专题01 锐角三角函数的求法与计算（压轴题专项训练）数学新教材浙教版九年级下册

专题一 锐角三角函数的求法与计算 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型与解法归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、三比值的辨析与等量代换 题型二、网格中求三角函数值 题型三、网格作图中的构造与证明 题型四、特殊角函数值与混合运算 题型五、公式探究与函数值估算 题型六、素材探究与新定义任务 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 本专题解题核心为辨比值、构直角、用公式、读规则：分清对边邻边完成等角代换，网格题借助勾股构造直角三角形求值证明，灵活运用三角恒等式与特殊角值进行运算、探究估算；遇到新定义题型先读懂规则再推理，注意避免混淆三边、目测网格长度、记错函数值的常见错误。 学生高频易错点主要有如下几种情形： 1. 图中没有直角三角形就直接写比值，忘记先作高或利用直径构造直角； 2. 把 sinA 与 cosB 混用，忽视 A、B 互余时 sinA＝cosB； 3. 网格题直接量长度而不用勾股定理算格点距离； 4. 折叠、旋转后仍按原图的边角关系列式，没有重新标出新位置。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、三比值的辨析与等量代换 典例1　（2026·浙江温州·三模）如图，，以为圆心，2为半径画弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，为半径画弧，两弧在内部相交于点，作射线，连接，，则的值是（     ） A． B． C． D． 解题模板 1.先在图中锁定直角，再以所求角为基准找对边、邻边、斜边，三边中已知两条即可定比值; 2.所求角不在直角三角形里时，用互余关系换成等角的余角（sinA＝cosB），或用平行线、同弧所对圆周角造等角; 3.三角函数值只与角的大小有关，与图形大小无关，可直接用相似比代换。 变式1-1　（2026·浙江杭州·一模）如图，在菱形中，与交于点，，，则的值为___________． 变式1-2　（2026·浙江台州·一模）如图，在平行四边形中，过点作于点，连接．若，，则的值为______． 变式1-3　（25-26九年级上·浙江绍兴·自主招生）如图，是的中线，，，，则的长为_______． 题型二、网格中求三角函数值 典例2　（2026·浙江金华·一模）如图，在由大小相同的小正方形组成的的网格中，其顶点均在该网格的格点上．若，则顶点C的位置可以在点（    ）处． A． B． C． D． 解题模板 1.网格题自带直角：以小正方形的边为直角边，用勾股定理算出三条边; 2.所求角不在格点上时，先连格线把角搬到含直角的位置，或用同角（等角）的三角函数值相等转移; 3.结果多为无理数，最后要分母有理化。 变式2-1　（2025·浙江杭州·二模）如图，在的网格中，每个小的四边形都是边长相等的正方形，A，B，C，D均在格点上，与相交于点P，则的值为（   ） A． B． C． D． 变式2-2　（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，在正方形网格中，点O，A，B，C均在格点上．若射线过点A，射线过点B或点C中的一点，设，则或的值不可能为（   ） A． B． C．1 D．2 变式2-3　（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在的网格中，的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．的正切值为______． 题型三、网格作图中的构造与证明 典例3　（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）如图均是由边长为1的小正方形构成的网格图，请仅用无刻度的直尺按要求作图． (1)请在图1中的线段上找一点，使； (2)请在图2中的线段上找一点，使； (3)请在图3中的边上找一点，画射线，使． 解题模板 1.先明确要证哪个角等于哪个角，再决定在哪画线：作垂线得直角、作平行线得等角; 2.每一步作图都要写依据（勾股定理逆定理、等腰三角形三线合一、直径所对的圆周角是直角）; 3.证出等角后，把两个角放进同一个直角三角形里，再用边比求出三角函数值。 变式3-1　（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点均是格点，的顶点在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，保留作图痕迹．    (1)在图中的边上找到点，连结，使为中边上的中线； (2)在图中的边上找到点，连结，使； (3)在图中的边上找到点，连结使． 变式3-2　（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，且每个小正方形的顶点称为格点，线段的两个端点均在格点上，按要求完成下列画图．（要求：用无刻度的直尺，保留画图痕迹，不要求写出画法） (1)在图中，画出一个以、、为顶点的三角形，且这个三角形的面积为，为格点． (2)在图中，画出一个以、、为顶点的三角形，且，为格点． 变式3-3　（2026·浙江杭州·一模）如图，在中，连接，分别以点A，C为圆心，大于的相同长度为半径作弧，弧交于点M，N，连接分别交于点E、F、O，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若F为中点，，，求的面积． 题型四、特殊角函数值与混合运算 典例4　（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）计算：； 解题模板 1.30°、45°、60° 的函数值要背到条件反射：、、、、1、; 2.混合运算先化成同一种函数名或同一个角再代值，注意 (√3)²＝3 这类平方; 3.出现 |sinA－ | 或 时，先判断符号再去绝对值、开方。 变式4-1　（2026·浙江温州·三模）计算：． 变式4-2　（25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）解答下列各题： (1)因式分解 (2)计算 变式4-3　（2025·浙江·模拟预测）计算：． 题型五、公式探究与函数值估算 典例5　（2026·浙江温州·三模）某小组对两角和的正切公式的证明产生浓厚兴趣． 【背景阐述】 已知：如图所示，在矩形中，点在边上，连接，过点作交边于点（点不与，重合），连结．记，（其中，均为锐角，且）． 求证： 证明：不妨设， 则在矩形中，． 故，即． 因为，所以． 因为，所以． 故，从而． 而在中，． …… 【特例探试】 (1)利用“两角和的正切公式”求的近似值．（参考数据：） 【推理验证】 (2) 根据上述推导，补充完整证明过程，求证：． 解题模板 1.给一组数据找规律，先算相邻两行的差与比，再把结果写成含 n 的式子; 2.估算题用夹逼：把角夹在两个特殊角之间，由函数单调性定出取值范围; 3.结论要回到单调性上检验：角变大时 sin、tan 变大，cos 变小。 变式5-1　（25-26九年级下·浙江金华·阶段检测）【文化欣赏】（圆周率）的估算方法贯穿了数学发展史．其中阿基米德使用正九十六边形，利用（其中C为周长，d为直径），估算出的值． 【应用体验】 (1)如图1，正六边形内接于半径为1的圆内，求这个正六边形的周长并用此值估算的值． (2)如图2，半径为1的圆内切于正八边形，求这个正八边形的周长并用此值估算的值． (3)实际圆的周长介于内接正六边形周长与外切正八边形周长之间，请用这两个近似值的平均数来估算的值．【，（取1.41）】 变式5-2　（2025·浙江宁波·一模）随着电动汽车和AI技术的不断发展，通过传感器、人工智能算法、控制器等技术，实现车辆的自主驾驶功能．在检测到障碍物场景下，智能汽车自动通过智算达到自动刹车（或绕过障碍物）．整个刹车过程反应时间分：1、感知障碍物并传输信息；2、计算决策；3、执行决策（刹车或绕行）．从感知到开始执行刹车前，智能系统总反应时间秒之间，低于人类驾驶员秒的反应时间． 总停车距离（） = 反应距离（） + 制动距离（）：记作为：（：从感知到车停共经过的距离，单位米；：感知、计算的反应时间，单位秒；：刹车前行车速度，单位米/秒；：减速度，单位米/秒）．经实地测试，智能汽车在不同行驶速度下检测到障碍物时，刹车制动距离的数据如下： 车速（千米/时） 72 108 ┄ 停车距离（米） 35 71.25 ┄ (1)请根据素材求：从感知到车停共经过的距离与刹车前行车速度的函数表达式； (2)请根据素材回答问题：某智能测试汽车以千米/时正在一个车道正中间行驶时，某时刻前方相距米的货车上突然掉下一包货物几乎布满整个车道（假设掉地后静止不动）．测试汽车感知后立即启动智能程序并计算， ①请你判断，智能汽车不改变方向情况下，能否在货物前停车？ ②当汽车在高速行驶时（千米/时），汽车紧急拐弯的角度可以达到，在不减速的情况下拐弯绕行避险，能否成功？ （参考数据：每个车道的宽度为米） 变式5-3　（24-25八年级下·浙江·阶段检测）已知α为锐角满足． (1)求证：； (2)求的值． 题型六、素材探究与新定义任务 典例6　（2026·浙江温州·二模）探究角度与线段比例之间的关系 如图1，在中，，点在边上，且，连接并延长至点，使得，作交延长线于点，连接交于点．记，． 【图形认识】 (1)求证：． 【引元关联】 (2)设，求关于的函数表达式． 【特例计算】 (3)如图2，当时，分别求出和的值． 【规律研究】 (3) 已知，求的取值范围． 解题模板 1.新定义题先逐句翻译成数学语言，把定义里的"新名字"换成熟悉的边角关系; 2.按定义代一组具体数验证，确认理解无误再往下做; 3.多问之间层层递进，后一问直接引用前一问的结论。 变式6-1　（2025·浙江嘉兴·二模）综合与实践：小刚结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处（标注出点B的位置），入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水；（直线为法线，为入射光线，为折射光线，交于点G，且．） 第三步：在的延长线取一点P，在P处发出一束光线，移动点P的位置，使得入射光线，折射光线恰好经过点B． 【测量数据】如图，点A，B，C，D，E，F，O，M，N，G，P，Q在同一平面内，测得，，，，折射角． 【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： (1)求的度数． (2)求点B，D之间的距离．（结果精确到） (3)求的长．（结果精确到） （参考数据：，，，，，） 变式6-2　（2024·浙江·一模）根据以下素材，探索完成任务： 测算雷锋塔的高度 素材1 如图1，雷峰塔前有一斜坡，长为10米，坡度为，高为      素材2 利用测角仪在斜坡底的点处测得塔尖点的仰角为，在斜坡顶的点处测得塔尖点的仰角为（其中点，，在同一直线上，如图2）    素材3 查阅锐角三角函数表 ，， 任务1 获取数据 计算斜坡的高度 任务2 分析计算 通过观察，计算雷峰塔的高度（结果保留整数） 变式6-3　（2024·浙江温州·模拟预测）【问题背景】 小明在某公园游玩时，对一口“喊泉”产生了兴趣。当人们在泉边喊叫时，泉口便会涌起泉水，声音越大，涌起的泉水越高，涌至最高点所需的时间也越长． 【高度测算】 小明借助测角仪测算泉水的高度。如图1，当第一次大喊时，泉水从泉口B 竖直向上涌至最高点 C，在A 点测C点的仰角为．已知测角仪直立于地面，其高为1.65米，米． 任务1 求第一次大喊时泉水所能达到的高度的值． （参考数据：，，，） 【初建模型】 泉水边设有一个响度显示屏，在第一次大喊时显示数据为66分贝，而泉水高度与响度x（分贝）之间恰好满足正比例函数关系． 任务2  根据任务1的结果和以上数据，得到h关于x的函数关系式为 ． 【数据分析】 为探究响度与泉水涌至最高点所需时间的关系，小明通过多次实验，记录数据如下表： 时间t（秒） 0 1.5 1.75 2 2.25 2.5 响度x（分贝） 0 36 49 64 81 100 任务3  为了更直观地体现响度x与时间t之间的关系，请在图2中用描点法画出大致图象，并选取适当的数据，求出x关于t的函数关系式． 【推理计算】 据“喊泉”介绍显示，泉水最高可达50米． 任务4 试根据以上活动结论，求该泉水从泉口喷射至50米所需要的时间（精确到0.1秒）． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（24-25九年级上·浙江温州·阶段检测）如图是某车库出入口的栏杆，栏杆绕点C旋转，记旋转角．栏杆B端从水平位置上升到最高位置的过程中，的值（   ） A．先变小再变大 B．先变大再变小 C．一直变小 D．一直变大 2．（2022·浙江温州·三模）如图，以各边为边向外作正方形，把三个正方形如图2叠放，图2中①号L型和②号L型面积分别为1和4，则图1中的值为（     ） A． B． C． D． 3．（2021·浙江温州·三模）已知一个不等臂跷跷板AB长3米，支撑柱OH垂直地面，当AB的一端A着地时，AB与地面夹角的正弦值为，如图1；当AB的另一端B着地时，AB与地面夹角的正弦值为，如图2，则支撑柱OH的高为（　　）米． 　　 A．0.4 B．0.5 C． D．0.6 4．（2025·浙江杭州·二模）如图，在的网格中，每个小的四边形都是边长相等的正方形，A，B，C，D均在格点上，与相交于点P，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级下·全国·课后作业）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点，，都在格点上，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．（2024·浙江·模拟预测）如图，在“”正方形网格中，小正方形的边长为1，点A，B，C都在格点（即网格的交点）上，则的正切值是（   ） A． B．2 C． D． 7．（2025·江苏南通·中考真题）如图，网格图中每个小正方形的面积都为．经过网格点的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为，则的值为____________________． 8．（25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）若为锐角，且满足，则的度数为 _____ ． 9．（2025·浙江温州·二模）如图，在中，，，． (1)若，求的度数． (2)若，求的值． 10．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，由个形状、大小完全相同的小矩形组成一个大的矩形网格，小矩形的顶点称为这个矩形网格的格点，已知这个大矩形网格的宽为，的顶点都在格点． (1)求每个小矩形的长与宽； (2)求证：． 11．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）图①，图②，图③均是正方形网格，每个正方形的顶点称为格点，点，，均在格点上，仅用无刻度直尺，在给定网格中按要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法）． (1)如图①，已知经过点，画出所在圆的圆心，并写出它的坐标______． (2)在图②中找格点，使（找出一个符合条件的格点即可）． (3)在图③中，正方形网格中的圆经过格点、，画出该圆的圆心． 12．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）下图均是由边长为1的小正方形构成的网格图，请仅用无刻度的直尺按要求作图． (1)请在图1中的线段上找一点P，使． (2)请在图2中的边上找一点P，画射线，使． 13．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，在中，，要用尺规在直角边上找一点使． 作图方法：延长，以为圆心，为半径作圆，交的延长线于点，连结交圆于点，连接交的点即为． (1)求证：通过尺规作图，； (2)若，求． 14．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，由个形状、大小完全相同的小矩形组成一个大的矩形网格，小矩形的顶点称为这个矩形网格的格点，已知这个大矩形网格的宽为，的顶点都在格点． (1)求每个小矩形的长与宽； (2)求证：． 15．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，和分别为边上的高线和中线． (1)若，求的值． (2)求证：． 16．（2023·浙江温州·模拟预测）几百年前，伽利略通过推理与实验验证得到：当小车从斜坡上向下自由滑行时，滑行距离与时间的函数关系为：，其中是初始速度，是滑行时的加速度．小明重返伽利略斜坡实验继续探索． 【实验准备】光滑的斜坡、打点计时器、计算器、直尺等． 【验证关系】将小车从斜坡上向下滑行，得到与的函数关系如下表： （秒） 0.1 0.2 0.3 0.4 （米） 0.06 0.16 0.3 0.48 求出与的值． 【深入探索】在不改变斜坡长度的前提下，小明发现初速度一定时，斜坡角度越大，小车下滑的时间越小．经过反复试验与推理计算，小明得到斜坡角的正弦值与加速度的函数关系，如图所示： 请选择适合的函数模型表示关于的关系． 【综合运用】小车从坡角为，坡长为1.5米的光滑斜坡上下滑，初速度为每秒0.35米，求小车下滑所需时间． 17．（2023·浙江温州·一模）根据以下素材，设计落地窗的遮阳篷． 素材1：如图1，小浩家的窗户朝南，窗户的高度，此地一年中的正午时刻，太阳光与地平面的最小夹角为，最大夹角为．如图2，小浩设计直角形遮阳篷，点在的延长线上，，它既能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内（太阳光与平行），又能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光（太阳光与平行）． 素材2：小浩查阅资料，计算出，（，，如图2）． 素材3：如图3，为了美观及实用性，小浩再设计出圆弧形可伸缩遮阳篷（劣弧延伸后经过点，段可伸缩，为的中点），，的长保持不变． 【任务1】如图2，求，的长． 【任务2】如图3，求劣弧的弓高． 【任务3】如图3，若某时太阳光与地平面的夹角的正切值，要最大限度地使阳光射入室内，求遮阳篷点上升高度的最小值（点到的距离）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题一锐角三角函数的求法与计算 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型与解法归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、三比值的辨析与等量代换 题型二、网格中求三角函数值 题型三、网格作图中的构造与证明 题型四、特殊角函数值与混合运算 题型五、公式探究与函数值估算 题型六、素材探究与新定义任务 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 本专题解题核心为辨比值、构直角、用公式、读规则：分清对边邻边完成等角代换，网格题借助勾股构造直角三角形求值证明，灵活运用三角恒等式与特殊角值进行运算、探究估算；遇到新定义题型先读懂规则再推理，注意避免混淆三边、目测网格长度、记错函数值的常见错误。 学生高频易错点主要有如下几种情形： 1. 图中没有直角三角形就直接写比值，忘记先作高或利用直径构造直角； 2. 把 sinA 与 cosB 混用，忽视 A、B 互余时 sinA＝cosB； 3. 网格题直接量长度而不用勾股定理算格点距离； 4. 折叠、旋转后仍按原图的边角关系列式，没有重新标出新位置。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、三比值的辨析与等量代换 典例1　（2026·浙江温州·三模）如图，，以为圆心，2为半径画弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，为半径画弧，两弧在内部相交于点，作射线，连接，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接交于点，由作图可得，，则是的垂直平分线，通过证明是等边三角形，得到，进而得到，再利用勾股定理求出的长，在中利用正切的定义即可求解； 【详解】解：如图，连接交于点， 由作图可得，， ∴是的垂直平分线， ， ， ， ∴是等边三角形， ， ， ， ∴在中，， 即． 解题模板 1.先在图中锁定直角，再以所求角为基准找对边、邻边、斜边，三边中已知两条即可定比值; 2.所求角不在直角三角形里时，用互余关系换成等角的余角（sinA＝cosB），或用平行线、同弧所对圆周角造等角; 3.三角函数值只与角的大小有关，与图形大小无关，可直接用相似比代换。 变式1-1　（2026·浙江杭州·一模）如图，在菱形中，与交于点，，，则的值为___________． 【答案】 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出、的长，在中，根据正切的定义求解即可． 【详解】解：四边形是菱形， 、、， ， ，， 、， 在中，． 变式1-2　（2026·浙江台州·一模）如图，在平行四边形中，过点作于点，连接．若，，则的值为______． 【答案】 【分析】过作于点，则，由四边形是平行四边形，得，，证明，所以，，然后代入即可求解． 【详解】解：如图，过作于点，则， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 变式1-3　（25-26九年级上·浙江绍兴·自主招生）如图，是的中线，，，，则的长为_______． 【答案】 【分析】过点作，垂足为，根据三角函数，勾股定理求出，取的中点为点，连接，根据等腰直角三角形的判定和性质，可得；根据相似三角形的判定和性质，推出，设，分别表示出，，，利用勾股定理求出，得到，解出，根据，即可． 【详解】解：过点作，垂足为； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴； 取的中点为点，连接， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ 设， ∴，，， 在中，； ∴， 整理可得：， 解得：，； 由图可得，不符合题意， ∴， ∴． 题型二、网格中求三角函数值 典例2　（2026·浙江金华·一模）如图，在由大小相同的小正方形组成的的网格中，其顶点均在该网格的格点上．若，则顶点C的位置可以在点（    ）处． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设小正方形边长为，根据正切的定义，结合方格特点计算判断即可． 【详解】解：设小正方形边长为， 由图知，顶点C的位置在点处时，， 顶点C的位置在点处时，， 顶点C的位置在点处时，， 顶点C的位置在点处时，， 顶点C的位置可以在点处． 解题模板 1.网格题自带直角：以小正方形的边为直角边，用勾股定理算出三条边; 2.所求角不在格点上时，先连格线把角搬到含直角的位置，或用同角（等角）的三角函数值相等转移; 3.结果多为无理数，最后要分母有理化。 变式2-1　（2025·浙江杭州·二模）如图，在的网格中，每个小的四边形都是边长相等的正方形，A，B，C，D均在格点上，与相交于点P，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，解直角三角形，根据网格特点构造相似三角形是解题的关键． 过点B作，交于点G，取格点F，得到，从而，即可求得．由得到，根据，得到，．过点P作于点Q，则，得到，求得，．过点C作于点H，根据的面积求得．因此在中，根据勾股定理求得，在中，求得，根据正切的定义即可求解． 【详解】解：过点B作，交于点G，取格点F， ∴， ∴， ∵，，， ∴． ∵， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴，解得， ∴，， 过点P作于点Q，则， ∴， ∴，即， ∴，， ∴． 过点C作于点H， ∴，即， ∴． ∵， ∴在中， ∴在中，， ∴， ∵， ∴． 故选：B 二、填空题 变式2-2　（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，在正方形网格中，点O，A，B，C均在格点上．若射线过点A，射线过点B或点C中的一点，设，则或的值不可能为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了解直角三角形，根据正弦及正切的定义进行计算即可． 【详解】解：由题知， 当射线过点B时，过点B作的垂线，垂足为M， 令正方形网格的边长为1， 在中，， 所以， 则，； 当射线过点C时，过点C作的垂线，垂足为N， 在中，，， 所以， 则，， 显然只有B选项符合题意． 故选：B． 变式2-3　（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在的网格中，的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．的正切值为______． 【答案】/ 【分析】本题考查解直角三角形，三角形的面积等知识．先根据勾股定理求出和，再根据等积关系求出，再根据勾股定理求出，最后再求出角的正切值即可． 【详解】解：过点B作交于点D，如图， 由勾股定理得，，， 根据等积关系得，， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：． 题型三、网格作图中的构造与证明 典例3　（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）如图均是由边长为1的小正方形构成的网格图，请仅用无刻度的直尺按要求作图． (1)请在图1中的线段上找一点，使； (2)请在图2中的线段上找一点，使； (3)请在图3中的边上找一点，画射线，使． 【答案】(1)如图，点为所求作； (2)如图，点为所求作； (3)如图，点为所求作； 【分析】（1）找出格点、，过点作交于点，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质即可求解； （2）找出格点、，连接交于点，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质即可求解； （3）找出格点、、，连接、交于点，连接交于点，结合矩形的性质得，由勾股定理及其逆定理得， 即可求解． 【详解】（1）解：如图，找出格点、，过点作交于点， ， ， ， ； （2）解：如图，找出格点、，连接交于点， ， ， ， ； （3）解：找出格点、、，连接、交于点，连接交于点， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ． 解题模板 1.先明确要证哪个角等于哪个角，再决定在哪画线：作垂线得直角、作平行线得等角; 2.每一步作图都要写依据（勾股定理逆定理、等腰三角形三线合一、直径所对的圆周角是直角）; 3.证出等角后，把两个角放进同一个直角三角形里，再用边比求出三角函数值。 变式3-1　（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点均是格点，的顶点在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，保留作图痕迹．    (1)在图中的边上找到点，连结，使为中边上的中线； (2)在图中的边上找到点，连结，使； (3)在图中的边上找到点，连结使． 【答案】(1)如图，点即为所求； (2)如图，点即为所求； (3)如图，点即为所求． 【分析】根据网格特点找出中点，然后连结，故点即为所求； 找出格点，，连结，，交于点，证明，则，所以，故点即为所求； 找出格点，连结，，然后证明是直角三角形，再由，故点即为所求． 【详解】（1）解：找出中点，然后连结， 画图略； （2）解：找出格点，，连结，，交于点，则点即为所求； 画图略， 理由：由网格可知， ∴， ∴， ∴， ∴点即为所求； （3）解：找出格点，连结，，画图略， 由网格可知：，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴点即为所求． 变式3-2　（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，且每个小正方形的顶点称为格点，线段的两个端点均在格点上，按要求完成下列画图．（要求：用无刻度的直尺，保留画图痕迹，不要求写出画法） (1)在图中，画出一个以、、为顶点的三角形，且这个三角形的面积为，为格点． (2)在图中，画出一个以、、为顶点的三角形，且，为格点． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）结合网格格点特性，利用三角形的面积公式，通过确定的底和高，定位符合要求的格点； （2）结合网格格点特性，利用勾股定理构造等腰直角三角形来实现，找到符合要求的格点． 【详解】（1）解：观察线段的位置，可以取竖直方向长度为的线段作为三角形的底， 如取点在点正下方格的格点位置，此时的长为， 而点到线段所在竖直线的水平距离为，为三角形的高， 代入面积公式正好可以得到，满足面积要求． 如取点在线段的中点正下方格的格点位置， 那么可以将分为两个同底等高的小三角形，公共的底为，相等的高为， 也可以得到，满足面积要求． 综上，符合条件的格点有两个，故答案不唯一． （2）解：先计算线段的长度， 横向跨度为，纵向跨度为， ． 在上方或下方选取合适的点，使得，， 可满足，即是等腰直角三角形，直角顶点为点， 此时，，符合题目要求． 综上，符合条件的格点有两个，故答案不唯一． 变式3-3　（2026·浙江杭州·一模）如图，在中，连接，分别以点A，C为圆心，大于的相同长度为半径作弧，弧交于点M，N，连接分别交于点E、F、O，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若F为中点，，，求的面积． 【答案】(1) 证明：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ，，，． 四边形为平行四边形， ， ，， ， ， ， 四边形为菱形； (2)48 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，，，，再证明，继而得到四边相等，即可求证； （2）先求得，利用正弦函数的定义得到，再利用勾股定理求得，然后利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵F为中点， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴设，则， ∵， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴， ∴的面积． 题型四、特殊角函数值与混合运算 典例4　（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）计算：； 【答案】 【详解】解： ． 解题模板 1.30°、45°、60° 的函数值要背到条件反射：、、、、1、; 2.混合运算先化成同一种函数名或同一个角再代值，注意 (√3)²＝3 这类平方; 3.出现 |sinA－ | 或 时，先判断符号再去绝对值、开方。 变式4-1　（2026·浙江温州·三模）计算：． 【答案】 【分析】根据零指数幂、负整数指数幂的运算法则，以及特殊角的三角函数值，进行计算即可． 【详解】解： ． 变式4-2　（25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）解答下列各题： (1)因式分解 (2)计算 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用提公因式分解即可； （2）计算绝对值、特殊角的三角函数值，负整数指数幂即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式4-3　（2025·浙江·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，正确计算是解题的关键． 先代入特殊角的三角函数值，并进行二次根式乘法运算，再计算乘方和负整数指数幂，最后进行加减计算即可． 【详解】解： ． 题型五、公式探究与函数值估算 典例5　（2026·浙江温州·三模）某小组对两角和的正切公式的证明产生浓厚兴趣． 【背景阐述】 已知：如图所示，在矩形中，点在边上，连接，过点作交边于点（点不与，重合），连结．记，（其中，均为锐角，且）． 求证： 证明：不妨设， 则在矩形中，． 故，即． 因为，所以． 因为，所以． 故，从而． 而在中，． …… 【特例探试】 (1)利用“两角和的正切公式”求的近似值．（参考数据：） 【推理验证】 (2)根据上述推导，补充完整证明过程，求证：． 【答案】(1) (2)补充证明：∴， ，     ， ，     ∵四边形是矩形， ，，， ，， ， ． 【分析】（1）根据和求解即可； （2）根据题中思路，利用相似的性质表示出，从而表示出，，根据平行性质得出，再根据即可证明； 【详解】（1）解：． （2）略 解题模板 1.给一组数据找规律，先算相邻两行的差与比，再把结果写成含 n 的式子; 2.估算题用夹逼：把角夹在两个特殊角之间，由函数单调性定出取值范围; 3.结论要回到单调性上检验：角变大时 sin、tan 变大，cos 变小。 变式5-1　（25-26九年级下·浙江金华·阶段检测）【文化欣赏】（圆周率）的估算方法贯穿了数学发展史．其中阿基米德使用正九十六边形，利用（其中C为周长，d为直径），估算出的值． 【应用体验】 (1)如图1，正六边形内接于半径为1的圆内，求这个正六边形的周长并用此值估算的值． (2)如图2，半径为1的圆内切于正八边形，求这个正八边形的周长并用此值估算的值． (3)实际圆的周长介于内接正六边形周长与外切正八边形周长之间，请用这两个近似值的平均数来估算的值．【，（取1.41）】 【答案】(1)正六边形的周长为， (2)正八边形的周长为， (3) 【分析】（1）连接、，得到是等边三角形，得到，进而可求出正六边形的周长，然后根据题意即可估算出； （2）如图，连接，先证，进而可得到，再利用三角函数可求出，进而可求出正八边形的周长，然后根据题意即可估算出； （3）利用（1）（2）估算出的值求平均值即可． 【详解】（1）解：如图，连接、， ∵正六边形， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴， ∴圆的直径为， ∴正六边形的周长为， 根据题意可得到， ∴； （2）解：如图，连接， ∵正八边形， ∴， ∵圆内切于正八边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴正八边形的周长为：， 圆的直径为， 根据题意可得到， ∴； （3）解：∵这两个近似值为和， 故这两个近似值的平均数为． 变式5-2　（2025·浙江宁波·一模）随着电动汽车和AI技术的不断发展，通过传感器、人工智能算法、控制器等技术，实现车辆的自主驾驶功能．在检测到障碍物场景下，智能汽车自动通过智算达到自动刹车（或绕过障碍物）．整个刹车过程反应时间分：1、感知障碍物并传输信息；2、计算决策；3、执行决策（刹车或绕行）．从感知到开始执行刹车前，智能系统总反应时间秒之间，低于人类驾驶员秒的反应时间． 总停车距离（） = 反应距离（） + 制动距离（）：记作为：（：从感知到车停共经过的距离，单位米；：感知、计算的反应时间，单位秒；：刹车前行车速度，单位米/秒；：减速度，单位米/秒）．经实地测试，智能汽车在不同行驶速度下检测到障碍物时，刹车制动距离的数据如下： 车速（千米/时） 72 108 ┄ 停车距离（米） 35 71.25 ┄ (1)请根据素材求：从感知到车停共经过的距离与刹车前行车速度的函数表达式； (2)请根据素材回答问题：某智能测试汽车以千米/时正在一个车道正中间行驶时，某时刻前方相距米的货车上突然掉下一包货物几乎布满整个车道（假设掉地后静止不动）．测试汽车感知后立即启动智能程序并计算， ①请你判断，智能汽车不改变方向情况下，能否在货物前停车？ ②当汽车在高速行驶时（千米/时），汽车紧急拐弯的角度可以达到，在不减速的情况下拐弯绕行避险，能否成功？ （参考数据：每个车道的宽度为米） 【答案】(1) (2)①不能；②不成功 【分析】本题考查了二次函数的应用，解直角三角形的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据待定系数法即可解答； （2）①先将单位转换，再将代入解析式即可解答； ②根据解直角三角形的应用即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，先进行单位转化：72千米/时米/秒；108千米/时米/秒； 经过和 可得， 解得 从感知到车停共经过的距离与刹车前行车速度的函数表达式为； （2）①结论：不能在货物前停车．理由如下：                       由题意得，先进行单位转化：64.8千米/时米/秒， 代入函数关系式得：米米， ∴不能在货物前停车．    ②避险不成功，理由如下： 智能汽车感知、计算所反应的时间为秒，此时汽车已行进9米， 如图，即， ， 由题意得，， ， 避险不成功． 变式5-3　（24-25八年级下·浙江·阶段检测）已知α为锐角满足． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1) 证明：如图，在直角三角形中，，设， ， ， ， ， 根据勾股定理可得， ； (2)4 【分析】本题考查了三角函数的概念，同角三角函数的关系，对（2）中式子实施不断降幂是解题的关键． （1）画出图形，利用三角函数定义和勾股定理即可解答； （2）利用三角函数的定义和（1）中结论可得，再对原式进行降幂，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：根据图形可得， 根据（1）中结论可得，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型六、素材探究与新定义任务 典例6　（2026·浙江温州·二模）探究角度与线段比例之间的关系 如图1，在中，，点在边上，且，连接并延长至点，使得，作交延长线于点，连接交于点．记，． 【图形认识】 (1)求证：． 【引元关联】 (2)设，求关于的函数表达式． 【特例计算】 (3)如图2，当时，分别求出和的值． 【规律研究】 (4)已知，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3)， (4) 【分析】（1）根据，得出，根据相似三角形的性质，结合已知条件即可得证； （2）根据，得出，根据相似三角形的性质得出比例式，即可求解； （3）根据余弦的定义得出，则，则，得出，在和中，，得出方程，解方程，即可求解； （4）作于点，在和中，，解方程，得出，记，根据得出，进而得出，最后求得函数值的范围，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴，． ∵， ∴ ∴． （3）解：∵，， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，解得． 在和中，， ∴， 解得（负值已舍去）． （4）解：作于点， 则，， 在和中， ， ∴， ∴． 记， ∵， ∴， ∴或（舍）． ∵， ∴当时，随的增大而减小， ∴． 解题模板 1.新定义题先逐句翻译成数学语言，把定义里的"新名字"换成熟悉的边角关系; 2.按定义代一组具体数验证，确认理解无误再往下做; 3.多问之间层层递进，后一问直接引用前一问的结论。 变式6-1　（2025·浙江嘉兴·二模）综合与实践：小刚结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处（标注出点B的位置），入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水；（直线为法线，为入射光线，为折射光线，交于点G，且．） 第三步：在的延长线取一点P，在P处发出一束光线，移动点P的位置，使得入射光线，折射光线恰好经过点B． 【测量数据】如图，点A，B，C，D，E，F，O，M，N，G，P，Q在同一平面内，测得，，，，折射角． 【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： (1)求的度数． (2)求点B，D之间的距离．（结果精确到） (3)求的长．（结果精确到） （参考数据：，，，，，） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，三角函数的比值关系，平行四边形的判定与性质，熟悉掌握三角函数的比值关系是解题的关键． （1）根据两直线平行，同位角相等得到的值，然后根据角的和差解答即可； （2）利用正切的定义求出和长，然后根据线段的和差解题； （3）设直线交于点H，得到四边形和是平行四边形，即可得到对边相等，然后求出，在中利用正切的定义求出即可解题． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：在中，， ∴， 在中，， ， 故点B，D之间的距离约为． （3）解：设直线交于点H． ，， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ， 在中，， ，， ∴四边形是平行四边形， ． 变式6-2　（2024·浙江·一模）根据以下素材，探索完成任务： 测算雷锋塔的高度 素材1 如图1，雷峰塔前有一斜坡，长为10米，坡度为，高为      素材2 利用测角仪在斜坡底的点处测得塔尖点的仰角为，在斜坡顶的点处测得塔尖点的仰角为（其中点，，在同一直线上，如图2）    素材3 查阅锐角三角函数表 ，， 任务1 获取数据 计算斜坡的高度 任务2 分析计算 通过观察，计算雷峰塔的高度（结果保留整数） 【答案】任务一：斜坡的高为6．任务二：雷峰塔的高度为米． 【分析】本题考查的知识点是坡度坡比问题，仰角俯角问题(解直角三角形的应用）、用勾股定理解三角形、已知正切值求边长，解题关键是熟练掌握坡度坡比问题的解法． （1）根据坡度可得，再根据勾股定理即可求解； （2）如图，过作于，设，根据正切值求边长得，，再根据可求得的值，最后由即可求解． 【详解】任务一： 解：斜坡的坡度是， ，设，则， 又在中，， ， ∴， 解得：， ∴， 斜坡的高为6． 任务二： 如图，过作于，结合题意可得： 四边形是矩形， ∴，， 设， ∵， ， ∴，， 在斜坡顶的点处测得楼顶的仰角为， ∴， ∴， 解得：， 米， 米， 故雷峰塔的高度为米． 变式6-3　（2024·浙江温州·模拟预测）【问题背景】 小明在某公园游玩时，对一口“喊泉”产生了兴趣。当人们在泉边喊叫时，泉口便会涌起泉水，声音越大，涌起的泉水越高，涌至最高点所需的时间也越长． 【高度测算】 小明借助测角仪测算泉水的高度。如图1，当第一次大喊时，泉水从泉口B 竖直向上涌至最高点 C，在A 点测C点的仰角为．已知测角仪直立于地面，其高为1.65米，米． 任务1 求第一次大喊时泉水所能达到的高度的值． （参考数据：，，，） 【初建模型】 泉水边设有一个响度显示屏，在第一次大喊时显示数据为66分贝，而泉水高度与响度x（分贝）之间恰好满足正比例函数关系． 任务2  根据任务1的结果和以上数据，得到h关于x的函数关系式为 ． 【数据分析】 为探究响度与泉水涌至最高点所需时间的关系，小明通过多次实验，记录数据如下表： 时间t（秒） 0 1.5 1.75 2 2.25 2.5 响度x（分贝） 0 36 49 64 81 100 任务3  为了更直观地体现响度x与时间t之间的关系，请在图2中用描点法画出大致图象，并选取适当的数据，求出x关于t的函数关系式． 【推理计算】 据“喊泉”介绍显示，泉水最高可达50米． 任务4 试根据以上活动结论，求该泉水从泉口喷射至50米所需要的时间（精确到0.1秒）． 【答案】任务1：一次大喊时泉水所能达到的高度的值为22；任务2：；任务3：x关于t的函数关系式为；任务4：该泉水从泉口喷射至50米所需要的时间约为3.1秒 【分析】任务1：过点A作于点E，在中进行求解； 任务2：设，把，代入得，即可求解； 任务3：设，把，；，代入得，求解即可； 任务4：，当时，，求解即可解得． 【详解】解：任务1  高度测算 如图1，过点A作于点E，由题意得，，，, ∴， ∴， ∴． 任务2  初建模型 设，把，代入得， ∴． 任务3  数据分析 如图2，由图象可知，x与t大致满足二次函数关系 设，把，；，代入得 ，解得， 经检验，表中其他数据均满足， ∴． 任务4  推理计算 ∵， 当时，， 解得，（舍） 【点睛】本题考查了解直角三角形，一次函数，二次函数，二次函数的应用，解题的关键是利用待定系数法求解出函数解析式． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（24-25九年级上·浙江温州·阶段检测）如图是某车库出入口的栏杆，栏杆绕点C旋转，记旋转角．栏杆B端从水平位置上升到最高位置的过程中，的值（   ） A．先变小再变大 B．先变大再变小 C．一直变小 D．一直变大 【答案】D 【分析】本题的考点是特殊三角形的三角函数，方法是熟记特殊三角形的三角函数，根据正弦的定义：对边比斜边即可解答． 【详解】解：栏杆B端从水平位置上升到最高位置的过程中，升高的高度为， 在中，，为定值，随旋转角的增大而增大， 的值随的增大而增大， 的值一直变大 故选：D． 2．（2022·浙江温州·三模）如图，以各边为边向外作正方形，把三个正方形如图2叠放，图2中①号L型和②号L型面积分别为1和4，则图1中的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设、、的对边分别为a、b、c，由题意得，①号型面积，②号型面积，两式相加求出，再根据勾股定理求出，再求出，，然后求的值即可． 【详解】解：设，，， 由题意得，①号型面积，②号型面积， 两式相加得：， 在中， 由勾股定理得：， ， ，， 即，，， ． 3．（2021·浙江温州·三模）已知一个不等臂跷跷板AB长3米，支撑柱OH垂直地面，当AB的一端A着地时，AB与地面夹角的正弦值为，如图1；当AB的另一端B着地时，AB与地面夹角的正弦值为，如图2，则支撑柱OH的高为（　　）米． 　　 A．0.4 B．0.5 C． D．0.6 【答案】D 【分析】根据正弦的定义得到OA＝2OH，OB＝3OH，根据题意列式计算即可． 【详解】解：在Rt△AOH中，sinA， ∴OA＝2OH， 在Rt△BOH中，sinB， ∴OB＝3OH ∵AB＝3米， ∴2OH+3OH＝3， 解得：OH＝0.6（米）， 故选：D． 【点睛】本题考查的是锐角三角函数，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 4．（2025·浙江杭州·二模）如图，在的网格中，每个小的四边形都是边长相等的正方形，A，B，C，D均在格点上，与相交于点P，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，解直角三角形，根据网格特点构造相似三角形是解题的关键． 过点B作，交于点G，取格点F，得到，从而，即可求得．由得到，根据，得到，．过点P作于点Q，则，得到，求得，．过点C作于点H，根据的面积求得．因此在中，根据勾股定理求得，在中，求得，根据正切的定义即可求解． 【详解】解：过点B作，交于点G，取格点F， ∴， ∴， ∵，，， ∴． ∵， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴，解得， ∴，， 过点P作于点Q，则， ∴， ∴，即， ∴，， ∴． 过点C作于点H， ∴，即， ∴． ∵， ∴在中， ∴在中，， ∴， ∵， ∴． 故选：B 5．（25-26九年级下·全国·课后作业）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点，，都在格点上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查利用网格求三角形面积，勾股定理，锐角三角函数，作于点，利用勾股定理得到、，结合等面积法，进而得到，最后利用余弦定义求解，即可解题． 【详解】解：作于点， 由图知，，， ， ， 即，解得， ， 的值为， 故选：B． 6．（2024·浙江·模拟预测）如图，在“”正方形网格中，小正方形的边长为1，点A，B，C都在格点（即网格的交点）上，则的正切值是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，求正切值，连接，由勾股定理可得，，，利用勾股定理逆定理判定是直角三角形，其中，根据正切的定义即可求出答案. 【详解】解：连接， 由勾股定理可得，，，， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，其中， ∴， 即的正切值是2， 故选：B 7．（2025·江苏南通·中考真题）如图，网格图中每个小正方形的面积都为．经过网格点的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为，则的值为____________________． 【答案】 【分析】设，证明，可求得，根据的面积为，得到，求得，解方程得，根据勾股定理可得，从而可得的值． 【详解】解：如图，在图中标注，， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为，网格图中每个小正方形的面积都是， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，，（舍去）， ∵ ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握以上性质． 8．（25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）若为锐角，且满足，则的度数为 _____ ． 【答案】/30度 【分析】先将已知等式整理为关于的一元二次方程，解方程得到的可能取值，结合为锐角的条件舍去不符合的解，再根据特殊锐角的三角函数值，即可得到的度数． 【详解】解：将原等式移项得：， 方程两边同乘得：， 因式分解得：， 解得或． 因为为锐角，满足，当时，，不符合锐角定义，舍去． 当时，根据特殊锐角的三角函数值，可得． 9．（2025·浙江温州·二模）如图，在中，，，． (1)若，求的度数． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求角的正弦值，勾股定理，等边对等角，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）由三角形内角和定理得到的度数，再由等边对等角和三角形内角和定理得到的度数，最后根据角的和差关系即可得到答案； （2）设，则，利用勾股定理可得，解方程并根据正弦的定义即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：设， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴． 10．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，由个形状、大小完全相同的小矩形组成一个大的矩形网格，小矩形的顶点称为这个矩形网格的格点，已知这个大矩形网格的宽为，的顶点都在格点． (1)求每个小矩形的长与宽； (2)求证：． 【答案】(1)每个小矩形的长为，宽为 (2)见解析 【分析】本题考查了四边形综合题，需要掌握二元一次方程组的应用、勾股定理、三角形全等的判定和性质，锐角三角函数的定义的应用，主要考查学生的理解能力和观察图形的能力，求三角函数值需构建直角三角形是解此类题的常用作法． （1）设每个小矩形的长为，宽为，根据图形可知小矩形的长与宽间的数量关系有两个：个矩形的宽矩形的长；两个矩形的宽个矩形的长，据此列出方程组，并解答即可； （2）证明，得出，求出，得出，即可证明结论． 【详解】（1）解：设每个小矩形的长为，宽为， 依题意得：， 解得， 所以每个小矩形的长为，宽为； （2）证明：如图所示： 由图可知，， ， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 11．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）图①，图②，图③均是正方形网格，每个正方形的顶点称为格点，点，，均在格点上，仅用无刻度直尺，在给定网格中按要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法）． (1)如图①，已知经过点，画出所在圆的圆心，并写出它的坐标______． (2)在图②中找格点，使（找出一个符合条件的格点即可）． (3)在图③中，正方形网格中的圆经过格点、，画出该圆的圆心． 【答案】(1) 如图，点即为所求． (2) 如图，点即为所求（答案不唯一）． (3) 如图，点即为所求； 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，作三角形边上的高以及找圆的圆心，圆周角定理，正切的定义等知识，解题的关键是熟练掌握圆的相关性质和几何图形的基本特征，并巧妙利用网格或半圆等条件来完成作图． （1）利用网格特点，作出的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心，根据坐标系写出点的坐标，即可求解； （2）根据，结合网格的特点找到格点，使得即可； （3）以分别为直角三角形的顶点，作直角三角形，即为直径，点O为该圆的圆心． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 12．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）下图均是由边长为1的小正方形构成的网格图，请仅用无刻度的直尺按要求作图． (1)请在图1中的线段上找一点P，使． (2)请在图2中的边上找一点P，画射线，使． 【答案】(1) 如图所示，点P即为所求， (2) 如图所示，射线即为所求， 【分析】本题考查了格点作图，解直角三角形及相似三角形的性质． （1）取格点C，D，连接，与交点P，此时点P即为所求； （2）取格点E，F，G，连接，交于点O，连接交于点P，连接并延长，射线即为所求． 【详解】（1） ∵，， ∴， ∴， ∴． （2） 由网格的特点可知，，，， ∴， 即． 13．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，在中，，要用尺规在直角边上找一点使． 作图方法：延长，以为圆心，为半径作圆，交的延长线于点，连结交圆于点，连接交的点即为． (1)求证：通过尺规作图，； (2)若，求． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴，即 ∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， (2) 【分析】（1）根据作图可得垂直平分，进而根据等边对等角得出，根据直径所对的圆周角是直角以及已知条件得出，，进而即可得证； （2）根据（1）的结论可得得出，进而根据正切的定义，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴，又，则， ∴， ∴（负值舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，正切的定义，垂直平分线的性质，等边对等角，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握以上知识是解题的关键． 14．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，由个形状、大小完全相同的小矩形组成一个大的矩形网格，小矩形的顶点称为这个矩形网格的格点，已知这个大矩形网格的宽为，的顶点都在格点． (1)求每个小矩形的长与宽； (2)求证：． 【答案】(1)每个小矩形的长为，宽为 (2)见解析 【分析】本题考查了四边形综合题，需要掌握二元一次方程组的应用、勾股定理、三角形全等的判定和性质，锐角三角函数的定义的应用，主要考查学生的理解能力和观察图形的能力，求三角函数值需构建直角三角形是解此类题的常用作法． （1）设每个小矩形的长为，宽为，根据图形可知小矩形的长与宽间的数量关系有两个：个矩形的宽矩形的长；两个矩形的宽个矩形的长，据此列出方程组，并解答即可； （2）证明，得出，求出，得出，即可证明结论． 【详解】（1）解：设每个小矩形的长为，宽为， 依题意得：， 解得， 所以每个小矩形的长为，宽为； （2）证明：如图所示： 由图可知，， ， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，和分别为边上的高线和中线． (1)若，求的值． (2)求证：． 【答案】(1) (2) ∵为等边三角形，为边上的高线， ∴， ∵为斜边上的中线， ∴． 由勾股定理得∶，， ∴，即．． 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）先说明，再根据高的定义和中线的定义说明为等边三角形，则，最后根据特殊角的三角函数值即可解答； （2）先根据等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得、，再根据勾股定理可得、，最后根据等量代换即可证明结论． 【详解】（1）解：∵，且， ∴． ∵为边上的高线， ∴． 又∵为斜边上的中线， ∴． ∴为等边三角形， ∴， ∴． （2）解：略． 16．（2023·浙江温州·模拟预测）几百年前，伽利略通过推理与实验验证得到：当小车从斜坡上向下自由滑行时，滑行距离与时间的函数关系为：，其中是初始速度，是滑行时的加速度．小明重返伽利略斜坡实验继续探索． 【实验准备】光滑的斜坡、打点计时器、计算器、直尺等． 【验证关系】将小车从斜坡上向下滑行，得到与的函数关系如下表： （秒） 0.1 0.2 0.3 0.4 （米） 0.06 0.16 0.3 0.48 求出与的值． 【深入探索】在不改变斜坡长度的前提下，小明发现初速度一定时，斜坡角度越大，小车下滑的时间越小．经过反复试验与推理计算，小明得到斜坡角的正弦值与加速度的函数关系，如图所示： 请选择适合的函数模型表示关于的关系． 【综合运用】小车从坡角为，坡长为1.5米的光滑斜坡上下滑，初速度为每秒0.35米，求小车下滑所需时间． 【答案】验证关系：；深入探究：斜坡角的正弦值与加速度的函数关系为正比例函数：；综合应用：小车下滑所需时间为s 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正比例函数的实际应用，正弦值，读懂并正确理解题意是解题的关键． 验证关系：利用待定系数法求解即可； 深入探究：根据图象近似一条直线，即可解答； 综合应用：根据深入探究所得结论，代入数值计算即可． 【详解】解：验证关系：将代入得：， 即， 解得：； ； 深入探究：根据图象近似一条直线， 设斜坡角的正弦值与加速度的函数关系为：， 将代入得：， 解得：， 斜坡角的正弦值与加速度的函数关系为：， 斜坡角的正弦值与加速度的函数关系为正比例函数：； 综合应用：由题意得：， ， ， ，即， 解得：或（舍去）， 小车下滑所需时间为s． 17．（2023·浙江温州·一模）根据以下素材，设计落地窗的遮阳篷． 素材1：如图1，小浩家的窗户朝南，窗户的高度，此地一年中的正午时刻，太阳光与地平面的最小夹角为，最大夹角为．如图2，小浩设计直角形遮阳篷，点在的延长线上，，它既能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内（太阳光与平行），又能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光（太阳光与平行）． 素材2：小浩查阅资料，计算出，（，，如图2）． 素材3：如图3，为了美观及实用性，小浩再设计出圆弧形可伸缩遮阳篷（劣弧延伸后经过点，段可伸缩，为的中点），，的长保持不变． 【任务1】如图2，求，的长． 【任务2】如图3，求劣弧的弓高． 【任务3】如图3，若某时太阳光与地平面的夹角的正切值，要最大限度地使阳光射入室内，求遮阳篷点上升高度的最小值（点到的距离）． 【答案】任务1： ，；任务2：劣弧的弓高为米；任务3：遮阳篷点上升高度的最小值为米． 【分析】任务1：由题意得：，，，得到，，进而推出，在中，，得到，在中，，得到，结合，，即可求得，的长； 任务2：已知，得到是直径，取的中点，过点作交于点，即点是圆心，已知，，求得，根据是的中点，求得，已知，得到，结合，得到，进而得到，求得，，得到，结合是直径，点是圆心，得到，结合，，即可得到即为劣弧的弓高，根据，即可求得劣弧的弓高； 任务3：过点作，作使得，交于点，连接，过点作，与相交于点，与相交于点， 根据，得到，在中，结合，得到 ，进而得到，结合，可知点与点重合，连接，过点作，得到 ，在中，得到，设，则，根据，，得到，同理得到，，， 即可证明四边形是矩形，进一步得到，，， ，，结合是半径，得到， 在中，根据勾股定理求出的值，即可求得遮阳篷点上升高度的最小值． 【详解】任务1： 如图所示： 由题意得：，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 又∵，，则， ∴， ∴， 即，； 任务2： 如图所示： ∵， ∴是直径， 取的中点，过点作交于点，即点是圆心， ∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 由题意可知：是直径，点是圆心， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴即为劣弧的弓高， ∴， ∴劣弧的弓高为米； 任务3： 如图所示： 过点作，作使得，交于点，连接，过点作，与相交于点，与相交于点， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴点与点重合， 连接，过点作， ∵， ∴， 在中，， 设，则， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴，， 又∵是半径， ∴， 在中， ∵，，， 则， ∴， 解得：（舍），， ∴， ∴遮阳篷点上升高度的最小值为米． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $