34.3用频率估计概率（教学设计）数学新教材人教版九年级下册

34.3用频率估计概率 教学设计 一、内容和内容解析 1. 内容 本课是在学生已经学习了用列举法求概率的基础上，进一步研究用频率估计概率，并利用这种方法解决一些简单实际问题。 2. 内容分析 本节课属于统计与概率板块，频率的稳定性是本节课的核心概念。此前学生学习的列举法求概率，只适用于古典概型，要求试验结果有限、每种结果发生的可能性相等。但现实生活大量随机事件不满足上述条件，无法用列举法计算概率，由此引出用频率估计概率。 通过抛掷硬币试验，让学生亲身经历试验、收集数据、计算频率、观察频率变化趋势，归纳得到：大量重复试验下，事件发生的频率会在某个常数附近摆动，即频率具有稳定性，这个常数就是事件的概率。实现从 “理论概率” 到 “试验估计概率” 认知的跨越。 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：用频率估计概率。 二、目标和目标解析 1. 目标 （1）用频率估计概率。 （2）用频率估计概率并解决实际问题。 2. 目标解析 （1）学生能够通过抛掷硬币试验，观察试验数据，认识到：随着重复试验次数不断增大，随机事件发生的频率会在某一个固定常数附近摆动；能分清频率与概率的区别与联系，知道当试验结果可能性不相等时，可以用频率估计事件的概率。 （2）学生能够读懂频率统计表，会计算事件发生的频率，依据大量试验下频率稳定值估计概率；能结合成活率、损坏率、命中率等实际情境，建立数学模型，运用频率估计概率完成相关计算，解决简单实际应用题。 三、教学问题诊断分析 学情分析： 学生已经掌握列举法（直接列举、列表、画树状图）求古典概型的概率，知道概率表示随机事件发生可能性的大小。但学生容易形成思维定势，认为所有随机事件都能用列举法求概率；容易混淆频率和概率，误认为：概率等于每一次或者少数几次试验的频率；还会错误认为：如果某事件概率是 0.5，做 n 次试验就一定恰好出现次该事件，不理解概率描述的是大量重复试验下的统计规律，不适用于少量试验。 应对策略： 通过抛硬币分组动手试验，让学生亲自看到少量试验时频率波动很大，试验次数增大后频率才逐步稳定，打破 “几次试验频率就等于概率” 的错误认知；借助历史数学家的海量试验数据，强化频率稳定性。 设置辨析思考题，针对 “概率 0.5，抛两次必一正一反” 这类易错说法开展正误辨析，厘清频率、概率的概念差异。 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：频率与概率的区别与联系。 四、教学过程设计 （一）复习引入 1.列举法求概率有哪几种方式？ 直接列举法、列表法和画树状图法. 2.列举法求概率的适用条件是什么？ 适用于古典概型. 3.如何求出某运动员的投篮命中率？ 概率是描述随机事件发生可能性大小的数值.用列举法可以求一些随机事件的概率.还可以利用多次重复试验，通过试验结果估计随机事件的概率. 设计意图：回顾旧知，复习列举法求概率的适用条件，制造认知冲突 —— 当事件不满足古典概型条件时，列举法失效，从而自然引出本节课学习内容，明确本节课学习的必要性。 （二）合作探究 问题 我们知道，抛一枚质地均匀的硬币时，“正面朝上”和“反面朝上”的概率都是0.5.这是否意味着多次试验中这两种结果出现各占一半?例如，连续抛硬 币2次，“正面朝上”和“反面朝上”各出现1次?连续抛硬币100次，“正面朝 上”和“反面朝上”各出现50次? 试验 全班同学分成10组，每组同学抛一枚硬币50次.整理同学们获得的试验数据，完成下表. 组员分工 1 号同学：抛掷硬币，约达 1 臂高度，接住落下的硬币，报告试验结果； 2 号同学：用划记法记录试验结果； 3 号同学：监督，尽可能保证每次试验条件相同，确保试验的随机性，填写表格． ... 填表需知 先填“正面朝上”的次数，第1组的次数填在第1列，第1，2组的次数之和填在第2列 …… 10个组的次数之和填在第10列. 根据表中的数据，在下图中标注出对应的点. 观察 随着抛硬币次数的增加，“正面朝上”的频率有什么变化规律? 历史上，有些人曾做过成千上万次抛硬币的试验，其中一些试验结果见下表. 计算机模拟实验 发现 通过观察这些试验结果可以发现，在重复抛一枚硬币时，“正面朝上”的频率在0.5附近摆动，而且随着抛硬币次数的增加，虽然摆动的幅度会有 起伏，但最终摆动的幅度会越来越小，即频率呈现出一定的稳定性.这时，我们称“正面朝上”的频率稳定于0.5.它与前面用列举法得出的“正面朝上”的概率是同一个数值. 思考1 从上面的试验中，你能得到相应的“反面朝上”的频率吗？ 答：在抛一枚硬币时，结果不是“正面朝上”，就是“反面朝上”.当“正面朝上”的频率稳定于0.5时，“反面朝上”的频率也稳定于0.5.它也与前面用列举法得出的“反面朝上”的概率是同一个数值. 思考2 下面说法正确吗？ 从抛硬币的试验发现，“正面朝上”的概率是0.5.所以连续抛2次，结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各1次；连续抛100次，结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各50次. 答：以上说法不正确.概率0.5并不能保证抛n次硬币一定恰好有n/2次“正面朝上”.但当n越来越大时，“正面朝上”的频率会越来越稳定于概率0.5.可见，概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中都发生. 归纳 用频率估计概率 人们在长期实践中观察到，对一般的随机试验(如各种结果出现的可能性是否相等未知)，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加， 一个事件出现的频率总在一个固定数的附近摆动，呈现出一定的稳定性. 因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件出现的频率去估计它的概率. 用频率估计概率，不受“各种结果出现的可能性相等”的条件限制，使得可求概率的随机事件的范围扩大. 例如，掷一枚图钉或一枚质地不均匀的骰子，不能用列举法求 “针尖朝上”或“点数为6”的概率，但可以通过大量重复试验估计出它们的概率. 设计意图：组织学生动手分组试验，亲身经历试验、统计数据、描点观察的完整探究过程；结合历史数学家的海量试验数据，直观感受频率的稳定性；通过思考辨析，纠正学生常见错误认知，区分频率与概率；归纳概念，点明用频率估计概率的适用条件，完善学生概率知识体系。 （三）典例分析 例1 下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果. (1)计算表中的频率(结果保留小数点后两位); (2)这名球员投篮一次，投中的概率约是多少(结果保留小数点后一位)? 解：(2)随着投篮次数越来越大，投中频率稳定在0.5附近， 所以这名球员投篮一次，投中的概率约是0.5. 例2 林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，可以采用什么具体做法? 分析 幼树移植成活率是实际问题中的一种概率.这个问题中幼树移植“成活”与“不成活”两种结果的可能性是否相等未知，因此成活率要由频率去估计. 在同样条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，计算成活的频率.随着移植数越来越大，频率会越来越稳定，于是就可以把频率作为成活率的估计值. 下表是一张模拟的统计表，请补全此表，并完成表下的填空. 从上表可以发现，随着移植数的增加，幼树移植成活的频率越来越稳定.当移植数为14000时，成活频率为0.902，于是可以估计幼树移植成活率为 0.9 . 例3 某水果公司以5元/kg的成本价新进10000 kg柑橘.如果公司希望这些柑橘能够获得 10000元利润，那么在出售柑橘(去掉损坏的柑橘) 时，每千克定价大约为多少元比较合适? 说明 柑橘在运输、储存中会有损坏，公司必须估算出可能损坏的柑橘质量，以便将损坏的柑橘的成本折算到没有损坏的柑橘的售价中. 销售人员首先从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录在下表中.请补全此表. 从上表可以看出，随着柑橘质量的增加，柑橘损坏的频率越来越稳定.柑橘质量为500 kg时的损坏频率为0.103，于是可以估计柑橘损坏的概率为0.1(结果保留小数点后一位).由此可知，柑橘完好的概率为0.9. 根据估计的概率可以知道，在10000 kg 柑橘中完好柑橘的质量为 10000×0.9=9000(kg). 完好柑橘的实际成本为 = (元/kg) 设每千克柑橘的售价为x元，则 （x）×9000=10000. 解得 x=≈6.7. 因此，在出售柑橘时，每千克定价大约为6.7元可获利润10000元. 追问 你还有其他方法对这批柑橘进行定价吗? 设计意图：选用投篮命中率、树苗移植成活率、柑橘销售利润层层递进的例题。例 1、例 2 侧重读懂统计表，会根据稳定的频率估计概率；例 3 是综合性实际问题；设置追问启发学生多角度思考解题思路，提升学生应用知识解决实际问题的能力。 （四）巩固练习 1.用前面抛硬币的试验方法，全班同学分组做抛掷两枚硬币的试验，估计抛掷两枚硬币时“一正一反”的概率.(课下完成） 计算机模拟实验 2. 某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如下表所示. 一般地，20000颗种子中大约有多少是不能发芽的? 解：由表格数据可知，随着试验种子数量不断增加，种子发芽的频率逐渐稳定在0.9附近，因此估计该种子发芽的概率为0.9，则不能发芽的概率为0.1. 20000×(1-0.9)=2000（颗）. 答：20000 颗种子中大约有 2000 颗是不能发芽的. 设计意图：第 1 题布置课后动手试验，继续感受频率稳定性；第 2 题训练学生读取表格数据，用频率估计概率，再利用概率进行估算，巩固课堂所学，检测学生知识掌握情况。 （五）归纳总结 （六）感受中考 1．（2026年江苏扬州）工厂对某批零件进行质检，结果如表： 抽取的零件数 优等品的频数 优等品的频率 从这批零件中，任意抽取一个零件是优等品的概率的估计值为 0.93 （结果精确到）． 2．（2023年江苏泰州）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P．下列说法正确的是（  D  ） A．试验次数越多，f越大 B．f与P都可能发生变化 C．试验次数越多，f越接近于P D．当试验次数很大时，f在P附近摆动，并趋于稳定 3．（2022年湖北）下列说法正确的是（  C  ） A．为了解我国中小学生的睡眠情况，应采取全面调查的方式 B．一组数据1，2，5，5，5，3，3的众数和平均数都是3 C．若甲、乙两组数的方差分别是0.01，0.1，则甲组数据比乙组数据更稳定 D．抛掷一枚硬币200次，一定有100次“正面向上” 4．（2026年贵州）某学习小组做随机抛一个瓶盖的重复试验，整理的试验数据如表： 累计抛掷次数 “盖口向上”的频率 “盖口向下”的频率 则抛掷这一瓶盖，事件发生的概率较大的是盖口向 上 （填“上”或“下”）． 5．（2023年辽宁鞍山）在一个不透明的口袋中装有红球和白球共12个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出1个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸球200次，发现有50次摸到红球，则口袋中红球约有 3 个． 解：设红球有个， 则，解得. 答：红球的个数约为个． 设计意图：对接中考真题，多角度训练概念辨析、根据频率估计概率、利用概率估算数量，让学生熟悉该知识点常见考题类型，巩固重难点，提升应考能力。 （七）小结梳理 （八）布置作业 1.必做题：习题34.3 第2，4，5题. 2.探究性作业：习题34.3 第3，6题. 五、教学反思 1 / 10 $