品解析：陕西省渭南市大荔县2025～2026学年上学期期中检测九年级数学试卷

大荔县2025-2026学年度第一学期期中检测 九年级数学 注意事项： 1．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则a的值为（） A. 3 B. C. 9 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解；将已知根代入方程，直接求解参数即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即， ∴． 因此，a的值为． 故选：D． 2. 纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯．下列纹样中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义．寻找对称中心、对称轴是解题的关键；轴对称图形是指一个图形可以沿着一条直线（‌对称轴）‌折叠，‌使得直线两侧的图形能够完全重合；‌中心对称图形则是指一个图形可以绕着一个点（‌对称中心）‌旋转，‌使得旋转前后的图形互相重合．‌根据轴对称图形和中心对称的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不符合题意； B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项不符合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项符合题意； D．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故选项不符合题意； 故选：C． 3. 方程的根是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程的解法，解题关键是直接开方会得到正负两个值，然后分别求解即可．通过直接开平方的方法求解方程，得到两个根． 【详解】解：∵， ∴或， 当时，， 当时，， ∴方程的根为， 故选：A． 4. 如图，将绕着点逆时针旋转得到，使得点的对应点落在的延长线上，若，则线段的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质可得，则，即可求解． 【详解】解：∵将绕着点逆时针旋转得到，， ∴， ∴， 故选：B． 5. 陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，陀螺的底部是一个圆锥的造型．如图，圆锥底面圆的半径为，母线长为，则此圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥和扇形的计算等知识点，掌握扇形的面积公式、弧长公式是解题的关键． 根据圆的周长公式可得圆锥的底面周长为：，即圆锥侧面扇形的弧长为，再根据圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2求解即可． 【详解】解：∵圆锥底面圆的半径为， ∴圆锥的底面周长为：，即圆锥侧面扇形的弧长为， ∴此圆锥的侧面积为：． 故选：D． 6. 在平面直角坐标系中，抛物线关于轴对称的抛物线的解析式为(　 　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，利用原抛物线上的关于轴对称的点的特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数就可以解答． 【详解】解：抛物线关于轴对称的抛物线的解析式为， 即解析式为：． 故选：A． 7. 如图1，唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船，如图2，某桨轮船的轮子可看作圆，被水面截得的弦长为8m，轮子的吃水深度为2m，半径于点D，则该桨轮船的轮子直径为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理．设半径为，再根据圆的性质及勾股定理，可求出答案． 【详解】解：如图，连接， 设半径为，则， ， ，， ， 在中，有 ，即， 解得， 则该桨轮船的轮子直径为， 故选D． 8. 如图，已知二次函数（、、均为常数，且）的图象与轴交于点，顶点为，则下列选项中错误的是（ ） A. B. C. D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，确定二次函数与轴的另一交点是解题关键． 利用二次函数的对称轴、顶点坐标、与轴的交点，结合二次函数的系数特征分析选项． 【详解】解： 已知函数顶点为，对称轴为． 选项：由图像开口向下，可得，当，图像与轴交点在正半轴，可得，故，正确； 选项：由图像与轴交点为，对称轴为，根据二次函数的对称性可得图像与轴另一交点为，代入函数解析式可得，正确； 选项：由对称轴为，可得对称轴，即，，不正确； 选项：当时，，其对称点为，由图像开口向下，故时，，正确． 综上，错误选项为. 故选：. 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 已知一个一元二次方程的一个根为，则这个一元二次方程可以是___________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查根据一元二次方程的根构造方程，根据题意写出一个以为根的一元二次方程即可． 【详解】解：∵一元二次方程有一个根为， ∴这个一元二次方程可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 10. 如图，是的内接正多边形的一条边，连接、，，则这个正多边形的边数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆内接正多边形的中心角性质，掌握“正多边形的边数=单个中心角的度数”是解题关键． 圆内接正多边形的每个中心角相等，且所有中心角之和为，据此进行计算． 【详解】解：圆内接正多边形的中心角之和为，且每个中心角相等． 已知该正多边形的一个中心角，设正多边形的边数为，则： ． 故答案为：． 11. 有这样一个古算题：“今有诸侯会盟，相见两两揖让．礼毕，共揖十五次．问诸侯几何？”译文：诸侯会盟，每两人相互行礼一次，行礼总次数为15次，若设诸侯有个人，则根据题意可列方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用（握手问题），解题的关键是理解每两人相互行礼一次的总次数为握手数． 通过分析诸侯人数与行礼次数的握手关系，列出对应的方程． 【详解】解：设有个诸侯，每个诸侯需与其余个诸侯行礼，但每两人之间的行礼会被重复计算一次，因此实际总行礼次数为， 已知总行礼次数为15次，所以可列方程：． 故答案为：． 12. 如图，是的直径，连接，，点在上，连接，，若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理. 先根据圆周角定理可得，再根据三角形内角和计算即可． 【详解】解：由圆周角定理可得，， ， 故答案为：． 13. 对于任意函数，定义当时，若函数值，称为此函数的不动点．例如函数，当时，则点为此函数的不动点．则二次函数的不动点为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与方程的关系，解题的关键是理解并掌握不动点的概念． 根据题意得出，代入函数求解即可． 【详解】解：根据题意得：当时，若函数值，称为此函数的不动点， 即， ∴ ，整理得：， 解得：或， ∴二次函数的不动点为或， 故答案为：或． 14. 如图，已知正方形、正方形的边长分别为4，1，将正方形绕点A旋转，连接，点M是的中点，连接，则线段的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，取的中点O，连接，则易得．由于O点时定点，的长为定值，由此可得M点的运动轨迹是以O点为圆心，以为半径的圆．当过圆心时，的值最大，求出的长，再加上的长，即可得的最大值． 【详解】 如图，连接，取的中点O，连接 ∵正方形的边长分别为1， ． ∵O是的中点，M是的中点， ， ∴M点的运动轨迹是以O点为圆心，以为半径的圆． 连接并延长交于H点， 当M点运动到H点时，的值最大． ∵正方形的边长分别为4， ， ， ， ， 即CM的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形中位线的性质、勾股定理、动点轨迹问题，以及圆外一点到圆上各点的最值问题．见中点，想中位线．找到M点的运动轨迹是解题的关键． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键， 通过提取公因式、移项、整理，然后利用因式分解法解一元二次方程即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ∴或， 解得：，． 16. 已知抛物线（为常数）的顶点的横坐标为1，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，利用二次函数顶点横坐标公式求解即可． 【详解】解：对于二次函数 ，顶点横坐标为， ，， 顶点横坐标为， 根据题意，顶点横坐标为1， ∴， 解得． 17. 如图，四边形是的内接四边形，，连接，若，求劣弧的长．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求弧长，圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据圆内接四边形的性质得到，由圆周角定理得到，根据弧长公式即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴劣弧的长： 18. 如图，点在的直径上，请用尺规作图法作一条经过点的弦，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，弦即为所求，（作法不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了尺规基本作图——经过一点作直线的垂线，垂径定理，过作直径垂线，然后通过垂径定理即可求证，解题的关键是掌握垂径定理和经过直线上一点尺规作直线的垂线的方法． 【详解】解：由作图可知，， ∵是的直径， ∴． 19. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，连接，求证：． 【答案】 证明：∵是由绕点逆时针旋转得到的， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 利用旋转的性质准备全等的条件，再根据证明，根据全等三角形的性质证明即可． 【详解】略 20. 已知二次函数，当时，函数的最大值为m，最小值为n，求的值． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，利用二次函数的增减性是解题的关键． 首先利用二次函数的性质，判断二次函数开口向下，顶点在区间内，即可求解y的最大值在顶点处；再计算区间端点对应的y的值，判断最小值，最后计算的值即可． 【详解】解：∵，对称轴为， ∴二次函数开口向下，顶点坐标为， ∴在区间内，当时，取最大值4； 当时，； 当时，； ∴，， ∴． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为． （1）若和关于原点成中心对称，且点的对应点分别为点，请在图中画出； （2）画出将绕原点按顺时针方向旋转得到的（点的对应点分别为点）． 【答案】（1） 解：即为所求作； （2） 解：即为所求作． 【解析】 【分析】本题考查了作图﹣旋转变换及中心对称作图． （1）分别作出点A、点B、点C关于原点的对称点，再顺次连接即可得； （2）分别作出点A、点B、点C绕原点O顺时针方向旋转得到的对应点，顺次连接即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，内接于，且是的直径，将弦绕点顺时针旋转得到线段，此时点的对应点恰好落在上，连接并延长，交于点，连接． （1）求的度数； （2）若，求图中阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由旋转可知，，则可得，，则，再由，可得，即可得． （2）阴影部分的面积可用求得． 【小问1详解】 解：由旋转可知，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）可知， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质、圆周角定理、扇形面积和三角形面积的计算．圆中求角度就找同弧或等弧所对的角和利用三角形的内角和等；计算扇形面积就找圆心角和半径，圆中阴影部分的面积往往利用到图形的面积差来求解． 23. 某超市销售一款洗手液，这款洗手液的成本为每瓶元，当销售单价为每瓶元时，每天的销售量为瓶．经市场调查发现，销售单价每上涨元，每天的销售量将减少瓶．若设这款洗手液的销售单价上涨元． （1）每天的销售量为______瓶；（用含的代数式表示）； （2）若要使这款洗手液每天的销售利润达到元，则销售单价应上涨多少元？ 【答案】（1）； （2）销售单价应上涨元或元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，读懂题目列出方程是解题的关键． （）根据题意列出代数式即可； （）依题意得，然后解方程即可． 【小问1详解】 解：∵销售单价每上涨元，每天的销售量将减少瓶， ∴当这款洗手液的销售单价上涨元时，每天的销售量为瓶， 故答案为：； 【小问2详解】 解：依题意得：， 解得：，， 答：销售单价应上涨元或元． 24. 如图，是的直径，弦于点，连接，过点作于点，交于点，连接，过点的直线分别交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）2 【解析】 【分析】（1）证明，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）连接，证明，则，设，则，则，在中得到，求出方程即可求出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， 在△和△中， ， ， ， 设，则， ， 在△中有：，即：， （舍去）， ． 【点睛】此题是圆的综合题，考查了切线的判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理、圆周角定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 25. 如图，是某船停在水上的示意图．此船轮廓线可以看作抛物线的一部分，船的吃水宽度米，最大吃水深度为米（即抛物线的顶点到水面的距离为米）．以点为原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求该船轮廓线所在抛物线的解析式； （2）已知船头高出水面2米（即点到水面的距离为2米），求船头到点的水平距离． 【答案】（1） （2）米． 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求出函数解析式是关键． （1）求出抛物线的顶点，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出当时的自变量的值，根据题意选择合适的解即可． 【小问1详解】 解：∵船的吃水宽度米，最大吃水深度为米（即抛物线的顶点到水面的距离为米）． ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为，把代入得到 解得 ∴该船轮廓线所在抛物线的解析式为； 【小问2详解】 当时，， 解得（不合题意，舍去） ∴船头到点的水平距离为米． 26. 【问题探究】 （1）如图1，已知的半径是3，点是上的一个动点，点是平面内一点，连接，，则线段的最大值为___________； 【问题延伸】（2）如图2，在中，，点是边上的一个动点，连接，过点作于点，连接，求线段的最小值； 小亮同学思考如下：由知，则点在以为直径的圆上，如图2，以为直径作，连接交于点，则当三点共线（即点与点重合）时，取得最小值，即为． 请你根据小亮同学的思路，写出解题过程； 【拓展提升】 （3）如图3，某景区有一片油菜花地，形状由和以为直径的半圆（左侧）两部分构成，已知米，，，为了方便游客游览，该景区计划对油菜花地进行改造，根据设计要求，在半圆上确定一点，沿修建小路，并在的中点处修建一个凉亭，沿修建仿古长廊，由于仿古长廊造价很高，为了控制成本，景区要求仿古长廊的长度尽可能短，若不考虑其他因素，求仿古长廊长度的最小值．（小路、长廊宽度及凉亭大小忽略不计） 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】本题考查圆外一点到圆上点距离的最值，圆周角定理，中位线定理，勾股定理，矩形的判定和性质等，通过作辅助线判断出点F的运动轨迹是解题的关键． （1）点A位于直线与的左侧交点时，取最大值； （2）根据可得点F在以为直径的半圆上，设的中点为E，连接，与点F的运动轨迹交于点，则的长度即为的最小值； （3）连接，，取中点为M，中点为N，连接，，，证明，推出点F在以为直径的左侧半圆上，连接，与点F的运动轨迹交于点，则的长度即为的最小值． 【详解】解：（1） 如图，当点A位于直线与的左侧交点时，取最大值， 最大值为：， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴点F在以为直径的半圆上， 如图，设的中点为E，连接，与点F的运动轨迹交于点， 则的长度即为的最小值． ∵，中点为E， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即CF的最小值为． （3）∵，，， ∴， ∴， ∴． 如图，连接，，取中点为M，中点为N，连接，，，   ∵点E在以为直径的半圆上， ∴， ∵中点为M，中点为F，中点为N， ∴为的中位线，为的中位线，为的中位线， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴点F在以为直径的左侧半圆上， 取中点为O，作于点K，得矩形，连接，与点F的运动轨迹交于点，则的长度即为的最小值． ∵，中点为O，，中点为N， ∴，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大荔县2025-2026学年度第一学期期中检测 九年级数学 注意事项： 1．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则a的值为（） A. 3 B. C. 9 D. 2. 纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯．下列纹样中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 方程的根是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将绕着点逆时针旋转得到，使得点的对应点落在的延长线上，若，则线段的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 5. 陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，陀螺的底部是一个圆锥的造型．如图，圆锥底面圆的半径为，母线长为，则此圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，抛物线关于轴对称的抛物线的解析式为(　 　) A. B. C. D. 7. 如图1，唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船，如图2，某桨轮船的轮子可看作圆，被水面截得的弦长为8m，轮子的吃水深度为2m，半径于点D，则该桨轮船的轮子直径为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知二次函数（、、均为常数，且）的图象与轴交于点，顶点为，则下列选项中错误的是（ ） A. B. C. D. 若，则 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 已知一个一元二次方程的一个根为，则这个一元二次方程可以是___________．（写出一个即可） 10. 如图，是的内接正多边形的一条边，连接、，，则这个正多边形的边数为___________． 11. 有这样一个古算题：“今有诸侯会盟，相见两两揖让．礼毕，共揖十五次．问诸侯几何？”译文：诸侯会盟，每两人相互行礼一次，行礼总次数为15次，若设诸侯有个人，则根据题意可列方程为___________． 12. 如图，是的直径，连接，，点在上，连接，，若，则的度数为______． 13. 对于任意函数，定义当时，若函数值，称为此函数的不动点．例如函数，当时，则点为此函数的不动点．则二次函数的不动点为_____． 14. 如图，已知正方形、正方形的边长分别为4，1，将正方形绕点A旋转，连接，点M是的中点，连接，则线段的最大值为________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 16. 已知抛物线（为常数）的顶点的横坐标为1，求的值． 17. 如图，四边形是的内接四边形，，连接，若，求劣弧的长．（结果保留） 18. 如图，点在的直径上，请用尺规作图法作一条经过点的弦，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，连接，求证：． 20. 已知二次函数，当时，函数的最大值为m，最小值为n，求的值． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为． （1）若和关于原点成中心对称，且点的对应点分别为点，请在图中画出； （2）画出将绕原点按顺时针方向旋转得到的（点的对应点分别为点）． 22. 如图，内接于，且是的直径，将弦绕点顺时针旋转得到线段，此时点的对应点恰好落在上，连接并延长，交于点，连接． （1）求的度数； （2）若，求图中阴影部分的面积．（结果保留） 23. 某超市销售一款洗手液，这款洗手液的成本为每瓶元，当销售单价为每瓶元时，每天的销售量为瓶．经市场调查发现，销售单价每上涨元，每天的销售量将减少瓶．若设这款洗手液的销售单价上涨元． （1）每天的销售量为______瓶；（用含的代数式表示）； （2）若要使这款洗手液每天的销售利润达到元，则销售单价应上涨多少元？ 24. 如图，是的直径，弦于点，连接，过点作于点，交于点，连接，过点的直线分别交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 25. 如图，是某船停在水上的示意图．此船轮廓线可以看作抛物线的一部分，船的吃水宽度米，最大吃水深度为米（即抛物线的顶点到水面的距离为米）．以点为原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求该船轮廓线所在抛物线的解析式； （2）已知船头高出水面2米（即点到水面的距离为2米），求船头到点的水平距离． 26. 【问题探究】 （1）如图1，已知的半径是3，点是上的一个动点，点是平面内一点，连接，，则线段的最大值为___________； 【问题延伸】（2）如图2，在中，，点是边上的一个动点，连接，过点作于点，连接，求线段的最小值； 小亮同学思考如下：由知，则点在以为直径的圆上，如图2，以为直径作，连接交于点，则当三点共线（即点与点重合）时，取得最小值，即为． 请你根据小亮同学的思路，写出解题过程； 【拓展提升】 （3）如图3，某景区有一片油菜花地，形状由和以为直径的半圆（左侧）两部分构成，已知米，，，为了方便游客游览，该景区计划对油菜花地进行改造，根据设计要求，在半圆上确定一点，沿修建小路，并在的中点处修建一个凉亭，沿修建仿古长廊，由于仿古长廊造价很高，为了控制成本，景区要求仿古长廊的长度尽可能短，若不考虑其他因素，求仿古长廊长度的最小值．（小路、长廊宽度及凉亭大小忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $