精品解析：甘肃省兰州市城关区第八中学2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

兰州市第八中学2024-2025学年度第一学期期中考试 八年级数学试卷 一、选择题(每小题3分，共36分) 1. 在数，，0.314，，中，无理数的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，较大两个正方形的面积分别为169和144，则最小正方形A的边长是（ ） A. 25 B. 13 C. 12 D. 5 4. 如图，是雷达在一次探测中发现的三个目标，目标A的位置表示为，目标C的位置表示为，按照此方法可以将目标B的位置表示为（ ） A. B. C. D. 5. 若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一个长方体工艺品的高为，底面是边长为的正方形．一只爬虫从底面顶点A沿该工艺品的表面爬向顶点B，那么它爬行的最短路程为（ ） A. B. C. D. 7. 下列无理数中，大小在4与5之间的是（ ） A. B. C. D. 8. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，点P（1，2）位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（　　） A. 3、4、5 B. 、、5 C. 6、8、10 D. 5、12、13 11. 在平面直角坐标系中，过点和点作直线，则直线（ ） A. 与x轴相交 B. 经过原点 C. 平行于y轴 D. 平行于x轴 12. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为 b、若大正方形的面积为，小正方形的面积是 ，则等于（ ） A. 19 B. 13 C. 42 D. 29 二、填空题(每题3分，共12分) 13. __________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点到y轴的距离是______个单位长度． 15. 如图，我军巡逻艇正在A处巡逻，突然发现在南偏东 60°方向距离12海里的B处有一艘走私船，以18海里/小时的速度沿南偏西30°方向行驶，我军巡逻艇立刻沿直线追赶，半小时后在点C处将其追上，我军巡逻艇的航行路程_______海里． 16. 在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右” 的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点，第二次移动到点，……，第n次移动到点．则点的坐标是______． 三、解答题（共72分） 17. 计算：． 18. 计算∶ （1） （2） 19. 计算：． 20. 兰州市第八中学是一所历史悠久、文化底蕴深厚的百年老校，是兰州市首批示范性中学．如图是我校一些地点的分布示意图，若图书馆的坐标为，广播站的坐标为． （1）请在图中画出相应的平面直角坐标系，并写出示意图中食堂和前门的坐标； （2）若学生广场的坐标为，种植园坐标为，请在图中标出学生广场和种植园的位置． 21. 如图所示，已知． （1）说出数轴上点A所表示的数为______； （2）比较点A所表示的数与的大小：______； （3）在数轴上找出对应的点．（保留作图痕迹） 22. 如图，在直角坐标系中有三点、、． （1）画出； （2）求出的面积； （3）已知点P为x轴上一点，求的最小值． 23. 我们已经知道，因此将分子、分母同时乘以，分母就变成了4，达到了分母有理化的要求，即∶．请仿照这种方法化简∶ 24. 如图，已知，两直角边，，点为上一点，现将沿折叠，使点落在斜边上的点处， （1）求的长； （2）求的长． 25. 某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表： 课题 测量学校旗杆的高度 工具 绳子、皮尺等 测量示意图 说明：线段表示学校旗杆，垂直地面于点，如图1，第一次将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，还多出了一段，用皮尺测出的长度；如图2，第二次将绳子拉直，绳子末端落在地面的点处，用皮尺测出的距离． 测量数据 测量项目 数值 图1中的长度 1米 图2中的长度 5米 根据以上测量结果，请求出学校旗杆的高度． 26. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点在轴正半轴上，． （1）求点的坐标； （2）设为轴上的一点，若，试求点的坐标． 27. 如图，在平面直角坐标系中，长方形的边、 分别在x轴、y轴上，B点在第一象限，点A的坐标是，． （1）直接写出点B、点C的坐标． （2）点P从原点O出发，在边上以每秒1个单位长度的速度匀速向C点运动，同时点Q从点B出发，在边上以每秒2个单位长度的速度匀速向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t秒，探究下列问题： ①当t为多少时，直线轴？ ②在运动过程中，当点Q到y轴的距离为2个单位长度时，求t的值． ③在整个运动过程中，能否使得四边形的面积是长方形面积的？若能，请求出P、Q两点的坐标；若不能，说明理由． 28. 【概念认识】定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，那么称这个点为另外两个点的勾股点．当这个点是直角的顶点时，这个点又称为强勾股点． 如图①，在中，，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，也是强勾股点． （1）【概念运用】如图②，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，A、B两点均在格点上，线段CD上的8个格点中，是A、B两点的勾股点的有 个． （2）如图③，在中，，垂足为，若，，．求证：是，两点的强勾股点． （3）【拓展提升】如图④，在中，，，，是的中点，是射线上一个动点，当点P运动到成为B、C或A、B的强勾股点时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州市第八中学2024-2025学年度第一学期期中考试 八年级数学试卷 一、选择题(每小题3分，共36分) 1. 在数，，0.314，，中，无理数的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：、等；开方开不尽的数；以及像有规律但无限不循环的小数． 根据无理数的定义，即可求解． 【详解】解：， 所以无理数有：，，共2个． 故选：B 2. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方根和算术平方根、立方根．根据平方根和算术平方根、立方根的定义即可求解． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 3. 如图，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，较大两个正方形的面积分别为169和144，则最小正方形A的边长是（ ） A. 25 B. 13 C. 12 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理，根据勾股定理和正方形的面积求解即可． 【详解】解：根据图形，直角三角形的边长的平方刚好为对应正方形的面积， ∴直角三角形的斜边平方为169，一条直角边的平方为144， ∴另一条直角边的平方为 ∴最小正方形A的面积是25，边长为5； 故选：D． 4. 如图，是雷达在一次探测中发现的三个目标，目标A的位置表示为，目标C的位置表示为，按照此方法可以将目标B的位置表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了坐标确定位置，根据题意得到圆圈数表示有序数对的第一个数，度数表示有序数对的第二个数是解题关键．根据题意可得：圆圈数表示有序数对的第一个数，度数表示有序数对的第二个数，以此即可解答． 【详解】解：∵目标A的位置表示为，目标C的位置表示为， ∴目标B的位置表示为 故选：C． 5. 若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数非负，得到不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴． 故选：C． 6. 如图，一个长方体工艺品的高为，底面是边长为的正方形．一只爬虫从底面顶点A沿该工艺品的表面爬向顶点B，那么它爬行的最短路程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是平面展开 − 最短路径问题，此类问题先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是利用两点之间，线段最短．关键是在平面图形上构造直角三角形解决问题． 根据不同的展开方法将立体图形展开，连接，利用勾股定理求出的长，找出最短的即可． 【详解】解：①如图，将长方体的正面和上面展开在同一平面内， ∵，，， ∴； ②如图，将长方体的正面和右面展开在同一平面内， ∵，，， ∴， ∴，负值舍去， ∵， ∴它爬行的最短路程为． 故选：C． 7. 下列无理数中，大小在4与5之间的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算、二次根式的性质，分别估算出每个选项无理数的范围，判断即可得出答案． 【详解】解：， ，即，故A不符合题意； ， ，即，故B不符合题意； ， ， ，即，故C符合题意； ， ，即，故D不符合题意； 故选：C． 8. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据二次根式的运算法则计算即可得到答案． 【详解】，故A错； ，故B错； ，C正确； ，故D错． 故选：C． 【点睛】此题考查的是二次根式的运算和化简，掌握其运算法则是解决此题关键． 9. 在平面直角坐标系中，点P（1，2）位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据坐标的属性(+，+)为第一象限，(-，+)为第二象限，(-，-)为第三象限，(+，-)为第四象限，确定即可． 【详解】∵1＞0，2＞0， ∴点P（1，2）位于第一象限， 故选A． 【点睛】本题考查了坐标与象限：(+，+)为第一象限，(-，+)为第二象限，(-，-)为第三象限，(+，-)为第四象限，，熟练掌握坐标与象限的关系是解题的关键． 10. 下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（　　） A. 3、4、5 B. 、、5 C. 6、8、10 D. 5、12、13 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，理解并掌握勾股定理的逆定理是解题关键．勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．根据勾股定理的逆定理，逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 因为，所以能构成直角三角形，不符合题意； B. 因为，所以不能构成直角三角形，符合题意； C. 因为，所以能构成直角三角形，不符合题意； D. 因为，所以能构成直角三角形，不符合题意． 故选：B． 11. 在平面直角坐标系中，过点和点作直线，则直线（ ） A. 与x轴相交 B. 经过原点 C. 平行于y轴 D. 平行于x轴 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形性质，熟知平行于坐标轴的直线上点的坐标特征是解题的关键．根据平行于轴的直线上的点，纵坐标相等；平行于轴的直线上的点，横坐标相等，即可解决问题． 【详解】解：∵点和点， ∴，两点的纵坐标相等， ∵平行于轴的直线上的点，纵坐标相等；平行于轴的直线上的点，横坐标相等， ∴直线平行于轴． 故选：D． 12. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为 b、若大正方形的面积为，小正方形的面积是 ，则等于（ ） A. 19 B. 13 C. 42 D. 29 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型． 观察图形可知，小正方形的面积＝大正方形的面积−4个直角三角形的面积，可求的值，大正方形面积为：，再将展开代入即可． 【详解】解：根据大正方形面积4个直角三角形面积=小正方形面积得：， ∴， 而大正方形面积为：， ∴， 故选：D． 二、填空题(每题3分，共12分) 13. __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的知识，掌握算术平方根的概念是关键． 根据算术平方根的概念求解即可． 【详解】解： 故答案为： ． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点到y轴的距离是______个单位长度． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查点到坐标轴的距离，根据“点到y轴的距离等于点的横坐标的绝对值”求解即可． 【详解】解：点到y轴的距离是， 故答案为：． 15. 如图，我军巡逻艇正在A处巡逻，突然发现在南偏东 60°方向距离12海里的B处有一艘走私船，以18海里/小时的速度沿南偏西30°方向行驶，我军巡逻艇立刻沿直线追赶，半小时后在点C处将其追上，我军巡逻艇的航行路程_______海里． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意在中利用勾股定理求出的长是解题的关键． 先根据题意结合方位角的描述求出以及的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∵巡逻艇沿直线追赶，半小时后在点处追上走私船， ∴海里， 在中，海里，海里， ∴海里， 答：我军巡逻艇的航行路程为海里． 故答案为15． 16. 在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右” 的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点，第二次移动到点，……，第n次移动到点．则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据前几个点的坐标变化，得出坐标的横、纵坐标变化规律，进而求得点的坐标即可． 【详解】解：根据题意， 第一次移动到点的坐标为， 第二次移动到点的坐标为， 第三次移动到点的坐标为， 第四次移动到点的坐标为， 第五次移动到点的坐标为， …… 根据变化规律可得，纵坐标4个为一个循环，前两个都为1，后两个都为0； 横坐标第一个为0，后面分别依次是2个点的横坐标为2，2个点的横坐标为3，2个点的横坐标为4，……， ∵， ∴点的坐标为，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查点的坐标变化规律探究，理解题意，仔细观察图象，得到点的横、纵坐标的变化规律是解答的关键． 三、解答题（共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算、先算乘方、开立方及算术平方根，再进行合并即可，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 18. 计算∶ （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算．熟练掌握二次根式的运算法则，是解题的关键． （1）先化简二次根式，再进行计算； （2）根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先根据二次根式的性质化简，再按二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 20. 兰州市第八中学是一所历史悠久、文化底蕴深厚的百年老校，是兰州市首批示范性中学．如图是我校一些地点的分布示意图，若图书馆的坐标为，广播站的坐标为． （1）请在图中画出相应的平面直角坐标系，并写出示意图中食堂和前门的坐标； （2）若学生广场的坐标为，种植园坐标为，请在图中标出学生广场和种植园的位置． 【答案】（1） 解：作图如下： 根据坐标系可知食堂的坐标为；前门的坐标为 （2） 学生广场和种植园的位置，如上图所示： 【解析】 【分析】此题考查了坐标确定位置，正确找到原点坐标是解答本题的关键． （1）将图书馆的坐标向左平移2个单位，向下平移4个单位即可得到原点坐标，据此即可作出坐标轴，再根据坐标系即可找到食堂和前门的坐标； （2）根据食堂的坐标，在坐标系中标明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图所示，已知． （1）说出数轴上点A所表示的数为______； （2）比较点A所表示的数与的大小：______； （3）在数轴上找出对应的点．（保留作图痕迹） 【答案】（1） （2） （3） 如图，点G表示的数为． 【解析】 【分析】本题为考查勾股定理、实数与数轴，实数大小比较，体现了“数形结合”的思想，解题的关键是构造恰当的直角三角形． （1）根据勾股定理即可求得的长度，从而得出的长度，再考虑点A位于原点的左侧，为负数，即可得解； （2）先比较两数的绝对值的平方值大小，然后再比较两数的大小，考虑到绝对值越大的负数，实际值越小，即可得出结果； （3）过表示数2的点作数轴的垂线，截取，以为圆心，为半径画弧与正半轴相交于点，则点G就是表示的点． 【小问1详解】 解：在中，根据勾股定理得： ， ∴， ∴点A所表示的数为； 【小问2详解】 解：∵，， 又∵， ∴ 【小问3详解】 略 22. 如图，在直角坐标系中有三点、、． （1）画出； （2）求出的面积； （3）已知点P为x轴上一点，求的最小值． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2）6 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形面积，轴对称最短路径问题，勾股定理： （1）根据A、B、C的坐标描出三个点，再顺次连接三个点即可； （2）用所在的长方形面积减去周围三个三角形面积进行求解即可； （3）如图所示，作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时最小，即为的长，利用勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：如图，作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时最小，即为的长， ∵点， ∴点， ∴． 23. 我们已经知道，因此将分子、分母同时乘以，分母就变成了4，达到了分母有理化的要求，即∶．请仿照这种方法化简∶ 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了分母有理化，关键是正确理解所给例题，利用平方差公式进行分母有理化． 仿照例题，将分子、分母同时乘以，即可利用平方差公式进行分母有理化． 【详解】解： 24. 如图，已知，两直角边，，点为上一点，现将沿折叠，使点落在斜边上的点处， （1）求的长； （2）求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，熟记性质并表示出的三边，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键． （1）先根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得，进而即可求出的长． （2）在中，用勾股定理列方程即可求得的长． 【小问1详解】 解：，，， 根据翻折的性质可得， 则． 【小问2详解】 解：设，由折叠可知：，， 在中， ∴ 解得： ∴的长为． 25. 某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表： 课题 测量学校旗杆的高度 工具 绳子、皮尺等 测量示意图 说明：线段表示学校旗杆，垂直地面于点，如图1，第一次将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，还多出了一段，用皮尺测出的长度；如图2，第二次将绳子拉直，绳子末端落在地面的点处，用皮尺测出的距离． 测量数据 测量项目 数值 图1中的长度 1米 图2中的长度 5米 根据以上测量结果，请求出学校旗杆的高度． 【答案】米 【解析】 【分析】此题考查勾股定理的应用，能够用一个未知数表示出未知的两条边，再根据勾股定理列方程求解． 设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米，在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】由图1可得绳子的长度比旗杆的高度多1米， 设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米 由图2可得，在中，， 解得，， 答：旗杆的高度为12米． 26. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点在轴正半轴上，． （1）求点的坐标； （2）设为轴上的一点，若，试求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，掌握数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）根据，进行求解即可； （2）设，根据列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 设，则：， ∵， ∴， ∴， 解得：或； ∴或． 27. 如图，在平面直角坐标系中，长方形的边、 分别在x轴、y轴上，B点在第一象限，点A的坐标是，． （1）直接写出点B、点C的坐标． （2）点P从原点O出发，在边上以每秒1个单位长度的速度匀速向C点运动，同时点Q从点B出发，在边上以每秒2个单位长度的速度匀速向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t秒，探究下列问题： ①当t为多少时，直线轴？ ②在运动过程中，当点Q到y轴的距离为2个单位长度时，求t的值． ③在整个运动过程中，能否使得四边形的面积是长方形面积的？若能，请求出P、Q两点的坐标；若不能，说明理由． 【答案】（1） （2）①；②；③能，点P的坐标是，点Q的坐标是 【解析】 【分析】本题是四边形综合题．考查了长方形的性质以及四边形的面积，解题的关键是化动为静，用含t的代数式表示线段的长． （1）根据给定点的坐标和线段长，再利用长方形的性质求出点B和点C的坐标； （2）①根据题意得，，则，可知，根据题意有，列方程求解即可； ②根据题意可知，则有，求解t即可； ③根据题意求得，有题意知，，可求得，，则，结合题意求得t，即可知点的坐标． 【小问1详解】 解：∵四边形是长方形， ∴， ∵点A的坐标是，， ∴， ∴， 故点； 【小问2详解】 解：由题意得，， ∴， ∴， ①∵直线轴， ∴ ∴， ∴， ∴当t值为秒时，直线轴； ②∵点Q到y轴的距离为2个单位长度， ∴， 由①知，则，解得， ③∵，， ∴， 由运动知，，， ∴，， ∴， ∵四边形的面积是长方形的面积的， ∴，解得， ∴， ∴，． 28. 【概念认识】定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，那么称这个点为另外两个点的勾股点．当这个点是直角的顶点时，这个点又称为强勾股点． 如图①，在中，，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，也是强勾股点． （1）【概念运用】如图②，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，A、B两点均在格点上，线段CD上的8个格点中，是A、B两点的勾股点的有 个． （2）如图③，在中，，垂足为，若，，．求证：是，两点的强勾股点． （3）【拓展提升】如图④，在中，，，，是的中点，是射线上一个动点，当点P运动到成为B、C或A、B的强勾股点时，直接写出的长． 【答案】（1）4 （2） 证明： ． ， 在中，由勾股定理得：， ． 在中，由勾股定理得：， ． 在中，， 又， ， 由勾股定理逆定理得：是直角三角形， 点是，两点的强勾股点； （3），． 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查了勾股定理及其逆定理的应用，新定义“强勾股点”等知识；解题关键是对新定义概念的性质运用，并注意运用分类讨论的思想． （1）根据新定义“勾股点”和网格的特点作出直角，即可得出答案； （2）由勾股定理逆定理得出是直角三角形，则可得出结论； （3）由新定义“强勾股点”画出图形，根据勾股定理可得出答案． 【小问1详解】 解：如图， ，，，四点都分别能与，构成直角三角形， 图中，两点的勾股点的有4个， 故答案为：4； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵是的中点， ∴， ∴， 若点是，两个顶点的强勾股点时，如图， ， ， ； 若点是，两个顶点的强勾股点时，如图， ，， ， 设， ， ， ， ； 综上所述，的长为，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $