精品解析：甘肃兰州市城关区兰州十九中教育集团2026-2027学年第一学期期中八年级数学试题

兰州十九中教育集团2026-2027学年第一学期期中试卷 八年级数学 本卷满分120分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，只交答题卡． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（共33分） 1. 在下列各数3.1415、、0.2060060006…、、、、、、无理数的个数是 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据无理数的定义进行判断即可． 【详解】解：∵无理数是无限不循环小数，不能写作两整数之比， ∴是无理数的为：0.2060060006…，，，，，共5个， 故选：D． 【点睛】此题考查无理数的定义，无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比.若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环. 2. 的三个内角分别为，，，三条边分别为a，b，c．下列条件，能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理和角度关系逐个判断即可． 【详解】解：A．∵ ∴， ∴不是直角三角形，故本选项不符合题意； B．∵， ∴， ∴不是直角三角形，故本选项不符合题意； C．∵， ∴， ∴不是直角三角形，故本选项不符合题意； D．∵， ∴即， ∴是直角三角形，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查了三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理和三角形内角和等于180°是解此题的关键． 3. 下列各式中计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质和运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． 【详解】解：A、，故本选项计算错误； B、，故本选项计算错误； C、，故本选项计算正确； D、，故本选项计算错误； 故选：C． 4. 在平面直角坐标系的第二象限内有一点P，到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则P的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系每一象限点的坐标特征是解题的关键．根据平面直角坐标系中点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值，然后再根据第二象限内点的坐标特征，即可解答． 【详解】解：在平面直角坐标系的第二象限内有一点M，到x轴的距离为4，到y轴的距离为5， 则点M的坐标为． 故选：B． 5. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，最简二次根式要求被开方数为整数且不含能开得尽方的因数或因式． 选项A和B的被开方数含有分母，选项D的被开方数含有平方因子4，均不符合要求；只有选项C的被开方数3是整数且无平方数，满足最简二次根式的条件． 【详解】解：对于A：，被开方数含分母，不是最简二次根式； 对于B：，被开方数含分母，不是最简二次根式； 对于C：，被开方数3是整数且无平方数，是最简二次根式； 对于D：，被开方数含平方因子4，不是最简二次根式． 故选C． 6. 如图，在数轴上找出表示的点A、表示2的点B，过点B作直线，在上取点C，使，以点A为圆心，为半径作弧，弧与数轴交点为D，则点D表示的数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用勾股定理计算，从而得到的长，根据数轴上的两点间距离公式计算即可． 【详解】∵表示的点A、表示2的点B在数轴上， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了勾股定理，数轴上两点间的距离公式，熟练掌握勾股定理，灵活运用数轴上两点间距离公式是解题的关键． 7. 若点和点在同一个正比例函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，比较函数值的大小，将点代入解析式，根据，即可解决问题． 【详解】解：根据题意得，， ， ，即，故选项B，C，D错误， ， ，选项A正确； 故选：A． 8. 如图，我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为，那么的值为（　　） A. 4 B. 6 C. 12 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图形面积的组成与简单代数运算的应用，解题的关键是通过分析大正方形的面积构成建立关于直角三角形面积的等式． 明确大正方形面积等于小正方形面积与四个直角三角形面积之和；根据面积公式列出等 式，结合直角三角形两直角边差的关系求解． 【详解】已知大正方形面积是，小正方形面积是1，且大正方形由四个全等的直角三角形和小正方形拼成． 每个直角三角形的面积为，则四个直角三角形的总面积为． 由面积关系可得：大正方形面积小正方形面积四个直角三角形面积，即． 解上述等式得即． 故选：B． 9. 已知，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的性质可得，，，求解即可． 【详解】解：由二次根式的双重非负性可得，， 解得且 ∴ 故选：A 【点睛】此题考查了二次根式的双重非负性，解题的关键是掌握二次根式的双重非负性，正确列出不等式． 10. 若实数满足，且，则关于的一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据a+b+c=0且a>b>c判断出a>0，c<0，再根据一次函数的图像与系数的关系得到图像过的象限即可． 【详解】∵a+b+c=0， ∴a、b、c三个数中有1负2正或2负1正， ∵a>b>c ∴有a>0，b>0，c<0或a>0，b<0，c<0两种情况 ∴a>0，c<0 ∵c<0 ∴函数的图像过一、三象限， ∵a>0， ∴函数的图像向下平移，过一、三、四象限 ∴C选项正确 故选：C． 【点睛】本题主要考查一次函数图像的性质，解题关键是根据解析式各项的系数确定图形所过象限． 11. 如图，一个机器人从点出发，向正西方向走到达点；再向正北方向走到达点；再向正东方向走到达点；再向正南方向走到达点；再向正西方向走到达点；…按此规律走下去，当机器人走到点时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知，，，……，由此得到,进行求解即可． 【详解】解： 由题意可得：，， …， 以此类推可知当（k为正整数，后面的k一样），在第一象限，当时，在第二象限，当时，在第四象限，当时，在第三象限， ∵， ∴点在第三象限， ∵，，， ∴可以推出， ∴，即 ． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（共12分） 12. 若点A（a，﹣2）与点B（﹣3，b）关于x轴对称，则ab＝_____． 【答案】9 【解析】 【分析】根据关于x轴对称的点的坐标变化，横坐标不变，纵坐标互为相反数求a,b的值，从而求解. 【详解】解：∵点A（a，﹣2）与点B（﹣3，b）关于x轴对称， ∴a＝﹣3，b＝2， ∴ab＝（﹣3）2＝9． 故答案为9． 【点睛】熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标变化规律是本题的解题关键.点P(a,b)关于x轴对称的点的坐标为（a,-b）,关于y轴对称的点的坐标为（-a,b）,关于原点对称的点的坐标为(-a,-b). 13. 如图，一次函数的图象分别与轴交于两点．若，，则关于的方程的解为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用函数过，则有时函数值为0，则关于的方程的解为． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴交于，， ∴关于的方程的解为． 14. 已知a满足，那么的值是________． 【答案】2026 【解析】 【分析】根据二次根式的有意义的条件，化简绝对值，后计算解答即可． 本题考查了二次根式的被开方数的非负性，绝对值的化简，有理数的乘方，熟练掌握非负性是解题的关键． 【详解】解：根据题意得， 解得， ， ， ， ， ， 故答案为：2026. 15. 如图，在中，，，，点D是边的中点，点E是边上一动点，连接，将沿折叠，使点C落在点F处，连接，若是直角三角形，则的长是_________． 【答案】7或 【解析】 【分析】本题考查翻折变换，直角三角形的性质等知识．分两种情形：当时，当时，分别求解即可． 【详解】解：当时， ， ， ，，共线， ，， ， 设，则， 在中，则有 解得， ； 当时，， ， ， ， ， 综上所述，满足条件的的值为7或． 故答案为：7或． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）0 （2）15 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）先化简二次根式，然后从左到右进行计算即可； （2）先计算二次根式的乘法，然后再计算除法，然后化简二次根式即可得出答案； （3）先化简二次根式，化简绝对值，零指数幂和负指数幂，然后从左到右进行计算即可； （4）利用平方差公式和完全平方公式进行展开，然后从左到右进行计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ； 【小问4详解】 解：原式 ． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，二次根式的加减混合运算，二次根式的乘除法，化简绝对值，零指数幂，负指数幂，熟练掌握其运算规则是解题的关键． 17. 如图，在锐角三角形中，，，点是边上的一点，，，求的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理。勾股定理的逆定理．熟练掌握勾股定理、勾股定理的逆定理是解题的关键． 由，可知是直角三角形，，由勾股定理得，，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形，， 由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴的面积为． 18. 已知与成正比例，当时，． （1）求出y与x的函数关系式； （2）设点在这个函数的图象上，求a的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数、正比例函数的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）设，再由当时，，求出的值即可； （2）将代入函数解析式即可得出答案． 【小问1详解】 解：设， ∵当时，， ∴， ∴， ∴，即； 【小问2详解】 解：将代入中，则， ∴． 19. 如图，是平面直角坐标系中的网格线，每一小格的边长都是1，的顶点都是格点． （1）在网格图中作出关于轴的对称图形； （2）________； （3）在轴上有一点，使得最短，求出此时的最短距离． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图-轴对称变换，轴对称-最短路线问题，三角形面积和勾股定理，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质即可在网格图中作出关于轴的对称图形； （2）运用网格的性质求三角形的面积即可求解； （3）先找到点关于轴的对称点，连接与轴交于点，再根据对称性和勾股定理求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ． 【小问3详解】 如图所示，作点关于轴的对称点，连接与轴交于点， 此时最短， 根据对称性，有， ， 根据勾股定理，， 故此时的最短距离为． 20. 王老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游．经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人元，且提供的服务完全相同．针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过人，每人都按九折收费，超过人，则超出部分每人按七五折收费．假设组团参加两日游的人数为人． （1）请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式； （2）若王老师组团参加两日游的共有人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助王老师选择收取总费用较少的一家． 【答案】（1）甲旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为，乙旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为； （2）若王老师组团参加两日游的共有人，选择乙旅行社． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是正确理解题意． （1）根据题意即可得出甲、乙旅行社收取组团两日游的总费用与人数之间的函数关系式； （2）将人数代入对应的函数关系式，可分别得出两个旅行社收取组团两日游的总费用，比较大小即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得， 甲旅行社收取组团两日游的总费用 当时，乙旅行社收取组团两日游的总费用， 当时，乙旅行社收取组团两日游的总费用， ∴乙旅行社收取组团两日游的总费用， 答：甲旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为，乙旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：当时， 甲旅行社收取总费用（元） 乙旅行社收取总费用（元） ∵， ∴乙旅行社收取总费用较少， 答：若王老师组团参加两日游的共有人，选择乙旅行社． 21. 【综合与实践】在数学项目式学习活动中，小轩同学尝试利用勾股定理测量无人机悬停时离地面的垂直高度．他将问题抽象为如下几何模型，并记录了测量数据．请根据表格信息，完成以下任务． 项目主题 无人机定点悬停高度测量 成员 组长：XXX　　　　　组员：XXX，XXX，XXX，XXX 测量工具 具备测距功能的无人机及配套遥控器 测量示意图 相关说明 （1）点在同一竖直平面内； （2）点在同一水平线上； （3）遥控器离地面的高度米，围墙的高度米． 测量步骤 （1）观测者站在围墙外处，无人机悬停在围墙上方处，遥控器显示无人机到遥控器的距离米； （2）观测者保持位置不变，无人机飞到教学楼顶部处，遥控器显示无人机到遥控器的距离米； （3）无人机悬停在教学楼顶部处，观测者从向教学楼走到处，遥控器显示无人机到遥控器的距离米． 完成任务 （1）求观测点到围墙的水平距离； （2）求教学楼的高度（忽略无人机自身尺寸）． 【答案】（1）4米；（2）米 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理内容． （1）先求出米，然后根据勾股定理求出米即可； （2）延长交于点，设米，则米，根据勾股定理列出方程，求出，根据勾股定理求出（米），最后求出结果即可． 【详解】解：（1）若米，米， 米， 在Rt中，米， 由勾股定理，得米， 答：观测点到围墙的水平距离的长为4米． （2）延长交于点， 依题意得：，米， 设米，则米， 在Rt中，， 由勾股定理，得：， 在Rt中，， 由勾股定理，得， 所以， 解得：， 所以（米）， 所以米， 答：教学楼的高度为米． 22. 已知点． （1）若点在轴上，请求出点的坐标； （2）若点在第二象限，且到轴、轴的距离相等，请求出点的坐标； （3）当时，若轴，且，写出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系，以及坐标平面内点的坐标特征，解题的关键是熟知在坐标轴上的点的坐标特征，以及平行于坐标轴的点的坐标特征，以及到两坐标轴距离相等的点的坐标特征． （1）根据轴上点的纵坐标为0求解即可； （2）根据第二象限内点的横坐标为负，纵坐标为正得到不等式组求出的取值范围，再根据点到轴、轴的距离相等建立方程求解即可； （3）先求出点坐标，根据轴得到横坐标相等，再由即求解点的坐标． 【小问1详解】 解：∵点在轴上， ∴， 解得， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵点在第二象限， ∴，， ∵点到轴、轴的距离相等 ∴ ∴ ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：当时，， ∴ ∵，轴， ∴或， ∴或 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，与直线相交于点． （1）求m和k的值； （2）直线与x轴交于点D，动点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向左运动，设运动时间为t秒． ①点A的坐标为______，点D的坐标为______； ②是否存在某一时刻t，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）①，；②或或． 【解析】 【分析】（1）将点代入直线解得；即可将代入直线求得k即可； （2）①根据一次函数与坐标轴的交点坐标的特点求解即可； ②存在，分两种情况：或，再利用勾股定理建立方程分别求t的值即可． 【小问1详解】 解：直线过点， ∴， 解得：， ∴， 将点代入直线得： ∴， 解得：． 【小问2详解】 解：①∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴，解得：， ∴， ∵直线与x轴交于点D， ∴，解得：， ∴． ②∵，， ∴， 设， ∴，， ∵是以为腰的等腰三角形， ∴或， 当时， ∴， 解得：或， ∴或， ∵， ∴或， ∴或， 当时， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， 综上：或或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点，等腰三角形的定义，勾股定理的应用，利用平方根的含义解方程，化为最简二次根式，掌握以上基础知识是解本题的关键． 24. 阅读下列材料，然后回答问题： 在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：； . 以上这种化简过程叫做分母有理化. 还可以用以下方法化简：. （1）请用其中一种方法化简； （2）化简：. 【答案】(1) ＋；(2) 3-1. 【解析】 【分析】(1)运用了第二种方法求解，即将4转化为； （2）先把每一个加数进行分母有理化，再找出规律，即后面的第二项可以和前面的第一项抵消，然后即可得出答案. 【详解】（1）原式=； （2）原式=+++… =3﹣1. 【点睛】本题主要考查了分母有理化，找准有理化的因式是解题的关键. 25. 在平面直角坐标系中，已知点，对于点，将点称为点关于点的关联点． （1）点关于点的关联点的坐标是__________； （2）若点关于的关联点为，直线轴，且线段的长度为2，求，的值． （3）点，关于点的关联点分别是点，，且点在轴上，点为坐标原点，三角形的面积为3，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形性质． （1）根据关联点定义即可求解； （2）根据题意得知，再利用条件的长度为2可知可能在的左侧，也可能在右侧，列式即可得到本题答案； （3）先根据关联点定义求出的坐标为，点的坐标为，由点在轴上，得到，则的坐标是，点的坐标为，再根据三角形面积为3，列出关于的方程解出即为本题答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴点关于点的关联点的坐标是； 【小问2详解】 解：∵点关于的关联点为， ∴， ∵直线轴， ∴，即， ∵线段的长度为2， ∴分两种情况： ①当点在的左侧时，，即：； ②当点在的右侧时，，即：， 综上所述：； 【小问3详解】 解：∵点，关于点的关联点分别是点，， ∴的坐标为，点的坐标为， ∵点在轴上， ∴，得到， ∴的坐标是，点的坐标为， ∵三角形的面积为3， ∴，即：， ∴或， ∴或， ∴点的坐标为或． 26. 解答下列问题： （1）【模型建立】 如图1，等腰中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：． （2）【模型应用】 如图2，在图1中建立平面直角坐标系，使点E与坐标原点O重合，和所在直线分别为x轴、y轴，若，，请解答下列问题： ①点C的坐标是________，点A的坐标是________； ②在x轴上存在点M，使得以O，A，B，M为顶点的四边形的面积为4，请直接写出点M的坐标：________； （3）如图3，已知直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线绕点B旋转至直线，求直线的函数表达式． 【答案】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴； （2）①，；②或； （3） 【解析】 【分析】（1）利用证明即可； （2）①根据即可得到点C的坐标，根据全等三角形的性质即可得到，，从而得到，即可得到点A的坐标； ②分M在原点右侧和在原点左侧两种情况讨论求解即可； （3）过点A作交于点C，过点C作轴，求出，，然后证明出，，，求出，然后利用待定系数法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵，，， ∴，， ∴点C的坐标为， ∴， ∴点A的坐标为； ②如图所示，当M在原点右边时，连接，，以O、A、B、M为顶点的四边形的面积为S， ∴ ， ∴， ∴点M的坐标为； 如图所示，当点M在原点左侧时，连接，， ∴ ， ∴， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或； 【小问3详解】 解：如图所示，过点A作交于点C，过点C作轴， ∵直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴当时，， ∴， ∴， 当时，， 解得， ∴， ∴， ∵将直线绕点B旋转至直线， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴设直线表达式为， ∴， 解得， ∴设直线表达式为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州十九中教育集团2026-2027学年第一学期期中试卷 八年级数学 本卷满分120分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，只交答题卡． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（共33分） 1. 在下列各数3.1415、、0.2060060006…、、、、、、无理数的个数是 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 的三个内角分别为，，，三条边分别为a，b，c．下列条件，能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系的第二象限内有一点P，到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则P的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在数轴上找出表示的点A、表示2的点B，过点B作直线，在上取点C，使，以点A为圆心，为半径作弧，弧与数轴交点为D，则点D表示的数是（　　） A. B. C. D. 7. 若点和点在同一个正比例函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为，那么的值为（　　） A. 4 B. 6 C. 12 D. 13 9. 已知，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 若实数满足，且，则关于的一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，一个机器人从点出发，向正西方向走到达点；再向正北方向走到达点；再向正东方向走到达点；再向正南方向走到达点；再向正西方向走到达点；…按此规律走下去，当机器人走到点时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（共12分） 12. 若点A（a，﹣2）与点B（﹣3，b）关于x轴对称，则ab＝_____． 13. 如图，一次函数的图象分别与轴交于两点．若，，则关于的方程的解为_________． 14. 已知a满足，那么的值是________． 15. 如图，在中，，，，点D是边的中点，点E是边上一动点，连接，将沿折叠，使点C落在点F处，连接，若是直角三角形，则的长是_________． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1） （2） （3） （4） 17. 如图，在锐角三角形中，，，点是边上的一点，，，求的面积． 18. 已知与成正比例，当时，． （1）求出y与x的函数关系式； （2）设点在这个函数的图象上，求a的值． 19. 如图，是平面直角坐标系中的网格线，每一小格的边长都是1，的顶点都是格点． （1）在网格图中作出关于轴的对称图形； （2）________； （3）在轴上有一点，使得最短，求出此时的最短距离． 20. 王老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游．经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人元，且提供的服务完全相同．针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过人，每人都按九折收费，超过人，则超出部分每人按七五折收费．假设组团参加两日游的人数为人． （1）请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式； （2）若王老师组团参加两日游的共有人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助王老师选择收取总费用较少的一家． 21. 【综合与实践】在数学项目式学习活动中，小轩同学尝试利用勾股定理测量无人机悬停时离地面的垂直高度．他将问题抽象为如下几何模型，并记录了测量数据．请根据表格信息，完成以下任务． 项目主题 无人机定点悬停高度测量 成员 组长：XXX　　　　　组员：XXX，XXX，XXX，XXX 测量工具 具备测距功能的无人机及配套遥控器 测量示意图 相关说明 （1）点在同一竖直平面内； （2）点在同一水平线上； （3）遥控器离地面的高度米，围墙的高度米． 测量步骤 （1）观测者站在围墙外处，无人机悬停在围墙上方处，遥控器显示无人机到遥控器的距离米； （2）观测者保持位置不变，无人机飞到教学楼顶部处，遥控器显示无人机到遥控器的距离米； （3）无人机悬停在教学楼顶部处，观测者从向教学楼走到处，遥控器显示无人机到遥控器的距离米． 完成任务 （1）求观测点到围墙的水平距离； （2）求教学楼的高度（忽略无人机自身尺寸）． 22. 已知点． （1）若点在轴上，请求出点的坐标； （2）若点在第二象限，且到轴、轴的距离相等，请求出点的坐标； （3）当时，若轴，且，写出点的坐标． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，与直线相交于点． （1）求m和k的值； （2）直线与x轴交于点D，动点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向左运动，设运动时间为t秒． ①点A的坐标为______，点D的坐标为______； ②是否存在某一时刻t，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 24. 阅读下列材料，然后回答问题： 在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：； . 以上这种化简过程叫做分母有理化. 还可以用以下方法化简：. （1）请用其中一种方法化简； （2）化简：. 25. 在平面直角坐标系中，已知点，对于点，将点称为点关于点的关联点． （1）点关于点的关联点的坐标是__________； （2）若点关于的关联点为，直线轴，且线段的长度为2，求，的值． （3）点，关于点的关联点分别是点，，且点在轴上，点为坐标原点，三角形的面积为3，求点的坐标． 26. 解答下列问题： （1）【模型建立】 如图1，等腰中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：． （2）【模型应用】 如图2，在图1中建立平面直角坐标系，使点E与坐标原点O重合，和所在直线分别为x轴、y轴，若，，请解答下列问题： ①点C的坐标是________，点A的坐标是________； ②在x轴上存在点M，使得以O，A，B，M为顶点的四边形的面积为4，请直接写出点M的坐标：________； （3）如图3，已知直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线绕点B旋转至直线，求直线的函数表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $