重难点专题 锐角三角函数概念以及计算（专项训练）数学新教材浙教版九年级下册

重难点专题 锐角三角函数概念以及计算 题型1 三角函数的概念辨析 固定解题模型：锐角三角函数值只由角的大小决定，与三角形大小无关，三边同倍缩放，比值不变。 解题步骤：① 锁定直角与待判锐角，认准对边、邻边、斜边；② 按定义写三式；③ 三边同倍变化时分子分母同倍，比值不变。 核心数据：，，；锐角时 0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0。 1．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·湖南岳阳·阶段检测）如图，在中，，则等于（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·山东菏泽·期末）在中，，若将三边的长都缩小为原来的，则锐角的三角函数值（   ） A．都缩小为原来的 B．都扩大为原来的3倍 C．只有发生变化 D．都不变 4．（25-26九年级上·上海奉贤·期末）在Rt中，，，，，那么下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 题型2 求角的正弦值 固定解题模型：求 sin 先找含这个角的直角三角形，找不到就作高造一个。 解题步骤：① 确定待求角所在的直角三角形；② 认斜边，即直角所对的那条，永远最长；③ 套定义求值。 核心数据：，对边比斜边；网格题取小正方形边长为 1，先用勾股算出三边，再套比值。 1．（2026·浙江杭州·一模）如图，若的三边长，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·浙江舟山·二模）如图，在正方形中，，是上一点，连接，， (1)求的长度． (2)求． 3．（2026·浙江宁波·模拟预测）在菱形中，，点在边上，连接，与关于直线对称．若点在边的延长线上，且， (1)求的长． (2)求的值． 4．（2026·浙江嘉兴·二模）如图，在矩形纸片中，点是边的中点，点在边上．将该纸片沿折叠后，使点落在边上的点处．若，则的值是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，的直径垂直弦于点E，F是圆上一点，D是的中点，连结交于点G，连结． (1)求证：； (2)若，，求． 题型3 已知正弦值求边长 固定解题模型：已知 sin 值，就设比例系数 k，把三边写成 3k、4k、5k 这一族。 解题步骤：设对边＝ak、斜边＝ck；勾股定理求出第三边＝bk；用题中已知线段列方程求 k，再求目标边长。 核心数据：常用勾股数 3-4-5、5-12-13； 时三边为 3k∶4k∶5k。 1．（2026·浙江台州·二模）如图1，三脚支架直立在水平地面上，支架脚的长为，与水平地面的夹角为，其示意图如图2，若，则点A到水平地面的距离的长为______． 2．（26-27九年级上·山东济宁·开学考试）如图，在中，，，，求的长． 3．（2026·浙江台州·一模）如图，在平行四边形中，过点作于点，连接．若，，则的值为______． 4．（2026·浙江杭州·一模）如图，在中，连接，分别以点A，C为圆心，大于的相同长度为半径作弧，弧交于点M，N，连接分别交于点E、F、O，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若F为中点，，，求的面积． 题型4 求角的余弦值 固定解题模型：cos 只认邻边比斜边，最容易与 sin 弄混，认边是唯一易错点。 解题步骤：① 找到含该角的直角三角形；② 认邻边，即与锐角相邻的那条直角边；③ 套定义求比值。 核心数据：，邻边比斜边；cosA 与 90°−A 的正弦相等；同一锐角，sin 越大则 cos 越小。 1．（2026·广西·一模）如图，在边长为1的正方形网格中，，，，，是正方形网格上的五个点，若半径为1的与线段交于点，则的余弦值是（    ） A． B．2 C． D． 2．（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，且每个小正方形的顶点称为格点，线段的两个端点均在格点上，按要求完成下列画图．（要求：用无刻度的直尺，保留画图痕迹，不要求写出画法） (1)在图中，画出一个以、、为顶点的三角形，且这个三角形的面积为，为格点． (2)在图中，画出一个以、、为顶点的三角形，且，为格点． 3．（25-26九年级上·浙江·期中）如图，在中，直径于点，连结，以为边作菱形（点在线段上，与不重合），交于点，连结并延长，与射线交于点． (1)连结，求证：． (2)若，求半径的长． (3)若，求的值． 4．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）已知为的直径，C，D为上两点，且，连接，并延长交于点P． (1)如图，求证：． (2)如图，过点P作的垂线，分别交，于点E，F，G： ①若的半径为，，求的长度． ②若，求的值． 5．（2026·浙江宁波·二模）如图，为的直径，点在上，点，为圆上两点，连结，．连接交于点，若，，则的值为（） A． B． C． D． 题型5 已知余弦求边长 固定解题模型：由 cos 定三边比例，再回到勾股定理求第三边。 解题步骤：设邻边＝bk、斜边＝ck；勾股求出对边＝ak；代入已知长度求 k，得到所求边。 核心数据： 时三边为 3k∶4k∶5k； 时三边为 5k∶12k∶13k。 1．（25-26九年级下·浙江温州·开学考试）如图，，为矩形的对角线，于点，，，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D．4 2．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，，，，点是的中点，则的长为___________． 3．（2026·浙江温州·二模）某校在教学楼顶安装可调节角度的光伏板，用于绿色发电．如图，长为2米的光伏板斜靠在竖直于地面的支架上，倾斜角为，为提高发电效率，将底端沿方向移动到点，顶端向下滑动到点，此时倾斜角为，则顶端下降的垂直高度为（） A．米 B．米 C．米 D．米 4．（2026·浙江温州·二模）探究角度与线段比例之间的关系 如图1，在中，，点在边上，且，连接并延长至点，使得，作交延长线于点，连接交于点．记，． 【图形认识】 (1)求证：． 【引元关联】 (2)设，求关于的函数表达式． 【特例计算】 (3)如图2，当时，分别求出和的值． 【规律研究】 (4)已知，求的取值范围． 题型6 求角的正切值 固定解题模型：tan 不需要斜边，作高时最省事，所以优先考虑 tan。 解题步骤：① 找或作含该角的直角三角形；② 套定义；③ 缺直角时作高，把这个角放进新造的直角三角形。 核心数据：，对边比邻边；，tan45°＝1，tan60°＝√3。 1．（2026·浙江宁波·二模）如图，在中，，平分，，． (1)求的长； (2)求的值． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）无障碍通道是保障行动不便者安全通行的专用设施体系，具有严格的设计要求．如图是某一建筑入口的轮椅坡道，已知中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D．15 3．（2026·浙江金华·一模）如图，在由大小相同的小正方形组成的的网格中，其顶点均在该网格的格点上．若，则顶点C的位置可以在点（    ）处． A． B． C． D． 4．（2026·浙江杭州·一模）如图，在菱形中，与交于点，，，则的值为___________． 5．（25-26九年级上·山东聊城·阶段检测）如图，将放在每个小正方形的边长为的网格中，点，，均在格点上，则的值是_______． 题型7 已知正切值求边长 固定解题模型：tan 只给两条直角边之比，不涉斜边，所以设 k 是最快通道。 解题步骤：设两直角边为 mk、nk；勾股定理得斜边；用周长、面积或斜边等已知线段列方程求 k。 核心数据：；tan45°＝1 时两直角边相等，斜边是直角边的 √2 倍。 1．（2026·浙江杭州·模拟预测）如图是由四个全等的叶片组成的风车，点A是风车中心，其中一个叶片中，，，已知长为，，则的长为（   ） A．4 B．5 C． D． 2．（2026·浙江杭州·二模）小滨在参观摄影作品时发现艺术家常用错位摄影技巧创造出脑洞大开、充满趣味的“照骗”（如图1），通过思考分析他发现其中蕴含了丰富的数学知识和方法，小滨决定尝试拍摄一张自己拥抱挂在教学楼墙上的圆形校徽雕像的照片．为实现构想需要测量出校徽的直径，为此他在教学楼正前方距墙角点3米的点处，测得，（如图2），其中于点，点在线段上，那么直径________米．（结果精确到0.1．参考数据，，，．） 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图1，在中，为直径，弦于点，点为弧上一动点，连接，分别交于点和点，连结． (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，若为中点，的半径为，证明． (3)如图3，连接，若为弧中点，的面积为16． ①试求的面积；②直接写出的长度． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题 锐角三角函数概念以及计算 题型1 三角函数的概念辨析 固定解题模型：锐角三角函数值只由角的大小决定，与三角形大小无关，三边同倍缩放，比值不变。 解题步骤：① 锁定直角与待判锐角，认准对边、邻边、斜边；② 按定义写三式；③ 三边同倍变化时分子分母同倍，比值不变。 核心数据：，，；锐角时 0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0。 1．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正弦函数的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据正弦函数的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 2．（26-27九年级上·湖南岳阳·阶段检测）如图，在中，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中，根据确定斜边与的邻边，利用余弦定义求解． 【详解】解：在中，， 为斜边，为的邻边， ． 3．（25-26九年级上·山东菏泽·期末）在中，，若将三边的长都缩小为原来的，则锐角的三角函数值（   ） A．都缩小为原来的 B．都扩大为原来的3倍 C．只有发生变化 D．都不变 【答案】D 【分析】本题考查了三角函数的定义，解决本题的关键是熟练掌握三角函数的定义． 根据三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的三角函数值只与角的大小有关，与边的长度无关，当三边同比例变化时，三角函数值不变，由此判断选项即可． 【详解】解：设原中，，，， 则，，， ∵三边都缩小为原来的， ∴，，， ∴， 同理，， ∴锐角A的三角函数值都不变． 故选：D． 4．（25-26九年级上·上海奉贤·期末）在Rt中，，，，，那么下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角函数的定义，根据直角三角形中三角函数的定义，分别计算和的三角函数值，并验证各选项. 【详解】解：如下图所示， A选项：， ，，，故A选项错误； B选项：， ，，，故B选项错误； C选项：， ，，，故C选项正确； D选项：， ，，，故D选项错误． 故选：C. 题型2 求角的正弦值 固定解题模型：求 sin 先找含这个角的直角三角形，找不到就作高造一个。 解题步骤：① 确定待求角所在的直角三角形；② 认斜边，即直角所对的那条，永远最长；③ 套定义求值。 核心数据：，对边比斜边；网格题取小正方形边长为 1，先用勾股算出三边，再套比值。 1．（2026·浙江杭州·一模）如图，若的三边长，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出，然后根据正弦的定义求解即可. 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴. 2．（2026·浙江舟山·二模）如图，在正方形中，，是上一点，连接，， (1)求的长度． (2)求． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）先根据正切求出，即可求解； （2）将转化为即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形 ∴， ∴ ∴ ∴； （2）解：∵四边形是正方形 ∴， ∴，， ∴． 3．（2026·浙江宁波·模拟预测）在菱形中，，点在边上，连接，与关于直线对称．若点在边的延长线上，且， (1)求的长． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由轴对称的性质可得，即，再根据菱形的性质可得，进而求得，再根据等腰三角形的性质求解即可； （2）利用勾股定理可得，再利用平行线的性质、等边对等角以及等量代换可得，然后根据正弦的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵与关于直线对称， ∴， ∴， ∵在菱形中，， ∴，， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵在中，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（2026·浙江嘉兴·二模）如图，在矩形纸片中，点是边的中点，点在边上．将该纸片沿折叠后，使点落在边上的点处．若，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作于点，连接交于点，设，则，在中，由勾股定理求得，再求得，据此求解即可． 【详解】解：作于点，连接交于点，设，则， ∴， ∵矩形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， 由折叠的性质知，垂直平分， ∴， 在中， 由勾股定理得，即， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，的直径垂直弦于点E，F是圆上一点，D是的中点，连结交于点G，连结． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1) 证明：∵D是的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）根据圆心角、弧、弦的关系得到，证明，根据全等三角形的性质证明即可； （2）连结，根据勾股定理求出，再根据勾股定理计算求出，根据正弦的定义计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连结， 设，则， ∵， ∴， 在中，， ∴ ， 解得：，（舍去）， ∴， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查了圆心角、弧和弦的关系，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，求正弦值，掌握垂径定理是解题的关键． 题型3 已知正弦值求边长 固定解题模型：已知 sin 值，就设比例系数 k，把三边写成 3k、4k、5k 这一族。 解题步骤：设对边＝ak、斜边＝ck；勾股定理求出第三边＝bk；用题中已知线段列方程求 k，再求目标边长。 核心数据：常用勾股数 3-4-5、5-12-13； 时三边为 3k∶4k∶5k。 1．（2026·浙江台州·二模）如图1，三脚支架直立在水平地面上，支架脚的长为，与水平地面的夹角为，其示意图如图2，若，则点A到水平地面的距离的长为______． 【答案】 【分析】在中，，利用正弦的定义，代入已知数值即可求出的长． 【详解】解：由题意得，是直角三角形，， ， ． 2．（26-27九年级上·山东济宁·开学考试）如图，在中，，，，求的长． 【答案】 【分析】过点作于点，将分割成两个直角三角形，根据锐角三角函数关系求边长即可． 【详解】解：过点作于点， 在中，，． ． 在中，， ． ． 3．（2026·浙江台州·一模）如图，在平行四边形中，过点作于点，连接．若，，则的值为______． 【答案】 【分析】过作于点，则，由四边形是平行四边形，得，，证明，所以，，然后代入即可求解． 【详解】解：如图，过作于点，则， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（2026·浙江杭州·一模）如图，在中，连接，分别以点A，C为圆心，大于的相同长度为半径作弧，弧交于点M，N，连接分别交于点E、F、O，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若F为中点，，，求的面积． 【答案】(1) 证明：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ，，，． 四边形为平行四边形， ， ，， ， ， ， 四边形为菱形； (2)48 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，，，，再证明，继而得到四边相等，即可求证； （2）先求得，利用正弦函数的定义得到，再利用勾股定理求得，然后利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵F为中点， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴设，则， ∵， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴， ∴的面积． 题型4 求角的余弦值 固定解题模型：cos 只认邻边比斜边，最容易与 sin 弄混，认边是唯一易错点。 解题步骤：① 找到含该角的直角三角形；② 认邻边，即与锐角相邻的那条直角边；③ 套定义求比值。 核心数据：，邻边比斜边；cosA 与 90°−A 的正弦相等；同一锐角，sin 越大则 cos 越小。 1．（2026·广西·一模）如图，在边长为1的正方形网格中，，，，，是正方形网格上的五个点，若半径为1的与线段交于点，则的余弦值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】先在中，利用勾股定理可得，从而可得，，再根据圆周角定理可得，即可求解． 【详解】解：由题意得：是直角三角形，，， ∴， ∴， 由圆周角定理得，， ∴． 2．（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，且每个小正方形的顶点称为格点，线段的两个端点均在格点上，按要求完成下列画图．（要求：用无刻度的直尺，保留画图痕迹，不要求写出画法） (1)在图中，画出一个以、、为顶点的三角形，且这个三角形的面积为，为格点． (2)在图中，画出一个以、、为顶点的三角形，且，为格点． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）结合网格格点特性，利用三角形的面积公式，通过确定的底和高，定位符合要求的格点； （2）结合网格格点特性，利用勾股定理构造等腰直角三角形来实现，找到符合要求的格点． 【详解】（1）解：观察线段的位置，可以取竖直方向长度为的线段作为三角形的底， 如取点在点正下方格的格点位置，此时的长为， 而点到线段所在竖直线的水平距离为，为三角形的高， 代入面积公式正好可以得到，满足面积要求． 如取点在线段的中点正下方格的格点位置， 那么可以将分为两个同底等高的小三角形，公共的底为，相等的高为， 也可以得到，满足面积要求． 综上，符合条件的格点有两个，故答案不唯一． （2）解：先计算线段的长度， 横向跨度为，纵向跨度为， ． 在上方或下方选取合适的点，使得，， 可满足，即是等腰直角三角形，直角顶点为点， 此时，，符合题目要求． 综上，符合条件的格点有两个，故答案不唯一． 3．（25-26九年级上·浙江·期中）如图，在中，直径于点，连结，以为边作菱形（点在线段上，与不重合），交于点，连结并延长，与射线交于点． (1)连结，求证：． (2)若，求半径的长． (3)若，求的值． 【答案】(1) 证明：连接， 则 由菱形可知，又， ∴，则 ∴， ∵， ∴， 由菱形对边平行知，， ∴， ∴ (2) (3) 【分析】本题考查了圆的性质（直径所对圆周角为直角、垂径定理）、菱形的性质（对边平行、四边相等）、全等三角形的判定与性质、、勾股定理、锐角三角函数的应用及一元二次方程的求解，解题的关键是合理添加辅助线，利用图形性质建立边或角的等量关系，结合几何定理与代数运算求解． （1）连接，借助菱形对边平行的性质及直径所对圆周角为直角，转化角的等量关系，通过“”“”“”逐步推导，证明； （2）连接，利用垂径定理及勾股定理，在和中用r表示，建立关于半径r的方程，求解并舍去负根； （3）连接、，由及菱形性质得，判定、，设未知数表示相关线段，利用余弦函数的等量关系建立方程，求解得出比例值． 【详解】（1）略 （2）解：连接，则， 在与中，， ∴， 解得：（另一解为负值，舍去）， （3）解： 分别连接、， ∵， ∴ ∴是的直径，， ∵， ∴， 又， ∴，则， 又 ∴， ∴， 设， 则， 在与中，，则， 即，，解得（另一根为负值，舍去）， ． 4．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）已知为的直径，C，D为上两点，且，连接，并延长交于点P． (1)如图，求证：． (2)如图，过点P作的垂线，分别交，于点E，F，G： ①若的半径为，，求的长度． ②若，求的值． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴； (2)①；② 【分析】（1）由弧相等得，再由直径对的圆周角是直角得，从而得，即可得； （2）① 由题意及（1）得，由勾股定理求得，进而求得，由相似三角形的性质即可求得； ②延长交于点H，连接，则，易得，则；设，可得，由勾股定理求得，进而求得；在中，利用勾股定理得， 则可得的关系，由余弦函数即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：①∵的半径为， ∴， 由（1）得， ∵，， ∴由勾股定理得， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， 即， ∴； ②如图，延长交于点H，连接， ∵，且为直径， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴； 设， ∵， ∴， 由勾股定理得， 由①知，， ∴， ∴； ∵， 在中，由勾股定理得， 即， 整理得： 即， ∴， 整理得：， 即， ∵， ∴， 得：，（负值已舍去）， 则， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题是圆与三角形的综合，考查了直径对的圆周角是直角三角形，垂径定理，弧、弦及圆周角的关系，相似三角形的判定与性质，勾股定理及求余弦函数值等知识，有一定的综合性，掌握相关知识并灵活运用是关键． 5．（2026·浙江宁波·二模）如图，为的直径，点在上，点，为圆上两点，连结，．连接交于点，若，，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作于点G，作于点H，连接，则，设，则，由得，可证，进而得出，，证明得，求出，证明得，从而，然后根据勾股定理求出，再根据余弦的定义求解即可． 【详解】解：作于点G，作于点H，连接，则， ∵， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴． 题型5 已知余弦求边长 固定解题模型：由 cos 定三边比例，再回到勾股定理求第三边。 解题步骤：设邻边＝bk、斜边＝ck；勾股求出对边＝ak；代入已知长度求 k，得到所求边。 核心数据： 时三边为 3k∶4k∶5k； 时三边为 5k∶12k∶13k。 1．（25-26九年级下·浙江温州·开学考试）如图，，为矩形的对角线，于点，，，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】如图，解，求出，再根据矩形的性质可得结论． 【详解】解：如图， 在中，，，， ∴， ∴； 又四边形是矩形， ∴． 2．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，，，，点是的中点，则的长为___________． 【答案】3 【分析】本题考查了直角三角形的边角间关系及直角三角形斜边上的中线与斜边的关系．掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，是解决本题的关键． 先根据锐角三角函数的边角间关系，求出的长，再根据直角三角形的斜边中线与斜边的关系得结论． 【详解】  解：在中，   ∵，，   ∴．   ∵M是的中点，   ∴， 故答案为3 3．（2026·浙江温州·二模）某校在教学楼顶安装可调节角度的光伏板，用于绿色发电．如图，长为2米的光伏板斜靠在竖直于地面的支架上，倾斜角为，为提高发电效率，将底端沿方向移动到点，顶端向下滑动到点，此时倾斜角为，则顶端下降的垂直高度为（） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】根据题意可知，在和 中，分别利用正弦函数求出和的长，最后根据 即可求解． 【详解】解：由题意可知，光伏板长度不变，即米，且． 在 中，， ， ． 在中， ， ∵， ． ∴米． 4．（2026·浙江温州·二模）探究角度与线段比例之间的关系 如图1，在中，，点在边上，且，连接并延长至点，使得，作交延长线于点，连接交于点．记，． 【图形认识】 (1)求证：． 【引元关联】 (2)设，求关于的函数表达式． 【特例计算】 (3)如图2，当时，分别求出和的值． 【规律研究】 (4)已知，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3)， (4) 【分析】（1）根据，得出，根据相似三角形的性质，结合已知条件即可得证； （2）根据，得出，根据相似三角形的性质得出比例式，即可求解； （3）根据余弦的定义得出，则，则，得出，在和中，，得出方程，解方程，即可求解； （4）作于点，在和中，，解方程，得出，记，根据得出，进而得出，最后求得函数值的范围，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴，． ∵， ∴ ∴． （3）解：∵，， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，解得． 在和中，， ∴， 解得（负值已舍去）． （4）解：作于点， 则，， 在和中， ， ∴， ∴． 记， ∵， ∴， ∴或（舍）． ∵， ∴当时，随的增大而减小， ∴． 题型6 求角的正切值 固定解题模型：tan 不需要斜边，作高时最省事，所以优先考虑 tan。 解题步骤：① 找或作含该角的直角三角形；② 套定义；③ 缺直角时作高，把这个角放进新造的直角三角形。 核心数据：，对边比邻边；，tan45°＝1，tan60°＝√3。 1．（2026·浙江宁波·二模）如图，在中，，平分，，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）利用正切值和已知条件求出长度，根据勾股定理即可求出长度． （2）根据角平分线的性质定理即可求出的长度，以及，设参数，结合已知条件，利用勾股定理即可求出的长度，再根据正切值等于对边比邻边即可求出答案． 【详解】（1）解： 中，，，， ， ， ， 在中，． （2）解：过点作于点，如图所示， ，，平分， ， 又， ∴， ∴， 设， ，， 在中，， ， ， 中，． 【点睛】本题考查了勾股定理，正切值，角平分线的性质，解题的关键在于熟练掌握如何利用正切值求已知线段，或者是利用已知线段比求正切值，以及角平分线性质定理． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）无障碍通道是保障行动不便者安全通行的专用设施体系，具有严格的设计要求．如图是某一建筑入口的轮椅坡道，已知中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D．15 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义．利用锐角三角函数定义进行解答． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：A． 3．（2026·浙江金华·一模）如图，在由大小相同的小正方形组成的的网格中，其顶点均在该网格的格点上．若，则顶点C的位置可以在点（    ）处． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设小正方形边长为，根据正切的定义，结合方格特点计算判断即可． 【详解】解：设小正方形边长为， 由图知，顶点C的位置在点处时，， 顶点C的位置在点处时，， 顶点C的位置在点处时，， 顶点C的位置在点处时，， 顶点C的位置可以在点处． 4．（2026·浙江杭州·一模）如图，在菱形中，与交于点，，，则的值为___________． 【答案】 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出、的长，在中，根据正切的定义求解即可． 【详解】解：四边形是菱形， 、、， ， ，， 、， 在中，． 5．（25-26九年级上·山东聊城·阶段检测）如图，将放在每个小正方形的边长为的网格中，点，，均在格点上，则的值是_______． 【答案】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用，在直角三角形中锐角的正切为对边比邻边，构造直角三角形是本题的关键． 根据题意构造直角三角形如图所示，点D在格点上，从而可以求出的值． 【详解】解：构造直角三角形如图所示，点D在格点上， 由图可得， 故答案为：． 题型7 已知正切值求边长 固定解题模型：tan 只给两条直角边之比，不涉斜边，所以设 k 是最快通道。 解题步骤：设两直角边为 mk、nk；勾股定理得斜边；用周长、面积或斜边等已知线段列方程求 k。 核心数据：；tan45°＝1 时两直角边相等，斜边是直角边的 √2 倍。 1．（2026·浙江杭州·模拟预测）如图是由四个全等的叶片组成的风车，点A是风车中心，其中一个叶片中，，，已知长为，，则的长为（   ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】利用正切的定义结合已知条件求得的长度，再用勾股定理求出的长度，由平行线的性质可得到，从而得到，同理利用正切的定义和勾股定理即可求得目标结果． 【详解】解：在中，， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， ∴． 2．（2026·浙江杭州·二模）小滨在参观摄影作品时发现艺术家常用错位摄影技巧创造出脑洞大开、充满趣味的“照骗”（如图1），通过思考分析他发现其中蕴含了丰富的数学知识和方法，小滨决定尝试拍摄一张自己拥抱挂在教学楼墙上的圆形校徽雕像的照片．为实现构想需要测量出校徽的直径，为此他在教学楼正前方距墙角点3米的点处，测得，（如图2），其中于点，点在线段上，那么直径________米．（结果精确到0.1．参考数据，，，．） 【答案】1.2 【分析】利用得到，，分别用正切求出、，线段差． 【详解】解：已知，米， 在中，， ， 米， 在中，， ， 米， 米． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图1，在中，为直径，弦于点，点为弧上一动点，连接，分别交于点和点，连结． (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，若为中点，的半径为，证明． (3)如图3，连接，若为弧中点，的面积为16． ①试求的面积；②直接写出的长度． 【答案】(1) (2) 证明：连接，如图 H为中点，， ∴是的垂直平分线， ， ， ， ； (3)①9；② 【分析】本题考查圆周角，相似三角形的判定与性质，三角函数，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． （1）先推导出，继而证明，则，即可解答； （2）连接，先推导出是的垂直平分线，得到，进而推导出，则，即可解答； （3）①推导出，得到，，设，推导出，则，即可解答； ②先推导出，在中，，得到，则，求出或（不符合题意，舍去），则，即可解答． 【详解】（1）解：如图 ， ， ， ， ， ； （2）略 （3）解：如图 ①G为弧中点， ， ， ， ， 可设， 的面积为16，即 ， ； ②， ， 在中，， ， ， ， ， 或（不符合题意，舍去）， ． 故． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $