精品解析：辽宁省铁岭市昌图县2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

2025-2026学年度上学期质量监测九年数学 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有项符合题目要求） 1. 关于一元二次方程的一次项系数和常数项分别为（ ） A. 5， B. 5， C. ， D. ， 2. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中，假命题是（ ） A. 对角线相等的菱形是正方形 B. 对角线互相垂直的矩形是正方形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 对角线垂直的四边形是菱形 5. 若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. B. C. 4 D. 6 6. 在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“8个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 50 100 150 200 250 … “有2个人同月过生日”的次数 47 95 143 191 238 … “有2个人同月过生日”的频率 … 通过试验，该小组估计“8个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到）大约是（ ） A. B. C. D. 7. 如果，下列等式中变形不正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形中，对角线和交于点，四边形周长为28．若，则是（ ） A. B. C. D. 9. 某剧场共有1161个座位，已知每行的座位数都相同，且每行的座位数比总行数少16，设每行的座位数是x，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 10. 如图，一块矩形绸布的长，宽，按图中所示的方式将它截成相同的四面矩形彩旗，且使截出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即，那么的值是（ ） A. B. 4 C. D. 8 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知a、b、c、d是成比例线段，，，，则线段d的长为____． 12. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 13. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件______________，使平行四边形是矩形．． 14. 如图，随机闭合开关中的两个，能让两盏灯泡同时发光的概率为_______． 15. 如图，平行四边形中，以点为坐标原点，为轴正半轴建立平面直角坐标系，在上截取，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，射线交于点，若，，则点的坐标为_____． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16 解方程： （1）； （2）． 17. 已知：如图，在中，对角线与相交于点，，的长是关于的一元二次方程的两个实数根，且． （1）求的周长； （2）求证四边形是菱形． 18. 某商场以每件元价格购进一种商品，在一段时间内，销售量（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． （1）求这段时间内与之间的函数解析式； （2）在这段时间内．该商场获得元的利润，应将销售单价定为多少元？ 19. 某校拟增设四类兴趣班：.机器人编程班、.主持人与演讲班、.传统书法班、.剪纸班．学校的调研小组在全校随机抽取了部分学生进行问卷调查，调查问题是“你最希望增设的兴趣班”（四类中必选并只选一类），调研小组根据调查结果绘制出如下不完整的统计图． 请根据统计图回答下列问题： （1）本次调查的总人数是_____人； （2）补全条形统计图，并求出类所对应的扇形的圆心角为_____度； （3）已知选择类兴趣班的学生是2名男生和2名女生，现从这4名学生中随机抽取2名参加比赛，用画树状图或列表法求抽到两名性别相同的学生的概率． 20. 如图，矩形中，点，分别在，上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，若，，，求的长． 21. 如图，矩形中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿向点以的速度移动，设它们的运动时间为． （1）若点和点之间的距离是，求出的值； （2）若时，求出的值． 22. 【问题初探】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点，正方形与正方形的边长相等，在正方形绕点O旋转的过程中，交于点，交于点， 两个正方形重叠部分（四边形）的面积与正方形的面积有什么关系？ 爱思考的小刚和小雪同学分别探究出如下两种解题思路： 小刚：如图1，充分利用正方形的对角线垂直平分且相等的性质通过证明，从而将四边形的面积转化成的面积． 小雪：如图1，过点分别作于点，于点，证明，从而将四边形的面积转化成了小正方形的面积． ①请您猜想四边形的面积与正方形的面积有什么关系？并选择其中一种解题思路证明您的结论； ②小明受到上面两位同学解题思路的启发，探究出之间的数量关系，请您帮小明直接写出结论； 【类比探究】 （2）若将（1）中的“正方形”改为的菱形，如图2所示，其它条件不变，当时，探究之间的数量关系并说明理由； （3）在（2）条件下，若菱形的周长是16，请直接写出四边形的面积． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是矩形，将矩形绕着坐标原点逆时针旋转得到矩形，点C、B、A分别对应点F、E、D，连接、． （1）猜想和的关系，并说明理由； （2）若点的坐标为，点关于轴对称点的坐标为点，点在x轴正半轴上，，作直线． ①求直线的解析表达式； ②点是直线上一动点，点在第一象限内，且点是直线上一点，若是以为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期质量监测九年数学 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有项符合题目要求） 1. 关于的一元二次方程的一次项系数和常数项分别为（ ） A. 5， B. 5， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，掌握相关知识是解决问题的关键．一元二次方程的一般形式为，据此解答即可． 【详解】解：一次项系数为，常数项为 ． 故选：D． 2. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据比例的性质，由已知条件可得，，然后代入所求表达式化简即可． 【详解】∵ ， ∴ ，， ∴ ， ∴ ． 故选：A． 3. 用配方法解方程，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 根据配方法的步骤求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4. 下列命题中，假命题是（ ） A. 对角线相等的菱形是正方形 B. 对角线互相垂直的矩形是正方形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 对角线垂直的四边形是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查特殊四边形的判定定理，熟练掌握特殊四边形的判定是解题关键．需根据矩形、菱形、正方形的性质判断各命题的真假． 【详解】解：菱形的对角线互相垂直，若对角线相等，则其为正方形，故A为真命题，不符合题意； 矩形的对角线相等，若对角线互相垂直，则其为正方形，故B为真命题，不符合题意； 平行四边形的对角线互相平分，若对角线相等，则其为矩形，故C为真命题，不符合题意； 对角线互相垂直的四边形不一定是菱形（如筝形），必须是平行四边形才对，故D为假命题，符合题意； 故选：D． 5. 若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. B. C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握相关知识是解决问题的关键．一元二次方程有两个相等实数根，即根的判别式为零，据此解答即可． 【详解】解：∵ 方程 有两个相等的实数根， ∴， ∴ ， ∴ ． 故选：C． 6. 在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“8个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 50 100 150 200 250 … “有2个人同月过生日”的次数 47 95 143 191 238 … “有2个人同月过生日”的频率 … 通过试验，该小组估计“8个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到）大约是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】该题考查了用频率估计概率，当试验次数大量增加时，频率稳定在概率附近，从表格数据看，频率在附近波动，因此估计概率为． 【详解】解：根据题意得：试验次数增加时，“有2个人同月过生日”的频率稳定在附近， ∴估计该概率为， 故选：B． 7. 如果，下列等式中变形不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，需熟练掌握比例式的变形与交叉相乘法． 根据比例的基本性质，对每个选项进行变形验证，判断是否与已知条件一致． 【详解】解：∵， 对于A：，正确，不符合题意； 对于B：，正确，不符合题意； 对于C：，是原式的倒数，正确，不符合题意； 对于D：由 得 ，而 等价于 ，与已知矛盾，故不正确，符合题意； 故选：D． 8. 如图，在菱形中，对角线和交于点，四边形的周长为28．若，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质和等边三角形的判定与性质． 根据菱形的四边相等得到，则是等边三角形，那么，再由菱形的对角线平分每一组对角即可求解． 【详解】解：∵菱形周长为28， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴在菱形中，， 故选：A． 9. 某剧场共有1161个座位，已知每行的座位数都相同，且每行的座位数比总行数少16，设每行的座位数是x，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意是解题关键． 根据题意，每行座位数比总行数少16，设每行座位数为x，则总行数为，总座位数为每行座位数与总行数的乘积，因此列方程即可． 【详解】解：设每行座位数为x，且每行座位数比总行数少16， ∴总行数为， ∵总座位数为1161，且总座位数每行座位数总行数， ∴， 故选：A． 10. 如图，一块矩形绸布的长，宽，按图中所示的方式将它截成相同的四面矩形彩旗，且使截出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即，那么的值是（ ） A. B. 4 C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了相似多边形的性质，一元二次方程，掌握相关知识是解决问题的关键．由截出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，构建方程求解即可． 【详解】解：使截出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同， 即， ， 解得或（舍去）， ， 故选：B． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知a、b、c、d是成比例线段，，，，则线段d的长为____． 【答案】6 【解析】 【分析】根据成比例线段的定义得到，代入计算即可． 【详解】解：∵a，b，c，d是成比例线段， ∴， 又∵，，， ∴， 解得：； 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了成比例线段的应用，准确计算是解题的关键． 12. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系. ，掌握以上公式是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系进行计算即可． 【详解】解：一元二次方程 ， 其中 ，， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件______________，使平行四边形是矩形．． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的判定方法即可得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴当时，四边形ABCD为矩形． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定，熟记矩形的判定方法是解题的关键． 14. 如图，随机闭合开关中的两个，能让两盏灯泡同时发光的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法求概率，根据题意，列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，列表如下： ， ， ， ， ， ， 共有6种等可能的结果，其中能让两盏灯泡同时发光的结果有2种， ∴． 15. 如图，平行四边形中，以点为坐标原点，为轴正半轴建立平面直角坐标系，在上截取，分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，射线交于点，若，，则点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】过点C作于点，平行四边形的性质结合角平分线的定义推出，进而得到，推出四边形为菱形，根据菱形的性质结合勾股定理求出的长，再根据等积法求出的长，勾股定理求出的长，即可得出点的坐标． 【详解】解：过点C作于点， ∵平行四边形， ∴， ∴， 由作图可知：平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴四边形为菱形， ∴，， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标与图形，平行四边形的性质，等角对等边，菱形的判定和性质，勾股定理，等积法求出菱形的高，解题的关键是得到四边形为菱形． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）用求根公式法求解即可； （2）用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解： ，，； ，； 【小问2详解】 解： 或 ，． 17. 已知：如图，在中，对角线与相交于点，，的长是关于的一元二次方程的两个实数根，且． （1）求的周长； （2）求证四边形是菱形． 【答案】（1）的周长为 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）解一元二次方程可得，，根据平行四边形对角线互相平分可得，，则题目可解； （2）先由勾股定理的逆定理证明对角线互相垂直，又因为四边形是平行四边形，则可证明四边形是菱形． 【小问1详解】 解： 或 或， ， ，， 四边形是平行四边形 ，， 的周长； 【小问2详解】 证明：在中， ，，， ，， ， 直角三角形，， ， 是菱形． 【点睛】本题考查解一元二次方程，平行四边形的性质，菱形的判定，勾股定理的逆定理，掌握相关知识是解决问题的关键． 18. 某商场以每件元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． （1）求这段时间内与之间的函数解析式； （2）在这段时间内．该商场获得元的利润，应将销售单价定为多少元？ 【答案】（1）这段时间内与之间的函数解析式 （2）定价为元或元 【解析】 【分析】本题考查一次函数，一元二次方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由图像知一次函数过和，代入求解即可； （2）根据单利润乘以数量=总利润为等量关系列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设一次函数解析式为， 把和分别代入中得：， 解得：， 则这段时间内与之间的函数解析式； 【小问2详解】 解： 或 ，， 答：该商场获得元的利润，应将销售单价定为元或元． 19. 某校拟增设四类兴趣班：.机器人编程班、.主持人与演讲班、.传统书法班、.剪纸班．学校的调研小组在全校随机抽取了部分学生进行问卷调查，调查问题是“你最希望增设的兴趣班”（四类中必选并只选一类），调研小组根据调查结果绘制出如下不完整的统计图． 请根据统计图回答下列问题： （1）本次调查总人数是_____人； （2）补全条形统计图，并求出类所对应的扇形的圆心角为_____度； （3）已知选择类兴趣班的学生是2名男生和2名女生，现从这4名学生中随机抽取2名参加比赛，用画树状图或列表法求抽到两名性别相同的学生的概率． 【答案】（1）； （2）补全条形统计图见解析，； （3）抽到两名性别相同的学生的概率是． 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． (1)用条形统计图中A的人数除以扇形统计图中的百分比可得本次抽取调查的总人数； (2)求出C类的人数，补全条形统计图，再用C类所占总人数的比例即可求出对应扇形圆心角度数； (3) 用列表法得出所有等可能的结果，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：本次调查总人数是：； 【小问2详解】 C类人数是：，补全条形统计图如图所示： 类所对应的扇形的圆心角为：； 【小问3详解】 男1 男2 女1 女2 男1 / 男男 男女 男女 男2 男男 / 男女 男女 女1 男女 男女 / 女女 女2 男女 男女 女女 / 抽到两名性别相同的学生的概率是：． 20. 如图，矩形中，点，分别在，上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由矩形性质可知，，因为，可证，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可证明； （2）过点作，垂足为，可证四边形是矩形，则，，由已知，则可求，利用勾股定理即可求出长． 【小问1详解】 证明：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 四边形AECF是平行四边形； 【小问2详解】 解：过点作，垂足为， ，， ， ， 四边形是矩形，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ． 21. 如图，矩形中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿向点以的速度移动，设它们的运动时间为． （1）若点和点之间的距离是，求出的值； （2）若时，求出的值． 【答案】（1） （2）的值为或5 【解析】 【分析】（1）根据题意，表达出，，因为在矩形中，所以，且已知，利用勾股定理列方程求解即可； （2）分两种情况进行讨论，当点在上运动时，当点在上运动时，分别表达出的长度，根据列方程求解即可． 【小问1详解】 解：，，，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 解得，， 不符合题意，舍去， ； 【小问2详解】 解：当点在上运动时，， ，， ， 解得：， ，符合该时间段条件； 当点在上运动时，， ，， ， ， 解得：， ∵5在该时间段内，符合题意， 或， 的值为或5． 【点睛】本题考查矩形的性质，一元二次方程的应用，勾股定理，一元一次方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． 22. 【问题初探】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点，正方形与正方形的边长相等，在正方形绕点O旋转的过程中，交于点，交于点， 两个正方形重叠部分（四边形）的面积与正方形的面积有什么关系？ 爱思考的小刚和小雪同学分别探究出如下两种解题思路： 小刚：如图1，充分利用正方形的对角线垂直平分且相等的性质通过证明，从而将四边形的面积转化成的面积． 小雪：如图1，过点分别作于点，于点，证明，从而将四边形的面积转化成了小正方形的面积． ①请您猜想四边形的面积与正方形的面积有什么关系？并选择其中一种解题思路证明您的结论； ②小明受到上面两位同学解题思路的启发，探究出之间的数量关系，请您帮小明直接写出结论； 【类比探究】 （2）若将（1）中的“正方形”改为的菱形，如图2所示，其它条件不变，当时，探究之间的数量关系并说明理由； （3）在（2）的条件下，若菱形的周长是16，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1）①，证明见解析；②；（2）．理由见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）①由正方形的性质和全等三角形的判定与性质即可得出结论；②根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）过点作交于点，证是等边三角形，得，再证，得，，即可得到； （3）根据全等三角形的性质得到，利用菱形的性质求出，再求出，得到，过作，垂足为，得，求出，勾股定理求出，利用公式求出答案即可． 【详解】（1）① 证明：四边形是正方形， ，，， ， 同理， ， 四边形是正方形， ，，，， ，， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ； ②，理由如下： ， ， ， ，， ， ； （2）. 证明：过点作交于点， ， ， ， 四边形是菱形， ，， 平分， ， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）四边形的面积为，理由如下： ， ， ， 菱形的周长为16， ， ， ，， ， ， 过作，垂足为， ， ， ， ， ， 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的判定与性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质、菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是矩形，将矩形绕着坐标原点逆时针旋转得到矩形，点C、B、A分别对应点F、E、D，连接、． （1）猜想和的关系，并说明理由； （2）若点的坐标为，点关于轴对称点的坐标为点，点在x轴正半轴上，，作直线． ①求直线的解析表达式； ②点是直线上一动点，点在第一象限内，且点是直线上一点，若是以为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】（1），；理由见解析 （2）①直线的解析式为；②点的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的应用、矩形的判定与性质及全等三角形的判定与性质， （1）证明，得出，，进而证明； （2）①先求出，，进而求出直线的解析式；②分情况：当点在下方，与重合时，或当在上方时，点在上，分别求出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：，； 将矩形绕着坐标原点逆时针旋转得到矩形， 矩形矩形， ，， 四边形和四边形都是矩形， ， ，， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：①四边形是矩形，， ，， ， ， 点在轴正半轴上， ， 点关于轴对称点的坐标为点， ， 点在轴负半轴上， ， 设直线的解析式为， 把和分别代入中，得， 解得：， 直线的解析式为； ②或， 当点在下方时， 当与重合时，如图1，，， 过点作，垂足， ， 把代入中得：， ； 当在上方时，点在上， 如图2，，， 过点作轴，垂足为，延长交延长线于点， 则四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ，， 设，则， ， ， ， 点在直线上， ，解得：， ， ， 综上所述：点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $