上海市南洋模范中学2026-2027学年第一学期高二年级期中考试数学试题

2026学年第一学期南模中学高二年级期中考试

数学学科

（考试时间：120分  钟满分：150分）

一、填空题

1．已知球的体积为，则该球的半径为__________．

2．小明在期中复习时，对常见的“角”进行了简要梳理：①两条异面直线所成的角；②直线与平面所成的角；③二面角的平面角；④两个非零向量的夹角．则上述各种“角”的取值范围是的有______（请填写序号）

3．已知一个圆台的上、下底面半径分别为，，高为，则该圆台的母线长为__________．

4．下列命题中正确的个数为__________个．

①若在平面外，它的三条边所在的直线分别交于、、，则、、三点共线；

②若三条直线、、互相平行且分别交直线于、、三点，则这四条直线共面；

③若直线、异面，、异面，则、异面；

④若，，则．

5．等腰四面体是一种特殊的三棱锥，它的三组对棱分别相等．已知一个长方体的体积为12，则由长方体的四个顶点构成的等腰四面体的体积为______．

6．在四面体中，，则该四面体体积的最大值为______．

7．如图，正方体，则下列四个命题：

①点在直线上运动，三棱锥的体积不变；

②点在直线上运动，直线与平面所成角的大小不变；

③点在直线上运动，二面角的大小不变；

④点是平面上到点和，距离相等的动点，则的轨迹是过点的一条直线，其中真命题是______（请在横线上填上正确命题的序号）．

8．如图，四面体中，，，，，分别是，的中点，则________．

9．如图，是正方形所在平面外一点，且，，，，若是的中点，则点到平面的距离为________．

10．在棱长为6的正方体中，，，过的平面将该正方体分成体积为、的两个部分，则的最大值是______．

11．如图，在棱长为2的正方体中，有8个以正方体顶点为球心且半径相等的部分球体（），有1个以正方体中心为球心的球体，与（）均相切，则该9部分的体积和的范围是______．

12．如图两个同心球，球心均为点，其中大球与小球的表面积之比为3∶1，线段与是夹在两个球体之间的内弦，其中、两点在小球上，、两点在大球上，两内弦均不穿过小球内部．当四面体

的体积达到最大值时，此时异面直线与的所成角为，则______．

二、单选题

13．直线平面，直线，则与不可能（     ）

A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直

14．将下面的平面图形（每个点都是正三角形的顶点或边的中点）沿虚线折成一个四面体后，直线与是异面直线的是（     ）

A． B．

C． D．

15．如图，在棱长为的正方体中，是它的一条体对角线．将底面对角线绕直线旋转一周，则所扫过区域的面积为（     ）

A． B． C． D．