精品解析：辽宁铁岭市部分县2026-2027学年九年级上学期期中数学试卷

九年数学 （本试卷共23题　　满分120分　　考试时间120分钟） 注意事项： 1．考生务必将考场/座位号、姓名、班级填写在答题卡相应位置上． 2．考生应把试题答案答在答题卡上对应题目处，答在试卷上无效． 3．选择题，需用2B铅笔涂黑在答题卡对应的选项中 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有项符合题目要求） 1. 下列命题为真命题的是（ ） A. 菱形、矩形、正方形都是轴对称图形 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 对角线互相垂直的四边形一定是菱形 D. 菱形的对角线相等 2. 关于的方程有两个不相等实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 如果，那么的值为（ ）． A. B. C. 2或 D. 或 4. 已知，是方程的两个实数根，则（ ） A. B. C. D. 2 5. 在中，对角线与相交于点，是等边三角形，，则的面积是（ ） A. B. 16 C. 32 D. 6. 如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ） A. B. C. D. 7. 在一幅长，宽的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积占整个挂图面积的，那么金色纸边的宽应该是多少？设金色纸边的宽是，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 若，和是它们的对应角平分线，已知，，则与的对应高的比为（ ） A. B. C. D. 9. 在菱形中，对角线、相交于点，和的长是关于的方程的两个根，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 如图，在矩形中，对角线、相交于点，在的延长线上取一点，连接，交于点，已知，，，则的长（ ） A. B. C. D. 第二部分　非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知是关于x的方程的一个根，则m的值为______． 12. 如图，正方形的对角线与相交于点，点在上运动，连接，过点作，交于点，，则四边形的面积为________． 13. 已知：中，点、分别在和上，且，，则________． 14. 线段a、b、c、d成比例，其中，，，则______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标分别是，，，，已知矩形与矩形位似，位似中心是原点，且矩形面积等于矩形面积的，则点的坐标为________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程： （1） （2） 17. 已知：如图，在中，对角线与相交于点，，且和的长是关于的一元二次方程的两个根，， （1）求和的长； （2）求证：是菱形． 18. 定义：如果关于的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“紫金方程”． （1）判断一元二次方程是否为“紫金方程”，并说明理由： （2）已知是关于的“紫金方程”，若，是此方程的两个根，求的值． 19. 如图，与相交于点，且，，，垂足分别为，． （1）求证：； （2）若，，求的值． 20. 如图，在中，，是的一条角平分线，过点作，过点作，与相交于点，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 21. 如图，在中，，，点是的中点，连接，，动点从点出发沿边运动，速度为，到点停止，动点从点出发沿边运动，速度为，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为． （1）当t为何值时，； （2）在运动过程中，点，，组成的三角形能否与相似？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 22. 根据以下资料，完成探索任务． 活动主题 探索某品牌冰箱在某商场的销售利润问题 探究背景 某商场在2026年国庆节期间促销某品牌冰箱，每台进价为元，标价为元． 资料1 该商场举行了“喜迎国庆，回馈新老用户”抽奖活动，将冰箱价格连续两次下调，每次降价的百分率相同，最后以每台元的价格卖给中奖者 资料2 市场调研表明：当每台冰箱的售价为元时，平均每天能售出台，当售价每降低元时，平均每天能多售出台．商场要想使该品牌冰箱平均每天的销售利润为元 问题解决： （1）求每次降价的百分率； （2）求每台冰箱的售价应定为多少元？ 23. 如图，四边形是正方形，点在对角线的延长线上，连接，，过点作，交的延长线于点，过点作，分别交于点，交于点． （1）直接写出和的数量关系_________； （2）猜想的形状，请说明理由； （3）若，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年数学 （本试卷共23题　　满分120分　　考试时间120分钟） 注意事项： 1．考生务必将考场/座位号、姓名、班级填写在答题卡相应位置上． 2．考生应把试题答案答在答题卡上对应题目处，答在试卷上无效． 3．选择题，需用2B铅笔涂黑在答题卡对应的选项中 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有项符合题目要求） 1. 下列命题为真命题的是（ ） A. 菱形、矩形、正方形都是轴对称图形 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 对角线互相垂直的四边形一定是菱形 D. 菱形的对角线相等 【答案】A 【解析】 【分析】由正方形、矩形、菱形的判定方法或性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A选项：菱形、矩形、正方形均为轴对称图形，是真命题； B选项：矩形的对角线相等且互相平分，不互相垂直，是假命题； C选项：对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，仅对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，是假命题； D选项：菱形的对角线互相垂直平分，不一定相等，是假命题． 2. 关于的方程有两个不相等实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 3. 如果，那么的值为（ ）． A. B. C. 2或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得出，，，再把三式相加进行整理得出，求出或，然后再进行运算即可求出k的值． 【详解】∵， ∴，，， 三式相加得：， ∴， ∴或， 当时，， 当时， 则， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．注意不要忘记这个解． 4. 已知，是方程的两个实数根，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】解：方程中，，，由根与系数的关系得． 5. 在中，对角线与相交于点，是等边三角形，，则的面积是（ ） A. B. 16 C. 32 D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合平行四边形对角线互相平分与等边三角形性质，证得四边形为矩形，再利用勾股定理求边长后计算面积． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 6. 如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据图形可得，，， ∴根据，可以排除AC选项； B选项中两个短边比例为，选项中的三角形（阴影部分）与相似，符合题意； D选项中两个短边比例为，选项中的三角形（阴影部分）与不相似，不符合题意． 7. 在一幅长，宽的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积占整个挂图面积的，那么金色纸边的宽应该是多少？设金色纸边的宽是，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】确定镶边后挂图的长与宽，结合面积占比的等量关系列方程． 【详解】解：设金色纸边的宽为． ∵纸边镶在风景画四周，宽度相同， ∴挂图的长为，宽为． ∵风景画面积占整个挂图面积的， ∴． 8. 若，和是它们的对应角平分线，已知，，则与的对应高的比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：，和是它们的对应角平分线，，， 与的相似比为， 与的对应高的比为． 9. 在菱形中，对角线、相交于点，和的长是关于的方程的两个根，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】先求解方程得两根，结合菱形对角线互相垂直的性质，根据直角三角形斜边大于直角边确定与的长度，再由勾股定理求； 【详解】解：解方程，得，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵在中，为斜边， ∴， ∴，， 由勾股定理得，， ∴． 10. 如图，在矩形中，对角线、相交于点，在的延长线上取一点，连接，交于点，已知，，，则的长（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作，交于点，根据矩形的性质可得，，，证明，得到，求出，，再证明，得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点作，交于点， 在矩形中，对角线、相交于点， ，，， ， ， ，即， ，， ，， ， ， ，即， ． 第二部分　非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知是关于x的方程的一个根，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程的根的定义，将已知根代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 解得． 12. 如图，正方形的对角线与相交于点，点在上运动，连接，过点作，交于点，，则四边形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形，，得到，再证明得到，即可得到． 【详解】解：∵正方形，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 13. 已知：中，点、分别在和上，且，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知线段比例关系可求得与的相似比，结合相似三角形面积比等于相似比的平方，得到两个三角形的面积关系，再通过面积的和差关系推导与四边形的面积比值． 【详解】解：如图， ∵， ∴设，则，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 14. 线段a、b、c、d成比例，其中，，，则______． 【答案】1或4或9 【解析】 【分析】本题主要考查了比例线段．解题的关键是熟练掌握比例线段的定义．由四条线段a、b、c、d成比例，根据比例线段的定义，即可求得a的值．比例线段的定义是在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 【详解】解：∵四条线段a、b、c、d成比例， 或或， ∴或或， ∵，，， ∴或或， 解得：或或； 故答案为：1或4或9． 15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标分别是，，，，已知矩形与矩形位似，位似中心是原点，且矩形面积等于矩形面积的，则点的坐标为________． 【答案】或 【解析】 【详解】解：∵矩形与矩形位似，位似中心是原点，且矩形等于矩形面积的， ∴矩形与矩形位似，且位似比为， ∵， ∴或， ∴点的坐标为或． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ∴ ∴或 解得： 【小问2详解】 解： ∴ ∴或 解得： 17. 已知：如图，在中，对角线与相交于点，，且和的长是关于的一元二次方程的两个根，， （1）求和的长； （2）求证：是菱形． 【答案】（1）， （2）证明：∵在中，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴是菱形． 【解析】 【分析】（1）先解方程得到，，再根据得到，； （2）根据，得到是直角三角形，，即可证明是菱形． 【小问1详解】 解：， ， 或， ∴.，， ∵和的长是关于的一元二次方程的两个根，， ∴，； 【小问2详解】 略 18. 定义：如果关于的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“紫金方程”． （1）判断一元二次方程是否为“紫金方程”，并说明理由： （2）已知是关于的“紫金方程”，若，是此方程的两个根，求的值． 【答案】（1）解：是，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴一元二次方程是“紫金方程”； （2）0 【解析】 【分析】（1）根据“紫金方程”定义判断即可； （2）根据“紫金方程”得到，，再根据根与系数的关系，，最后代入求值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是关于的“紫金方程”， ∴， 解得， ∵，是方程的两个根， ∴，， ∴． 19. 如图，与相交于点，且，，，垂足分别为，． （1）求证：； （2）若，，求的值． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 20. 如图，在中，，是的一条角平分线，过点作，过点作，与相交于点，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，是的一条角平分线， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再根据等腰三角形的性质得到，即可证明四边形是矩形； （2）由等腰三角形的性质得到，，再根据勾股定理求出，． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，是的一条角平分线，，， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形 ∴，， ∴． 21. 如图，在中，，，点是的中点，连接，，动点从点出发沿边运动，速度为，到点停止，动点从点出发沿边运动，速度为，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为． （1）当t为何值时，； （2）在运动过程中，点，，组成的三角形能否与相似？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形的斜边中线定理可得，，根据勾股定理求出，由题意得，，，则，根据得到，，即，即可求解； （2）由得到，分两种情况：当时，当时，根据相似三角形的性质列方程求解即可． 【小问1详解】 解：在中，，点是的中点，， ，， ， ， 由题意得，，， ， ， ，即， 解得； 【小问2详解】 能， ， ， 当时，即， 即， 解得（舍去），， ， 当时，，即， 解得（舍去），， ， 的长为或． 22. 根据以下资料，完成探索任务． 活动主题 探索某品牌冰箱在某商场的销售利润问题 探究背景 某商场在2026年国庆节期间促销某品牌冰箱，每台进价为元，标价为元． 资料1 该商场举行了“喜迎国庆，回馈新老用户”抽奖活动，将冰箱价格连续两次下调，每次降价的百分率相同，最后以每台元的价格卖给中奖者 资料2 市场调研表明：当每台冰箱的售价为元时，平均每天能售出台，当售价每降低元时，平均每天能多售出台．商场要想使该品牌冰箱平均每天的销售利润为元 问题解决： （1）求每次降价的百分率； （2）求每台冰箱的售价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）每台冰箱的售价应定为元 【解析】 【分析】（1）设每次降价的百分率为，根据题意列出方程，结合实际取舍方程的解，即可求解； （2）设每台冰箱应降价元，根据题意列出方程，解方程，进而求得每台冰箱的售价． 【小问1详解】 解：设每次降价的百分率为 根据题意，得： 解这个方程，得，(舍去) 答：每次降价的百分率为 【小问2详解】 解：设每台冰箱应降价元 根据题意，得： 解这个方程，得： 元 答：每台冰箱的售价应定为元 23. 如图，四边形是正方形，点在对角线的延长线上，连接，，过点作，交的延长线于点，过点作，分别交于点，交于点． （1）直接写出和的数量关系_________； （2）猜想的形状，请说明理由； （3）若，，求的值． 【答案】（1） （2）是等腰三角形； 理由如下：由（1）得， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （3） 【解析】 【分析】（1）证明，得到； （2）由，得到，设，求出即可得到，是等腰三角形； （3）过点作于，根据等腰直角三角形求出，结合得到，，求出，再证明，得到，求出，最后证明，得到． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点作于， ∵； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵； ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：， ∴， ∵四边形是正方形 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $