考点10 用频率估计概率6题型突破+能力强化（专项训练）数学新教材沪教版五四制九年级下册

考点10 用频率估计概率 考点一：频率的定义与计算 在相同条件下进行 n 次试验，事件 A 发生了 m 次，则 m 叫做事件 A 发生的频数，比值 叫做事件 A 发生的频率。频率是一个比值，取值在 0 与 1 之间，通常写成小数或百分数。 计算时只有一个动作：频数除以试验总次数。要注意两件事：一是分子是“发生的次数”，不是“剩下没发生的次数”；二是 n 必须是同一条件下的试验总次数，把不同条件、不同批次的数据随意相加，得到的频率没有意义。 考点二：频率的稳定性 试验次数较少时，频率上下跳动，同一事件做两次同样的试验，结果可能差得很远；随着试验次数不断增大，频率会在某个常数附近摆动，而且摆动的幅度越来越小。频率的这个性质叫做频率的稳定性，它正是“用频率估计概率”的依据。 历史上抛硬币的大量试验最能说明这一点。下表是几位学者记录的正面朝上的数据，注意看最后一列随 n 增大是向哪个数靠拢。 试验者 抛掷次数 n 正面朝上次数 m 频率 m/n 布丰（法国） 4 040 2 048 0.506 9 德·摩根（英国） 4 092 2 048 0.500 5 费勒（美国） 10 000 4 979 0.497 9 皮尔逊（英国） 12 000 6 019 0.501 6 皮尔逊（英国） 24 000 12 012 0.500 5 注：数据取自通行教材与科普读物中的记载，各来源的试验次数与频数一致，频率按四舍五入保留四位小数。 五种试验、从四千次到两万四千次，频率都在 0.5 附近，最大偏差不到 0.007。这说明：个别试验的结果无法预知，大量重复试验却呈现出规律，这个规律就是稳定性。 考点三：用频率估计概率 一般地，在大量重复试验中，如果事件 A 发生的频率稳定在某个常数 p 附近，就把 p 作为事件 A 发生的概率的估计值，记作≈。这不是定义，而是估计：频率是量出来的，概率是估出来的。 什么时候必须用这个办法？三类情形：结果不是有限个；结果虽有限但出现的可能性不相等（抛瓶盖、投篮命中）；试验结果无法一一列举或代价太大。 完整的做法分四步：一是明确条件，保证每次试验在相同条件下进行；二是做大量重复试验，记录频数并算出频率；三是观察频率是否已经稳定，即随着 n 增大，波动是否明显收窄；四是取稳定值作为概率的估计，必要时用更多数据修正。 考点四：频率与概率的区别与联系 比较项 频率 概率 本质 试验得到的比值，是试验值 事件固有的可能性大小，是理论值 是否变化 随试验次数、试验批次变化，试验前不能确定 由事件本身决定，与是否做试验无关 与 n 的关系 n 较小时波动大，n 很大时趋于稳定 不随 n 改变，是一个确定的常数 三行讲的是区别，二者还有一层联系：试验次数很大时，频率会稳定在概率附近，所以频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值。正因为有这层联系，才能在算不出概率时用频率去估计它。 考点五：用频率估计数量 频率一旦稳定，就可以当作概率用；概率又可以翻译成“部分占总体之比”，于是能反过来推算数量。常见三类问题：袋中某种颜色的球有多少个、鱼塘里大约有多少条鱼、一批产品中大约有多少件合格。 问题类型 做法 示例 估计某事件发生的概率 取频率的稳定值直接作为估计值 种子发芽率约为 0.9 估计总体中某类个体数 设未知数，用“部分÷总体＝估计概率”列方程 袋中白球数、鱼塘鱼数 估计几何量或做决策 由估计概率反推面积、圆心角；或比较方案优劣 扇形圆心角 0.7×360° 鱼塘估数用“标记重捕”：先捕 a 条做标记放回，混合后再捕 b 条，其中带标记的 c 条。带标记的鱼在两次捕捞中所占比例应当接近，于是，解得 x≈。这一步的实质仍是“用频率估计概率”，只是把概率换成了比例。 考点六：用频率作判断与决策 生产与生活中的很多判断，靠的就是频率的稳定值：抽检一批零件，看不合格频率稳定在多少，据此估计整批的不合格率；统计树苗移植的成活频率，据此安排补种数量；比较两种抽奖方案的中奖频率，判断哪种更划算。 判断游戏是否公平，也用到这一节的思路：做大量试验后，若双方获胜的频率分别稳定在 p 与 1－p，而 p 明显不等于，就说明规则不公平，获胜频率高的一方占优。要注意，判断依据是“稳定值”，不是某一局或某十局的输赢。 题型一：频率与概率的辨析 1．下列关于随机事件发生的频率和概率，说法正确的是（   ） A．频率就是概率 B．随着试验次数的增加，频率一般会逐步稳定在概率值附近 C．试验得到的频率一定会等于概率 D．在相同的条件下进行试验，如果试验次数相同，则各试验小组所得频率的值也会相同 2．某校名师生在操场上进行数学实验，验证“硬币正面朝上的概率是”．部分实验数据如下： 四年级1班2组 五年级 六年级3班 全校 正面数量 2 反面数量 8 正面朝上的频率（保留小数点后4位） 下列说法正确的是（   ） A．连续抛硬币次，不可能次正面朝上 B．连续抛硬币三次，正面朝上的频率一定是 C．在大量重复试验下，正面向上的频率会逐渐稳定在 D．甲班比乙班抛硬币次数多，甲班抛出正面朝上的频率一定更接近 3．在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为，该事件的概率为．下列说法正确的是（   ） A．试验次数越多，越大 B．试验次数越多，越大 C．与都可能发生变化 D．试验次数大量增加时，在附近摆动，并趋于稳定 4．关于用频率估计概率，下列说法正确的是（   ） A．实验次数越少，频率越接近概率 B．频率一定等于概率 C．多次重复实验后，频率会逐渐稳定在概率附近 D．抛一枚均匀骰子，实验10次有2次点数为6，则点数为6的概率估计为 5．为丰富居民的精神文化生活，增加年味，2025年1月31日下午，贵阳市某社区举办了一场“投”你所好，迎春节趣味老年投球比赛，小明的爷爷是参赛选手，小明对爷爷投球击中目标的情况进行了统计，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息，下列说法不正确的是 （    ） A．随着投球次数的增加，爷爷投球的击中率会逐渐稳定在某一个数附近 B．爷爷投球的击中频率稳定在0.8，击中概率的估计值为0.8 C．若爷爷投球20次，则爷爷投球一定能击中16次 D．若爷爷投球5次，那么不一定能击中目标4次 6．下列说法正确的是（　　） A．我国首型4米级运载火箭于2024年11月30日成功发射，发射前，科学家对火箭实施检查，最适宜的检查方式是抽样调查 B．“无限小数是无理数”是必然事件 C．小昆同学通过大量重复的定点投篮练习，得到她投中的频率为0.4，则说明小昆定点投篮10次，一定投中4次 D．甲乙两组同学参加“知识竞赛”，若甲乙两组同学的平均成绩相同，甲组成绩的方差为，乙组成绩的方差为，则乙组同学的成绩较稳定 题型二：频率的计算 7．调查某班 名同学的跳高成绩时，在收集到的数据中，不足 米的数出现的频率是 ，则达到或超过 米的数出现的频率是 （ ） A． B． C． D． 8．“深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是________． 9．在整数20250416中，数字“0”出现的频率是______． 10．暑假将至，东营区教育局向全区师生发出倡议“不去河沟游玩，防落水，不去河沟游泳，防溺水”．在这句宣传语中，“水”字出现的频率为______． 题型三：频率的稳定性 11．某工厂生产的同一批次电子元件，质检员从中随机抽取件进行耐压测试，测试完毕后将该元件放回并充分混合，这视为完成次检测．已知质检员共完成了次这样的检测，其中有次检测到的元件耐压不达标．则可估计从这批电子元件中随机抽取一件是耐压达标元件的概率是（     ） A． B． C． D． 12．绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示： 每批粒数 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的粒数 93 267 378 570 948 1904 2850 发芽的频率 则绿豆发芽的概率大约是（     ）（结果精确到） A． B． C． D． 13．学了概率的相关知识后，某综合实践小组利用计算机模拟抛掷一枚图钉的试验，研究落地后针尖朝上的概率，记录的试验数据如表： 累计抛掷次数 100 1000 2000 3000 4000 5000 6000 针尖朝上频率 0.500 0.610 0.600 0.594 0.625 0.614 0.618 随着试验次数的增大，估计“针尖朝上”的概率接近于（   ）（精确到0.01） A．0.50 B．0.59 C．0.62 D．0.63 14．在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“个人中有个人同月过生日”的概率，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 “有个人同月过生日”的次数 “有个人同月过生日”的频率 通过试验，该小组估计“个人中有个人同月过生日”的概率（精确到）是（     ） A． B． C． D． 15．足球是一项非常古老的运动，最早起源于中国的蹴鞠，是全球体育界极具影响力的体育运动之一．现从一批足球中随机抽检部分足球的质量，统计结果如下表： 抽取的足球数n 100 200 400 600 1000 1500 2000 优等品的频数m 94 189 375 561 938 1409 1882 优等品的频率 0.94 0.945 0.938 0.935 0.938 0.939 0.941 据此推测，从这批足球中随机抽取一个足球是优等品的概率约是______（结果精确到0.01）． 16．一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外均相同的小球，小红从袋子中随机取出一个球记下颜色再放回袋子，通过大量重复试验后，黑色小球出现的频率如图所示，则摸到黑球的概率约为____________． 题型四：用频率估计概率解决实际问题 17．吉祥社区开展秋季趣味运动会，设有四个比赛项目：A跳绳、B踢毽子、C沙包投掷、D趣味套圈．甲、乙两名同学作为志愿者，随机被安排到这四个项目中负责协助工作． (1)为了解参加“沙包投掷”项目的情况，工作人员随机调查部分参赛居民，统计结果如下： 调查总人数 50 100 200 500 1000 参加“沙包投掷”人数 24 47 96 203 405 参加“沙包投掷”频率 0.48 0.47 0.406 0.405 ①请填出表中所缺的数据． ②请估算本次运动会参加“沙包投掷”项目的概率______（精确到0.1）． (2)利用画树状图或列表格的方法，求甲、乙两人恰好有一人被分配到“沙包投掷”项目的概率． 18．某文具店为了解“盲盒笔”中不同款式的受欢迎程度，在盲盒中放入1支限定款钢笔、2支普通款中性笔，以及若干支基础款铅笔（所有笔除款式外无差异）．为确定铅笔的数量，进行了有放回摸取试验，每次摸1支并记录后放回，试验数据如下： 摸取总次数 30 150 300 800 1500 摸到限定款的次数 5 24 48 m 250 摸到限定款的频率（保留两位小数） 0.17 0.16 0.16 0.15 n (1)表格中 ________，________； (2)若后续将盲盒中笔的总数增加到20支（限定款、普通款数量不变），需再加入多少支铅笔？ (3)从原盲盒中不放回连续摸2次，求摸到“1支中性笔、1支铅笔”的概率． 19．某校开展“绳舞校园，跃动精彩”2026年春季校园跳绳比赛，为师生搭建起运动竞技与风采展示的平台．某数学兴趣小组从八年级、九年级中各随机抽取20名学生，对其一分钟跳绳的个数进行整理和分析． 数据整理： 跳绳个数记为（为优秀），共分为五组：A：，B：，C：，D：，E：．整理成如下频数分布表． 组别 八年级人数 九年级人数 A 3 2 B 6 4 C 6 8 D 2 4 E 3 2 被抽取的八年级学生跳绳个数在C组的数据：130  135  133  135  135  134； 被抽取的九年级学生跳绳个数在C组的数据：133  132  134  133  133  133  136　136　． 数据分析： 该数学兴趣小组对抽取的八年级、九年级学生一分钟跳绳的个数进行了如下分析： 平均数 中位数 众数 优秀率 八年级 134 a 135 九年级 133 133 133 b 请回答下列问题： (1)填空： ， ． (2)若该校八年级、九年级参加此次跳绳比赛的人数分别为300，360，请你估计此次跳绳比赛中八年级、九年级优秀的总人数． (3)你认为本次跳绳比赛中八年级和九年级跳绳成绩哪个更好？请说明理由． 题型五：用频率估计数量 20．某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如下统计图，则当移植8千棵树苗时，成活的数量是（　　） A．7200棵 B．6800棵 C．6400棵 D．6000棵 21．有25张扑克牌正面朝下扣于桌面，每次抽出一张记下花色在放回，洗牌后再抽，多次试验后，记录抽到红桃的频率为，则红桃大约有___________张． 22．在一个不透明的袋子里装有5个绿球、2个黄球和若干个红球，这些球除颜色不同外无其他差别．每次从袋子里摸出一个球记录下颜色后再放回，经过大量的重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.3，则袋中红球的个数是______． 23．一个密闭不透明的口袋中有质地均匀、大小相同的白球若干个，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小华往口袋中放入个红球（红球与白球除颜色不同外，其它都一样），将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了次球，发现有次摸到红球．估计这个口袋中白球的个数约为 _____个． 24．一个不透明的盒子里装有20个红、黄两种颜色的小球，这些小球除颜色外其他完全相同．每次摸球前先将盒子里的球摇匀任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子．通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3，那么估计盒子中黄球有_____________个 25．某小组用电脑做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图．假设该事件为“等概率从1~9的连续整数中选出n的倍数”，则正整数n的值最可能是__________． 题型六：用频率作判断与决策 26．某不透明袋子中装有若干个除颜色外完全相同的小球，其中有4个黄球，其余为白球．现将球搅匀后，随机摸出一个球记下颜色后放回，重复试验200次，其中摸到黄球的次数为80次． (1)估计摸到黄球的概率； (2)求袋子中白球的数量； (3)若在原有球的基础上放入2个红球，判断摸出红球和黄球的可能性是否相同，若摸到红球甲胜，摸到黄球乙胜，并说明游戏是否公平． 27．完成以下问题 (1)下表是历史上一些著名数学家做掷硬币试验的数据： 试验者 抛硬币次数 正面朝上的次数 正面朝上的频率 德•摩根 布丰 费勒 皮尔逊 由这些数据，你可以估计掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为_____； (2)两个人做掷硬币游戏，掷出正面甲得分，掷出反面乙得分，先得到分的人赢得一个大蛋糕，如果游戏因故中途结束，此时甲得了分，乙得了分，那么这个蛋糕该如何分配呢？请你用概率的树状图模拟游戏继续，请帮助甲乙两人提出合理的分配方案． 28．临安清凉峰自然保护区内生活着野兔和野鸡，科研人员需要预估保护区内这两种动物的总数量．科研人员随机捕捉100只动物，其中野兔60只，野鸡40只，分别做好标记后放回保护区．待标记动物充分混合在种群中后，依次捕捉不同数量的动物，统计两类动物的数量． (1)估计在该保护区中随机捕捉一只动物是野鸡的概率； (2)若科研人员在保护区里随机捕捉500只动物，野兔360只，野鸡140只．其中，带有标记的野兔有12只，带有标记的野鸡有8只．请你估计该保护区中共有多少只野兔和多少只野鸡？ 29．数学活动小组的小杨和小浦在研究“两件事关联的数学运算”这一数学课题时，了解到了以下内容： ①卡方检验（也叫检验）是一种统计方法，用来判断两件事是否存在关联． ②如何判断事件A与事件B存在关联呢？小杨和小浦的老师告诉他们： （）假设事件A与事件B无关联 （）列表（如表1） （）根据公式计算卡方值 （）根据得到的，得出无关性假设可靠的概率p（当时，） （）若事件A与事件B无关性假设不可靠的概率大于0.95，即有95%的把握，则否定原假设③卡方值越大，无关性假设可靠的概率p越小 事件A发生 事件A不发生 总计 事件B发生 a b 事件B不发生 c d 总计 n 其中 表1 不吸烟者 吸烟者 总计 不患慢性气管炎者 121 b 283 患慢性气管炎者 c d 总计 134 339 表2 (1)小杨的爸爸是一位疾控中心的医护人员，他随机调查了339名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎的关系，测得数据如表所示（表2） ①估算样本中患有慢性支气管炎的频率 ②是否有的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关？ (2) 小浦是一位勤奋学习的人，也是一位游戏迷，他八年级开始玩游戏，也开始努力学习，他利用平时测验，经过计算（计算完全无误），得出有的把握认为事件“玩游戏”与事件“数学考试年级第一”有关联，于是他将这件事告诉小杨，并声称可以提升数学成绩．假如你是小杨，你认为小浦的观点对吗？若不对，说明小浦导致出错的步骤，并写出计算卡方值时需注意的要点． 一、单选题 1．小王为了统计某一试验结果出现的频率，利用计算机进行模拟试验，并绘制出如图所示的统计图，那么符合这一试验结果的可能是（） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的概率 B．掷一枚质地均匀的骰子，出现奇数点朝上的概率 C．掷一枚质地均匀的骰子，出现素数点朝上的概率 D．掷一枚质地均匀的骰子，出现合数点朝上的概率 2．某学习小组做摸球试验，在一个不透明的袋子里装有红、黄两种颜色的小球共10个，除颜色外都相同．将球搅匀后，随机摸出5个球，发现3个是红球，估计袋中红球的个数是（         ） A．6 B．5 C．4 D．3 3．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数最有可能是（     ） A．7 B．10 C．12 D．15 4．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球，3个蓝球，5个黄球，除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到红球的频率是0.2，则估计盒子中大约有红球（     ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 5．一个不透明的袋子中装有30个红球和若干个白球，这些球除了颜色外都相同．若小明每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回，经过多次重复试验，小明发现摸到白球的频率逐渐稳定于0.4，则小明估计袋子中白球的个数为（     ） A．50 B．45 C．20 D．12 6．小星做掷一枚质地均匀的骰子实验，通过大量重复试验，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．出现数字为2点朝上的频率 B．出现数字为3朝上的频率 C．出现数字为奇数的频率 D．出现数字为2或4的朝上频率 二、填空题 7．一个口袋中有红球、白球共个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了次球，发现有次摸到红球，则可估计这个口袋中白球的个数是_____． 8．某数学兴趣小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次试验后获得如下数据： 重复试验次数 10 50 100 500 1000 2000 5000 钉尖朝上次数 5 15 36 200 403 801 2001 估计任意抛掷一枚图钉，钉尖朝上的概率约为__________.（结果精确到） 9．工厂新进一台机床，机床经过调试后，操作人员将做出的200个零件混匀在一起进行试验：随机抽取1个零件检测后放回，多次重复这个试验．通过大量试验后发现，抽到不合格零件的频率为，估计这批零件中不合格零件的数量为________个． 10．某纸箱内有张瓯剧脸谱卡片，其中红色的有4张，经过大量重复摸取试验后，摸到红色脸谱卡片的频率稳定在，则的值为_________． 11．在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，则估计口袋中的球大约有_______个． 12．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黄、白两种颜色的乒乓球共5只，学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是试验进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 200 300 500 1000 摸到白球的次数 58 118 183 295 604 摸到白球的频率 请估计：当很大时，摸到白球的概率将会接近________（结果精确到）． 13．对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下，根据表中的数据，估计出售件衬衣，其中合格产品约有______件． 抽取件数 合格频数 合格频率 14．一个暗箱里有若干个白球，为了估计白球的个数，琳琳向箱中放入了3个黑球（它们除颜色外无其他差别），搅匀后从中随机摸出一个小球，记下颜色并放回暗箱中，重复摸球500次，其中有60次摸到黑球，则暗箱里大约有白球________个． 15．如图，是某数学兴趣小组在“用频率估计概率”的试验中，根据试验数据绘制的折线统计图，下面有2个随机事件：①一个单项选择题有A，B，C，D四个备选答案，从中任意选择一个答案，答案恰好错误；②掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上．符合该折线统计图的事件可能是______．（填序号） 16．一个不透明的盒子中装有若干个红球和个黑球，这些球除颜色外均相同．从盒子中随机摸出一球，经多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为______． 17．当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从某个二维码中开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机投点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.35左右，据此可以估计黑色部分的总面积为_____． 三、解答题 18．在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是试验中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 70 128 171 302 481 599 1806 摸到白球的频率 0.7 0.64 0.57 0.604 0.601 0.599 0.602 (1)请估计当n很大时，摸到白球的概率（精确到0.1）． (2)若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有1个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.5，那么可以推测出x最有可能是多少？ 19．下面是两位同学对抛掷硬币问题的不同说法，你同意吗？为什么？ (1)抛掷一枚质量分布均匀的硬币，是“出现正面”还是“出现反面”无法预测，全凭运气．因此，抛掷1000次的话也许只有200次“出现正面”，也许会有700次“出现正面”，没有什么规律． (2)抛掷一枚质量分布均匀的硬币，“出现正面”和“出现反面”的机会均等．因此，抛掷1000次的话，一定会有500次“出现正面”，500次“出现反面”． 20．一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球若干个，这些球除颜色外其他都相同．小明从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回并摇匀，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题： (1)摸到黑球的频率稳定在___________附近（结果精确到）： (2)若袋子中有4个黑球． ①估算袋子中两种颜色的球的总个数； ②若小明又将个相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，则摸出黑球的概率为___________．（用含的式子表示） 21．下面是一个机器人做次“抛掷硬币”游戏时记录下的“出现正面”的频数和频率表，以及根据“出现正面”的频率所画的一张条形统计图． 抛掷次数 5 出现正面的频数 1 出现正面的频率 (1)由这张频数和频率表可知，机器人抛掷完5次后，得到1次正面，“出现正面”的频率是．也就是说，机器人抛掷完5次后，得到_______次反面，“出现反面”的频率是_______． (2)由这张频数和频率表可知，机器人抛掷完次后，得到_______次正面，“出现正面”的频率是_______．也就是说，机器人抛掷完次后，得到_______次反面，“出现反面”的频率是_______． (3)如果你和你的朋友一起合作也抛掷完次，你们记录下的频数和频率表会与这张记录表一模一样吗？为什么？ (4)观察条形统计图，当抛掷次数很多很多以后（比如次以后），“出现正面”的频率是否比先前稳定？ 22．某校九年级（）班位同学每人一组，每人做次抛掷两枚硬币的试验，想看看“出现两个正面”的频率是否会逐渐稳定下来，得到了下面个试验结果． 第一组同学的学号 出现两个正面的次数 第二组同学的学号 出现两个正面的次数 第三组同学的学号 出现两个正面的次数 第四组同学的学号 出现两个正面的次数 (1)学号为的同学在次试验中，“出现两个正面”成功了几次？成功率是多少？他是他所在小组同学中成功率最高的人吗？ (2)学号为和的两位同学在次试验中的成功率一样吗？如果他们两人再分别做次试验，成功率还会出现类似的情况吗？ (3)如何计算一组同学的成功率？哪一组的成功率最高？ (4)逐步累计所有同学的试验结果，完成下面的数据统计表，如果把这张表画成相应的折线图，你会看到什么？ 抛掷次数 出现两个正面的频数 出现两个正面的频率 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点10 用频率估计概率 考点一：频率的定义与计算 在相同条件下进行 n 次试验，事件 A 发生了 m 次，则 m 叫做事件 A 发生的频数，比值 叫做事件 A 发生的频率。频率是一个比值，取值在 0 与 1 之间，通常写成小数或百分数。 计算时只有一个动作：频数除以试验总次数。要注意两件事：一是分子是“发生的次数”，不是“剩下没发生的次数”；二是 n 必须是同一条件下的试验总次数，把不同条件、不同批次的数据随意相加，得到的频率没有意义。 考点二：频率的稳定性 试验次数较少时，频率上下跳动，同一事件做两次同样的试验，结果可能差得很远；随着试验次数不断增大，频率会在某个常数附近摆动，而且摆动的幅度越来越小。频率的这个性质叫做频率的稳定性，它正是“用频率估计概率”的依据。 历史上抛硬币的大量试验最能说明这一点。下表是几位学者记录的正面朝上的数据，注意看最后一列随 n 增大是向哪个数靠拢。 试验者 抛掷次数 n 正面朝上次数 m 频率 m/n 布丰（法国） 4 040 2 048 0.506 9 德·摩根（英国） 4 092 2 048 0.500 5 费勒（美国） 10 000 4 979 0.497 9 皮尔逊（英国） 12 000 6 019 0.501 6 皮尔逊（英国） 24 000 12 012 0.500 5 注：数据取自通行教材与科普读物中的记载，各来源的试验次数与频数一致，频率按四舍五入保留四位小数。 五种试验、从四千次到两万四千次，频率都在 0.5 附近，最大偏差不到 0.007。这说明：个别试验的结果无法预知，大量重复试验却呈现出规律，这个规律就是稳定性。 考点三：用频率估计概率 一般地，在大量重复试验中，如果事件 A 发生的频率稳定在某个常数 p 附近，就把 p 作为事件 A 发生的概率的估计值，记作≈。这不是定义，而是估计：频率是量出来的，概率是估出来的。 什么时候必须用这个办法？三类情形：结果不是有限个；结果虽有限但出现的可能性不相等（抛瓶盖、投篮命中）；试验结果无法一一列举或代价太大。 完整的做法分四步：一是明确条件，保证每次试验在相同条件下进行；二是做大量重复试验，记录频数并算出频率；三是观察频率是否已经稳定，即随着 n 增大，波动是否明显收窄；四是取稳定值作为概率的估计，必要时用更多数据修正。 考点四：频率与概率的区别与联系 比较项 频率 概率 本质 试验得到的比值，是试验值 事件固有的可能性大小，是理论值 是否变化 随试验次数、试验批次变化，试验前不能确定 由事件本身决定，与是否做试验无关 与 n 的关系 n 较小时波动大，n 很大时趋于稳定 不随 n 改变，是一个确定的常数 三行讲的是区别，二者还有一层联系：试验次数很大时，频率会稳定在概率附近，所以频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值。正因为有这层联系，才能在算不出概率时用频率去估计它。 考点五：用频率估计数量 频率一旦稳定，就可以当作概率用；概率又可以翻译成“部分占总体之比”，于是能反过来推算数量。常见三类问题：袋中某种颜色的球有多少个、鱼塘里大约有多少条鱼、一批产品中大约有多少件合格。 问题类型 做法 示例 估计某事件发生的概率 取频率的稳定值直接作为估计值 种子发芽率约为 0.9 估计总体中某类个体数 设未知数，用“部分÷总体＝估计概率”列方程 袋中白球数、鱼塘鱼数 估计几何量或做决策 由估计概率反推面积、圆心角；或比较方案优劣 扇形圆心角 0.7×360° 鱼塘估数用“标记重捕”：先捕 a 条做标记放回，混合后再捕 b 条，其中带标记的 c 条。带标记的鱼在两次捕捞中所占比例应当接近，于是，解得 x≈。这一步的实质仍是“用频率估计概率”，只是把概率换成了比例。 考点六：用频率作判断与决策 生产与生活中的很多判断，靠的就是频率的稳定值：抽检一批零件，看不合格频率稳定在多少，据此估计整批的不合格率；统计树苗移植的成活频率，据此安排补种数量；比较两种抽奖方案的中奖频率，判断哪种更划算。 判断游戏是否公平，也用到这一节的思路：做大量试验后，若双方获胜的频率分别稳定在 p 与 1－p，而 p 明显不等于，就说明规则不公平，获胜频率高的一方占优。要注意，判断依据是“稳定值”，不是某一局或某十局的输赢。 题型一：频率与概率的辨析 1．下列关于随机事件发生的频率和概率，说法正确的是（   ） A．频率就是概率 B．随着试验次数的增加，频率一般会逐步稳定在概率值附近 C．试验得到的频率一定会等于概率 D．在相同的条件下进行试验，如果试验次数相同，则各试验小组所得频率的值也会相同 【答案】B 【详解】解：选项A：频率是实际试验中事件发生的次数与总次数的比值，而概率是理论上的预期值，两者概念不同，故A错误。 选项B：在大量重复试验中，随着试验次数的增加，频率会逐渐接近并稳定在概率附近，这是大数定律的体现，故B正确。 选项C：频率是试验结果，可能接近但不一定等于概率，故C错误。 选项D：即使试验次数相同，不同小组的试验结果可能存在随机性差异，导致频率不同，故D错误。 综上，正确答案为B。 故选：B． 2．某校名师生在操场上进行数学实验，验证“硬币正面朝上的概率是”．部分实验数据如下： 四年级1班2组 五年级 六年级3班 全校 正面数量 2 反面数量 8 正面朝上的频率（保留小数点后4位） 下列说法正确的是（   ） A．连续抛硬币次，不可能次正面朝上 B．连续抛硬币三次，正面朝上的频率一定是 C．在大量重复试验下，正面向上的频率会逐渐稳定在 D．甲班比乙班抛硬币次数多，甲班抛出正面朝上的频率一定更接近 【答案】C 【详解】解：∵抛硬币每次正面朝上都是可能事件，连续抛次次正面朝上是可能发生的，∴A错误； ∵频率是试验得到的结果，不同试验的频率不一定相同，是连续抛三次都为正面朝上的概率，不是固定的频率，∴B错误； ∵根据频率估计概率的性质，大量重复试验下，正面朝上的频率会逐渐稳定在其概率，即附近，∴C正确； ∵试验次数更多仅代表频率更可能接近，并非一定更接近，∴D错误． 3．在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为，该事件的概率为．下列说法正确的是（   ） A．试验次数越多，越大 B．试验次数越多，越大 C．与都可能发生变化 D．试验次数大量增加时，在附近摆动，并趋于稳定 【答案】D 【详解】解：∵ 概率P是常数，不随试验次数改变； 频率f随试验次数增加而逐渐稳定于P附近. ∴ 选项D正确. 故选：D. 4．关于用频率估计概率，下列说法正确的是（   ） A．实验次数越少，频率越接近概率 B．频率一定等于概率 C．多次重复实验后，频率会逐渐稳定在概率附近 D．抛一枚均匀骰子，实验10次有2次点数为6，则点数为6的概率估计为 【答案】C 【详解】解：概率是事件发生的理论值，频率是实验值，通过大量重复实验，频率逐渐稳定于概率； 选项A错误，实验次数越多频率越接近概率； 选项B错误，频率不一定等于概率； 选项C正确，符合频率的稳定性； 选项D错误，对于均匀骰子，点数为6的概率为，实验10次次数较少，频率可能偏离概率，估计不准确． 故选：C． 5．为丰富居民的精神文化生活，增加年味，2025年1月31日下午，贵阳市某社区举办了一场“投”你所好，迎春节趣味老年投球比赛，小明的爷爷是参赛选手，小明对爷爷投球击中目标的情况进行了统计，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息，下列说法不正确的是 （    ） A．随着投球次数的增加，爷爷投球的击中率会逐渐稳定在某一个数附近 B．爷爷投球的击中频率稳定在0.8，击中概率的估计值为0.8 C．若爷爷投球20次，则爷爷投球一定能击中16次 D．若爷爷投球5次，那么不一定能击中目标4次 【答案】C 【详解】解：由统计图可知，随着投球次数的增加，爷爷投球的击中率会逐渐稳定在附近， 故A选项正确，B选项正确，不符合题意； 若爷爷投球20次，则爷爷投球大约能击中（次）， 故C选项的说法不正确，符合题意； 若爷爷投球5次，那么不一定能击中目标4次， 故D选项的说法正确，不符合题意， 故选：C． 6．下列说法正确的是（　　） A．我国首型4米级运载火箭于2024年11月30日成功发射，发射前，科学家对火箭实施检查，最适宜的检查方式是抽样调查 B．“无限小数是无理数”是必然事件 C．小昆同学通过大量重复的定点投篮练习，得到她投中的频率为0.4，则说明小昆定点投篮10次，一定投中4次 D．甲乙两组同学参加“知识竞赛”，若甲乙两组同学的平均成绩相同，甲组成绩的方差为，乙组成绩的方差为，则乙组同学的成绩较稳定 【答案】D 【详解】解：A、科学家对发射前的火箭实施检查，最适宜的检查方式是普查，保证发射万无一失，故说法错误； B、无限不循环小数是无理数，无限循环小数是有理数，因此这是随机事件，说法错误； C、投中的频率为0.4，说明小昆定点投篮10次，可能投中4次，说法错误； D、甲乙两组同学的平均成绩相同，乙组的方差小于甲组的方差，表示乙组同学的成绩较稳定，说法正确； 故选：D． 题型二：频率的计算 7．调查某班 名同学的跳高成绩时，在收集到的数据中，不足 米的数出现的频率是 ，则达到或超过 米的数出现的频率是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在收集到的数据中，不足 米的数出现的频率是 ， 则达到或超过 米的数出现的频率是： 故选B． 8．“深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是________． 【答案】 【详解】解：“深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是， 故答案为：． 9．在整数20250416中，数字“0”出现的频率是______． 【答案】 【详解】解：由题意，数字“0”出现的频率是； 故答案为：． 10．暑假将至，东营区教育局向全区师生发出倡议“不去河沟游玩，防落水，不去河沟游泳，防溺水”．在这句宣传语中，“水”字出现的频率为______． 【答案】 【详解】解：“不去河沟游玩，防落水，不去河沟游泳，防溺水”，共有个字，其中“水”字出现的次数为次， ∴“水”字出现的频率为， 故答案为：． 题型三：频率的稳定性 11．某工厂生产的同一批次电子元件，质检员从中随机抽取件进行耐压测试，测试完毕后将该元件放回并充分混合，这视为完成次检测．已知质检员共完成了次这样的检测，其中有次检测到的元件耐压不达标．则可估计从这批电子元件中随机抽取一件是耐压达标元件的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵共完成次检测，其中次检测到的元件耐压不达标， ∴不达标检测的频率为， ∴可估计从这批电子元件中随机抽取一件是耐压达标元件的概率为． 12．绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示： 每批粒数 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的粒数 93 267 378 570 948 1904 2850 发芽的频率 则绿豆发芽的概率大约是（     ）（结果精确到） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ 在大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该事件发生概率的估计值． 观察表格里绿豆发芽的频率：，，，，，，． ∵ 随着每批粒数不断增大，发芽的频率稳定在 附近， ∴ 绿豆发芽的概率大约是 ． 13．学了概率的相关知识后，某综合实践小组利用计算机模拟抛掷一枚图钉的试验，研究落地后针尖朝上的概率，记录的试验数据如表： 累计抛掷次数 100 1000 2000 3000 4000 5000 6000 针尖朝上频率 0.500 0.610 0.600 0.594 0.625 0.614 0.618 随着试验次数的增大，估计“针尖朝上”的概率接近于（   ）（精确到0.01） A．0.50 B．0.59 C．0.62 D．0.63 【答案】C 【详解】解：∵随着累计抛掷次数增大，针尖朝上的频率在附近波动（精确到）， ∴估计“针尖朝上”的概率接近于，故C选项符合． 14．在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“个人中有个人同月过生日”的概率，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 “有个人同月过生日”的次数 “有个人同月过生日”的频率 通过试验，该小组估计“个人中有个人同月过生日”的概率（精确到）是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由表格数据可知，试验次数为、、时，“个人中有个人同月过生日”的频率分别为、、， 随着试验次数增加，频率逐渐稳定在附近， 估计该事件的概率（精确到）为. 15．足球是一项非常古老的运动，最早起源于中国的蹴鞠，是全球体育界极具影响力的体育运动之一．现从一批足球中随机抽检部分足球的质量，统计结果如下表： 抽取的足球数n 100 200 400 600 1000 1500 2000 优等品的频数m 94 189 375 561 938 1409 1882 优等品的频率 0.94 0.945 0.938 0.935 0.938 0.939 0.941 据此推测，从这批足球中随机抽取一个足球是优等品的概率约是______（结果精确到0.01）． 【答案】0.94 【详解】解：观察表格中优等品的频率数据，随着抽取足球的数量不断增加，频率依次为0.94、0.945、0.938、0.935、0.938、0.939、0.941， 结果精确到0.01，整体逐渐稳定在0.94附近． 据此推测，从这批足球中随机抽取一个足球是优等品的概率约是0.94． 16．一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外均相同的小球，小红从袋子中随机取出一个球记下颜色再放回袋子，通过大量重复试验后，黑色小球出现的频率如图所示，则摸到黑球的概率约为____________． 【答案】 【详解】解：观察折线统计图，随着试验次数的增加，黑色小球出现的频率波动逐渐变小. 频率最终稳定在附近， 摸到黑球的概率约为． 题型四：用频率估计概率解决实际问题 17．吉祥社区开展秋季趣味运动会，设有四个比赛项目：A跳绳、B踢毽子、C沙包投掷、D趣味套圈．甲、乙两名同学作为志愿者，随机被安排到这四个项目中负责协助工作． (1)为了解参加“沙包投掷”项目的情况，工作人员随机调查部分参赛居民，统计结果如下： 调查总人数 50 100 200 500 1000 参加“沙包投掷”人数 24 47 96 203 405 参加“沙包投掷”频率 0.48 0.47 0.406 0.405 ①请填出表中所缺的数据． ②请估算本次运动会参加“沙包投掷”项目的概率______（精确到0.1）． (2)利用画树状图或列表格的方法，求甲、乙两人恰好有一人被分配到“沙包投掷”项目的概率． 【答案】(1)①0.48；②0.4； (2)． 【详解】（1）解：① 频率的计算公式为：， 代入对应数据得：． ② 当试验总人数越大，频率会逐渐稳定在某个常数附近， 观察表格里的频率随样本量增大逐步趋近于0.405， 精确到0.1后结果为0.4． ∴本次运动会参加“沙包投掷”项目的概率为0.4． （2）解： 甲            乙 A B C D A B C D 共有16种等可能的结果，其中甲、乙恰好有一人被分配到“沙包投掷”项目的结果有6种， ∴P（甲、乙恰好有一人被分配到“沙包投掷”项目）． 18．某文具店为了解“盲盒笔”中不同款式的受欢迎程度，在盲盒中放入1支限定款钢笔、2支普通款中性笔，以及若干支基础款铅笔（所有笔除款式外无差异）．为确定铅笔的数量，进行了有放回摸取试验，每次摸1支并记录后放回，试验数据如下： 摸取总次数 30 150 300 800 1500 摸到限定款的次数 5 24 48 m 250 摸到限定款的频率（保留两位小数） 0.17 0.16 0.16 0.15 n (1)表格中 ________，________； (2)若后续将盲盒中笔的总数增加到20支（限定款、普通款数量不变），需再加入多少支铅笔？ (3)从原盲盒中不放回连续摸2次，求摸到“1支中性笔、1支铅笔”的概率． 【答案】(1)， (2)需再加入铅笔14支 (3) 【详解】（1）解：，； （2）解：设原盲盒中笔的总数为，则， 为正整数， ， ∴总数增加到20支时，需再加入铅笔（支）； （3）解：原盲盒中铅笔数量为（支）． 设限定款钢笔为 ，普通款中性笔为，基础款铅笔为，列表如下：                                                        共有30种等可能的结果，其中1支中性笔、1支铅笔的结果有12种， ∴摸到“1支中性笔、1支铅笔”的概率为． 19．某校开展“绳舞校园，跃动精彩”2026年春季校园跳绳比赛，为师生搭建起运动竞技与风采展示的平台．某数学兴趣小组从八年级、九年级中各随机抽取20名学生，对其一分钟跳绳的个数进行整理和分析． 数据整理： 跳绳个数记为（为优秀），共分为五组：A：，B：，C：，D：，E：．整理成如下频数分布表． 组别 八年级人数 九年级人数 A 3 2 B 6 4 C 6 8 D 2 4 E 3 2 被抽取的八年级学生跳绳个数在C组的数据：130  135  133  135  135  134； 被抽取的九年级学生跳绳个数在C组的数据：133  132  134  133  133  133  136　136　． 数据分析： 该数学兴趣小组对抽取的八年级、九年级学生一分钟跳绳的个数进行了如下分析： 平均数 中位数 众数 优秀率 八年级 134 a 135 九年级 133 133 133 b 请回答下列问题： (1)填空： ， ． (2)若该校八年级、九年级参加此次跳绳比赛的人数分别为300，360，请你估计此次跳绳比赛中八年级、九年级优秀的总人数． (3)你认为本次跳绳比赛中八年级和九年级跳绳成绩哪个更好？请说明理由． 【答案】(1)131.5， (2)此次跳绳比赛中八年级、九年级优秀的总人数约为183人． 【详解】（1）解：因为样本总人数为20人，所以中位数为跳绳个数排名第10和第11两人的平均值，八年级组共有9人， 故中位数位于组区间，第10和第11两人跳绳个数分别为130,133， 故， 两组都是优秀组，九年级两组共有6人， 故 ． （2）解：（人）． 此次跳绳比赛中八年级、九年级优秀的总人数约为183． （3）九年级跳绳成绩更好． 理由：九年级跳绳个数的中位数、优秀率都比八年级的高， 九年级跳绳成绩更好（理由不唯一，合理即可）． 题型五：用频率估计数量 20．某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如下统计图，则当移植8千棵树苗时，成活的数量是（　　） A．7200棵 B．6800棵 C．6400棵 D．6000棵 【答案】A 【详解】解：由题图可知，移植8千棵树苗时成活的频率为0.9， 所以（棵）． 故选A． 21．有25张扑克牌正面朝下扣于桌面，每次抽出一张记下花色在放回，洗牌后再抽，多次试验后，记录抽到红桃的频率为，则红桃大约有___________张． 【答案】5 【详解】解：由题意得：抽到红桃的概率为， ∴红桃有：张； 故答案为：5． 22．在一个不透明的袋子里装有5个绿球、2个黄球和若干个红球，这些球除颜色不同外无其他差别．每次从袋子里摸出一个球记录下颜色后再放回，经过大量的重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.3，则袋中红球的个数是______． 【答案】3 【详解】解：设袋中红球有个，根据题意得 整理得 解得 经检验是原分式方程的解，符合题意， 所以袋中红球的个数是． 23．一个密闭不透明的口袋中有质地均匀、大小相同的白球若干个，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小华往口袋中放入个红球（红球与白球除颜色不同外，其它都一样），将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了次球，发现有次摸到红球．估计这个口袋中白球的个数约为 _____个． 【答案】 【详解】解：设袋子中白球有x个， 根据题意，得：， 解得， 经检验是分式方程的解， 所以袋子中白球的个数约为个， 故答案为： 24．一个不透明的盒子里装有20个红、黄两种颜色的小球，这些小球除颜色外其他完全相同．每次摸球前先将盒子里的球摇匀任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子．通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3，那么估计盒子中黄球有_____________个 【答案】6 【详解】解：设盒子中黄球有个， 根据题意可得： ， 解得：， 故答案为：6． 25．某小组用电脑做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图．假设该事件为“等概率从1~9的连续整数中选出n的倍数”，则正整数n的值最可能是__________． 【答案】3 【详解】解：从1到9的连续整数共有9个．根据“用频率估计概率”，当试验次数很大时，频率稳定在概率附近，折线图中事件发生的频率稳定在0.33左右，因此需计算不同正整数时，“选到的倍数”的概率： 若，到9中2的倍数有，共4个，概率为，与0.33不符． 若，到9中3的倍数有，共3个，概率为，与折线图中稳定的频率（约0.33）接近． 若，到9中4的倍数有，共2个，概率为，与0.33不符． 其他更大的（如），1到9中的倍数更少，概率更小，均不符合． 因此，正整数的值最可能是3． 故答案为：3． 题型六：用频率作判断与决策 26．某不透明袋子中装有若干个除颜色外完全相同的小球，其中有4个黄球，其余为白球．现将球搅匀后，随机摸出一个球记下颜色后放回，重复试验200次，其中摸到黄球的次数为80次． (1)估计摸到黄球的概率； (2)求袋子中白球的数量； (3)若在原有球的基础上放入2个红球，判断摸出红球和黄球的可能性是否相同，若摸到红球甲胜，摸到黄球乙胜，并说明游戏是否公平． 【答案】(1) (2)6 【详解】（1）解：∵ 重复摸球试验200次，摸到黄球80次， ∴摸到黄球的频率为， ∴估计摸到黄球的概率为； （2）解：由（1）可知，摸到黄球的概率为， ∴袋子中总球数为（个）， ∴袋子中白球的数量为（个）． （3）摸出红球和黄球的可能性不相同，游戏不公平．　 理由如下： 放入2个红球后，总球数为（个）， 摸出红球的概率为， 摸出黄球的概率为， ∵ ， ∴ 摸出两种球的可能性不同，游戏不公平． 27．完成以下问题 (1)下表是历史上一些著名数学家做掷硬币试验的数据： 试验者 抛硬币次数 正面朝上的次数 正面朝上的频率 德•摩根 布丰 费勒 皮尔逊 由这些数据，你可以估计掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为_____； (2)两个人做掷硬币游戏，掷出正面甲得分，掷出反面乙得分，先得到分的人赢得一个大蛋糕，如果游戏因故中途结束，此时甲得了分，乙得了分，那么这个蛋糕该如何分配呢？请你用概率的树状图模拟游戏继续，请帮助甲乙两人提出合理的分配方案． 【详解】（1）解：∵根据表格中的数据，随着试验次数的增大，频率逐渐稳定在左右， ∴估计掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为． （2）解：∵此时甲得了分，乙得了分， ∴最多再掷三次游戏就结束， 列树状图如下： 由树状图可知，三次游戏结束时，共有种等可能结果，其中连续三次是反面的情况有种， ∴乙获胜的概率为，甲获胜的概率为， ∴甲分这个蛋糕的，乙分这个蛋糕的． 28．临安清凉峰自然保护区内生活着野兔和野鸡，科研人员需要预估保护区内这两种动物的总数量．科研人员随机捕捉100只动物，其中野兔60只，野鸡40只，分别做好标记后放回保护区．待标记动物充分混合在种群中后，依次捕捉不同数量的动物，统计两类动物的数量． (1)估计在该保护区中随机捕捉一只动物是野鸡的概率； (2)若科研人员在保护区里随机捕捉500只动物，野兔360只，野鸡140只．其中，带有标记的野兔有12只，带有标记的野鸡有8只．请你估计该保护区中共有多少只野兔和多少只野鸡？ 【答案】(1)估计在该保护区中随机捕捉一只动物是野鸡的概率为 (2)估计该保护区共有野兔1800只，野鸡700只 【详解】（1）解：∵随机捕捉的100只动物中，野鸡有40只， ∴样本中捕捉一只动物是野鸡的频率为， ∴估计随机捕捉一只动物是野鸡的概率为； （2）解：设该保护区野兔总数为只，野鸡总数为只， ∵第一次标记野兔60只，重捕的360只野兔中带标记的有12只， ∴， 解得； ∵第一次标记野鸡40只，重捕的140只野鸡中带标记的有8只， ∴， 解得； 答：该保护区约有野兔1800只，野鸡700只． 29．数学活动小组的小杨和小浦在研究“两件事关联的数学运算”这一数学课题时，了解到了以下内容： ①卡方检验（也叫检验）是一种统计方法，用来判断两件事是否存在关联． ②如何判断事件A与事件B存在关联呢？小杨和小浦的老师告诉他们： （）假设事件A与事件B无关联 （）列表（如表1） （）根据公式计算卡方值 （）根据得到的，得出无关性假设可靠的概率p（当时，） （）若事件A与事件B无关性假设不可靠的概率大于0.95，即有95%的把握，则否定原假设③卡方值越大，无关性假设可靠的概率p越小 事件A发生 事件A不发生 总计 事件B发生 a b 事件B不发生 c d 总计 n 其中 表1 不吸烟者 吸烟者 总计 不患慢性气管炎者 121 b 283 患慢性气管炎者 c d 总计 134 339 表2 (1)小杨的爸爸是一位疾控中心的医护人员，他随机调查了339名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎的关系，测得数据如表所示（表2） ①估算样本中患有慢性支气管炎的频率 ②是否有的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关？ (2)小浦是一位勤奋学习的人，也是一位游戏迷，他八年级开始玩游戏，也开始努力学习，他利用平时测验，经过计算（计算完全无误），得出有的把握认为事件“玩游戏”与事件“数学考试年级第一”有关联，于是他将这件事告诉小杨，并声称可以提升数学成绩．假如你是小杨，你认为小浦的观点对吗？若不对，说明小浦导致出错的步骤，并写出计算卡方值时需注意的要点． 【详解】（1）①解：由表2可知，， 解得：， 所以患病人数为56，总人数为339， 因此频率为：； ②， 所以， 所以有的把握认为吸烟与慢性气管炎有关； （2）解：小浦的错误在于： 卡方检验仅表明“玩游戏”与“数学考试年级第一”在统计上有关联，但无法证明因果关系． 可能存在的第三变量（如个人学习能力、时间管理、学习动机等）同时影响玩游戏频率与数学成绩，导致虚假相关． 即使有关联，也可能是“数学成绩好的人更爱玩游戏”（反向因果）或纯属巧合． 计算卡方值时需注意的要点：卡方检验需注意样本代表性、变量定义清晰、避免混淆因果． 一、单选题 1．小王为了统计某一试验结果出现的频率，利用计算机进行模拟试验，并绘制出如图所示的统计图，那么符合这一试验结果的可能是（） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的概率 B．掷一枚质地均匀的骰子，出现奇数点朝上的概率 C．掷一枚质地均匀的骰子，出现素数点朝上的概率 D．掷一枚质地均匀的骰子，出现合数点朝上的概率 【答案】D 【详解】解：图中，符合该结果的频率在和之间 A．掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的频率约为，不合题意； B．掷一枚质地均匀的骰子，出现奇数点朝上的概率为，不合题意； C．掷一枚质地均匀的骰子，出现素数点（2，3，5）朝上的概率为，不符合题意； D．掷一枚质地均匀的骰子，出现合数点（4，6）朝上的概率约为； 故选：D． 2．某学习小组做摸球试验，在一个不透明的袋子里装有红、黄两种颜色的小球共10个，除颜色外都相同．将球搅匀后，随机摸出5个球，发现3个是红球，估计袋中红球的个数是（         ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【详解】解：∵随机摸出的5个球中，有3个是红球， ∴摸到红球的频率为， ∵袋中共有10个球， ∴估计袋中红球的个数为（个）． 3．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数最有可能是（     ） A．7 B．10 C．12 D．15 【答案】A 【详解】解：由题意得红球个数约为． 4．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球，3个蓝球，5个黄球，除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到红球的频率是0.2，则估计盒子中大约有红球（     ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】解：设盒子中红球有个 ∵ 口袋中总球数为，大量试验后摸到红球的频率稳定为，即摸到红球的概率为 ∴ 列方程得 得， 解得： 经检验，是原方程的解，符合题意， 因此估计盒子中大约有红球2个． 5．一个不透明的袋子中装有30个红球和若干个白球，这些球除了颜色外都相同．若小明每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回，经过多次重复试验，小明发现摸到白球的频率逐渐稳定于0.4，则小明估计袋子中白球的个数为（     ） A．50 B．45 C．20 D．12 【答案】C 【详解】设袋子中白球有个． ∵ 摸到白球的频率逐渐稳定于， ∴ 估计摸到白球的概率为， ∴ ， 解得， 经检验：得是方程的解． 6．小星做掷一枚质地均匀的骰子实验，通过大量重复试验，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．出现数字为2点朝上的频率 B．出现数字为3朝上的频率 C．出现数字为奇数的频率 D．出现数字为2或4的朝上频率 【答案】D 【详解】解：由统计图可知试验结果的频率逐渐稳定在左右， A．出现数字为2点朝上的概率为，即试验结果的频率逐渐稳定在左右，不符合题意； B．出现数字为3朝上的概率为，即试验结果的频率逐渐稳定在左右，不符合题意； C．出现数字为奇数的概率为，即试验结果的频率逐渐稳定在左右，不符合题意； D．出现数字为2或4的朝上概率为，即试验结果的频率逐渐稳定在左右，符合题意． 二、填空题 7．一个口袋中有红球、白球共个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了次球，发现有次摸到红球，则可估计这个口袋中白球的个数是_____． 【答案】 【详解】解：摸到红球的频率为， ∴摸到白球的频率为， ∴白球个数估计为． 故答案为：． 8．某数学兴趣小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次试验后获得如下数据： 重复试验次数 10 50 100 500 1000 2000 5000 钉尖朝上次数 5 15 36 200 403 801 2001 估计任意抛掷一枚图钉，钉尖朝上的概率约为__________.（结果精确到） 【答案】 【详解】解：表中从左往右，频率分别为， 钉尖朝上的概率约为； 故答案为：． 9．工厂新进一台机床，机床经过调试后，操作人员将做出的200个零件混匀在一起进行试验：随机抽取1个零件检测后放回，多次重复这个试验．通过大量试验后发现，抽到不合格零件的频率为，估计这批零件中不合格零件的数量为________个． 【答案】10 【详解】解：∵大量重复试验中，事件发生的频率可用来估计该事件发生的概率． ∴ 估计从这批零件中抽到不合格零件的概率为， ∴估计这批零件中不合格零件的数量为． 10．某纸箱内有张瓯剧脸谱卡片，其中红色的有4张，经过大量重复摸取试验后，摸到红色脸谱卡片的频率稳定在，则的值为_________． 【答案】20 【详解】解：根据题意有：． 11．在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，则估计口袋中的球大约有_______个． 【答案】5 【详解】解：设袋子中白球有n个，根据题意，得 ， 解得， 经检验是分式方程的解， 所以估计口袋中的球大约有（个）． 12．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黄、白两种颜色的乒乓球共5只，学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是试验进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 200 300 500 1000 摸到白球的次数 58 118 183 295 604 摸到白球的频率 请估计：当很大时，摸到白球的概率将会接近________（结果精确到）． 【答案】 【详解】解：观察表格中的数据可得，当逐渐增大时，摸到白球的频率逐渐稳定在附近，因此当很大时，摸到白球的概率将会接近． 13．对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下，根据表中的数据，估计出售件衬衣，其中合格产品约有______件． 抽取件数 合格频数 合格频率 【答案】 【详解】解：观察表格中的合格频率数据，当抽取件数为件、件时，合格频率均为，随着抽取样本量增大，合格频率逐渐稳定在附近， 可估计这批衬衣的合格概率约为， 出售件衬衣时，合格产品的估计数量为件． 14．一个暗箱里有若干个白球，为了估计白球的个数，琳琳向箱中放入了3个黑球（它们除颜色外无其他差别），搅匀后从中随机摸出一个小球，记下颜色并放回暗箱中，重复摸球500次，其中有60次摸到黑球，则暗箱里大约有白球________个． 【答案】22 【详解】解：设暗箱里大约有白球个，则暗箱中总球数为个． 用频率估计概率，可得摸到黑球的概率约为， 因此列方程得 交叉相乘化简得， 解得． 即暗箱里大约有白球个． 15．如图，是某数学兴趣小组在“用频率估计概率”的试验中，根据试验数据绘制的折线统计图，下面有2个随机事件：①一个单项选择题有A，B，C，D四个备选答案，从中任意选择一个答案，答案恰好错误；②掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上．符合该折线统计图的事件可能是______．（填序号） 【答案】② 【详解】解：由折线统计图可知，试验频率的稳定值约为， ①对于单项选择题，共有4个等可能选项，其中1个为正确答案，3个为错误答案，因此，选到错误答案的概率为，与频率稳定值0.5不符 ②掷一枚质地均匀的硬币，共有2个等可能结果，其中正面朝上的结果有1种，因此概率为，与统计图中频率的稳定值一致； ∴符合该折线统计图的事件可能是②． 16．一个不透明的盒子中装有若干个红球和个黑球，这些球除颜色外均相同．从盒子中随机摸出一球，经多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为______． 【答案】 【详解】解：∵摸到黑球的频率稳定在左右， ∴摸到黑球的概率为， 设盒子中红球的个数为，则盒子中总球数为， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴盒子中红球的个数约为． 17．当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从某个二维码中开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机投点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.35左右，据此可以估计黑色部分的总面积为_____． 【答案】35 【详解】解：根据题意，估计这个区域内黑色部分的总面积约为． 三、解答题 18．在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是试验中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 70 128 171 302 481 599 1806 摸到白球的频率 0.7 0.64 0.57 0.604 0.601 0.599 0.602 (1)请估计当n很大时，摸到白球的概率（精确到0.1）． (2)若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有1个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.5，那么可以推测出x最有可能是多少？ 【答案】(1)0.6 (2)10 【详解】（1）解：根据表中数据，估计当n很大时，摸到白球的概率为0.6； （2）解：估算盒子里原来约有白球（个）， ∵放入的x个球中白球只有1个， ∴， 解得， 答：可以推测出x最有可能是10． 19．下面是两位同学对抛掷硬币问题的不同说法，你同意吗？为什么？ (1)抛掷一枚质量分布均匀的硬币，是“出现正面”还是“出现反面”无法预测，全凭运气．因此，抛掷1000次的话也许只有200次“出现正面”，也许会有700次“出现正面”，没有什么规律． (2)抛掷一枚质量分布均匀的硬币，“出现正面”和“出现反面”的机会均等．因此，抛掷1000次的话，一定会有500次“出现正面”，500次“出现反面”． 【详解】(1)解：不同意，理由如下： ∵抛掷一枚质量分布均匀的硬币，单次试验的结果具有随机性， 又∵大量重复试验时，“出现正面”的频率会稳定在附近，存在统计规律， ∴该说法错误． (2)解：不同意，理由如下： ∵抛掷一枚质量分布均匀的硬币，“出现正面”和“出现反面”的概率均为，二者机会均等， 又∵频率是实际试验的结果，不一定与概率相等， ∴ 抛掷次不一定恰好有次“出现正面”，该说法错误． 20．一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球若干个，这些球除颜色外其他都相同．小明从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回并摇匀，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题： (1)摸到黑球的频率稳定在___________附近（结果精确到）： (2)若袋子中有4个黑球． ①估算袋子中两种颜色的球的总个数； ②若小明又将个相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，则摸出黑球的概率为___________．（用含的式子表示） 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）解：观察统计图可知，随着摸球次数的增加，摸到黑球的频率在附近波动，并逐渐趋于稳定，利用频率估计概率的原理，摸到黑球的频率稳定在附近； （2）解：①∵摸到黑球的频率稳定在附近，袋子中有4个黑球， ∴袋子中两种颜色的球的总个数为（个）； ②将个相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，袋子里黑球的总数变为，球的总个数变为，故此时摸出黑球的概率为． 21．下面是一个机器人做次“抛掷硬币”游戏时记录下的“出现正面”的频数和频率表，以及根据“出现正面”的频率所画的一张条形统计图． 抛掷次数 5 出现正面的频数 1 出现正面的频率 (1)由这张频数和频率表可知，机器人抛掷完5次后，得到1次正面，“出现正面”的频率是．也就是说，机器人抛掷完5次后，得到_______次反面，“出现反面”的频率是_______． (2)由这张频数和频率表可知，机器人抛掷完次后，得到_______次正面，“出现正面”的频率是_______．也就是说，机器人抛掷完次后，得到_______次反面，“出现反面”的频率是_______． (3)如果你和你的朋友一起合作也抛掷完次，你们记录下的频数和频率表会与这张记录表一模一样吗？为什么？ (4)观察条形统计图，当抛掷次数很多很多以后（比如次以后），“出现正面”的频率是否比先前稳定？ 【答案】(1)4； (2)；；； (3)可能会一模一样，也可能不会一模一样，因为“抛掷硬币”游戏中，出现正面还是反面是随机事件，所以每次抛掷出现的结果可能一样，也可能不一样，所以记录下的频数和频率表可能会一模一样，也可能不会一模一样． (4)当抛掷次数很多很多以后（比如次以后），“出现正面”的频率比先前稳定． 【详解】（1）解：根据题意得： （次）， ， ∴抛掷完5次后，“出现正面”的次数为1次，“出现反面”的次数为4次， “出现反面”的频率为． （2）解：观察频数和频率表即可得机器人抛掷完次后的正面次数为次，“出现正面”的频率是， ∴机器人抛掷完次后，“出现反面”的次数为：（次）， “出现反面”的频率为：， ∴机器人抛掷完次后，“出现反面”的次数为（次），“出现反面”的频率为． （3）略 （4）答：观察“出现正面”的频率条形统计图发现，当抛掷次数很多很多以后（比如次以后），“出现正面”的频率基本稳定在左右， ∴当抛掷次数很多很多以后（比如次以后），“出现正面”的频率比先前稳定． 22．某校九年级（）班位同学每人一组，每人做次抛掷两枚硬币的试验，想看看“出现两个正面”的频率是否会逐渐稳定下来，得到了下面个试验结果． 第一组同学的学号 出现两个正面的次数 第二组同学的学号 出现两个正面的次数 第三组同学的学号 出现两个正面的次数 第四组同学的学号 出现两个正面的次数 (1)学号为的同学在次试验中，“出现两个正面”成功了几次？成功率是多少？他是他所在小组同学中成功率最高的人吗？ (2)学号为和的两位同学在次试验中的成功率一样吗？如果他们两人再分别做次试验，成功率还会出现类似的情况吗？ (3)如何计算一组同学的成功率？哪一组的成功率最高？ (4)逐步累计所有同学的试验结果，完成下面的数据统计表，如果把这张表画成相应的折线图，你会看到什么？ 抛掷次数 出现两个正面的频数 出现两个正面的频率 【答案】(1)成功了次，成功率是，不是他所在小组成功率最高的人 (2)两位同学的成功率一样；再做次试验，成功率不一定出现类似的情况 (3)一组同学的成功率为该组出现两个正面的总次数除以该组试验的总次数；第一组的成功率最高 【详解】（1）解：由表格数据可得：学号为的同学在次试验中，成功了次， ∴成功率是， ∵根据该组中号的同学在次试验中，成功了次，， ∴学号为的同学在次试验中不是他所在小组同学中成功率最高的人； （2）解：∵学号为和的两位同学在次试验中，成功的次数相同，都是次， ∴成功率是一样的， ∵试验的结果是随机的，不确定的， ∴如果他们两人再做次试验，成功率不一定出现类似的情况； （3）解：∵一组同学的成功率为：成功的总次数试验的总次数， ∴一组同学的成功率为该组出现两个正面的总次数除以该组试验的总次数， ∴第一组的成功率为：， 第二组的成功率为：， 第三组的成功率为：， 第四组的成功率为：， ∵， ∴第一组的成功率最高； （4）完成各抛掷次数对应的频数与频率数据统计表如下： 抛掷次数 出现两个正面的频数 出现两个正面的频率 根据统计表画成的折线图如图所示， 根据折线图会看到：随着抛掷次数的增加，出现两个正面的频率逐渐稳定在附近． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $