考点09 事件的概率6题型突破+能力强化（专项训练）数学新教材沪教版五四制九年级下册

考点09 事件的概率 考点一：概率的意义与记法 表示一个事件发生的可能性大小的数，叫做这个事件的概率，记作，读作“事件 A 的概率”。概率是一个确定的数，只由事件与试验条件决定，不因某一次试验的结果而改变。 考点二：等可能试验与概率公式 只有当试验满足下面三个条件时，才能直接用比值算概率：①所有可能的结果只有有限个；②每个结果出现的机会均等；③任意两个结果不可能同时出现。这样的试验叫等可能试验。 在等可能试验中，如果共有 n 个结果，事件 A 包含其中 m 个结果，那么 其中 n 由试验本身决定，与事件 A 无关；m 是 A 包含的结果数，必有 m≤n。用公式前先问一句“这些结果真的等可能吗”：转盘各扇形面积相等才等可能，布袋中各球只有颜色不同才等可能。不满足等可能，就不能套这个公式。 考点三：概率的取值范围与端点 由 0≤m≤n 可得，两个端点对应两类确定事件：必然事件的概率为 1（所有结果都使 A 发生，m＝n）；不可能事件的概率为 0（没有一个结果使 A 发生，m＝0）。随机事件介于两者之间，即。 事件类型 概率 含义 示例 必然事件 1 一定发生，全部结果都符合 标准大气压下，水加热到 100 ℃ 沸腾 不可能事件 0 一定不发生，没有一个结果符合 掷一枚骰子，向上一面的点数是 7 随机事件 0 与 1 之间 可能发生也可能不发生 掷一枚骰子，向上一面的点数是 3 注：概率越接近 1，事件越可能发生；越接近 0，越不可能发生。0 与 1 本身只属于确定事件。 考点四：一步试验：直接列举 一步试验只做一次操作，结果可以直接数清。做法固定：先写全所有等可能结果得到 n，再数出符合条件的结果得到 m，最后代入公式。常见情境与 n 的取法见下表。 试验情境 n（等可能结果总数） m（事件 A 包含的结果数） 摸出一个球 球的总个数 指定颜色的球数 抽出一张卡片 卡片的总张数 符合条件的卡片张数 掷一枚骰子 6 满足点数条件的个数 转动等分转盘 扇形总数 符合颜色或数字的扇形数 抽取一个字母 字母总个数（相同字母按个数计） 目标字母出现的次数 注：袋中球的个数不同，哪怕颜色只有三种，也不能按“三种颜色各三分之一”算。 考点五：两步及以上：列表法与树状图法 两步试验（摸两次、掷两次、转两个转盘、两人各抽一张）的结果要按“有序”处理：先甲后乙与先乙后甲是两种结果，不能并成一种。列举有两种工具，分工如下。 方法 适用范围 做法 易错点 列表法 两步试验 一行一列各放一个因素，格内写结果对 不放回时对角线格不成立，要剔除 树状图法 两步及以上 逐层画分支，末端写结果 每层分支要写全，末端数应等于 n 考点六：概率的应用：公平性与逆向求数量 判断游戏是否公平，标准是双方获胜的概率是否相等。等则公平，不等则不公平，概率大的一方占优。修改规则时，只要让双方对应的结果数相等即可，常见做法是调整某一方的区域数、球数或取值区间。 已知概率求数量，用方程：设所求个数为 x，按“符合条件数÷总数＝已知概率”列式，解出后必须回代检验，并注意“加入”或“取出”后总数与分子是否同步变化。 题型一：直接代公式 1．（2026·上海·模拟预测）一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是黄球的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵袋子中共有3个红球，2个黄球和1个白球，所有球除颜色外无其他差别，随机摸出一个球， ∴所有可能出现的结果总数为，其中摸出黄球的结果数为， ∴摸出黄球的概率是． 2．（2026·上海静安·三模）现有五张纸片，分别写着“正三角形”、“菱形”、“平行四边形”、“正方形”、“直角梯形”，从中任意抽取一张既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵总共有5种等可能的抽取结果，逐一判断各图形性质：正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，直角梯形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，只有菱形、正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形， ∴符合条件的结果共2种，根据概率公式可得，从中任意抽取一张既是中心对称图形又是轴对称图形的概率． 3．（2025·上海杨浦·模拟预测）在下列图形中抽取任意一种，是中心对称图形的概率是（    ） ①四边形；②正三角形；③正六边形；④正五边形；⑤菱形；⑥线段 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ①四边形中平行四边形是中心对称图形，梯形不是中心对称图形，即四边形不一定是中心对称图形， ②正三角形不是中心对称图形， ③正六边形是中心对称图形， ④正五边形不是中心对称图形， ⑤菱形是中心对称图形， ⑥线段是中心对称图形， ∴中心对称图形有3个：③、⑤、⑥，总图形数为6， ∴概率为． 故选：B． 4．（2025·上海闵行·二模）一个不透明的布袋中原来装有大小相同的红色和白色小球共8个，其中红色小球3个，要想从中随机抽取一个，使抽到红色小球的概率为，只需往布袋里加入______个红球． 【答案】2 【详解】解：设需往布袋里加入个红球． 由题意可得：，解得：． 经检验，是分式方程的解． 答：需往布袋里加入2个红球． 故答案为2． 5．（25-26九年级下·上海·阶段检测）小明手中有、、、四张牌，小军手中有、、、四张牌，若小明从小军手中抽一张牌，抽到任何牌的概率相等，那么抽到的牌上的数字和自己原有牌上的数字相同的概率为_______． 【答案】 【详解】解：根据题意可得，小明从小军手中抽一张牌，所有等可能的结果共有种，其中抽到的牌与小明原有的牌数字相同的结果有种，分别为抽到和抽到， 根据概率公式可得： ． 6．（2025·上海松江·二模）一般情况下路口会设置红色、黄色、绿色三种颜色的信号灯．已知某路口三种信号灯的时长依次是：红灯秒、黄灯4秒、绿灯秒，一辆汽车行驶到该路口遇到绿灯的概率是______． 【答案】 【详解】解：一辆汽车行驶到该路口遇到绿灯的概率是：， 故答案为：． 题型二：概率意义的辨析 7．（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．概率为0的事件可能发生 B．相等的圆心角对应的弧不一定相等 C．垂直于半径的直线是圆的切线 D．要满足分式的值为0，分子为0即可 【答案】B 【详解】解：A选项，概率为的事件是不可能事件，一定不发生，故A错误． B选项，只有在同圆或等圆中，相等的圆心角对应的弧才相等，缺少该前提时弧不一定相等，故B正确． C选项，经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，仅垂直于半径不满足判定条件，故C错误． D选项，分式的值为需满足分子为且分母不为，仅分子为不成立，故D错误． 8．下列说法中，正确的是（） A．2033年1月27日杭州会下雪是随机事件 B．某一事件发生的可能性非常大就是必然事件 C．概率很小的事情不可能发生 D．投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次 【答案】A 【详解】解：A选项2033年1月27日杭州下雪可能发生也可能不发生，是随机事件，此选项正确． B选项发生可能性非常大的事件不一定必然发生，不属于必然事件，此选项错误． C选项概率很小的事件也有可能发生，不是不可能发生，此选项错误． D选项投掷质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数是随机的，不一定是500次，此选项错误． 9．小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为，下列说法正确的是（     ） A．小星定点投篮次，不一定能投中 B．小星定点投篮次，一定可以投中 C．小星定点投篮次，一定投中次 D．小星定点投篮次，一定投中次 【答案】A 【详解】解：已知用频率估计得小星投中的概率为，根据概率的意义可得： ∵投中概率为只表示投篮次投中的可能性为，不一定投中，也不一定不投中， ∴选项正确，选项错误； ∵概率反映的是大量重复试验下的规律性，有限次投篮的结果是不确定的， ∴投篮次不一定恰好投中次，投篮次也不一定恰好投中次，因此选项错误； 综上，答案选． 10．下面说法正确的是（　　） A．任意掷一枚质地均匀的硬币200次，一定有100次正面朝上 B．天气预报说“明天降水概率为”表示明天有的时间在下雨 C．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件 D．“a是实数，”是不可能事件 【答案】C 【详解】解：掷硬币正面朝上的概率为，但200次不一定正好100次正面， 故A错误； 降水概率表示下雨的可能性为，不是时间比例， 故B错误； ∵篮球队员投篮可能投中也可能不中， ∴投中是随机事件， 故C正确； ∵对于任何实数a，总是成立， ∴这是必然事件，不是不可能事件， 故D错误． 故选：C． 11．下列说法正确的是（   ） A．“通常加热到时，水沸腾”是随机事件 B．重复抛掷同一枚矿泉水瓶盖50次，发现这枚瓶盖落地后盖面向上的次数为20次，盖面向下的次数为30次，由此估计抛掷这枚瓶盖落地后盖面向上的概率为 C．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为．在某次试验中，小明前三次抛掷硬币的过程中有1次正面朝上，2次正面朝下，那么第四次抛掷该硬币一定是正面朝上 D．小东通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计出自己投中的概率为．在接下来的投篮练习中，小东10次投篮可能投中3次 【答案】D 【详解】解： A、水在标准大气压下加热到必然沸腾，是必然事件，不是随机事件，故A错误； B、盖面向上的频率为，但估计概率为，与频率不符，故B错误； C、抛掷硬币每次独立，第四次结果不确定，不一定是正面朝上，故C错误； D、概率0.4表示每次投篮投中的可能性，10次投篮可能投中3次，符合概率的随机性，故D正确； 故选：D． 题型三：列举法求概率 12．（2026·上海松江·二模）现有三张卡片，上面分别写着2、3、6，随机选择其中的两张，较大数能被较小数整除的概率是_______． 【答案】 【详解】解：根据题意，从写有，，的三张卡片中随机抽取两张，所有等可能的结果为：，，，共种等可能的结果， 其中较大数能被较小数整除的结果有：，，共种， 根据概率公式，可得所求概率为． 13．（2025·上海杨浦·模拟预测）在不透明的盒子中装有2个黑色棋子和3个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出两个棋子，摸到2个黑色棋子的概率是___________． 【答案】 【详解】解：总棋子数为5个，其中黑色棋子2个，设为黑1、黑2，白色棋子3个，设为白1、白2、白3，任意摸出两个棋子的所有可能组合为： （黑1，黑2）、（黑1，白1）、（黑1、白2），（黑1、白3），（黑2，白1）、（黑2、白2），（黑2、白3），（白1、白2），（白1、白3）、（白2、白3）， 共有10种组合数，摸出两个黑色棋子的组合数为1， 因此，摸到2个黑色棋子的概率为， 故答案为：． 14．（2026·上海奉贤·三模）某校九年级举行足球比赛，第一轮比赛的分组规则是：将4个班级随机分成2组，每组2个班级(每个班级只能被分在其中一个组)，那么1班和2班被分在同一组的概率是_______． 【答案】 【详解】解：设4个班级分别为1班、2班、3班、4班， 可能出现的所有情况如下： 情况1：一组1班和2班，二组3班和4班； 情况2：一组1班和3班，二组2班和4班； 情况3：一组1班和4班，二组2班和3班； 情况4：一组2班和3班，二组1班和4班； 情况5：一组2班和4班，二组1班和3班； 情况6：一组3班和4班，二组1班和2班； 共有6种等可能的结果，其中1班和2班被分在同一组的结果有2种， ∴1班和2班被分在同一组的概率是． 15．（2026·上海普陀·二模）有3张分别写有数字2、3、5的卡片，如果从这三张卡片中任意抽取两张卡片，卡片上的数字的积恰好为偶数的概率是________． 【答案】 【详解】解：从三张卡片中任意抽取两张，所有等可能的结果如下： 1．抽取数字2和3，积为，是偶数； 2．抽取数字2和5，积为，是偶数； 3．抽取数字3和5，积为，是奇数； 可得共有种等可能的结果，其中积为偶数的结果有种， ∴卡片上的数字的积恰好为偶数的概率是． 题型四：列表法求概率 16．（2025·上海·二模）六张卡片上写着“菱形，平行四边形，矩形，等腰梯形，正方形，直角梯形”．从六张卡片中任选两张卡片（不重复），上面所写的四边形都既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：菱形：既是中心对称图形，又是轴对称图形； 平行四边形：仅为中心对称图形，不是轴对称图形； 矩形：既是中心对称图形，又是轴对称图形； 等腰梯形：仅为轴对称图形，不是中心对称图形； 正方形：既是中心对称图形，又是轴对称图形； 直角梯形：既不是中心对称图形，也不是轴对称图形； 符合条件的图形有菱形、矩形、正方形，共3个， 将“菱形，平行四边形，矩形，等腰梯形，正方形，直角梯形”记为：“A，B，C，D，E，F”， 从六张卡片中任选两张卡片，列表如下： A B C D E F A B C D E F 由表可知，共30种情况，符合条件的有6种， ∴概率为， 故选A． 17．（2025·上海宝山·二模）从2，3，5三个数中，随机选取两个不同的数，其积是偶数的概率是______． 【答案】 【详解】解：根据题意列表如下， 2 3 5 2 3 5 共有6种等可能的结果，其中积是偶数的结果有，，，共4种， ∴其积是偶数的概率是：， 故答案为： 18．（2025·上海静安·二模）同时抛掷红、绿两枚六面编号分别是1～6（整数）的质地均匀的正方体骰子，如果将红色骰子正面朝上的编号作为方程的一次项系数的值，绿色骰子正面朝上的编号作为常数项的值，那么得到的方程有两个相等的实数根的概率是______． 【答案】 【详解】解：列表得： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 ∴共可以得到36个不同形式的一元二次方程，其中得到的方程有两个相等的实数根的有：共2种， ∴得到的方程有两个相等的实数根的概率为， 故答案为：． 19．（2026·上海杨浦·二模）小明正在进行“关于生物遗传概率的探究”： 他从互联网上收集到了这些信息： 1．相对性状：同种生物同一性状的不同表现形式（如卷发、直发、双眼皮、单眼皮）； 2．显隐性：题目中标注“显性”的性状，只要有1个显性基因就会表现（如 表现卷发）；“隐性”性状必须有2个隐性基因才会表现（如表现直发）； 3．基因型：用字母表示基因组成，显性基因用大写（D、A、B），隐性基因用小写（d、a、b）； 显性性状基因型：2种可能（纯合子：如，2个显性基因；杂合子：如，1显1隐）； 隐性性状基因型：只有1种（纯合子：如，2个隐性基因）； 4．遗传规律：亲代会将一对基因（例如：）中的1个（例如：D）传给子代，子代的一对基因来自父亲和母亲； 5．独立遗传：本题三对性状的基因互不影响》 已知性状显隐性（均为常染色体遗传） ①毛发直卷：卷发（D）对直发（d）为显性（表现卷发，表现直发）； ②眼睑形状：双眼皮（A）对单眼皮（a）为显性（表现双眼皮，表现单眼皮）； ③拇指形态：直拇指（B）对弯拇指（b）为显性（表现直拇指，表现弯拇指）． 小明的数学老师提出了下列问题： (1)一对卷发夫妇，丈夫基因型为，妻子基因型为，求二人生育一个直发孩子的概率． (2)一对双眼皮夫妇，生育了1个单眼皮孩子，据此先判断夫妇的基因型，再求二人再生育一个双眼皮纯合子孩子的概率． (3)已知男性基因型为（卷发、直拇指），女性基因型为（直发、直拇指），求二人生育一个卷发、弯拇指孩子的概率． (4)一对卷发夫妇，男方父母均为“卷发、单眼皮”（且男方父亲为卷发纯合子，男方母亲为卷发杂合子），女方母亲为“直发、单眼皮”、女方父亲为“卷发、双眼皮（纯合子）”．求这对夫妇生育一个直发、单眼皮孩子的概率． 【答案】(1) (2)夫妇基因型均为，概率为 (3) (4) 【详解】（1）解：∵卷发（D）对直发（d）为显性，丈夫基因型为，妻子基因型为， ∴无法得到基因型为的孩子，即二人不可能生育一个直发孩子， ∴； （2）解：∵双眼皮（A）对单眼皮（a）为显性，且一对双眼皮夫妇，生育了1个单眼皮孩子， ∴孩子的基因型为， ∴夫妇的基因型均为， 列表如下： A a A a 共有4种等可能的结果，其中二人再生育一个双眼皮纯合子孩子的结果有1种， ∴； （3）解：由题意，列表如下： 共有8种等可能的结果，其中二人生育一个卷发、弯拇指孩子的结果只有1种， ∴； （4）解：由题意，男方父亲的基因型为，母亲的基因型为，女方父亲的基因型为，母亲的基因型为， ∴男方的基因型为或，概率均为，女方的基因型为， 当男方的基因型为时，孩子的头发不能是直发， 当男方的基因型为时，列表如下： 共有8种等可能的结果，其中生育一个直发、单眼皮孩子的结果只有1种， ∴， 又∵男方的基因型为的概率为， ∴该对夫妇生育一个直发、单眼皮孩子的概率为． 题型五：树状图求概率 20．（2026·上海松江·模拟预测）某校开展“走进红色地标”研学活动，计划从“中共一大会址”、“中共二大会址”、“中共四大会址”这三个地标中随机选取两个作为参观地点，则“中共一大会址”被选中的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】记“中共一大会址”为，“中共二大会址”为，“中共四大会址”为， 画树状图为： 由上可得，共有6种等可能结果，其中“中共一大会址”(即A)被选中的情况有4种， 故“中共一大会址”被选中的概率概率为． 21．（25-26九年级下·上海·阶段检测）某校园举办校园文化节，需要从3名男生和2名女生中随机选取2人担任主持人，其中选出的2人恰好是1名男生和1名女生的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意可画树状图如下： 共有20种等可能的情况，其中两人恰好是一男一女的有12种， 则两人恰好是一男一女的概率是． 22．从等腰三角形，平行四边形，正五边形，圆中随机抽取其中一个图形，再随机抽取一个其中图形（可重复抽取同1个图形），两次均为中心对称图形的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：四个图形中有平行四边形，圆两个中心对称图形， 将等腰三角形，平行四边形，正五边形，圆用表示， 画树状图如下： 则共有16种等可能的结果，两次抽出的图形均为中心对称图形的情况有4种， ∴两次抽出的均为中心对称图形的概率为． 故选：A． 23．（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）在分别写有2、、0的三张卡片中，不放回的随机抽取两张，那么这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是______． 【答案】 【详解】解：画树状图如图， 共6种情况，其中互为相反数的有2种， 这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是， 故答案为：． 24．（25-26九年级下·上海·阶段检测）五一即将来临，小丽和小红每人要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加社会实践活动，那么小丽和小红选到同一社区参加社会实践活动的概率是_____． 【答案】 【详解】解：树状图如下， 共有种等可能的结果，其中小丽和小红选到同一社区参加社会实践活动的结果有种， ∴小丽和小红选到同一社区参加社会实践活动的概率为 ， 故答案为：． 25．（24-25九年级上·上海·阶段检测）我校对A．《三国演义》、B．《红楼梦》、C．《西游记》、D．《水浒传》四大名著开展“传统文化经典著作”推荐阅读活动． (1)小吴从这4部名著中，随机选择1部阅读，他选中《红楼梦》的概率为________． (2)学校拟从这4部名著中，选择2部作为课外阅读书籍．请用画树状图的方法，求《红楼梦》被选中的概率． 【答案】(1) (2)《红楼梦》被选中的概率为． 【详解】（1）解：共有4部名著， ∴随机选择1部为《西游记》的概率为． 故答案为：； （2）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中《红楼梦》被选中的结果有6种， ∴《红楼梦》被选中的概率为． 题型六：已知概率求数量 26．（2026·上海虹口·二模）一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，如果搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，那么红球的个数是（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】解：设红球的个数为，则袋子中总球数为个， ∵摸到白球的概率等于白球个数除以总球数，已知摸到白球的概率为， ∴可得方程， 解得，经检验，是原方程的解， ∴红球的个数为2． 27．在一个不透明的口袋中装有若干个除了颜色不同其余都相同的球，如果口袋中只装有3个红球且摸到红球的概率为，则口袋中球的个数是______． 【答案】7 【详解】口袋中只装有3个红球且摸到红球的概率为，设口袋中球的个数为， ， 解得，， 经检验，是原方程的解， 故答案为：7． 28．（24-25九年级下·上海虹口·阶段检测）在不透明盒子中装有个白球和若干个其他颜色的球，这些球除颜色外完全相同，如果从中摸出一个球是白球的概率是，那么这个盒子里一共有_______个球． 【答案】 【详解】解：摸出一个球是白球的概率是， 白球占小球总数的， 这个盒子里一共有个小球． 故答案为： ． 29．不透明的布袋中装有除颜色外完全相同的个球，其中红色球有个，如果从布袋中任意摸出一个球恰好为红色球的概率是，那么________． 【答案】2 【详解】根据题意可得 ∴， 故答案为：． 1．袋中有个红球，有个白球，这些球除颜色外其他都相同，从中任意取一个球，恰为白球的概率是，则为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意得， 解得：， 故选：A． 2．（2025·上海崇明·二模）一个不透明的盒子中装有5个红球和4个白球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则摸到白球的概率是_______． 【答案】 【详解】共有9个球在盒子中，其中4个白球， 从中任意摸出一个球，则摸到白球的概率是； 故答案是． 3．（2025·上海浦东新·二模）有一枚质地均匀的正方体骰子，它的六个面上分别标有1、2、3、4、5、6六个数字，掷这枚骰子，向上的一面出现合数的概率是________． 【答案】 【详解】解：掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子向上的一面点数共有6种可能，合数为4，6，共2种， 所以这个骰子向上一面的数字是合数概率是． 故答案为：． 4．（2025·上海嘉定·二模）十二生肖是悠久的中国民俗文化符号，世界多国在春节期间发行生肖邮票，以此来表达对中国新年的祝福．甲同学购买了一套生肖邮票，他把“虎”、“兔”、“龙”、“蛇”张邮票背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让乙同学随机抽取张，那么乙同学随机抽到的张邮票恰好是“虎”和“龙”的概率是__． 【答案】 【详解】解：根据题意，画树状图如下， 共有种等可能的结果，其中乙同学随机抽到的张邮票恰好是“虎”和“龙”的结果有种， 乙同学随机抽到的张邮票恰好是“虎”和“龙”的概率是， 故答案为：． 5．（2025·上海杨浦·模拟预测）在一个不透明袋子中，装有6个红球和2个黑球，这些球除颜色外其他都一样．从袋中随机摸出一个球，恰好为红球的概率是_____________． 【答案】 【详解】解：袋子中球的总数为：，其中6个红球， 摸到红的概率为：． 6．（24-25九年级下·上海·阶段检测）从这五个数中任选一个数，选出的这个数是无理数的概率是___________． 【答案】 【详解】解：是分数，为有理数；是有限小数，为有理数；是无理数；是无理数；是分数，为有理数； ∴选出的这个数是无理数的概率为， 故答案为：． 7．设，其中n为1，2，3，4中随机的一个数，则是有理数的概率为_________． 【答案】 【详解】解：，是有理数，，是无理数， ∴是有理数的概率为， 故答案为：． 8．从距离原点不超过100个单位的自然数任选一个，是偶数的概率为___________． 【答案】 【详解】解：∵距离原点不超过100个单位的自然数中，一共有100个自然数，偶数有50个， ∴是偶数的概率， 故答案为：． 9．从的自然数中随机抽取一个，既不是素数也不是合数的概率为______________ 【答案】 【详解】解：从中，一共个数，其中既不是素数，也不是合数， ∴从中随机抽取个数，既不是素数，也不是合数的概率为：． 故答案为：． 10．从1的相反数，倒数，平方根，立方根中任选一个，不是它本身的概率为_________． 【答案】 【详解】解：由题意知，1的相反数，倒数，平方根，立方根分别为，1，，1， ∴1的相反数，平方根不是它本身， ∴从1的相反数，倒数，平方根，立方根中任选一个，共有4种等可能情况，其中不是它本身的有2种情况，故概率为， 故答案为：． 11．从1~24的自然数中，随机挑选2个，都是素数的概率为________． 【答案】 【详解】解：从1~24的自然数中，随机挑选2个共有种等可能结果， 随机挑选2个，都是素数个， 故有种结果， 故， 故答案为：． 12．（24-25九年级下·上海·阶段检测）从“等边三角形”、“平行四边形”、“矩形”、“菱形”、“圆”和“等腰梯形”这六个图形中任选一个图形，选出的图形恰好既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率为________． 【答案】 【详解】解：“等边三角形”、“平行四边形”、“矩形”、“菱形”、“圆”和“等腰梯形”这六个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有“矩形”、“菱形”、“圆”三个， 则任选一个图形，选出的图形恰好既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率为， 故答案为：． 13．（2026·上海杨浦·二模）有盲盒甲和盲盒乙，甲每次抽中的概率恒为，乙第一次抽中的概率为，随着次数的增加每次增加，则抽五次后恰好抽中一次概率更大的是___________．（选填“甲”或“乙”或“概率相同”）． 【答案】甲 【详解】解∶甲每次抽中概率为，每次抽不中概率为，根据独立重复试验概率公式得， 甲五次内恰好抽中一次的概率为； 乙五次抽中概率依次为，恰好抽中一次的概率为仅一次抽中其余四次不中的概率和， 乙五次内恰好抽中一次的概率为 ， ∴， 抽五次后抽中一次概率更大的是甲． 14．小白投掷两枚骰子，掷出的两个骰子的点数都是素数的概率是______． 【答案】 【详解】解：列表如下： 1 2 3 4 5 6 1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1） 2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2） 3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3） 4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4） 5 （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5） 6 （1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6） 所有等可能的情况有36种，其中两个点数都是素数的情况有：（2，2），（2，3），（2，5），（3，2）（3，3），（3，5），（5，2），（5，3），（5，5）共9种， 则． 故答案为： 15．（25-26九年级下·上海长宁·期中）已知线段，，从，，，，5这五个数中任意选取一个数作为线段c的长度，那么，，是某直角三角形三边的长度的概率是________． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴线段a，b，c组成直角三角形时， 当为斜边时， 当为斜边时， ∴，，，，5这五个数中任意选取一个数作为线段c的长度，，，是某直角三角形三边的长度的概率是． 16．某校运动会田赛部分由、、、四个项目组成，学生可以任选一项参加．为了了解学生参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)补全条形统计图； (2)求区域扇形圆心角的度数； (3)已知每项比赛获奖取前3名，小丽和小杰都参加了项目的比赛，小丽取得了第一名的好成绩，求小杰获奖的概率． 【答案】(1) 补全统计图如下： (2) (3) 【详解】（1）样本的容量为， 则参加B项目的人数为． （2）A区域扇形圆心角的度数为； （3）根据题意可知A项目有5个人参赛，小丽已获得第一名，所以小杰获奖的概率是． 17．某学校编制《课间15分快乐菜单》可供班级选择：A． 踢足球，B． 跳绳，C． 踢毽子，D． 丢沙包，E． 跳皮筋，学校就学生参加这五项课间活动的意向对学生进行了抽样调查（每名学生只能从中选择一种最喜欢的），并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 请结合图中所给信息，解答下列问题： (1)本次参与抽样调查的学生共有 人； (2)补全条形统计图； (3)该校共有1000名学生，请估计选择“跳绳”的学生有多少人？ (4)在最喜欢“跳绳”的学生中，有甲、乙、丙三位同学表现优秀，现从这三位同学中随机选出两名同学参加上级的跳绳比赛，请用列表或画树状图法求被选取的两人恰好是甲和乙的概率． 【答案】(1) (2)D． 丢沙包的人数为：（人）； (3)估计选择“跳绳”的学生有200人 (4) 【详解】（1）解：（名）； 故答案为：100； （2）略 （3）解：（人）； 答：估计选择“跳绳”的学生有200人； （4）解：画树状图如下： 共有6种等可能结果，其中选中甲和乙的结果有2种， 故被选取的两人恰好是甲和乙的概率为． 18.如图1，这是四张除了正面图案不同外，其他都相同的卡片． (1)卡片中图形的俯视图的形状为___________． (2)卡片中图形的主视图如图2所示，求该圆柱的侧面积． (3)将这四张卡片背面朝上混匀，从中随机抽出一张后放回，混匀后再随机抽出一张，求两次抽出的卡片中，主视图都是矩形的概率 【答案】(1)圆 (2) (3) 【详解】（1）解：卡片中图形为球，它的俯视图的形状为圆， 故答案为：圆； （2）解：， 故该圆柱的侧面积为； （3）解：主视图为矩形的是， 列表如下： A B C D A B C D 总共有种等可能情况，符合条件的有4中， 求两次抽出的卡片中，主视图都是矩形的概率为． 19.为了了解中学生现阶段对国家时事热点的关注情况，以提高当代中学生的公民素质和社会责任感．某校做了一次学生对时事热点的关注程度的抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．很深入的了解，如果有后续报道会持续关注；B．比较了解，掌握当下的情况；C．基本了解，当时看过之后就忘记了；D．不了解，没有兴趣． 根据调查统计的结果，绘制了不完整的三种统计图表． 对时事热点关注程度的统计表： 对时事热点关注程度 百分比 A．很深入的了解 15% B．比较了解 m C．基本了解 35% D．不了解 n 请结合统计图表，回答下列问题： (1)本次参与调查的学生共有_____人，_____，_____； (2)图2所示的扇形统计图中部分扇形所对应的圆心角是______度； (3)请补全图1所示的条形统计图； (4)根据调查结果，学校准备开展一次关于时事热点的知识竞赛，某班要从“很深入的了解”态度中的小明和小丽中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则：把四个完全相同的乒乓球上分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋子中，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一个人再从剩下的三个球中随机摸出一个球，若摸出的两个球上的数字之积小于5，则小丽去；否则小明去．这个游戏规则是否公平？如果公平，请说明理由；如果不公平，谁选中的可能性大？ 【详解】（1）解：抽取的总人数为：（人）； ； （人），； 故答案为：； （2）解：； 故答案为：； (3) 补全的条形统计图如下： (4)游戏公平， 理由如下： 画出树状图如下： 小丽去的概率为：，小明去的概率为：，由于两人去的概率相等，则游戏公平． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点09 事件的概率 考点一：概率的意义与记法 表示一个事件发生的可能性大小的数，叫做这个事件的概率，记作，读作“事件 A 的概率”。概率是一个确定的数，只由事件与试验条件决定，不因某一次试验的结果而改变。 考点二：等可能试验与概率公式 只有当试验满足下面三个条件时，才能直接用比值算概率：①所有可能的结果只有有限个；②每个结果出现的机会均等；③任意两个结果不可能同时出现。这样的试验叫等可能试验。 在等可能试验中，如果共有 n 个结果，事件 A 包含其中 m 个结果，那么 其中 n 由试验本身决定，与事件 A 无关；m 是 A 包含的结果数，必有 m≤n。用公式前先问一句“这些结果真的等可能吗”：转盘各扇形面积相等才等可能，布袋中各球只有颜色不同才等可能。不满足等可能，就不能套这个公式。 考点三：概率的取值范围与端点 由 0≤m≤n 可得，两个端点对应两类确定事件：必然事件的概率为 1（所有结果都使 A 发生，m＝n）；不可能事件的概率为 0（没有一个结果使 A 发生，m＝0）。随机事件介于两者之间，即。 事件类型 概率 含义 示例 必然事件 1 一定发生，全部结果都符合 标准大气压下，水加热到 100 ℃ 沸腾 不可能事件 0 一定不发生，没有一个结果符合 掷一枚骰子，向上一面的点数是 7 随机事件 0 与 1 之间 可能发生也可能不发生 掷一枚骰子，向上一面的点数是 3 注：概率越接近 1，事件越可能发生；越接近 0，越不可能发生。0 与 1 本身只属于确定事件。 考点四：一步试验：直接列举 一步试验只做一次操作，结果可以直接数清。做法固定：先写全所有等可能结果得到 n，再数出符合条件的结果得到 m，最后代入公式。常见情境与 n 的取法见下表。 试验情境 n（等可能结果总数） m（事件 A 包含的结果数） 摸出一个球 球的总个数 指定颜色的球数 抽出一张卡片 卡片的总张数 符合条件的卡片张数 掷一枚骰子 6 满足点数条件的个数 转动等分转盘 扇形总数 符合颜色或数字的扇形数 抽取一个字母 字母总个数（相同字母按个数计） 目标字母出现的次数 注：袋中球的个数不同，哪怕颜色只有三种，也不能按“三种颜色各三分之一”算。 考点五：两步及以上：列表法与树状图法 两步试验（摸两次、掷两次、转两个转盘、两人各抽一张）的结果要按“有序”处理：先甲后乙与先乙后甲是两种结果，不能并成一种。列举有两种工具，分工如下。 方法 适用范围 做法 易错点 列表法 两步试验 一行一列各放一个因素，格内写结果对 不放回时对角线格不成立，要剔除 树状图法 两步及以上 逐层画分支，末端写结果 每层分支要写全，末端数应等于 n 考点六：概率的应用：公平性与逆向求数量 判断游戏是否公平，标准是双方获胜的概率是否相等。等则公平，不等则不公平，概率大的一方占优。修改规则时，只要让双方对应的结果数相等即可，常见做法是调整某一方的区域数、球数或取值区间。 已知概率求数量，用方程：设所求个数为 x，按“符合条件数÷总数＝已知概率”列式，解出后必须回代检验，并注意“加入”或“取出”后总数与分子是否同步变化。 题型一：直接代公式 1．（2026·上海·模拟预测）一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是黄球的概率是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·上海静安·三模）现有五张纸片，分别写着“正三角形”、“菱形”、“平行四边形”、“正方形”、“直角梯形”，从中任意抽取一张既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是（     ） A． B． C． D． 3．（2025·上海杨浦·模拟预测）在下列图形中抽取任意一种，是中心对称图形的概率是（    ） ①四边形；②正三角形；③正六边形；④正五边形；⑤菱形；⑥线段 A． B． C． D． 4．（2025·上海闵行·二模）一个不透明的布袋中原来装有大小相同的红色和白色小球共8个，其中红色小球3个，要想从中随机抽取一个，使抽到红色小球的概率为，只需往布袋里加入______个红球． 5．（25-26九年级下·上海·阶段检测）小明手中有、、、四张牌，小军手中有、、、四张牌，若小明从小军手中抽一张牌，抽到任何牌的概率相等，那么抽到的牌上的数字和自己原有牌上的数字相同的概率为_______． 6．（2025·上海松江·二模）一般情况下路口会设置红色、黄色、绿色三种颜色的信号灯．已知某路口三种信号灯的时长依次是：红灯秒、黄灯4秒、绿灯秒，一辆汽车行驶到该路口遇到绿灯的概率是______． 题型二：概率意义的辨析 7．（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．概率为0的事件可能发生 B．相等的圆心角对应的弧不一定相等 C．垂直于半径的直线是圆的切线 D．要满足分式的值为0，分子为0即可 8．下列说法中，正确的是（） A．2033年1月27日杭州会下雪是随机事件 B．某一事件发生的可能性非常大就是必然事件 C．概率很小的事情不可能发生 D．投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次 9．小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为，下列说法正确的是（     ） A．小星定点投篮次，不一定能投中 B．小星定点投篮次，一定可以投中 C．小星定点投篮次，一定投中次 D．小星定点投篮次，一定投中次 10．下面说法正确的是（　　） A．任意掷一枚质地均匀的硬币200次，一定有100次正面朝上 B．天气预报说“明天降水概率为”表示明天有的时间在下雨 C．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件 D．“a是实数，”是不可能事件 11．下列说法正确的是（   ） A．“通常加热到时，水沸腾”是随机事件 B．重复抛掷同一枚矿泉水瓶盖50次，发现这枚瓶盖落地后盖面向上的次数为20次，盖面向下的次数为30次，由此估计抛掷这枚瓶盖落地后盖面向上的概率为 C．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为．在某次试验中，小明前三次抛掷硬币的过程中有1次正面朝上，2次正面朝下，那么第四次抛掷该硬币一定是正面朝上 D．小东通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计出自己投中的概率为．在接下来的投篮练习中，小东10次投篮可能投中3次 题型三：列举法求概率 12．（2026·上海松江·二模）现有三张卡片，上面分别写着2、3、6，随机选择其中的两张，较大数能被较小数整除的概率是_______． 13．（2025·上海杨浦·模拟预测）在不透明的盒子中装有2个黑色棋子和3个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出两个棋子，摸到2个黑色棋子的概率是___________． 14．（2026·上海奉贤·三模）某校九年级举行足球比赛，第一轮比赛的分组规则是：将4个班级随机分成2组，每组2个班级(每个班级只能被分在其中一个组)，那么1班和2班被分在同一组的概率是_______． 15．（2026·上海普陀·二模）有3张分别写有数字2、3、5的卡片，如果从这三张卡片中任意抽取两张卡片，卡片上的数字的积恰好为偶数的概率是________． 题型四：列表法求概率 16．（2025·上海·二模）六张卡片上写着“菱形，平行四边形，矩形，等腰梯形，正方形，直角梯形”．从六张卡片中任选两张卡片（不重复），上面所写的四边形都既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是（    ） A． B． C． D． 17．（2025·上海宝山·二模）从2，3，5三个数中，随机选取两个不同的数，其积是偶数的概率是______． 18．（2025·上海静安·二模）同时抛掷红、绿两枚六面编号分别是1～6（整数）的质地均匀的正方体骰子，如果将红色骰子正面朝上的编号作为方程的一次项系数的值，绿色骰子正面朝上的编号作为常数项的值，那么得到的方程有两个相等的实数根的概率是______． 19．（2026·上海杨浦·二模）小明正在进行“关于生物遗传概率的探究”： 他从互联网上收集到了这些信息： 1．相对性状：同种生物同一性状的不同表现形式（如卷发、直发、双眼皮、单眼皮）； 2．显隐性：题目中标注“显性”的性状，只要有1个显性基因就会表现（如 表现卷发）；“隐性”性状必须有2个隐性基因才会表现（如表现直发）； 3．基因型：用字母表示基因组成，显性基因用大写（D、A、B），隐性基因用小写（d、a、b）； 显性性状基因型：2种可能（纯合子：如，2个显性基因；杂合子：如，1显1隐）； 隐性性状基因型：只有1种（纯合子：如，2个隐性基因）； 4．遗传规律：亲代会将一对基因（例如：）中的1个（例如：D）传给子代，子代的一对基因来自父亲和母亲； 5．独立遗传：本题三对性状的基因互不影响》 已知性状显隐性（均为常染色体遗传） ①毛发直卷：卷发（D）对直发（d）为显性（表现卷发，表现直发）； ②眼睑形状：双眼皮（A）对单眼皮（a）为显性（表现双眼皮，表现单眼皮）； ③拇指形态：直拇指（B）对弯拇指（b）为显性（表现直拇指，表现弯拇指）． 小明的数学老师提出了下列问题： (1)一对卷发夫妇，丈夫基因型为，妻子基因型为，求二人生育一个直发孩子的概率． (2)一对双眼皮夫妇，生育了1个单眼皮孩子，据此先判断夫妇的基因型，再求二人再生育一个双眼皮纯合子孩子的概率． (3)已知男性基因型为（卷发、直拇指），女性基因型为（直发、直拇指），求二人生育一个卷发、弯拇指孩子的概率． (4)一对卷发夫妇，男方父母均为“卷发、单眼皮”（且男方父亲为卷发纯合子，男方母亲为卷发杂合子），女方母亲为“直发、单眼皮”、女方父亲为“卷发、双眼皮（纯合子）”．求这对夫妇生育一个直发、单眼皮孩子的概率． 题型五：树状图求概率 20．（2026·上海松江·模拟预测）某校开展“走进红色地标”研学活动，计划从“中共一大会址”、“中共二大会址”、“中共四大会址”这三个地标中随机选取两个作为参观地点，则“中共一大会址”被选中的概率是（     ） A． B． C． D． 21．（25-26九年级下·上海·阶段检测）某校园举办校园文化节，需要从3名男生和2名女生中随机选取2人担任主持人，其中选出的2人恰好是1名男生和1名女生的概率是（   ） A． B． C． D． 22．从等腰三角形，平行四边形，正五边形，圆中随机抽取其中一个图形，再随机抽取一个其中图形（可重复抽取同1个图形），两次均为中心对称图形的概率为（    ） A． B． C． D． 23．（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）在分别写有2、、0的三张卡片中，不放回的随机抽取两张，那么这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是______． 24．（25-26九年级下·上海·阶段检测）五一即将来临，小丽和小红每人要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加社会实践活动，那么小丽和小红选到同一社区参加社会实践活动的概率是_____． 25．（24-25九年级上·上海·阶段检测）我校对A．《三国演义》、B．《红楼梦》、C．《西游记》、D．《水浒传》四大名著开展“传统文化经典著作”推荐阅读活动． (1)小吴从这4部名著中，随机选择1部阅读，他选中《红楼梦》的概率为________． (2)学校拟从这4部名著中，选择2部作为课外阅读书籍．请用画树状图的方法，求《红楼梦》被选中的概率． 题型六：已知概率求数量 26．（2026·上海虹口·二模）一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，如果搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，那么红球的个数是（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 27．在一个不透明的口袋中装有若干个除了颜色不同其余都相同的球，如果口袋中只装有3个红球且摸到红球的概率为，则口袋中球的个数是______． 28．（24-25九年级下·上海虹口·阶段检测）在不透明盒子中装有个白球和若干个其他颜色的球，这些球除颜色外完全相同，如果从中摸出一个球是白球的概率是，那么这个盒子里一共有_______个球． 29．不透明的布袋中装有除颜色外完全相同的个球，其中红色球有个，如果从布袋中任意摸出一个球恰好为红色球的概率是，那么________． 1．袋中有个红球，有个白球，这些球除颜色外其他都相同，从中任意取一个球，恰为白球的概率是，则为（ ） A． B． C． D． 2．（2025·上海崇明·二模）一个不透明的盒子中装有5个红球和4个白球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则摸到白球的概率是_______． 3．（2025·上海浦东新·二模）有一枚质地均匀的正方体骰子，它的六个面上分别标有1、2、3、4、5、6六个数字，掷这枚骰子，向上的一面出现合数的概率是________． 4．（2025·上海嘉定·二模）十二生肖是悠久的中国民俗文化符号，世界多国在春节期间发行生肖邮票，以此来表达对中国新年的祝福．甲同学购买了一套生肖邮票，他把“虎”、“兔”、“龙”、“蛇”张邮票背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让乙同学随机抽取张，那么乙同学随机抽到的张邮票恰好是“虎”和“龙”的概率是__． 5．（2025·上海杨浦·模拟预测）在一个不透明袋子中，装有6个红球和2个黑球，这些球除颜色外其他都一样．从袋中随机摸出一个球，恰好为红球的概率是_____________． 6．（24-25九年级下·上海·阶段检测）从这五个数中任选一个数，选出的这个数是无理数的概率是___________． 7．设，其中n为1，2，3，4中随机的一个数，则是有理数的概率为_________． 8．从距离原点不超过100个单位的自然数任选一个，是偶数的概率为___________． 9．从的自然数中随机抽取一个，既不是素数也不是合数的概率为______________ 10．从1的相反数，倒数，平方根，立方根中任选一个，不是它本身的概率为_________． 11．从1~24的自然数中，随机挑选2个，都是素数的概率为________． 12．（24-25九年级下·上海·阶段检测）从“等边三角形”、“平行四边形”、“矩形”、“菱形”、“圆”和“等腰梯形”这六个图形中任选一个图形，选出的图形恰好既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率为________． 13．（2026·上海杨浦·二模）有盲盒甲和盲盒乙，甲每次抽中的概率恒为，乙第一次抽中的概率为，随着次数的增加每次增加，则抽五次后恰好抽中一次概率更大的是___________．（选填“甲”或“乙”或“概率相同”）． 14．小白投掷两枚骰子，掷出的两个骰子的点数都是素数的概率是______． 15．（25-26九年级下·上海长宁·期中）已知线段，，从，，，，5这五个数中任意选取一个数作为线段c的长度，那么，，是某直角三角形三边的长度的概率是________． 16．某校运动会田赛部分由、、、四个项目组成，学生可以任选一项参加．为了了解学生参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)补全条形统计图； (2)求区域扇形圆心角的度数； (3)已知每项比赛获奖取前3名，小丽和小杰都参加了项目的比赛，小丽取得了第一名的好成绩，求小杰获奖的概率． 17．某学校编制《课间15分快乐菜单》可供班级选择：A． 踢足球，B． 跳绳，C． 踢毽子，D． 丢沙包，E． 跳皮筋，学校就学生参加这五项课间活动的意向对学生进行了抽样调查（每名学生只能从中选择一种最喜欢的），并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 请结合图中所给信息，解答下列问题： (1)本次参与抽样调查的学生共有 人； (2)补全条形统计图； (3)该校共有1000名学生，请估计选择“跳绳”的学生有多少人？ (4)在最喜欢“跳绳”的学生中，有甲、乙、丙三位同学表现优秀，现从这三位同学中随机选出两名同学参加上级的跳绳比赛，请用列表或画树状图法求被选取的两人恰好是甲和乙的概率． 18.如图1，这是四张除了正面图案不同外，其他都相同的卡片． (1)卡片中图形的俯视图的形状为___________． (2)卡片中图形的主视图如图2所示，求该圆柱的侧面积． (3)将这四张卡片背面朝上混匀，从中随机抽出一张后放回，混匀后再随机抽出一张，求两次抽出的卡片中，主视图都是矩形的概率 19.为了了解中学生现阶段对国家时事热点的关注情况，以提高当代中学生的公民素质和社会责任感．某校做了一次学生对时事热点的关注程度的抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．很深入的了解，如果有后续报道会持续关注；B．比较了解，掌握当下的情况；C．基本了解，当时看过之后就忘记了；D．不了解，没有兴趣． 根据调查统计的结果，绘制了不完整的三种统计图表． 对时事热点关注程度的统计表： 对时事热点关注程度 百分比 A．很深入的了解 15% B．比较了解 m C．基本了解 35% D．不了解 n 请结合统计图表，回答下列问题： (1)本次参与调查的学生共有_____人，_____，_____； (2)图2所示的扇形统计图中部分扇形所对应的圆心角是______度； (3)请补全图1所示的条形统计图； (4)根据调查结果，学校准备开展一次关于时事热点的知识竞赛，某班要从“很深入的了解”态度中的小明和小丽中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则：把四个完全相同的乒乓球上分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋子中，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一个人再从剩下的三个球中随机摸出一个球，若摸出的两个球上的数字之积小于5，则小丽去；否则小明去．这个游戏规则是否公平？如果公平，请说明理由；如果不公平，谁选中的可能性大？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $