1.1 锐角三角函数（分层作业练题型）数学新教材北师大版九年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 1.1锐角三角函数 参考答案 C A组 巩固过关 题型01 三角函数的概念辨析 2.1 3.B 题型02 求三角函数值 4.D 5.A 6.B 7. 解：当点A为直角顶点时，如图， B tanC=4B 3: AC4 当点B为直角顶点时，如图， 在Rt△ABC中，BC=VAC2-AB2=V42-32=V万， .'tan C=- AB 3 37 BC万7· 37 综上， tamC的值为或 7 8. 解：如图， 1/12 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5,BC=3, .AC=VAB2-BC2=V52-32=4, .c0sA=1C、4 AB 5 题型n3 已知三角函数值求边长 9 10. 17 11.12 9 题型04 坡比坡度问题 12.A 13.75m 14.乙 15.30 16. 解：在RtAABD中，坡度为l:l,AB=lOm, .AD=BD,∠ABD=450 AD=BD=AB.sin45°=5V2≈7.05m, 在RIAACD中，∠ACB=17°， ..CD=AD ≈23m, tan17 ∴BC=CD-BD≈16m 颗型05 特殊角三角函数值的混合运算 17. 解：2sin45°-v8+1-V2+(π-2026 -2x5-2N2+2-1+1 2 =√2-22+√2-1+1 2/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =0 18. 解：（←1）+2sin30°-c0s60°+sim60+an245 11. =1+2× +1 222 15+1 =1+1-2*2 =1+1+1-22 1,5 61,V3 222 55 =22 5+3 2 19. (1)解：tan45°-sin30° 1月 1 2 2解：(+W5--a-m60ry-2os0 =9+5-1-1-2 2 =9+V5-1-1-√3 =7 20. 解：√3tan30°-cos60°+sin245° 11 =122 =1. 3/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型06 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 21.等边 22.等边 23.等腰直角三角形 题型07 根据特殊角三角函数值求角度数 24. 60° 25.20 26.90 27. ：ma-0,amB-120,Hm +tan B-1=0 .sina-1 0,tanB-1=0' 1 .'sina= 2’tanB=1, ,a、B均为锐角， .a=30°，B=45°， .a+B=30°+45°=75° o B组 能力进阶 1.C 2.C 3.B 4.B 5.A6.D 7.B 8.②③④ 9 V2 2 10. 5 解：原式= 2 V5+2x1 可 2(W3+22 4/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =25-3+1- 2 2 23-3+2-V3 2 3-1 2 11. 解：在RtABD中，坡度为l:l,AB=l0m, .AD=BD,∠ABD=45° .AD=BD=AB.sin45°=5V2≈7.05m, 在Rt△ACD中，∠ACB=17 CD=AD tan17o ≈23m. ∴BC=CD-BD≈16m. 12. 解：在R△1BC中，∠B=90e,SnC 5,AC=5 .sinC=4B=4B_3 AC55 AB=3, 在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3,AC=5, 由勾股定理得：BC=VAC2-AB2=V52-32=4: (2)解：过点D作DE⊥AC交AC于点E,则∠AED=∠CED=90°，如下图所示， E AD平分∠BAC,∠B=90°，∠AED=90°， ∴.BD=DE,∠BAD=∠EAD, AABD≌△AED(AAS) ·.AE=AB=3, ∴.CE=AC-AE=5-3=2, 5/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在RIACDE中，∠CED=90°，CE=2, 由勾股定理得：CD2=DE2+CE2, 即(BC-BD)}=BD2+22, (4-BD)}2=BD2+22 整理得：8BD=12, 解得：BD=3 3 tan∠BAD= BD-2-1 AB 3 2 13. (1)解：根据题意，画图如下： 则△ACD即为所求： (2)解：根据题意，利用三角形相似的判定和性质，画图如下： 9 则点E即为所求.3 14. tan0.sine cos 解：(1) tan0-1 1-tan tan0.sin0cosθ tan0-1 tan0-1 6112 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 sin 0 sine-cos0 cos0 sin0-cos0 cos0 sin20-cos20 sin0-cos0 (sin0+cos)(sine-cos0) sin0-cos0 sin0+cos0 -（5+1)5+1 sin0+cos=- 3 2 (2)sin0.cos0=c=m a2, .(sin0+cos)=sin20+2sin0.cos+cos2= 2 3)2r-(V5+1x+ =0 2 ①当sin0= cos0= 2时，0=30°’ ②当sino- 1 2, c0s0=2时，0=60： 15. (1)45,36米 (2)解：如图：过点E作EH⊥DC于点H, H 30C 75, 30° 7/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BEC=30°，CF∥AB, .∠FCE=∠BEC=30°， .∠ECH=60°， .∠CEH=30°， :0-Ec=18米 EH=VEC2-HC2=V362-182=183米， .∠CDE=45°，EH⊥DC, .∠DEH=∠CDE=45°， .DH=EH=18V3米， :.DC=CH+DH=(18+185)米 (3)解：：四边形AFCB是矩形，BC=18米， AF=BC=18米， 在Rt△CFD中，∠DCF=30,DC=(8+183)米， DF0c=(9+9W5)米. .AD=AF+DF=(27+9N5)米 C组 思维拔高 1.B 2.D 3.5或11 4.2-1 反 5.号兮 6. 7. 解：如图，延长PD交AC的延长线于点F,过点B作BG⊥PF于点G. B P D A CF 由题意可知，AB LAC,PF⊥AC, 8/12 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AB∥PF 又：BG⊥PF, ∴四边形ABGF是矩形. .FG=AB=63米，BG=AF 在RtACDF中，∠DCF=30°，CD=16(米)， 1 1 .DF=CD=5×I6=8(米). 2 2 设AF=BG=x(米)， 在Rt△PAF中，∠PAF=45°， .PF=AF.tan45°=xl=x(米)， 在Rt△BGP中，∠GBP=37°， ∴.∠GPB=53°， tan53°= BG 4 PG 3' 3x .PG=4 观察图形可知，PG+PF=FG=AB」 3 代入数值：x+x=63, 4 解得x=36 ∴PD=PF-DF=36-8=28(米). 答：该风力发电机塔杆的高度为28米. 8 (1)解：在Rt△ABE中，∠ABE=90°，∠E=39°， ·tan39= BE,即BE AB tan39°， 在Rt△ABF中，∠ABF=90°，∠AFB=53°， tan53°=AB F,即BFs AB tan53°， EF=EB-FB=20」 ..AB AB ABAB=20 =20,即44 tan39° tan 53 53 .AB=40米： 9/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：可以测量的角是∠BED, :AB=40米： BE=AB 40-50 tan39° (米)， 5 在Rt△BED中，∠EBD=9O°，∠BED=a, BE BE 50 .'cosa= DE,即DE= cosa cosa' 在Rt△CED中，∠CDE=90°，∠CED=27°， tan27°=CD DE' 150 .CD=DE.tan27≈ 25 2 cosacosa (3)解：在点F处再测量FD长度或F到DE的距离，通过计算也可求出铁塔CD的高度， ①测得FD=m,如图， B 图① BF=AB 在 中， 40=30 tan53°= (米)， Rt△BDF ∠FBD=90° 3 ∴利用勾股定理可得，BD=VDF2-BF2=Vm2-302=Vm2-900, 在Rt△BED中，BE=50米， .利用勾股定理可得，DE=VBE2+BD2=V502+m2-900=√m2+1600, 六在R△CED中，CD=DE-tan27°≈)m2+1600】 ②测得F到DE的距离为n,如图，过点F作FG⊥ED于点G,即FG=n, 10112 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D 70 G 图① .∠EGF=90°=∠EBD EG=EF2-FG2=V202-n7=V400-7, ∴.cOS∠BED= EG BE EF DE .:V400-m 50 20 DE' .DE=. 1000 400-n2, 六在R1△CED中，CD=DE-tam27P≈10o0 500 2V400-n2 V400-n2. 拓展 链接中考 1.B 2. 6W13 65 3.2N5 4. 解：设AG=m,FG=m,由题意知CD=200m, :AB⊥BC,CE⊥BC,DF⊥BC, .BGII DFIICE 又：CE=DF=BG」 即CEIDF且CE=DF, ∴四边形CEFD为平行四边形， .CE⊥BC,即∠C=90°， 四边形CEFD为矩形， 11/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同理可得四边形FGBD、四边形ECBG也为矩形， .EF=CD=200m,∠BGF=90°，∠AGF=180°-∠BGF=90°， .tan∠AEG= AG x EG EF+FG 200+y' tan∠AFG=AG、x =4≈0.72 FG y am∠4BC=200+y-=ys0,36={ ∴.tan ZAFG 200+y0.722, y 解得y≈200 x≈0.72y=144」 ∴.AB=AG+BG=x+1.5=145.5m 5. (1)解：由题意得，AB=300米，∠ABM=∠ABN=90°，∠BAM=30°， :tan∠BAM=MB AB .MB=tan30°×300=100V5(米)； (2)解：如图，作A0⊥CN于点Q,则四边形ABN№是矩形， .A0=BN,N0=AB=300米， M A30 B C8求苹线 5 N ,斜面AW的坡度i=1:5, AQ A0 1 ·w03005' .A0=60(米)， .BN=60米， :.MN=BM+BN=(100N3+60)米， 12/12函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 1.1锐角三角函数 目录 A组巩固过关 题型01三角函数的概念辨析 题型02求三角函数值 题型03已知三角函数值求边长 题型04坡比坡度问题 题型05特殊角三角函数值的混合运算 题型06由特殊角的三角函数值判断三角形形状 题型07根据特殊角三角函数值求角度数 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接中考 A组 巩固过关 题型01 三角函数的概念辨析 1.如图，旗杆底部为点P,AP垂直水平地面.小明站在地面Q处观测旗杆顶端A,测得仰角为Q,下列 三角函数关系式正确的是() A.sina= PO PO A0 B. cosa= A0 C.tana= PO D.tana= AP 【答案】C 1/39 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：根据题意，得sina= AP cosa= PO tana= AP A0' A0' PO AC 2.在Rt△ABC中，若∠C=90,则BC表示∠B的(） A.正弦 B.正切 C.余弦 D.坡角 【答案】B 【详解】解：：在Rt△ABC中，∠C=90°， ·∠B的对边为AC,邻边为BC. .tan B=4C AC BC,即BC表示∠B的正切， 3.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD L BC于点D,则下列结论不正确的是() A B A.cosB=AB BC B.sinB=CD D C.tanB=CD AD D.cosC=CD C 【答案】B 【详解】解：根据∠BAC=90°，AD⊥BC得到∠B=∠DAC, A.COsB= BC,正确，不符合题意： B.sinB=sin∠DMC=CD C,本选项错误，符合题意： C.tanB=tan∠DAC=CD AD,正确，不符合题意； D.cosC=CD AC' 正确，不符合题意： 故选：B 题型0？ 求三角函数值 4.(2627九年级上河北石家庄·期中)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点 均在格点上，则tan∠ACB的值为() 2139 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.5 B D.3 【答案】D 【详解】解：如图，过点A作AD⊥BC交BC于点D D 网格小正方形边长为1， .AD=3,CD=1 、在RINADC中，an∠ACB=CD==3 5.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1,AC=2,那么tanB的值是() A.2 B. D. 25 5 【答案】A 【详解】解：：在RIAABC中，∠C=90°，AC=2,BC=1, .'tanB=AC =2 BC 6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,AB=5,则sinA的值是() B C 2 A. 3 B.5 c. -5 D. 【答案】B 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,AB=5, 根据勾股定理得，BC=√AB2-AC2=V52-42=3, 3139 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .sin A= BC3 AB 5 7.在Rt△ABC中，AB=3,AC=4,则tanC的值. 3武3W万 【答案】4或7 【详解】解：当点A为直角顶点时，如图， B tan C=- AB 3 ΓAC4 当点B为直角顶点时，如图， 在Rt△ABC中，BC=√AC2-AB2=V√42-32=√万， :tanC=4B-3_3万 3.37 综上， anc的值为4或7 8.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5,BC=3,求CosA 【答案】5 【详解】解：如图， 2 A ,在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5,BC=3, AC=VAB2-BC2=V52-32=4, ∴cosA= AC 4 AB5· 4139 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型03 已知三角函数值求边长 又如图.在麦形A8CD中，DEL相4 5,AE=3,则BE的长是() B A.5 B.2 a. D.25 【答案】B 【详解】解：“DE⊥AB' c04=3 ’AE=3: AE3 3 ·ADAD5, 解得AD=5, :四边形ABCD是菱形， .AD=AB=5, .BE=AB-AE=5-3=2. 10,在R△8C中，∠C=90gBC=15m4 8,则4B的长为 【答案】17 【详解】解：，在Rt△ABC中，∠C=90°， .tan A=BC AC, :BC=15 tan4=15 8· 1515 ·AC8' .AC=8 .AB=VAC2+BC2=V82+152=17. 1如图.在R△BC中，已知∠C=90r,m4 5,且AB=15?则AC= BC= 5/39 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 【答案】 129 】解：在Rt△4BC中，己知∠C=90o,sinM=5’且4仍 BC 3 BC 3 ·AB5,即15=5，解得：BC=9 ∴.AC=VAB2-BC2=V152-92=12. 题型04 坡比坡度问题 12.如图，水坝的横截面为四边形ABCD,AD川BC,高DE=5m,迎水坡面AB的坡度i=1:V5,则迎水 坡面AB的长为() A D A.10m B.10v3m C.5m D.5V3m 【答案】A 【详解】解：过点A作AF⊥BC,垂足为F,如下图所示， AD B F E 由题意可知DE⊥BC, :∠AFB=∠DEB=90°， :AF II DE, 又：ADIIBC, ∴.四边形AFED是平行四边形， .AF DE =5m, ,迎水坡面AB的坡度i=1:√3， 6139 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AF 13 BF5=3, 55 即BF3 BF=15 =53(m), 在RteABF中，∠AFB=90°，AF=5m,BF=55(m),由勾股定理得： AB=VAF2+BF2=V52+(55=00=10(m) 1B.刻图，有多玻B按医B离执面的高皮C为30m若被度-子，则比斜坡的水子宽丝AC为 B 【答案】75m 【详解】解：设AC=x, BC 2 则= 30_2 :.x5 解得，x=75 所以水平宽度AC为75m 14.甲、乙两个山坡如图所示， 山坡更陡（填“甲”或“乙”） 13 a 2 【答案】乙 【详解】解：甲的垂直边为：V132-122=5, 坡度比为：12 39 乙的坡度比为：412： 59 1212 7/39 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴乙山坡更陡 15.如果某个斜坡的坡度为1：V5,那么这个斜坡的坡角为 【答案】30 【详解】解：设这个斜坡的坡角为， 由坡度的定义可知，坡度等于坡角的正切值， 1V3 ∴.tana= 5=3 an30°s 3, .a=30°」 ∴这个斜坡的坡角为30° 16.冷水滩某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式扶梯改造成斜坡式扶梯.如图，已知原阶梯式 扶梯AB长为10m，且坡度为l:1,改造后的斜坡式扶梯的坡角∠ACB=17°，求改造后的斜坡式扶梯水平 距离增加的长度BC.(结果精确到lm,参考数据：sinl7°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.31， √2≈1.41) 【答案】16m 【详解】解：在RtAABD中，坡度为1：l,AB=10m, .AD=BD,∠ABD=45°， .AD=BD=AB.sin45°=5v2≈7.05m, 在Rt△ACD中，∠ACB=17°， ..CD=- AD ≈23m tan17 ∴.BC=CD-BD≈16m 题型n5 特殊角三角函数值的混合运算 17.(26-27九年级上吉林长春期中)计算：2sin45°-V8+1-V2+(π-2026° 【答案】0 8139 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：2sin45°-V8+l-V2+(π-2026° 2x2 -2√2+V2-1+1 2 =V2-22+V2-1+1 =0. 18.(26-27九年级上吉林期中)计算：(-)6+2sin30-cos60°+sin60°+tan245° 【结刘9 【详解】解：（-)2026+2sin30°-cos60°+sin60°+tan245 =1+2 11V3 222 19 1 1,3 =1+1+1-。+ 22 =6-1+5 222 55 =22 5+5 2 19.(26-27九年级上山东淄博期中)计算： (1)tan45°-sin30°； ②+5-(a-m60y-2os30 【答案】( (2)7 【详解】(1)解：tan45°-sin30° 1 ②解：（+5-小-g-m60ry-2s0 9139 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =9+5-1-1-2x 2 =9+5-1-1-V5 =7. 20.计算：V5tan30°-cos60°+sin245°. 【答案】 1 【详解】解： V3tan30°-cos60°+sin245° 1,V2 322 1.1 =1-22 =1 题型n6 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 21. 在。BC中，∠A乙B都是锐角，SmA= 2,tanB=5,则AABC是三角形， 【答案】等边 【详解】解：在A4BC甲，B都是锐角，smA3 2'tan B=3' ∴.∠A=60°，∠B=60° ∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-60°=60°， ,∴△ABC的三个内角都是60°， 因此△ABC是等边三角形. 3 22.在 中， 若sinA- (1-cosB =0 是三角形 ABC 2 ∠A'∠ 都是锐角，则。BC 【答案】等边 【详解】解：： )-o. :根据绝对值和平方均非负，5血A-5-0,cosB=0 1 2 10/39 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .'sin A= 1 2，cosB= :∠A、∠B为锐角， .∠A=60°，∠B=60°，则∠C=60°， ∴△ABC为等边三角形 23.(25-26九年级上河北石家庄期中)在。4BC中，∠B∠C都是锐角，anB=1? 2，写出 △ABC最确切的形状是 【答案】等腰直角三角形 【详解】解：“∠B'∠C都是锐角， tanB=1' CosC=2 .∠B=45°，∠C=450 .∠B=∠C,∠A=180°-2×45°=90° .△ABC是等腰直角三角形： 故答案为：等腰直角三角形 题型07 根据特殊角三角函数值求角度数 24.锐角 BC中，若2 smc-5可-0，则 【答案】60 3 【详解】解： --sin B=0,tanC-3=0' .sinB=3 ’tanC=√3， :△ABC是锐角三角形，即0°<∠B<90°，0°<∠C<90°， 在该范围内，满足sinB= 2的角为600，满足anC=5的角为60°，即∠B=60°'∠C=60°， :三角形内角和为180°， ∴.∠A=180°-∠B-∠C=180°-60°-60°=60° 11/39 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 25. (26:27九年级上山东福博期中)已知。为锐角，且cos(e+10)= 2,则a= 度 【答案】20 【详解】解：，0a为锐角 0°<a<90° .10°<a+10°<100 .cos(a+10)= 2,且os30°= 2 ∴.a+10°=30° ∴a=20° 26.在 AB 中， 若sinA-3 2 +os-5） =0(其中， n为锐角)，则∠C=一。 ∠A∠B 【答案】90 【详解】解：：simA- ≥0，cosB-5之0，且两者的和为0. 2 sin 4-3 2 =0,osB-5y=0. 2 .'sin A= 3 2, COs B=. 2, ,∠A、∠B为锐角， ∠A=60°，∠B=30°， :三角形内角和为180°， .∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-30°=90° 1 27.若a,B均为锐角，且满足sma-2十Vam-1=0,求a+B的值. 【答案】 a+B=75° 【样解1解：a-0,ym20且na引am=0, ∴.sina =0,tanB-1=0 1 ".sina=2,tan B=1' 12/39 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :a、阝均为锐角， ∴a=30°，B=450 .0+B=30°+45°=75° B组 能力进阶 AD AC 1,如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，给出下列线段的比：①AC;②AB:③ BD CD BC:④BC,其中，比值与cos4的值相等的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【详解】解：，∠ACB=90°， AC :在Rt△ABC中，os1=AB,即②满足要求； ,CD是斜边AB上的高， 在Rt△4DC中，cosA=4 4C, 即①满足要求： 由题可知，∠ACB=∠CDB=90°， 则∠A+∠B=90°，∠BCD+∠B=90°， .∠A=∠BCD, .RtAACD∽RtAABC, AC CD .AB BC' 则cosA=4C、CD AB BC 即④满足要求： 综上，比值与coSA的值相等的个数为3个. 2.如图，有一信号塔CD,小红站在点F处，测得信号塔顶D的仰角为28°，小红向前走了40m,到达点 E处，测得信号塔顶D的仰角为56°，则信号塔CD的高度为()· 13/39 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 号塔 56 28T C F A,40sin28°m B.40tan28m C.40sin56°m D.40tan56°m 【答案】C 【详解】解：由题意得：∠F=28°，∠DEC=56°， :∠DEC=∠F+∠EDF, ∴∠EDF=∠DEC-∠F=56°-28°=28°=∠F, EF =ED=40(m) 在RIACDE中，sin∠DEC=sin56°-CD 40 ∴.CD=40sin56°m 3.如图，△ABC的三个项点都在方格纸的格点上，则CosC的值是() 4 A.5 B.5 D. 25 5 【答案】B 【详解】解：AC=V32+4=5, cosC-5 4.如图，在菱形ABCD中，O,E分别是AC,AD的中点，连接OE,若AB=10,AC=12,则sinLAOE的值 为() 14/39 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.5 B号 C.4 D.3 【答案】B 【详解】解：连接BD,如图， D C ,四边形ABCD是菱形， CD-AB-10 ACLBD OC-4C-6. 在RtaC0D中，OD=VCD2-0C2=V102-62=8, :O、E分别是AC、AD的中点， 、OE是△ACD的中位线， ∴OE∥CD, .∠AOE=∠ACD 'sin/AOE=sinLACD=OD=84 CD105: 1 5.已知∠4为锐角，且inA<2,则() A.0°<∠A<30° B.0°<∠A≤30° C.30°≤∠A≤90° D.30°≤∠A<90° 【答案】A 【详解】解：，∠A为锐角， 0°<∠A<90° ,、sin30°=5，sinA< 2 .sinA<sin30°， .∠A<30°， .0°<∠A<30° 6.若关于x的方程msin'x+sinx-1=0在0°<x<90°上有解，则实数m的取值范围是() 15/39 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.-1<m<0 B.0<m<1 C.m<0 D.m>0 【答案】D 【详解】解：设t=sinx, ,0°<x<90°， .0<t<1, ∴原方程化为mt2+t-1=0, 当m≤0时，：0<t<1, .mt2≤0，t-1<0. ∴mt2+t-1<0,方程无解： 当m>0时，△=12-4×m×(-1)=1+4m>0. 方程有两个不相等的实根， 1 :两根之积为m <0 ∴方程有一正一负两个实根， “正根为t=-1++4m 2m ,m>0, .V1+4m>1, t>0 :(+4m=1+4m,(2m+1)=4m2+4m+1, .4m2+4m+1-(1+4m）=4m2>0. :1+4m<2m+1, 4<1+2m1=1, 2m ∴0<t<1,符合条件. 综上所述，m>0 7.构建几何图形解决代数问题是“数形结合思想”的重要体现.在计算tanl5°时，如图，在Rt△ACB中， ∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB到点D,使BD=AB,连接AD,得∠D=15°，令AC=1,则 2-5 BD2c=B所以m5CD2+g2+2 =2-5.类比这种方法，计算 16/39 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 tan22.5°的值为() 30 15 D A.√2+1 B.√2-1 c.5 D. 【答案】B 【详解】解：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=45° 45Y 22.5°D B 延长CB到点D,使BD=AB,连接AD, ∴.∠D=∠BAD .∠D+∠BAD=∠ABC=45°， &∠D=)∠4BC=2.50 2 :∠C=90°，∠ABC=45°， ·.△ABC是等腰直角三角形 .AC=BC, 设AC=BC=a,则BD=AB=VAC2+BC2=V2a, .CD=BC+BD=a+√2a, 在AD中，mD-2S35-1 CD a+2a tan22.5°=V2-1. 8.下列关于△ABC的四个说法：①若△ABC是等腰三角形，则sinA=sinB;②若△ABC是锐角三角形，则 sinA>cosB;③若tan4tanB=1,则△ABC是直角三角形；④若△ABC是直角三角形，∠C=90°，则 1<sinA+sinB≤V2,其中说法正确的序号是 (选填序号)· 【答案】②③④ 【详解】解：逐个判断四个说法： )若4RC是等腰三角形，不一定有1=∠B’例四∠=120’∠B=∠C=3O’此时sin4 2 17/39 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 sin B=I 2sinA≠sinB' 故①错误： ②，AABC是锐角三角形， A+B=180°-C>90°，得A>90°-B :0°<90°-B<A<90°，正弦在0°~90°随角度增大而增大， :sinA>sin(90°-B)=cosB,故②正确 ③如图，在△ABC中，tan A.tan B=1,过点C作CD⊥AB于点D, D B tan A.tan B=CD.CD AD DB =1, 故CD2=AD·DB, AC2+BC2=AD2+CD2+CD2+DB2 AD2+2CD2+DB2 =AD+2AD·DB+DB =(AD+DB) =AB2 .∠C=90°，△4BC是直角三角形，故③正确， ④，∠C=90°，设角A,B,C的对边分别为a,b,c, .'sin A=a c,得sinA+sinB=a+b c 由勾股定理得a2+b2=c2, :(a+b}2=a2+2ab+b2=c2+2ab>c2,且a+b>0,c>0, .(a-b)2≥0，展开得a2+b2≥2ab, .2(a2+b2）2a2+2ab+b2=(a+b2, 即2c2≥(a+b)2, a+bsv2 因此1<sinA+sinB≤√2，故④正确。 18/39 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.如图，在等腰△ABC中，AB=AC,AD⊥BC,垂足为D,且3BC=2AD.点E、F是AD的三等分 点，则cos∠BFC+∠BAC 2 【容案19 【详解】解：，在等腰△ABC中，AB=AC,AD⊥BC, 六∠BDE=∠CDE=90° BD=cD-ac,BD=∠CD .'.FB=FC, ∴.LBFD=LCFD ,点E、F是AD的三等分点， 1 .AF EF=DE=AD 3 .3BC=2AD ∴6BD=6DE,即BD=DE=CD=EF=AF, ∠BED=∠DBE=45° ∴∠ABE+∠BAE=∠BED=45°， 同理：∠CAE+∠ACE=∠CED=45° 设BD=DE=CD=EF=AF=m, .BE=Vm2+m2=√2m, EFm_√2_V2mBE ·BE2m2=2mAE' ,∠BEF=∠AEB, ∴.△EFBD△EBA, ∴.∠BFE=∠ABE, 同理：∠CFE=∠ACE ∴.∠BEC=90°=∠BAE+∠ABE+∠CAE+∠ACE 19/39 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =∠BAE+∠CAE+∠BFE+∠CFE =∠BAC+∠BFC, ∠BFC+∠BAC .'.cos 2 =c0s45°= 2. sin60 10.计算： (cos30-12 tan60°+2tan45 【答案】 3-1 5 【详解】解：原式= 2 V5+2x1 2- 停 3 25-3+1-5 2 25-3+2-V5 2 =5-1 2 11.冷水滩某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式扶梯改造成斜坡式扶梯.如图，己知原阶梯式 扶梯AB长为10m，且坡度为l:1,改造后的斜坡式扶梯的坡角∠ACB=17°，求改造后的斜坡式扶梯水平 距离增加的长度BC.(结果精确到lm,参考数据：sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.31， √2≈1.41) B 【答案】16m 【详解】解：在Rt△ABD中，坡度为l:l,AB=10m, .AD=BD,∠ABD=45, .AD=BD=AB.sin45°=5V2≈7.05m, 在RIAACD中，∠ACB=17°， ..CD an17元≈23m. AD .BC=CD-BD≈16m 20/39 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2刻图，在△ABc,B=0,AD平分BMC.5nC-号 5’AC=5 D (I)求BC的长； (2)求tan∠BAD的值. 【答案】(I)BC=4 ②an∠BAD=) 【详解】解：在R△BC中，∠B=90,snC- 5’AC=5 ∴sinC=AB=AB3 AC=5=5, AB=3, 在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3,AC=5, 由勾股定理得：BC=VAC2-AB2=V52-32=4: (2)解：过点D作DE⊥AC交AC于点E,则∠AED=∠CED=90°，如下图所示， Bh D AD平分∠BAC,∠B=90°，∠AED=90°， .BD=DE,∠BAD=∠EAD, .△ABD≌△AED(AAS) .AE=AB=3, ∴CE=AC-AE=5-3=2. 在RIACDE中，∠CED=90°，CE=2, 由勾股定理得：CD=DE2+CE2, 即(BC-BD'=BD2+2, 21/39 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (4-BD}=BD2+2, 整理得：8BD=12. 解得：BD=3 3 tan∠BAD= BD 2 1 AB 32 13.(26-27九年级上·黑龙江哈尔滨期中)如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个 小正方形的顶点叫格点，△ABC的三个项点均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图， (I)在方格纸中，画出△ACD(点D在格点上)，满足AC=AD,且△ACD的面积是7.5； AE 3 (②在AABC的边AC上画出点B,使AC=5(保留作图痕迹，体现作图过程)，连接DE,并直接写出 tan∠ADE的值， 【答案】(1)解：根据题意，画图如下： 则△ACD即为所求： (②)解：根据题意，利用三角形相似的判定和性质，画图如下： 则点B即为所求.3 22/39 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【解】④解：4C=+4=5,取格点0.则0=4C-5Sm=方×5x3=75。 2 图略： (2)解：根据题意，画图如下： 则点E即为所求， 作图依据：，AMI‖CN,AM=3,CN=2, ∴.△AME∽aCNE、 AE AM 3 ·CECW2 AE 3 过点E作EQ⊥AD于点O,设AD,BC的交点为F, 根据题意，得EO/BC,CF=3,AF=4, .△AQEAAFC QE AO AE 3 ·CF=AFAC5 OE A0 3 .3 4 5’ 解和05- ,4Q12 5 D0=AD-40=5-12_13 5-5 tan∠ADE=E=9139 D0=55=13 14.已知关于x的方程2r2-(5+小r+m=0的两根为sin6和cos,9为锐角.求： tan0.sine (1) tan6-ll-tane的值； (2)m的值； (3)方程的两根及此时的8的值： 23/39 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案1)6+1 2 2 1 (3)x= 2,此时g=300或0=60° tan0.sin cose 【详解】(1) tan0-1 1-tan0 tan0.sin cos0 tan0-1 tan0-1 sin sinθ-cos8 cose sin0-cos0 cosθ sin20-cos20 sin0-cos (sin0+cos0)(sin0-cos0) sin0-cos0 =sin+cos0 sin0+cos= -(3+15+1 2 2 (2)sine.cos0=c =m 42, .(sin+cos)=sin20+2sin0.cos0+cos20= V3+1 2 =1+m, ③2r-5+1+5=0, 2 ①当sin0= 2,cos0=3 时，0=300 ②当sin0= 1 2，cos-=2时，0=60 24/39 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15.1947年11月12日，解放军经六昼夜激战攻克石门（石家庄旧称），此役为首例大城市攻坚战 1987年为纪念石家庄解放40周年，石家庄市政府修建了解放纪念碑.石外某班社会实践小组在了解石家 庄历史过程中，计划测量纪念碑的高度，绘制了如图所示的平面图，用AD来表示纪念碑，纪念碑东侧是 老火车站的售票厅BC,其中售票厅BC高18米.从A,B之间的E点(A,E,B在同一水平线上)测得纪 念碑顶部的D点，售票厅顶部C点的仰角分别为75和30°，从C点测得D点的仰角为30 解决下列问题，计算结果是无理数的保留根号： D 30°-C 750 ■ 1130° (1)填空： ∠CDE= _°，CE= (2)求C,D两点之间的距离； (3)求纪念碑AD的高度， 【答案】(1)45,36米 (②(18+183)米 3)(27+9W3)米 【详解】(I)解：如图：过点C作CF∥AB交AD于点F,交DE于点G,则四边形AFCB是矩形， D G 750 1130° ■ ∠AED=75°，CF∥AB .∠DGF=∠AED=75°， :.∠CDE=∠DGF-∠GCD=75°-30°=45°： 在Rt△EBC中，∠BEC=30°，BC=18米， .EC=2BC=36米. (2)解：如图：过点E作EH⊥DC于点H, 25/39 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H 30-C 75 30° E B ∠BEC=30°，CF∥AB, .∠FCE=∠BEC=30°， ∴.∠ECH=60°， .∠CEH=30° :HC=)EC=18米， EH=VEC2-HC2=V362-182=183米， :∠CDE=45°，EH⊥DC, .∠DEH=∠CDE=45°， .DH=EH=18V5米， :DC=CH+DH=(18+183)米. (3)解：四边形AFCB是矩形，BC=18米， :.AF=BC=18米， 在Rt△CFD中，∠DCF=30°，DC=(8+18B)米， :0F-号Dc=0+95)米 :AD=AF+DF=(27+95)米。 C组 思维拔高 4 1.已知：如图，在aABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC=21'AD=8:siB=5:则 tan∠EDC的值为() 26/39 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A. 1 6 2 B.15 c.3 D.13 【答案】B 【详解】解：，AD是边BC上的高， .∠ADB=∠ADC=90°， AB=4D=8=10 sin B4 5 ∴.BD=VAB2-AD2=6, ∴CD=BC-BD=21-6=15, ,E为边AC的中点， 1 :.DE=CE=AE=AC, 2 .∠EDC=∠C, an∠EDC=tanC=4D_-8 CD 15 2.如图，以Rt△ABC各边为边向外作正方形，把三个正方形如图2叠放，图2中①号L型和②号L型面 积分别为1和4，则图1中sin∠ABC的值为() ② 图1 图2 A B.5 c.5 6 D. 【答案】D 【详解】解：设AB=c,BC=a,AC=b 由题意得，①号L型面积=c2-a2=1,②号L型面积=a2-b2=4, 27/39 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 两式相加得：c2-b2=5, 在Rt△ABC中， 由勾股定理得：c2-b2=a2, .a2=5, .b2=1,c2=6, 即b=l,c=6,a=5, :sin∠ABC=4C-b=L-y6 AB c6 6 .【分类讨论】在BC中，mB 2,AB=4W5,AC=5?则BC的长为 【答案】 5或11 【详解】解：过点A作AD⊥BC于D, 情况1：垂足D在线段BC上， B D tanB=4D 1 BD 2' 设AD=x,则BD=2x, 在RIAABD中，AD+BD2=AB2, x2+(2x)2=(45)2, 解得x=4(负值舍去) ∴AD=4,BD=8, 在Rt△ACD中，AC=5, .CD=AC2-AD2=3, ...BC=BD+CD=11; 情况2：垂足D在线段BC延长线上， 28/39 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同理可求AD=4,BD=8,CD=3, ..BC=BD-CD=5; 综上，BC的长为5或11 4.【方程思想】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=67.5°，则anB等于一 C 【答案】√2-1 【详解】解：如图，在BC上取点D,使得AD=BD, B D ,∠C=90°.∠A=67.5° .∠B=180°-∠BAC-∠C=180°-90°-67.5°=22.5°， AD=BD. ∴∠B=∠BAD=22.5°， ∠ADC=∠B+∠BAD=22.5°+22.5°=45°， .∠CAD=180°-∠ADC-∠C=45°， ∴.∠ADC=∠CAD :.△ACD是等腰直角三角形， 设AC=CD=x, .BD=AD=AC2+CD=+x=x, BC=CD+BD=(1+)x, 1=2-1 BC(1+2)x2+1 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点M为AB的中点，点E为AC上一点，点D为BE上一点， ∠ADE=∠ABC,∠ADM=∠BDC,若AD=Vi,BD=6,则tan∠ADE的值， 29/39 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M D E C 【答案】 33 【详解】解：：∠ADE=∠MBD+∠MAD, 而∠ABC=∠MBD+∠DBC,∠ADE=∠ABC, .∠MAD=∠CBD. 又：∠ADM=∠BDC, ∴△ADM∽△BDC, AM AD 11 BC BD 6, 又点M是AB的中点， ∴.AB=2AM, AB 2AM 11 BC BC 3 在Rt△ABC中，设AB=VIk,则BC=3k, .AC=√AB2-BC2=V2k, tan∠ADE=tan∠ABC=AC=V2k-V2 BC 3k 3 6.【方程思想】(2026浙江杭州二模)如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，3CE=4AB,连接AE, 点B关于AE的对称点F恰好落在线段DE上，连接CF,则tan∠FCB=· y B E 【答案】16 【详解】解：：四边形ABCD为矩形， AB=CD,∠ABC=∠BCD=90°，AD=BC,ADI BC, 30/39 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .3CE =4AB. ∴.设AB=3a,则CE=4a,CD=AB=3a, 连接AF, D B EG 由对称的性质可得BE=EF,AF=AB=3a,∠AFE=∠ABC=90°， 设BE=EF=x,则AD=BC=BE+CE=x+4a, 由勾股定理可得DF=√AD2-AF2=√x2+8ax+7a2, :ADI‖BC. .∠ADE=∠CED. ∴tan∠ADE=tan∠CED, AF CD DFCE' 3a 3a x2+8ax+7a2 4a 整理可得x2+8ax+7a2=16a2, ∴x=a或x=-9a(不符合题意，舍去)， .EF BE=a,BC=5a,DF=4a, .'.DE=EF +DF =5a, 作FG⊥BC于G,则∠FGE=∠DCE=90°， ,∠FEG=∠DEC, .△FEGADEC, FG EG EF ∴CD-CE DE' FG_EGa 3a-4a 5a' 4 .FG-4.EG=a 5 ·CG=CE-EG=16a a, 31/39 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .tan∠FCB= FG 3 CG 16 16· 7.【问题解决】风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义.某电力部门在一处坡角 为30°的坡地新安装了一架风力发电机，如图1.某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高 度进行了测量，图2为测量示意图.已知斜坡CD长16米，在地面点A处测得风力发电机塔杆项端P点的 仰角为45°，利用无人机在点A的正上方63米的点B处测得P点的俯角为37°，求该风力发电机塔杆PD的 高度.（参考数据：sin53°≈4 5,cos539≥3，tam53≈2 B D 图1 图2 【答案】该风力发电机塔杆的高度为28米 【详解】解：如图，延长PD交AC的延长线于点F,过点B作BG⊥PF于点G D CF 由题意可知，ABLAC,PF⊥AC, ∴.AB∥PF. 又BG⊥PF, ∴四边形ABGF是矩形. .FG=AB=63米，BG=AF 在RtACDF中，∠DCF=30°，CD=16(米)， 0r-0D=16=8c米) 设AF=BG=x(米)， 在Rt△PAF中，∠PAF=45, .PF=AF.tan45°=xl=x(米)， 32/39 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在Rt△BGP中，∠GBP=37°， ,∠GPB=53° .tan53°= BG 4 PG 3 PG= 4 观察图形可知，PG+PF=FG=AB, 3 代入数值：+4=63， 解得x=36 .PD=PF-DF=36-8=28(米). 答：该风力发电机塔杆的高度为28米。 8.【问题解决】如图①，AB、CD是两座垂直于同一水平地面且高度不同的铁塔.小明和小丽为了测量 两座铁塔的高度，从地面上的点E处测得铁塔顶端A的仰角为39°，铁塔顶端C的仰角为27°，沿着EB向 前走20米到达点F处，测得铁塔顶端A的仰角为53°.己知∠ABE=∠CDE=90°，点E、B、D构成的 △EBD中，∠EBD=90° A B 27o 63950 B 图① 图② (I)图②是图①中的一部分，求铁塔AB的高度： (2)小明说，在点E处只要再测量一个角，通过计算即可求出铁塔CD的高度，那么可以测量的角是_，若将 这个角记为α，则铁塔CD的高度是_；（用含“的式子表示） (3)小丽说，除了在点E处测量角的度数外，还可以在点F处再测量一条线段的长度，通过计算也可求出铁 塔CD的高度，那么可以测量的线段是·（请写出两个不同的答案，可用文字描述）（参考数据： 5,c0s39°≈3 sin39°≈3 am39,5如27 20,c0s27°≈ 1 ≈0，tan27≈ 2,sin53≈ ,C0s53°≈3 4 , an53°≈3) 4 33/39 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)AB=40米 25 (②∠BED' cosa (③)FD或点F到DE的距离 【详解】(1)解：在Rt△ABE中，∠ABE=90°，∠E=39°， tan39°= BE,即BE AB tan39°， 在Rt△ABF中，∠ABF=90°，∠AFB=53°， .'tan530= BF,即BF= AB tan53°， .EF EB-FB=20 ..AB AB ABAB=20 =20,即44 tan39° tan53 53 、.AB=40米： (2)解：可以测量的角是∠BED, AB=40米 BE=,4B=40=50 tan39°-4 (米)， 5 在Rt△BED中，∠EBD=90°，∠BED=a, BE ∴.cosa= DE,即DE= BE 50 cosa cosa' 在Rt△CED中，∠CDE=90°，∠CED=27°， tan27°=CD E· CD=DE.tan27°≈x50= 1 25 2 cosa cosa: (3)解：在点F处再测量FD长度或F到DE的距离，通过计算也可求出铁塔CD的高度， ①测得FD=m,如图， 34/39 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5761 E 图① BF=AB 40=30 在 中， tan53°=4 (米)， Rt△BDE ∠FBD=90° 3 ∴利用勾股定理可得，BD=VDF2-BF2=Vm2-302=√m2-900, 在Rt△BED中，BE=50米， ∴.利用勾股定理可得，DE=√BE2+BD2=V502+m2-900=Vm2+1600, ÷在R△CED中，CD=DE,am27P≈)Vm+1600: ②测得F到DE的距离为L,如图，过点F作FG⊥ED于点G,即FG=n, B D 27 G E 图① .∠EGF=90°=∠EBD EG=EF2-FG2=V202-n=V400-7, ∴.Cos∠BED= EG BE EF DE :V400- 50 20 DE .'DE 1000 V400-n2, 在R△CED中，CD=DE:an27 11000 500 2√400-n√400-n· 35139 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 拓展 链接中考 1.(2026江苏镇江中考真题)如图，飞机的飞行高度BC为1500m,此时从飞机上看地面控制点A的俯 角为18°，飞机到控制点的距离AB为() B 18- 1500m C 1500 1500 A,1500sinl8°m B. sin18om C.1500cos18°m D cos18om 【答案】B 【详解】解：由题意可知，水平线与地面AC平行， ∠A等于俯角，即∠A=18°， 在RtAABC中，∠C=90°，BC=1500m, BC .'sin A= AB' sin18°=1500 AB' AB=1500 sin18m. 2.(2026江苏盐城中考真题)如图，小明先将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，再将△ABC纸片沿 CD方向平移到△EAD处，BC与AD重合，连接EC,若AB=2,BC=3,则sin∠ACE的值为. B 【答案】 6v13 65 【详解】解：如图，作AH⊥CE于H,则∠AHC=90°， 36/39 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 四边形 为矩形， B---- ABCD ∠B=90° .AC=VAB2+BC2=V22+32=V13 :△ABC纸片沿CD方向平移到△EAD, ∴.EA=AB=2, ∴.EB=EA+AB=4, .EC=VEB2+BC2=V42+32=5. ∠AHC=90°，∠B=90°， a4ce的面积-方E4xc-CxH. .AH=EAxBC_2x3 6 EC 55 6 sin∠ACE=4=5_63 AC 13 65 3.(2026黑龙江大庆中考真题)求值：3tan45°+23-2-(-V5° 【答案】 25 【详解】解：原式=3×1+(2v5-2)-1 =3+2V5-2-1 =2V5 4.(2026甘肃兰州中考真题)位于嘉峪关市的悬壁长城，始建于明嘉靖十八年(1539年)，因城墙沿陡 峭山脊倒挂延伸，形成“长城倒挂，铁臂悬空”的奇观而得名.如图1，某数学兴趣小组计划测量悬壁长 城最高处烽火台距离地面的高度AB.测量方案如图2，小组成员先在水平地面点C处测得∠AEG=20°， 然后沿CB方向往前走200m到达点D处，测得∠AFG=35.9°，CE=DF=BG=1.5m(测角仪高度)），图 中各点都在同一竖直平面内.A,G,B三点共线，AB⊥BC,CE⊥BC,DF⊥BC,EG=CB.求最 高处烽火台距离地面的高度AB(结果精确到0.lm),参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94， tan20°≈0.36，sin35.9°≈0.59，cos35.9°≈0.81，tan35.9°≈0.72. 37/39 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 图1 图2 【答案】145.5m 【详解】解：设AG=xm,FG=m,由题意知CD=200m, AB⊥BC,CE⊥BC,DF⊥BC, ..BGI DF II CE 又CE=DF=BG, 即CEIDF且CE=DF, ∴四边形CEFD为平行四边形， ,CE⊥BC,即∠C=90°， ∴四边形CEFD为矩形， 同理可得四边形FGBD、四边形ECBG也为矩形， .EF=CD=200m,∠BGF=90°，∠AGF=180°-∠BGF=90°， tan∠AEG=AG_ EG EF+FG 200+y m∠AFG=4C=≈0.72， FG y tan /AEG 200+yy 0.361 tan ZAFG x 200+y0.722, y 解得y≈200. .x≈0.72y=144, .AB=AG+BG=x+1.5=145.5m 5.(2026四川凉山中考真题)如图是某高速公路悬索桥，为测量索塔的高度，从与索塔MN相距300米 的点A观测塔顶M的仰角为30°，斜面AW的坡度i=1:5,点A,B,C,MN在同一平面内，AB是桥面， CN是水平线，AB‖CN,AB⊥MN.(计算结果均保留根号) 38/39 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M A30 1:5 B C-- 水平线 (1)求索塔桥面以上部分MB的高度： (2)求索塔MN的高度」 【答案】(1)100W3米 (②(100v5+60)米 【详解】(1)解：由题意得，AB=300米，∠ABM=∠ABN=90°，∠BAM=30°， :tan∠BAM=MB AB :MB=tan30°×300=100V5(米)； (2)解：如图，作A0⊥CN于点Q,则四边形ABN是矩形， A0=BN,N0=AB=300米， M A30° C8 5N 立永苹线 ,斜面AN的坡度i=1:5, A0A0 1 ·Ng3005 、A0=60(米)， .BN=60米， 、.MN=BM+BN=100V3+60)米」 39/39 分层作业 1.1锐角三角函数 目 录 A组 巩固过关 题型01 三角函数的概念辨析 题型02 求三角函数值 题型03 已知三角函数值求边长 题型04 坡比坡度问题 题型05 特殊角三角函数值的混合运算 题型06 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 题型07 根据特殊角三角函数值求角度数 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型 0 1 )三角函数的概念辨析 1．如图，旗杆底部为点垂直水平地面．小明站在地面处观测旗杆顶端，测得仰角为，下列三角函数关系式正确的是（     ） A． B． C． D． 2．在中，若，则表示的（     ） A．正弦 B．正切 C．余弦 D．坡角 3．如图，在中，，于点，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． ( 题型 0 2 )求三角函数值 4．（26-27九年级上·河北石家庄·期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，则的值为（     ） A． B． C． D．3 5．在中，，，，那么的值是（     ） A．2 B． C． D． 6．如图，在中，，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 7．在中，，，则的值． 8．在中，，，，求． ( 题型0 3 )已知三角函数值求边长 9．如图，在菱形中，，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 10．在中，，，，则的长为___________． 11．如图，在中，已知，，且，则___________，___________． ( 题型 0 4 )坡比坡度问题 12．如图，水坝的横截面为四边形，，高，迎水坡面的坡度，则迎水坡面的长为（     ） A． B． C． D． 13．如图，有一斜坡，坡顶离地面的高度为．若坡度，则此斜坡的水平宽度为___________． 14．甲、乙两个山坡如图所示，___________山坡更陡（填“甲”或“乙”）． 15．如果某个斜坡的坡度为，那么这个斜坡的坡角为______． 16．冷水滩某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式扶梯改造成斜坡式扶梯．如图，已知原阶梯式扶梯长为，且坡度为，改造后的斜坡式扶梯的坡角，求改造后的斜坡式扶梯水平距离增加的长度．（结果精确到，参考数据：，，，） ( 题型 0 5 )特殊角三角函数值的混合运算 17．（26-27九年级上·吉林长春·期中）计算：． 18．（26-27九年级上·吉林·期中）计算： 19．（26-27九年级上·山东淄博·期中）计算： (1)； (2) 20．计算：． ( 题型 0 6 )由特殊角的三角函数值判断三角形形状 21．在中，、都是锐角，，，则是______三角形． 22．在中，若，，都是锐角，则是_____三角形． 23．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）在中，，都是锐角，，，写出最确切的形状是______． ( 题型 0 7 )根据特殊角三角函数值求角度数 24．锐角中，若，则_________． 25．（26-27九年级上·山东淄博·期中）已知为锐角，且，则________度． 26．在中，若（其中，为锐角），则______． 27．若均为锐角，且满足，求的值． 1．如图，在中，，是斜边上的高，给出下列线段的比：①；②；③；④．其中，比值与的值相等的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，有一信号塔，小红站在点处，测得信号塔顶的仰角为，小红向前走了，到达点处，测得信号塔顶的仰角为，则信号塔的高度为（   ）． A． B． C． D． 3．如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在菱形中，分别是的中点，连接，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．已知为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 6．若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．构建几何图形解决代数问题是“数形结合思想”的重要体现．在计算时，如图，在中，，，延长到点D，使，连接，得，令，则，，所以．类比这种方法，计算的值为(     ) A． B． C． D． 8．下列关于的四个说法：①若是等腰三角形，则；②若是锐角三角形，则；③若，则是直角三角形；④若是直角三角形，，则，其中说法正确的序号是________（选填序号）． 9．如图，在等腰中，，，垂足为，且．点、是的三等分点，则________． 10．计算： 11．冷水滩某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式扶梯改造成斜坡式扶梯．如图，已知原阶梯式扶梯长为，且坡度为，改造后的斜坡式扶梯的坡角，求改造后的斜坡式扶梯水平距离增加的长度．（结果精确到，参考数据：，，，） 12．如图，在中，，平分，，． (1)求的长； (2)求的值． 13．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图． (1)在方格纸中，画出（点D在格点上），满足，且的面积是； (2)在的边上画出点E，使（保留作图痕迹，体现作图过程），连接，并直接写出的值． 14．已知关于的方程的两根为和，为锐角．求： (1)的值； (2)的值； (3)方程的两根及此时的的值； 15． 1947年11月12日，解放军经六昼夜激战攻克石门（石家庄旧称），此役为首例大城市攻坚战．1987年为纪念石家庄解放40周年，石家庄市政府修建了解放纪念碑．石外某班社会实践小组在了解石家庄历史过程中，计划测量纪念碑的高度，绘制了如图所示的平面图，用来表示纪念碑，纪念碑东侧是老火车站的售票厅，其中售票厅高18米．从，之间的E点在同一水平线上）测得纪念碑顶部的点，售票厅顶部点的仰角分别为和，从点测得点的仰角为 解决下列问题，计算结果是无理数的保留根号： (1)填空：___________°，___________； (2)求，两点之间的距离； (3)求纪念碑的高度． 1．已知：如图，在中，是边上的高，为边的中点，，，．则的值为（     ） A． B． C． D． 2．如图，以各边为边向外作正方形，把三个正方形如图2叠放，图2中①号L型和②号L型面积分别为1和4，则图1中的值为（     ） A． B． C． D． 3．【分类讨论】在中，，，，则的长为______________． 4．【方程思想】如图，在中，，，则等于______． 5．如图，在中，，点为的中点，点为上一点，点D为上一点，，，若，，则的值______． 6．【方程思想】（2026·浙江杭州·二模）如图，在矩形中，点E在边上，，连接，点B关于的对称点F恰好落在线段上，连接，则_____． 7．【问题解决】风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡长16米，在地面点处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方63米的点处测得点的俯角为，求该风力发电机塔杆的高度．（参考数据：，，） 8．【问题解决】如图①，、是两座垂直于同一水平地面且高度不同的铁塔．小明和小丽为了测量两座铁塔的高度，从地面上的点E处测得铁塔顶端A的仰角为，铁塔顶端C的仰角为，沿着向前走20米到达点F处，测得铁塔顶端A的仰角为．已知，点E、B、D构成的中，． (1)图②是图①中的一部分，求铁塔的高度； (2)小明说，在点E处只要再测量一个角，通过计算即可求出铁塔的高度，那么可以测量的角是 ，若将这个角记为α，则铁塔的高度是 ；（用含的式子表示） (3)小丽说，除了在点E处测量角的度数外，还可以在点F处再测量一条线段的长度，通过计算也可求出铁塔的高度，那么可以测量的线段是 ．（请写出两个不同的答案，可用文字描述）（参考数据：，，，，，，，，） 1．（2026·江苏镇江·中考真题）如图，飞机的飞行高度为，此时从飞机上看地面控制点A的俯角为，飞机到控制点的距离为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏盐城·中考真题）如图，小明先将矩形纸片沿对角线剪开，再将纸片沿方向平移到处，与重合，连接．若，，则的值为__________． 3．（2026·黑龙江大庆·中考真题）求值：． 4．（2026·甘肃兰州·中考真题）位于嘉峪关市的悬壁长城，始建于明嘉靖十八年（1539年），因城墙沿陡峭山脊倒挂延伸，形成“长城倒挂，铁臂悬空”的奇观而得名．如图1，某数学兴趣小组计划测量悬壁长城最高处烽火台距离地面的高度．测量方案如图2，小组成员先在水平地面点处测得，然后沿方向往前走到达点处，测得，（测角仪高度），图中各点都在同一竖直平面内．，，三点共线，，，，．求最高处烽火台距离地面的高度（结果精确到）．参考数据：，，，，，． 5．（2026·四川凉山·中考真题）如图是某高速公路悬索桥，为测量索塔的高度，从与索塔相距300米的点A观测塔顶M的仰角为，斜面的坡度，点A，B，C，M，N在同一平面内，是桥面，是水平线，，．（计算结果均保留根号） (1)求索塔桥面以上部分的高度； (2)求索塔的高度． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $