精品解析：上海市华东师范大学附属东昌中学2026-2027学年第一学期期中考试高二数学试卷

华东师范大学附属东昌中学 2026学年第一学期期中考试高二数学试卷 一、填空题：（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，共54分） 1. 复数（其中为虚数单位）的虚部是______． 【答案】-1 【解析】 【分析】根据复数的概念可知. 【详解】由题可知：的虚部是-1. 故答案为：-1 2. 直线的倾斜角______． 【答案】（或 ） 【解析】 【分析】先把直线方程化为斜截式求出斜率，再根据斜率与倾斜角的关系，结合倾斜角的取值范围确定最终角度. 【详解】因为 ， 所以 所以直线的斜率 设直线的倾斜角为 （），则 所以（即 弧度）. 答案为：（或 ）. 3. 已知向量，则经过点且与垂直的直线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据向量垂直得出斜率，再点斜式得出直线方程进而得出一般式. 【详解】因为向量，则与垂直的直线方程斜率为， 则经过点且与垂直的直线方程为， 即得 故答案为： 4. 已知直线与，则直线与的夹角大小是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据直线的斜率求出直线的倾斜角，再利用两条直线倾斜角的大小求出两条直线的夹角. 【详解】直线的斜率为，设直线的倾斜角为，由，可得； 直线的斜率为，设直线的倾斜角为，由，可得； 所以直线与的夹角. 故答案为：. 5. 已知向量，，若，则实数________． 【答案】 【解析】 【分析】将向量模长的等式两边平方，化简得到两向量的点积为0，再代入坐标运算求解的值. 【详解】因为，所以  因为 ，  所以  ，即，因此， 因为，， 所以  ，解得. 6. 直线必过定点________． 【答案】 【解析】 【详解】直线整理为：， 令， 解得，， 所以直线必过定点. 7. 过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|AB|＝________． 【答案】8 【解析】 【分析】先确定抛物线中，焦点F(1，0)，再利用定义计算，即得结果. 【详解】抛物线y2＝4x中，，焦点F(1，0)，而直线AB过焦点F(1，0)， 故根据抛物线定义可知. 故答案为：8. 8. 已知实数满足方程，则的取值范围是_____ 【答案】 【解析】 【分析】设，数形结合以及点到直线的距离即可求解. 【详解】，圆心为，， 设，， 当直线与圆相切时， ，， 所以的取值范围是. 故答案为： 【点睛】本题考查了直线的斜率公式、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式的应用，属于基础题. 9. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，直线与直线平行，则三角形ABC是________三角形． 【答案】等腰 【解析】 【分析】根据两直线平行的充要条件得到边角等式，结合正弦定理与三角恒等变换判断三角形形状． 【详解】已知直线与直线平行， 所以且. 由正弦定理，， 又，所以. 此时，所以也成立. 所以为等腰三角形． 10. 若直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据直线方程写出其所过定点，结合其与椭圆的位置关系，可得答案. 【详解】由直线，则可知其过定点， 易知当该点在椭圆内或椭圆上时，直线与椭圆恒有公共点， 则，解得且. 故答案为：且. 11. 设，分别是椭圆：（）的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，且，，则椭圆的离心率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用椭圆的定义表示，再结合直角三角形勾股定理建立与的关系，进而求得离心率. 【详解】设，则，， 根据椭圆定义，，， 又因为，所以在中， 即，解得，则，， 则在中，，即， 所以故离心率. 12. 已知O为坐标原点，向量满足，将绕点O按逆时针方向旋转，得到向量．若，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，进而得，结合分析得到的轨迹为一个椭圆，并确定椭圆的右顶点坐标，再利用向量数量积的坐标表示，将问题化为求的截距最大，即最大且该直线过点，即可求最值. 【详解】设，则，故， 所以，则，故， 由， 即到原点距离与到的距离之和为8， 易知的轨迹为一个椭圆，且，，如下图， 若为椭圆的右顶点，则，且直线， 易知，即， 由，令①， 所以，要使最大，只需的截距最大，即最大， 结合图知，该直线过点即可，将代入①，有. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：首先得到的轨迹为一个椭圆及其右顶点坐标，再应用向量数量积的坐标表示化为求最大为关键. 二、选择题：（第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分） 13. 若点到直线的距离都等于7，则直线的不同位置有（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 无数种 【答案】C 【解析】 【分析】分直线l的斜率不存在、存在两种情况讨论，再利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】 由题意可得， 所以当直线的斜率不存在时可得； 当直线的斜率为零时可得或， 故选：C. 14. 一条光线从点射出，与轴交于点，经轴反射，则反射光线经过的点的坐标可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得到点关于轴对称的点为，利用反射光线经过点和点即可求解. 【详解】 如图所示，点关于轴对称的点为， 因为反射光线同时经过点和点，且，所以反射光线所在直线的方程为，即， 所以反射光线经过的点的坐标为，故反射光线经过的点的坐标可以为，故A正确. 15. 设为椭圆上一动点，、分别为圆和圆上的动点，则不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得两个圆心恰好是椭圆的焦点，结合椭圆的定义，再根据圆外一点到圆上点的距离最小值为点到圆心距离减半径，圆外一点到圆上点的距离最大值为点到圆心距离加半径，求出的取值范围，即可得到答案. 【详解】椭圆的两个焦点坐标为，，恰好为两个圆的圆心坐标， 圆的半径，圆的半径， 由椭圆的定义可得， 当椭圆上动点与焦点连线与圆相交于时，最小，最小值为， 当椭圆上动点与焦点连线的反向延长线与圆相交于时，最大，最大值为， 所以. 故选：D. 16. 关于曲线下列说法：①关于点对称；②关于直线轴对称；③关于直线对称；④曲线是封闭图形，面积小于；⑤曲线是封闭图形，面积大于；⑥曲线不是封闭图形无法计算面积.其中正确的序号（ ） A. ①②⑥ B. ①②⑤ C. ①②④ D. ②③⑥ 【答案】B 【解析】 【分析】将、和代入曲线方程可确定①②③的正误；根据的范围，结合当时，可确定曲线围成封闭图形的面积大于圆的面积，知④⑤⑥正误. 【详解】对于①，将代入曲线方程得：， 曲线关于点对称，①正确； 对于②，将代入曲线方程得：， 曲线关于直线轴对称，②正确； 对于③，将代入曲线方程得：，与曲线方程不同， 曲线不关于直线对称，③错误； 对于④⑤⑥，由知：，，则曲线为封闭图形； 在曲线上取一点， 当时，，，即点在圆外， 曲线围成封闭图形的面积大于圆的面积，⑤正确，④⑥错误. 故选：B. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）（解答下列各题必须写出必要的步骤） 17. 已知的三个顶点坐标分别为、、． （1）求的边上的高所在的直线方程． （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据高线的性质，结合互相垂直直线的斜率关系，结合直线点斜式方程进行求解即可； （2）根据点到直线距离公式、两点间距离公式、三角形面积公式进行求解即可. 【小问1详解】 解：∵，， ∴AB的斜率 ， ∴AB边高线斜率，又， ∴AB边上的高线方程为. 【小问2详解】 解：直线AB的方程为，即， 顶点C到直线AB的距离为， 又， ∴的面积 . 18. 设． （1）当函数的最小正周期为时，求在上的最大值； （2）若，且在中，角、、所对的边长为、、，锐角满足，，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的最小正周期求出，即可得到的解析式，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）依题意可得，即可求出，由数量积的定义求出，再由余弦定理及基本不等式求出的最小值. 【小问1详解】 因为且函数的最小正周期为， 所以，解得，所以， 则， 由，则， 所以当，即时取得最大值. 【小问2详解】 当时，，则， 因为，所以，则，解得； 因为，所以， 由余弦定理， 得，所以，当且仅当时取等号， 故的最小值为. 19. 设直线l为我国领海与公海的分界线．某海防巡逻艇在A处发现其北偏东方向B处有一艘走私船．已知巡逻艇的最高航速是走私船航速的2倍．目前A处距离公海边界线的垂直距离为6海里，走私船可能以任意方向逃窜．设A，B两处的距离为d海里（），请以A为坐标原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系解决下列问题． （1）若巡逻艇与走私船同时出发，均沿直线航行，若巡逻艇在P点将走私船成功截获，求截获点P的轨迹方程； （2）为了保证无论走私船向哪个方向逃窜，巡逻艇都能将其拦截在我国领海内（即截获区域不能越过边界线l），求A，B相距最远多少海里？ 【答案】（1）； （2）海里. 【解析】 【分析】（1）根据速度比将问题转化为点满足的轨迹问题，设出坐标代入两点间距离公式化简即可； （2）要保证拦截在领海内，需使截获轨迹圆整体位于边界线下方或相切，即圆心纵坐标与半径之和不大于6，解不等式即可求出的最大值. 【小问1详解】 由题意，，， 设巡逻艇在点处截获走私船，由于速度比为且同时出发，故有， 即， 两边平方并化简，得， 化为标准方程为：. 【小问2详解】 边界线的方程为， 要保证巡逻艇能将走私船拦截在领海内，则截获点的轨迹圆（及其内部区域）必须完全在直线下方或与其相切， 由（1）知，圆心的纵坐标为，半径为， 故需满足， 解得， 所以相距最远为海里. 20. 已知双曲线．F为C的右焦点，过F的直线l与C交于A，B两点． （1）求双曲线的渐近线方程； （2）若直线l的斜率为2，求； （3）若直线OA，OB的斜率之积为，求直线l的方程． 【答案】（1）； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】（1）根据双曲线方程即可求出双曲线的渐近线方程； （2）先设直线l的方程为，联立双曲线方程，消元化简，结合韦达定理和弦长公式计算即可； （3）设直线方程为，联立双曲线方程，消元化简，结合韦达定理和斜率公式，根据题中条件列出等式求出参数，进而得到直线方程． 【小问1详解】 因双曲线，则由，可得， 故双曲线的渐近线方程为； 【小问2详解】 由双曲线，得， 则右焦点，又因直线l的斜率为2， 则其方程为，即， 联立，消去得， 设，则有， 故； 【小问3详解】 由题可知直线l的斜率不为，设其方程为， 联立，消去得， 则， 设，则， 因， 则 ， 因为直线OA，OB的斜率之积为，即， 解得或， 所以直线的方程为或． 21. 在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点及直线l上任意一点，称的最小值为点到的“切比雪夫距离”，记作．已知圆． （1）已知点和点，直线，求和； （2）若圆，且圆和圆圆心的切比雪夫距离，判断圆和圆的位置关系； （3）若圆，圆与轴交于两点，其中点在圆外，且，过点任作一条斜率不为0的直线与圆交于两点，记直线为，直线为，证明：． 【答案】（1），； （2）圆和圆相交 （3）证明：圆E与x轴交于M，N两点， 则方程，即（*）有两个不等的实数解， 所以，解得，又，所以， ，方程（*）的两解为，则， 由韦达定理有， 所以，解得或（舍去）， 时方程（*）为，解得，，交点为和， 点在圆外，则，因此，， 设直线的方程为，设， 由得， ，， ，， ， 所以，因此直线关于轴对称， 直线上任意一点与直线上点关于轴对称，它们是一一对应的关系， ，， 即， 所以的最小值与的最小值相等，即． 【解析】 【分析】（1）根据新定义直接计算，设是上一点，分类讨论计算出，再确定最小值得； （2）求出圆心坐标，根据切比雪夫距离的定义得，然后根据圆心距判断两圆位置关系； （3）由已知求出，得出两点坐标，设直线方程为，，直线方程代入圆方程后，应用韦达定理得，从而证明，得直线与关于轴对称，然后由直线上任意一点与直线上点关于轴对称，它们是一一对应的关系，且，则其最小值也相等，从而证得结论成立， 【小问1详解】 解：，，，所以， 直线方程为，是上一点， 所以 当，即时，， 当，即或时，， 所以的最小值是2，即； 【小问2详解】 解：圆标准方程是，圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 所以，，即，解得， 此时圆心距， 因为，， 所以，即圆和圆相交. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华东师范大学附属东昌中学 2026学年第一学期期中考试高二数学试卷 一、填空题：（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，共54分） 1. 复数（其中为虚数单位）的虚部是______． 2. 直线的倾斜角______． 3. 已知向量，则经过点且与垂直的直线方程为______． 4. 已知直线与，则直线与的夹角大小是___________． 5. 已知向量，，若，则实数________． 6. 直线必过定点________． 7. 过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|AB|＝________． 8. 已知实数满足方程，则的取值范围是_____ 9. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，直线与直线平行，则三角形ABC是________三角形． 10. 若直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围是________． 11. 设，分别是椭圆：（）的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，且，，则椭圆的离心率为________． 12. 已知O为坐标原点，向量满足，将绕点O按逆时针方向旋转，得到向量．若，则的最大值为________． 二、选择题：（第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分） 13. 若点到直线的距离都等于7，则直线的不同位置有（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 无数种 14. 一条光线从点射出，与轴交于点，经轴反射，则反射光线经过的点的坐标可以为（ ） A. B. C. D. 15. 设为椭圆上一动点，、分别为圆和圆上的动点，则不可能为（ ） A. B. C. D. 16. 关于曲线下列说法：①关于点对称；②关于直线轴对称；③关于直线对称；④曲线是封闭图形，面积小于；⑤曲线是封闭图形，面积大于；⑥曲线不是封闭图形无法计算面积.其中正确的序号（ ） A. ①②⑥ B. ①②⑤ C. ①②④ D. ②③⑥ 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）（解答下列各题必须写出必要的步骤） 17. 已知的三个顶点坐标分别为、、． （1）求的边上的高所在的直线方程． （2）求的面积． 18. 设． （1）当函数的最小正周期为时，求在上的最大值； （2）若，且在中，角、、所对的边长为、、，锐角满足，，求的最小值． 19. 设直线l为我国领海与公海的分界线．某海防巡逻艇在A处发现其北偏东方向B处有一艘走私船．已知巡逻艇的最高航速是走私船航速的2倍．目前A处距离公海边界线的垂直距离为6海里，走私船可能以任意方向逃窜．设A，B两处的距离为d海里（），请以A为坐标原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系解决下列问题． （1）若巡逻艇与走私船同时出发，均沿直线航行，若巡逻艇在P点将走私船成功截获，求截获点P的轨迹方程； （2）为了保证无论走私船向哪个方向逃窜，巡逻艇都能将其拦截在我国领海内（即截获区域不能越过边界线l），求A，B相距最远多少海里？ 20. 已知双曲线．F为C的右焦点，过F的直线l与C交于A，B两点． （1）求双曲线的渐近线方程； （2）若直线l的斜率为2，求； （3）若直线OA，OB的斜率之积为，求直线l的方程． 21. 在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点及直线l上任意一点，称的最小值为点到的“切比雪夫距离”，记作．已知圆． （1）已知点和点，直线，求和； （2）若圆，且圆和圆圆心的切比雪夫距离，判断圆和圆的位置关系； （3）若圆，圆与轴交于两点，其中点在圆外，且，过点任作一条斜率不为0的直线与圆交于两点，记直线为，直线为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $