3.2用频率估计概率（题型专练）数学北师大版九年级上册

3.2 用频率估计概率 1．（23-24九年级上·广东梅州·期中）盒子中有黄色小球和橙色小球若干个，小明同学进行了如下试验：每次摸出一个小球记下它的颜色并放回盒中，如此反复1500次，摸出橙色小球300次，由此可估计摸出橙色小球的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是根据频率估计概率的原理，先计算橙色小球出现的频率，根据原理可得概率的估计值． 【详解】解：在大量重复试验中，事件发生的频率会稳定于其概率附近，小明共进行了1500次摸球试验，其中橙色小球被摸出300次， 因此，橙色小球的频率为：， 由此可估计摸出橙色小球的概率为， 故选：A 2．（24-25七年级下·福建漳州·期末）对某批乒乓球的质量进行随机抽查，结果如下表所示： 随机抽取的乒乓球数 10 20 50 100 200 500 1 000 优等品 7 16 43 81 164 414 831 优等品率 0.700 0.800 0.860 0.810 0.820 0.828 0.831 则在这批乒乓球中任取一个，估计它为优等品的概率约为（结果精确到0.01）（    ） A．0.70 B．0.80 C．0.83 D．0.86 【答案】C 【分析】本题考查了利用频率估计概率．理解相关知识是解答关键． 通过观察不同抽取数量下的优等品率，发现随着抽取数量的增加，频率逐渐稳定在0.83附近，因此可用此频率估计概率． 【详解】解：由表格数据可知，当抽取数量较小时，优等品率波动较大（如0.70到0.86），但随着抽取数量增大至500和1000时，优等品率分别为0.828和0.831，逐渐稳定在0.83左右．根据频率稳定性定理，当试验次数足够多时，频率可作为概率的估计值，因此，任取一个乒乓球为优等品的概率约为0.83． 故选：C． 3．（2025·贵州·中考真题）某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如下表：（  ） 抛掷次数 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000 “正面朝上”的次数 12 38 58 62 75 88 275 550 1100 2750 “正面朝上”的频率 则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，根据频率估计概率的原理，当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，该常数即可作为概率的估计值．观察表格数据，随着抛掷次数增加，频率逐渐稳定在附近，即可得出答案． 【详解】解：当抛掷次数较小时（如20次、60次等），频率波动较大（、等），当次数增加到500次及以上时，频率稳定在，所以抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为． 故选：B． 4．（2023·湖北恩施·中考真题）县林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示： 移植的棵数a 100 300 600 1000 7000 15000 成活的棵数b 84 279 505 847 6337 13581 成活的频率 0.84 0.93 0.842 0.847 0.905 0.905 根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为（精确到0.1）（　　） A．0.905 B．0.90 C．0.9 D．0.8 【答案】C 【分析】利用表格中数据估算这种树苗移植成活率的概率即可得出答案． 【详解】解：由表格数据可得，随着样本数量不断增加，这种树苗移植成活的频率稳定在0.905， ∴银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为0.9， 故选：C． 【点睛】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即为概率． 5．（2020·辽宁营口·中考真题）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 20 80 100 200 400 1000 “射中九环以上”的次数 18 68 82 168 327 823 “射中九环以上”的频率（结果保留两位小数） 0.90 0.85 0.82 0.84 0.82 0.82 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（　　） A．0.90 B．0.82 C．0.85 D．0.84 【答案】B 【分析】根据大量的实验结果稳定在0.82左右即可得出结论． 【详解】解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.82附近， ∴这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是0.82． 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解答此题的关键． 6．小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如表： 抛掷次数 100 200 300 400 500 正面朝上的频数 53 98 156 202 244 若抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近（    ） A．20 B．300 C．500 D．800 【答案】C 【分析】随着实验次数的增加，正面向上的频率逐渐稳定到某个常数附近，据此求解即可． 【详解】观察表格发现：随着实验次数的增加，正面朝上的频率逐渐稳定到0.5附近， 所以抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近次，故选C． 【点睛】本题考查利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解在大量重复试验中，可以用频率估计概率． 7．某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】随机事件A的概率事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 【详解】解：每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒， 当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率， 故选D． 【点睛】本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 8．（2025·广东珠海·三模）林业部门要考查某种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是这种幼树在移植过程中的一组数据，估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为（　    　） 移植的棵数n 1000 1500 2500 4000 8000 15000 20000 30000 成活的棵数m 865 1356 2220 3500 7056 13170 17580 26430 成活的频率 0.865 0.904 0.888 0.875 0.882 0.878 0.879 0.881 A．0.87 B．0.88 C．0.89 D．0.90 【答案】B 【分析】本题考查了利用频率估计概率，当试验次数足够多时，频率会稳定在某个常数附近，该常数可作为概率的估计值．观察表格中随着移植棵数增加，成活频率接近0.88，即可得到答案． 【详解】解： 观察表格，随着移植棵数增大，成活频率逐渐稳定， 最后三次试验（）对应的频率分别为0.878、0.879、0.881，均接近0.88， 因此，成活的概率估计值为0.88， 故选：B． 9．（24-25七年级下·山东淄博·期末）某射箭运动员在同一条件下的射击成绩记录如表： 射击次数 100 200 300 400 500 800 1000 “射中10环”的次数 65 136 210 284 350 552 700 “射中10环”的频率 0.65 0.68 0.70 0.71 0.70 0.69 0.70 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中10环”的概率是（   ） A．0.65 B．0.68 C．0.70 D．0.71 【答案】C 【分析】本题考查用频率估计概率．观察数据可知，随着射击次数的增加，“射中10环”的频率逐渐稳定在0.70附近，因此可用0.70作为概率的估计值． 【详解】解：根据表格数据，当射击次数为300次时，频率为0.70；随着次数增加到500次、1000次时，频率仍稳定在0.70左右，虽然400次时频率为0.71，800次时为0.69，但整体波动较小，且最终1000次的结果回归0.70． 这表明频率围绕0.70上下波动并趋于稳定，故估计概率为0.70． 故选C． 10．（24-25八年级下·江苏徐州·期末）某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验，如图显示的是某一事件发生的频率统计图，该事件可能是（   ） A．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 B．从一副扑克牌中随机抽取1张，这张牌是“红桃” C．掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上刻有1到6的点数，出现的点数是2 D．从装有2个黄球、1个白球（除颜色外都相同）的袋中随机摸1个球，摸到白球 【答案】D 【分析】本题主要考查概率公式的应用，用频率估计概率，解答本题的关键是求出各事件发生的概率．根据统计图可知发生的频率接近，再分析选项得出该事件发生的概率为，然后逐项进行判断即可． 【详解】解：根据图象可知：发生的频率接近，即该事件发生的概率为； A．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为，故A不符合题意； B．从一副扑克牌中随机抽取1张，这张牌是“红桃”的概率为，故B不符合题意； C．掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别刻有1到6的点数，出现点数是2的概率为，故C不符合题意； D．从装有2个黄球、1个白球（除颜色外都相同）的袋中随机摸1个球，摸到白球的概率，故D符合题意． 故选：D． 11．（2024·宁夏·中考真题）为考察一种枸杞幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示： 移植总数 40 150 300 500 700 1000 1500 成活数 35 134 271 451 631 899 1350 成活的频率 0.875 0.893 0.903 0.902 0.901 0.899 0.900 估计这种幼苗移植成活的概率是 （结果精确到0.1） 【答案】0.9 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率直接回答即可． 【详解】解∶根据表中数据，试验频率逐渐稳定在0.9左右． 这种幼苗在此条件下移植成活的概率是0.9； 故答案为 ∶0.9． 12．（2022·辽宁抚顺·中考真题）质检部门对某批产品的质量进行随机抽检，结果如下表所示： 抽检产品数n 100 150 200 250 300 500 1000 合格产品数m 89 134 179 226 271 451 904 合格率 0.890 0.893 0.895 0.904 0.903 0.902 0.904 在这批产品中任取一件，恰好是合格产品的概率约是（结果保留一位小数） ． 【答案】0.9 【分析】根据表中给出的合格率数据即可得出该产品的合格概率． 【详解】解：根据题意得：该产品的合格率大约为0.9， ∴恰好是合格产品的概率约是0.9． 故答案为：0.9 【点睛】本题考查利用频率估计概率的知识，训练了从统计表中获取信息的能力及统计中用样本估计总体的思想． 13．（2024·江苏扬州·中考真题）数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖的实验后，整理的实验数据如下表： 累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 盖面朝上次数 28 54 106 157 264 527 1056 1587 2650 盖面朝上频率 0.560 0.540 0.530 0.523 0.528 0.527 0.528 0.529 0.530 根据以上实验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为 （精确到0.01） 【答案】0.53 【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，随着实验次数的增多，频率逐渐稳定到某个常数附近，可用这个常数表示概率．根据图表中数据解答本题即可． 【详解】解：由表中数据可得：随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53， 故答案为：0.53． 14．（2023·江苏扬州·中考真题）某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数n 2 5 10 50 100 500 1000 1500 2000 3000 发芽的频数m 2 4 9 44 92 463 928 1396 1866 2794 发芽的频率（精确到0.001） 1.000 0.800 0.900 0.880 0.920 0.926 0.928 0.931 0.933 0.931 这种绿豆发芽的概率的估计值为 （精确到0.01）． 【答案】0.93 【分析】根据题意，用频率估计概率即可． 【详解】解：由图表可知，绿豆发芽的概率的估计值0.93， 故答案为：0.93． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率．解题的关键在于明确：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 15．（2020·广西·中考真题）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 “射中环以上”的次数 “射中环以上”的频率(结果保留小数点后两位) 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是 (结果保留小数点后一位)． 【答案】0.8 【分析】根据大量的实验结果稳定在0.8左右即可得出结论． 【详解】∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.8附近， ∴这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率大约是0.8． 故答案为：0.8． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 1．（2017·甘肃兰州·中考真题）一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（  ） A．20 B．24 C．28 D．30 【答案】D 【分析】直接由概率公式求解即可. 【详解】根据题意得=30%，解得：n=30， 经检验：n=30符合题意， 所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球． 故选：D． 【点睛】本题考查由频率估计概率、简单的概率计算，熟知求概率公式是解答的关键. 2．（24-25七年级下·全国·期中）在一个不透明的袋子中有40个除颜色以外均相同的小球，每次摸球前都先将袋子里的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验以后，发现摸到黄球的频率稳定于，则可以估计袋中黄球的个数约为（   ） A．2 B．4 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查的是根据频率估计概率，当大量重复试验时，事件发生的频率会趋近于其概率，黄球的频率稳定在，说明黄球的概率约为，由此建立方程求解． 【详解】解：设袋中黄球的个数为，总球数为40， 根据频率估计概率可得：， 解得：， 因此，袋中黄球的个数约为8个， 故选：C． 3．（2020·江苏徐州·中考真题）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数最有可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设袋子中红球有x个，根据摸出红球的频率稳定在0.25左右列出关于x的方程，求出x的值即可得答案． 【详解】解：设袋子中红球有x个， 根据题意，得： 解得 答：袋子中红球有5个． 故选：A． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 5．（2025·安徽安庆·二模）数学课上学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中共有个球，其中有个白球、个红球、个黑球和个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（    ） A．黑色 B．红色 C．黄色 D．白色 【答案】A 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，解题的关键是理解题意； 由频率图可知：抽出某个颜色的球的概率稳定在，然后问题可求解． 【详解】解：由图可知：抽出某个颜色的球的概率稳定在， ∵， ∴抽出某个球的颜色最有可能的是黑色； 故选：A． 6．（24-25七年级下·广东梅州·期中）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（   ） A．掷一枚一元硬币，落地后正面朝上 B．掷一个正六面体的骰子，朝上的面的点数是3的倍数 C．在红灯30秒、绿灯60秒、黄灯10秒的十字路口，人或车随意经过路口时，遇到的恰好是红灯 D．一个不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取1球，取出的球是黄球 【答案】B 【分析】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率等于所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案． 【详解】解：折线图显示概率约． A. 掷一枚一元硬币，落地后正面朝上的概率为，故本选项不符合题意； B. 掷一个正六面体的骰子，朝上的面的点数是3的倍数，其概率为，故本选项符合题意； C. 在红灯30秒、绿灯60秒、黄灯10秒的十字路口，人或车随意经过路口时，遇到的恰好是红灯的概率为，故本选项不符合题意； D. 一个不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取1球，取出的球是黄球的概率为，故本选项不符合题意； 故选：B． 7．（24-25七年级下·福建漳州·期中）不透明的口袋里装有若干个除颜色外都相同的小球，将球摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述过程，得到一组统计数据（如下表），则下列说法错误的是（    ） 摸球的次数 100 150 300 500 800 1000 摸到红球的次数 61 93 301 480 601 摸到红球的频率 0.62 0.59 0.602 0.60 0.601 A． B． C．摸到红球的概率约为0.60 D．若袋中有9个红球，则总球数有14个 【答案】D 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是理解频率与概率的关系，以及掌握频率的计算方法． 根据频率的计算公式“频率=频数÷总数”，分别计算各选项中的值，再结合大量重复试验中频率稳定值可估计概率，对各选项进行判断． 【详解】A、计算100次摸球时的频率，，正确； B、300次摸球时，红球次数，正确； C、随着试验次数增加，频率稳定在0.60附近，可估计概率约为0.60，正确； D、设总球数为，由概率，解得．选项中总球数为14，错误． 故选：D． 8．（2020·湖南邵阳·中考真题）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果），他将若干次有效实验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题分两部分求解，首先假设不规则图案面积为x，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解． 【详解】假设不规则图案面积为x， 由已知得：长方形面积为20， 根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为： ， 当事件A实验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35， 综上有：，解得． 故选：B． 【点睛】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高． 9．（24-25九年级下·山东烟台·期中）如图①，工人师傅在地面上喷绘了一个不规则图案（图中画图部分），小颖想计算该图案的面积，她采取以下方法：用一个长，宽的矩形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机向该矩形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界限上或矩形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成如图②所示的折线统计图，由此可估计此不规则图案的面积约为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查几何概率，涉及频率估计概率、折线图等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．设不规则图案的面积大约为x，先计算长方形的面积，继而解得小球落在不规则图形的概率为，由折线图，得到小球落在不规则图形的概率为，据此解题． 【详解】解：设不规则图案的面积大约为x，则由题意得， 矩形的面积为 由几何概率公式得小球落在不规则图形的概率为， 当事件次数足够多即样本足够大时，其频率可作为概率估计值，则有折线图可知，小球落在不规则图形的概率为，即， ， 则此不规则图案的面积约为． 故选：B． 10．在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，其中只有6个白球．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在20%左右，则a的值约为 ． 【答案】30． 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到白球的频率稳定在20%左右得到比例关系，列出方程求解即可． 【详解】由题意可得，×100%＝20%， 解得，a＝30． 故答案为30． 【点睛】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系． 11．（2023·辽宁鞍山·中考真题）在一个不透明的口袋中装有红球和白球共12个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出1个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸球200次，发现有50次摸到红球，则口袋中红球约有 个． 【答案】 【分析】利用频率估计随机摸出1个球是红球的概率为，根据概率公式即可求出答案． 【详解】解：设红球有个， 则， 答：红球的个数约为个． 故答案为：． 【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，计算出相应的红球个数． 12．（2022·辽宁鞍山·中考真题）一个不透明的口袋中装有5个红球和个黄球，这些球除颜色外都相同，某同学进行了如下试验：从袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，为一次摸球试验．根据记录在下表中的摸球试验数据，可以估计出的值为 ． 摸球的总次数 100 500 1000 2000 … 摸出红球的次数 19 101 199 400 … 摸出红球的频率 0.190 0.202 0.199 0.200 … 【答案】20 【分析】利用大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率求解即可． 【详解】解：∵通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2， ∴＝0.2， 解得：m＝20． 经检验m＝20是原方程的解， 故答案为：20． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率和解分式方程，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据摸出红球的频率得到相应的等量关系． 13．（2023·辽宁锦州·中考真题）一个不透明的盒子中装有若干个红球和个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为 ． 【答案】 【分析】设袋子中红球有个，根据摸到黑球的频率稳定在左右，可列出关于的方程，求出的值，从而得出结果． 【详解】解：设袋子中红球有个， 根据题意，得, ∴盒子中红球的个数约为， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率，熟练掌握求概率公式是解此题的关键． 14．（2021·湖北宜昌·中考真题）社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里装有几十个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象如图所示，经分析可以推断盒子里个数比较多的是 （填“黑球”或“白球”）． 【答案】白球 【分析】利用频率估计概率的知识，确定摸出黑球的概率，由此得到答案． 【详解】解：由图可知：摸出黑球的频率是0.2， 根据频率估计概率的知识可得，摸一次摸到黑球的概率为0.2， ∴可以推断盒子里个数比较多的是白球， 故答案为：白球． 【点睛】此题考查利用频率估计概率，正确理解图象的意义是解题的关键． 15．（2023·甘肃兰州·中考真题）某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如下表： 累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 盖面朝上次数 28 54 106 158 264 527 1056 1587 2850 盖面朝上频率 下面有三个推断： ①通过上述实验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的； ②第2000次实验的结果一定是“盖面朝上”； ③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53． 其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①③ 【分析】根据表中数据及频率估计概率依次判断即可． 【详解】解：①通过上述实验的结果，发现盖面朝上的次数多与累计次数的一半，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的，故正确； ②实验是随机的，第2000次实验的结果不一定是“盖面朝上”，故错误； ③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53，故正确． 故答案为：①③． 【点睛】题目主要考查频率估计概率，结合表中数据求解是解题关键． 1．（2020·浙江台州·中考真题）新冠疫情期间，某校开展线上教学，有“录播”和“直播”两种教学方式供学生选择其中一种．为分析该校学生线上学习情况，在接受这两种教学方式的学生中各随机抽取40人调查学习参与度，数据整理结果如表（数据分组包含左端值不包含右端值）． 参与度 人数 方式 0.2～0.4 0.4～0.6 0.6～0.8 0.8～1 录播 4 16 12 8 直播 2 10 16 12 （1）你认为哪种教学方式学生的参与度更高？简要说明理由． （2）从教学方式为“直播”的学生中任意抽取一位学生，估计该学生的参与度在0.8及以上的概率是多少？ （3）该校共有800名学生，选择“录播”和“直播”的人数之比为1：3，估计参与度在0.4以下的共有多少人？ 【答案】（1）“直播”教学方式学生的参与度更高，理由见解析；（2）30%；（3）50人 【分析】（1）根据表格数据得出两种教学方式参与度在0.6以上的人数，比较即可作出判断； （2）用表格中“直播”教学方式学生参与度在0.8以上的人数除以被调查的总人数即可估计对应概率； （3）先根据“录播”和“直播”的人数之比为1：3及该校学生总人数求出“直播”、“录播”人数，再分别乘以两种教学方式中参与度在0.4以下人数所占比例求出对应人数，再相加即可得出答案． 【详解】解：（1）“直播”教学方式学生的参与度更高： 理由：“直播”参与度在0.6以上的人数为28人，“录播”参与度在0.6以上的人数为20人，参与度在0.6以上的“直播”人数远多于“录播”人数， ∴“直播”教学方式学生的参与度更高； （2）12÷40=0.3=30%， 答：估计该学生的参与度在0.8及以上的概率是30%； （3）“录播”总学生数为800×=200（人）， “直播”总学生数为800×=600（人）， ∴“录播”参与度在0.4以下的学生数为200×=20（人）， “直播”参与度在0.4以下的学生数为600×=30（人）， ∴参与度在0.4以下的学生共有20+30=50（人）． 【点睛】本题考查了概率的计算，弄清题意，正确分析，确定计算方法是解题关键． 2．（24-25七年级下·全国·假期作业）在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表． 实验种子n（粒） 1 5 50 100 200 500 1000 2000 3000 发芽个数m（粒） 1 a 45 92 188 476 951 1900 2850 发芽频率 1 b c (1)计算表中a，b，c的值； (2)估计该麦种的发芽概率（精确到）； (3)如果该麦种发芽后，只有的麦芽可以成活，现有100千克麦种，则有多少千克的麦种可以成活为秧苗？ 【答案】(1)； (2)该麦种的发芽概率约为； (3)有千克的麦种可以成活为秧苗． 【分析】本题考查了用频率估计概率的知识，解题的关键是能够了解大量重复试验频率稳定到哪个常数附近，就可以用这个常数来估计概率． （1）用发芽频数除以实验种子数即可求得发芽频率； （2）观察大量重复试验频率稳定到哪个常数附近，就可以用这个常数来估计发芽概率； （3）用小麦种子总重量乘以发芽率及成活率即可求得结果． 【详解】（1）解：由题意可得： ， ， ， 故答案为：； （2）解：观察发现：经过大量重复试验后，发芽频率逐渐稳定到常数附近， ∴该麦种的发芽概率约为； （3）解：由题意得： （千克）， ∴有千克的麦种可以成活为秧苗． 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）一个不透明的盒子里装有黄色乒乓球和白色乒乓球共40个，每次从盒子里摸出1个球，记下颜色后放回盒中摇匀再摸球，在活动中得到如下表的部分数据： 摸球总次数 出现黄色乒乓球的次数 出现黄色乒乓球的频率 (1)填空： ， ； (2)估计出现黄色乒乓球的概率为 ；（精确到0.1） (3)估计盒子里黄色乒乓球和白色乒乓球各有多少个？ 【答案】(1)， (2)0.4 (3)估计盒子里黄色乒乓球有16个，白色乒乓球有24个 【分析】本题主要考查的是利用频率估计概率， （1）利用概率公式求出，的值即可； （2）根据表格中的数据即可得出结论； （3），根据②中的概率计算即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得， 故答案为：，； （2）由表格中的数据可知，摸到黄色乒乓球的频率在附近， 当很大时，摸到黄色乒乓球的概率约是， 故答案为：； （3）解：由（2）可知，摸到黄色乒乓球的概率约是， 盒子中黄色乒乓球的个数（个）； 白色乒乓球有个， 答：盒子里黄色乒乓球有16个，白色乒乓球有24个． 4．（24-25七年级下·全国·期中）下表是某校生物兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据： 试验的种子数n 100 200 500 1000 2000 5000 发芽的粒数m 94 a 475 954 1906 4748 发芽频率 0.94 0.955 0.946 b 0.953 0.9496 (1)上表中的_______，______； (2)任取一粒这种植物种子，它能发芽的概率的估计值是______（精确到0.01）； (3)若该校劳动基地需要这种植物幼苗9500棵，试估算需要准备多少粒种子进行发芽培育． 【答案】(1)，； (2)； (3)需要准备10000粒种子进行发芽培育． 【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量： （1）根据频率等于频数除以总数，进行计算即可； （2）利用频率估算概率即可； （3）利用概率计算数量即可． 【详解】（1）解： ， ． 答案为：，； （2）∵随着实验种子数的增加，频率稳定在， ∴任取一粒这种植物种子，它能发芽的概率的估计值是． 故答案为：； （3） 答：需要准备10000粒种子进行发芽培育． 5．（24-25七年级下·福建宁德·期末）为贯彻教育部《关于加强新时代中小学科学教育工作的意见》精神，七年级（2）班生物兴趣小组五位同学结合地方农业特色，开展“水果玉米”种子的萌发研究．他们分别从同一批次的“水果玉米”种子中领取了若干粒，在相同试验条件下开展种子萌发试验，试验结果如下表所示： 参与同学 A B C D E 试验的种子粒数（n） 20 15 20 25 20 萌发成幼苗的种子粒数（m） 15 13 16 21 15 萌发成幼苗的频率 (1)若从所有的萌发幼苗中随机抽取一株进行植株生长观察试验，求抽取到的萌发幼苗属于同学的概率； (2)若从该批次种子中再取一粒进行萌发试验，估计在相同试验条件下这粒种子能萌发成幼苗的概率； (3)若学校劳动基地需要该批次“水果玉米”幼苗1000株，试估算大约需要准备多少粒种子进行萌发培育． 【答案】(1) (2) (3)粒 【分析】本题考查了概率和频率． （1）根据概率公式求解即可； （2）根据频率估计概率即可； （3）根据样本数和萌发幼苗的概率估算即可． 【详解】（1）萌发成幼苗的总株数为， 每株幼苗被抽到的可能性相同，其中属于同学的幼苗有株， （抽到的幼苗属于同学）， 答：抽取到的萌发幼苗属于同学的概率是． （2）这粒种子萌发成幼苗的频率是， 答：用频率估计概率，这粒种子能萌发成幼苗的概率约是． （3）（粒）， 答：大约需要准备粒种子进行萌发培育． 6．（24-25七年级下·河南郑州·期中）春风送暖，万物复苏，2025年3月12日，在第47个中国植树节来临之际，河南省开展了2025年度春季义务植树活动．林业局对本次植树活动的移植成活率进行统计并绘制了统计图（如图）． 请你根据统计图提供的信息，回答下列问题： (1)这批树苗成活的频率稳定在_____附近，估计成活概率为_____；（精确到0.1） (2)此次植树活动的树苗主要有油松、侧柏、杨树和云杉，每种树苗的棵数均相同．如果小张随机拿取一棵树苗栽种，拿中侧柏的概率是多少? (3)此次植树活动已经种了2000棵树苗，请你估计，要使此次移植的树苗成活2160棵，还需要移植多少棵树苗？ 【答案】(1)0.9，0.9 (2) (3)还需要移植400棵树苗 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率、概率的简单计算以及概率在实际问题中的应用，熟练掌握频率与概率的关系、概率公式是解题的关键． （1）观察统计图中频率的变化趋势，找到稳定值，依据频率估计概率的思想确定成活概率． （2）根据概率的定义，利用树苗种类数量关系，计算拿到侧柏的概率． （3）先由成活概率算出达到目标成活数所需总树苗数，再减去已种树苗数，得到还需移植数量． 【详解】（1）解：∵ 观察统计图，成活频率在附近波动 ∴ 这批树苗成活的频率稳定在附近，估计成活概率为 故答案为：0.9，0.9 （2）解：∵ 树苗有油松、侧柏、杨树和云杉，共种，每种棵数相同 ∴ 拿中侧柏的概率 （3）解：∵ 成活概率为，要成活棵 ∴ 所需总树苗数为（棵） ∵ 已种棵 ∴ 还需移植（棵） 7．（24-25八年级下·江苏南京·期中）在一个不透明的箱子里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，重复该操作．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 59 93 b 295 480 601 摸到白球的频率 0.59 a 0.61 0.59 0.60 0.601 (1)表中的______，______； (2)“摸到白球”的概率的估计值是______；（精确到0.1） (3)如果箱子中一共有30个球，除了白球外，估计还有多少个其他颜色的球？ 【答案】(1)； (2) (3)除白球外，还有大约个其它颜色的小球 【分析】本题考查利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．解题的关键是掌握利用频率估计概率的意义． （1）利用频率＝频数÷样本容量直接求解即可； （2）根据统计数据，当很大时，摸到白球的频率接近； （3）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为，然后利用概率公式计算出白球的个数，即可得到其它颜色的球的个数． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：；； （2）“摸到白球”的概率的估计值是， 故答案为：； （3）（个）， ∴除白球外，还有大约个其它颜色的小球． 8．（24-25七年级下·江西抚州·期中）工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数 50 100 200 300 500 1000 合格件数 49 94 192 285 m 950 合格频率 n (1)表格中m的值为 ，n的值为 ； (2)估计任抽一件该产品是不合格品的概率． (3)该工厂规定，若每被抽检出一件不合格产品，需在相应员工奖金中扣除2元的材料损失费，今天甲员工被抽检了420件产品，估计要在他奖金中扣除多少材料损失费？ 【答案】(1)475， (2)任抽一件该产品是不合格品的概率为 (3)估计要在他奖金中扣除42元材料损失费 【分析】本题考查了利用频率估计概率的方法： （1）根据频数等于总数乘以频率，即可求解； （2）根据该产品从50件增加到1000件时，该产品合格的频率趋近于，所以估计该产品合格的概率为，即可得不合格品的概率为； （3）用2乘以被抽检出不合格产品的数量，即可求解． 【详解】（1）解：，； （2）解：∵抽取件数为1000时，合格的频率趋近于0.95， ∴估计该产品合格的概率为， ∴估计该产品不合格的概率为． （3）解：（元）， 即估计要在他奖金中扣除42元材料损失费． 9．（24-25七年级下·河南郑州·期末）同学们学习完频率估计概率之后，觉得特别有趣，在班级进行了一次实验验证．已知一个不透明的袋子中有7个除颜色外完全相同的小球，大家进行了大量的摸球实验得到如下表格： 摸出红球的次数 10 21 32 54 90 145 203 实验的总次数 40 80 120 200 320 500 700 摸出红球的频率 0．25 0．26 0．27 0．28 0．29 (1)表格中的 ________； _______；（保留两位小数） (2)根据频率估计概率的知识，同学们算出袋子中大约有红球_______个，打开袋子发现红球的个数与计算结果相同； (3)小明经过思考，又提出了一个问题，若不透明的袋子中现在有8个除颜色外完全相同的小球，如果想让摸出红球的概率与下图所示自由转盘转到红色区域的概率相同，应该有几个红球？请你帮助小明计算出来． 【答案】(1)； (2)2 (3)3个 【分析】本题主要考查了已知概率求数量，几何概率，用频率估计概率，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）根据频率等于频数除以总数计算求解即可； （2）根据表格可得摸出红球的频率逐步稳定在附近，则摸出红球的概率约为，再根据概率计算公式求解即可； （3）用球的总数乘以自由转盘转到红色区域的概率即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，，； （2）解；由表格可知，随着实验次数的增加，摸出红球的频率逐步稳定在附近， ∴摸出红球的概率约为， ∴袋子中大约有红球个； （3）解：个， ∴应该有3个红球． 10．（24-25七年级下·四川巴中·期末）某课外学习小组做摸球试验：一只不透明的袋子中装有红球、黑球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得如下数据： 摸球次数 100 150 200 500 800 1000 2000 摸到红球的次数 52 72 262 404 499 1000 摸到红球的频率 0.52 0.51 0.524 0.505 0.499 0.5 (1)表中的_____________，_____________； (2)通过摸球实验，请你估计摸到红球的概率是_____________； (3)上述实验中，若袋中10个球中有3个黑球，为决定谁将获得仅有的一张电影票，设计了如下的摸球游戏，规则如下：如果摸到黑球，则小明获胜；如果摸到白球，则小颖获胜；如果抽到红球，则视为无效抽球，需将球放回袋中，游戏继续，这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由，如果不公平，请重新设计一个公平游戏． 【答案】(1)0.48；102 (2)0.5 (3)这个游戏不公平，理由见解析，新设计一个公平游戏见解析 【分析】此题考查了频率统计表，利用频率估计概率，概率公式，游戏公平性．大量反复试验下频率稳定值即概率．掌握概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键． （1）用摸到红球的次数除以摸球的总次数，求出a；用摸球的总次数乘以摸到红球的频率，求出b； （2）根据图表给出的数据即可得出摸到红球的频率，然后用频率估计算概率即可； （3）根据摸到红球的频率计算出红球的个数，从而求出白球个数，再分别求出摸到的白球与黑球的概率，再比较即可求解． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：0.48；102． （2）解：由统计表可知：摸到红球的频率约为0.5， ∴估计摸到红球的概率是0.5． （3）解：由（2）摸到红球的概率是0.5， ∴红球的个数为（个）， ∴白球的个数为（个）， ∴摸到的白球的概率为 摸到的黑球的概率， ∵， ∴这个游戏不公平， 设计公平游戏为：将袋中红球拿出 1个换成白球，即袋中10个球，有3个黑球，3个白球，4个红球，或将袋中黑球拿出 1个换成红球，即袋中10个球，有2个黑球，2个白球，6个红球．规则不变，即为公平的游戏． 11．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）无锡阳山水蜜桃以果肉细腻、汁多味甜闻名全国，是江苏省地理标志产品．每年盛夏，阳山水蜜桃进入成熟季，果农们会严格检测品质以确保消费者能品尝到最佳风味．某基地对不同批次的水蜜桃进行坏果率抽检，得到如下数据： 检测批次的总果数 1000 2000 3000 4000 5000 6000 坏果数 59 124 240 305 354 坏果频率 根据表格回答下列问题： (1)表中的___________，___________； (2)任取一个水蜜桃，估计它是坏果的概率为___________（精确到）； (3)若基地需要为即将到来的水果节确保9400颗完好水蜜桃用于销售，那么至少需要准备多少颗水蜜桃进行分拣？ 【答案】(1)183，； (2) (3)10000颗 【分析】本题考查频率估计概率及概率的实际应用，解题关键是利用频率稳定值估计概率，再通过概率建立方程解决实际问题． （1）根据“坏果频率”的关系，结合表格中对应数据列等式，分别求出（利用3000批次的频率算坏果数）和（用5000批次坏果数与总果数算频率 ）． （3）观察多组检测数据的坏果频率，发现其随总果数增加逐渐稳定在，以此估计任取一个水蜜桃是坏果的概率 ． （3）先确定完好水蜜桃的概率（坏果概率），设准备水蜜桃总数为，依据“完好水蜜桃数总数完好概率”且要满足至少9400颗完好，列不等式求解的最小值 ． 【详解】（1）解：根据题意得； 解得： ． 故答案为：183，； （2）观察坏果频率，随着检测批次总果数增加，坏果频率逐渐稳定在左右， 所以估计任取一个水蜜桃是坏果的概率为 ． 故答案为：； （3）解：设至少需要准备颗水蜜桃，完好水蜜桃的概率为，要确保9400颗完好水蜜桃， ， 解得， ∴至少需要准备10000颗水蜜桃进行分拣． 12．（23-24九年级上·广东梅州·期中）（1）解方程：． （2）我市某工厂对一批灯泡的质量进行了随机调查，见下表： 抽取灯泡的数量a 40 100 200 500 1000 3000 优等品的数量b 36 92 182 455 910 2730 优等品的频率b/a 0.9 0.92 0.91 0.91 填写表格； 根据所抽取的灯泡优等品的频率，估计这批灯泡优等品的概率是多少？ （结果精确到0.01） 【答案】（1）， （2）0.91；0.91；0.91 【分析】本题考查了解一元二次方程，由频率估计概率，解题的关键是： （1）根据因式分解法求解即可， （2）①用优等品的数量除以抽取灯泡的数量求解即可； ②由表中数据可判断频率在0.91附近，利用频率估计概率即可求解． 【详解】（1）解：移项得， 将左边因式分解得， ∴或， ∴，； （2）解：①；． 故答案为： 0.91；0.91； ②由表可知，所抽取的灯泡优等品的频率在0.91附近， ∴估计这批灯泡优等品的概率是0.91． 13．（24-25七年级下·江西吉安·期末）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 65 96 122 295 484 600 摸到白球的频率 0.64 0.59 (1)完成上表； (2)当很大时，估计摸到白球的频率将会接近___________； (3)假如你去摸一次，你摸到白球的概率是___________，摸到黑球的概率是___________； (4)估算口袋中黑球、白球的数量． 【答案】(1)0.65，0.61，0.605，0.6 (2)0.6 (3)0.6，0.4 (4)白球约为12个，黑球约为8个 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，已知概率求数量，解题的关键是正确理解频率和概率之间的关系． （）用摸到白球的次数除以摸球总数可得对应的摸到白球的频率，据此可计算并填写表格； （）观察表格中的统计数据，即可得出结论； （3）根据摸到白球的频率，可以得出摸到白球的概率，进而可以求出摸到黑球的概率； （4）根据口袋中黑、白两种颜色的球的概率即可求出口袋中黑、白两种颜色的球有多少个； 【详解】（1）解：， 填写表格如下： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 65 96 122 295 484 600 摸到白球的频率 0.64 0.59 （2）解：根据题意可得当很大时，摸到白球的频率将会接近， 故答案为：； （3）解：∵当很大时，摸到白球的频率将会接近， ∴摸到白球的概率是， ∴摸到黑球的概率是； 故答案为：，； （4）解：摸到白球的概率是，摸到黑球的概率是， ∴（只），（只）， 答：白球约为12个，黑球约为8个． 14．（24-25七年级下·山东烟台·期中）在一个不透明的盒子里装有红、白两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．实践小组的同学做摸球试验，搅匀后，从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的部分统计数据： 摸球的次数 10 20 50 100 200 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 4 7 10 28 50 127 196 252 744 摸到白球的频率 0．400 0．350 0．200 0．280 0．250 0．254 0．245 0．252 0．248 (1)请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近_____________（精确到0．01）； (2)试估算盒子里白球有_____________个； (3)某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合（1）中结果的试验最有可能的是___________（填写所有正确结论的序号）． ①从一副扑克牌（不含大小王）中任意抽取一张，这张牌是“红桃”． ②掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“小于3”． ③投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上． ④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲． 【答案】(1) (2)5 (3)①④ 【分析】（1）由表中n的最大值所对应的频率即为所求； （2）根据白球个数球的总数得到的白球的概率，即可得出答案； （3）试验结果在附近波动，即其概率，计算三个选项的概率，约为者即为正确答案． 【详解】（1）解：由表可知，若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的频率将会接近； 故答案为：； （2）根据题意得：个)， 故答案为：5； （3）①从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”的概率为，故此选项符合题意； ②掷一个质地均匀的正六面体骰子(面的点数标记分别为1到6)，落地时面朝上的点数小于3的概率为，故不符合题意； ③投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上的概率为，不符合题意； ④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲的概率为，故此选项符合题意． 故答案为：①④． 【点睛】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目相应频率． 15．某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：    （1）在这次研究中，一共调查了　 名学生；若该校共有名学生，估计全校爱好运动的学生共有　 　名； （2）补全条形统计图，并计算阅读部分圆心角是　 　； （3）在全校同学中随机选出一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生概率是　 　． 【答案】（1）；（2）补全条形统计图，见解析；阅读部分圆心角是108°，（3）选出的恰好是爱好阅读的学生的概率为. 【分析】（1）根据爱好运动人数的百分比以及人数即可求出共调查的人数；利用样本估计总体即可估计全校爱好运动的学生人数； （2）根据两幅统计图即可求出阅读的人数以及上网的人数，从而可补全图形，然后用360°乘以爱好阅读的人数所占百分比； （3）根据爱好阅读的学生人数所占的百分比即可估计选出的恰好是爱好阅读的学生的概率． 【详解】（1）爱好运动的人数为，所占百分比为 共调查人数为：人， 爱好运动的学生人数所占的百分比为， 全校爱好运动的学生共有：人； 故答案为； （2）∵爱好上网人数为：人， ∴爱好上网的人数所占百分比为， 爱好阅读人数为：人， 补全条形统计图，如图所示，    阅读部分圆心角是， 故答案为； （3）爱好阅读的学生人数所占的百分比， 用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率为； 故答案为． 【点睛】本题考查统计与概率，解题的关键是能够正确的从两幅统计图中获取信息，本题属于中等题型． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2 用频率估计概率 1．（23-24九年级上·广东梅州·期中）盒子中有黄色小球和橙色小球若干个，小明同学进行了如下试验：每次摸出一个小球记下它的颜色并放回盒中，如此反复1500次，摸出橙色小球300次，由此可估计摸出橙色小球的概率为（     ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·福建漳州·期末）对某批乒乓球的质量进行随机抽查，结果如下表所示： 随机抽取的乒乓球数 10 20 50 100 200 500 1 000 优等品 7 16 43 81 164 414 831 优等品率 0.700 0.800 0.860 0.810 0.820 0.828 0.831 则在这批乒乓球中任取一个，估计它为优等品的概率约为（结果精确到0.01）（    ） A．0.70 B．0.80 C．0.83 D．0.86 3．（2025·贵州·中考真题）某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如下表：（  ） 抛掷次数 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000 “正面朝上”的次数 12 38 58 62 75 88 275 550 1100 2750 “正面朝上”的频率 则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（  ） A． B． C． D． 4．（2023·湖北恩施·中考真题）县林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示： 移植的棵数a 100 300 600 1000 7000 15000 成活的棵数b 84 279 505 847 6337 13581 成活的频率 0.84 0.93 0.842 0.847 0.905 0.905 根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为（精确到0.1）（　　） A．0.905 B．0.90 C．0.9 D．0.8 【答案】C 5．（2020·辽宁营口·中考真题）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 20 80 100 200 400 1000 “射中九环以上”的次数 18 68 82 168 327 823 “射中九环以上”的频率（结果保留两位小数） 0.90 0.85 0.82 0.84 0.82 0.82 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（　　） A．0.90 B．0.82 C．0.85 D．0.84 6．小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如表： 抛掷次数 100 200 300 400 500 正面朝上的频数 53 98 156 202 244 若抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近（    ） A．20 B．300 C．500 D．800 7．某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率是（　　） A． B． C． D． 8．（2025·广东珠海·三模）林业部门要考查某种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是这种幼树在移植过程中的一组数据，估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为（　    　） 移植的棵数n 1000 1500 2500 4000 8000 15000 20000 30000 成活的棵数m 865 1356 2220 3500 7056 13170 17580 26430 成活的频率 0.865 0.904 0.888 0.875 0.882 0.878 0.879 0.881 A．0.87 B．0.88 C．0.89 D．0.90 9．（24-25七年级下·山东淄博·期末）某射箭运动员在同一条件下的射击成绩记录如表： 射击次数 100 200 300 400 500 800 1000 “射中10环”的次数 65 136 210 284 350 552 700 “射中10环”的频率 0.65 0.68 0.70 0.71 0.70 0.69 0.70 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中10环”的概率是（   ） A．0.65 B．0.68 C．0.70 D．0.71 10．（24-25八年级下·江苏徐州·期末）某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验，如图显示的是某一事件发生的频率统计图，该事件可能是（   ） A．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 B．从一副扑克牌中随机抽取1张，这张牌是“红桃” C．掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上刻有1到6的点数，出现的点数是2 D．从装有2个黄球、1个白球（除颜色外都相同）的袋中随机摸1个球，摸到白球 11．（2024·宁夏·中考真题）为考察一种枸杞幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示： 移植总数 40 150 300 500 700 1000 1500 成活数 35 134 271 451 631 899 1350 成活的频率 0.875 0.893 0.903 0.902 0.901 0.899 0.900 估计这种幼苗移植成活的概率是 （结果精确到0.1） 12．（2022·辽宁抚顺·中考真题）质检部门对某批产品的质量进行随机抽检，结果如下表所示： 抽检产品数n 100 150 200 250 300 500 1000 合格产品数m 89 134 179 226 271 451 904 合格率 0.890 0.893 0.895 0.904 0.903 0.902 0.904 在这批产品中任取一件，恰好是合格产品的概率约是（结果保留一位小数） ． 13．（2024·江苏扬州·中考真题）数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖的实验后，整理的实验数据如下表： 累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 盖面朝上次数 28 54 106 157 264 527 1056 1587 2650 盖面朝上频率 0.560 0.540 0.530 0.523 0.528 0.527 0.528 0.529 0.530 根据以上实验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为 （精确到0.01） 14．（2023·江苏扬州·中考真题）某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数n 2 5 10 50 100 500 1000 1500 2000 3000 发芽的频数m 2 4 9 44 92 463 928 1396 1866 2794 发芽的频率（精确到0.001） 1.000 0.800 0.900 0.880 0.920 0.926 0.928 0.931 0.933 0.931 这种绿豆发芽的概率的估计值为 （精确到0.01）． 15．（2020·广西·中考真题）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 “射中环以上”的次数 “射中环以上”的频率(结果保留小数点后两位) 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是 (结果保留小数点后一位)． 1．（2017·甘肃兰州·中考真题）一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（  ） A．20 B．24 C．28 D．30 2．（24-25七年级下·全国·期中）在一个不透明的袋子中有40个除颜色以外均相同的小球，每次摸球前都先将袋子里的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验以后，发现摸到黄球的频率稳定于，则可以估计袋中黄球的个数约为（   ） A．2 B．4 C．8 D．10 3．（2020·江苏徐州·中考真题）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数最有可能是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·安徽安庆·二模）数学课上学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中共有个球，其中有个白球、个红球、个黑球和个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（    ） A．黑色 B．红色 C．黄色 D．白色 6．（24-25七年级下·广东梅州·期中）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（   ） A．掷一枚一元硬币，落地后正面朝上 B．掷一个正六面体的骰子，朝上的面的点数是3的倍数 C．在红灯30秒、绿灯60秒、黄灯10秒的十字路口，人或车随意经过路口时，遇到的恰好是红灯 D．一个不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取1球，取出的球是黄球 7．（24-25七年级下·福建漳州·期中）不透明的口袋里装有若干个除颜色外都相同的小球，将球摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述过程，得到一组统计数据（如下表），则下列说法错误的是（    ） 摸球的次数 100 150 300 500 800 1000 摸到红球的次数 61 93 301 480 601 摸到红球的频率 0.62 0.59 0.602 0.60 0.601 A． B． C．摸到红球的概率约为0.60 D．若袋中有9个红球，则总球数有14个 8．（2020·湖南邵阳·中考真题）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果），他将若干次有效实验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级下·山东烟台·期中）如图①，工人师傅在地面上喷绘了一个不规则图案（图中画图部分），小颖想计算该图案的面积，她采取以下方法：用一个长，宽的矩形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机向该矩形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界限上或矩形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成如图②所示的折线统计图，由此可估计此不规则图案的面积约为（   ） A． B． C． D．无法确定 10．在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，其中只有6个白球．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在20%左右，则a的值约为 ． 11．（2023·辽宁鞍山·中考真题）在一个不透明的口袋中装有红球和白球共12个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出1个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸球200次，发现有50次摸到红球，则口袋中红球约有 个． 12．（2022·辽宁鞍山·中考真题）一个不透明的口袋中装有5个红球和个黄球，这些球除颜色外都相同，某同学进行了如下试验：从袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，为一次摸球试验．根据记录在下表中的摸球试验数据，可以估计出的值为 ． 摸球的总次数 100 500 1000 2000 … 摸出红球的次数 19 101 199 400 … 摸出红球的频率 0.190 0.202 0.199 0.200 … 13．（2023·辽宁锦州·中考真题）一个不透明的盒子中装有若干个红球和个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为 ． 14．（2021·湖北宜昌·中考真题）社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里装有几十个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象如图所示，经分析可以推断盒子里个数比较多的是 （填“黑球”或“白球”）． 15．（2023·甘肃兰州·中考真题）某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如下表： 累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 盖面朝上次数 28 54 106 158 264 527 1056 1587 2850 盖面朝上频率 下面有三个推断： ①通过上述实验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的； ②第2000次实验的结果一定是“盖面朝上”； ③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53． 其中正确的是 ．（填序号） 1．（2020·浙江台州·中考真题）新冠疫情期间，某校开展线上教学，有“录播”和“直播”两种教学方式供学生选择其中一种．为分析该校学生线上学习情况，在接受这两种教学方式的学生中各随机抽取40人调查学习参与度，数据整理结果如表（数据分组包含左端值不包含右端值）． 参与度 人数 方式 0.2～0.4 0.4～0.6 0.6～0.8 0.8～1 录播 4 16 12 8 直播 2 10 16 12 （1）你认为哪种教学方式学生的参与度更高？简要说明理由． （2）从教学方式为“直播”的学生中任意抽取一位学生，估计该学生的参与度在0.8及以上的概率是多少？ （3）该校共有800名学生，选择“录播”和“直播”的人数之比为1：3，估计参与度在0.4以下的共有多少人？ 2．（24-25七年级下·全国·假期作业）在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表． 实验种子n（粒） 1 5 50 100 200 500 1000 2000 3000 发芽个数m（粒） 1 a 45 92 188 476 951 1900 2850 发芽频率 1 b c (1)计算表中a，b，c的值； (2)估计该麦种的发芽概率（精确到）； (3)如果该麦种发芽后，只有的麦芽可以成活，现有100千克麦种，则有多少千克的麦种可以成活为秧苗？ 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）一个不透明的盒子里装有黄色乒乓球和白色乒乓球共40个，每次从盒子里摸出1个球，记下颜色后放回盒中摇匀再摸球，在活动中得到如下表的部分数据： 摸球总次数 出现黄色乒乓球的次数 出现黄色乒乓球的频率 (1)填空： ， ； (2)估计出现黄色乒乓球的概率为 ；（精确到0.1） (3)估计盒子里黄色乒乓球和白色乒乓球各有多少个？ 4．（24-25七年级下·全国·期中）下表是某校生物兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据： 试验的种子数n 100 200 500 1000 2000 5000 发芽的粒数m 94 a 475 954 1906 4748 发芽频率 0.94 0.955 0.946 b 0.953 0.9496 (1)上表中的_______，______； (2)任取一粒这种植物种子，它能发芽的概率的估计值是______（精确到0.01）； (3)若该校劳动基地需要这种植物幼苗9500棵，试估算需要准备多少粒种子进行发芽培育． 5．（24-25七年级下·福建宁德·期末）为贯彻教育部《关于加强新时代中小学科学教育工作的意见》精神，七年级（2）班生物兴趣小组五位同学结合地方农业特色，开展“水果玉米”种子的萌发研究．他们分别从同一批次的“水果玉米”种子中领取了若干粒，在相同试验条件下开展种子萌发试验，试验结果如下表所示： 参与同学 A B C D E 试验的种子粒数（n） 20 15 20 25 20 萌发成幼苗的种子粒数（m） 15 13 16 21 15 萌发成幼苗的频率 (1)若从所有的萌发幼苗中随机抽取一株进行植株生长观察试验，求抽取到的萌发幼苗属于同学的概率； (2)若从该批次种子中再取一粒进行萌发试验，估计在相同试验条件下这粒种子能萌发成幼苗的概率； (3)若学校劳动基地需要该批次“水果玉米”幼苗1000株，试估算大约需要准备多少粒种子进行萌发培育． 6．（24-25七年级下·河南郑州·期中）春风送暖，万物复苏，2025年3月12日，在第47个中国植树节来临之际，河南省开展了2025年度春季义务植树活动．林业局对本次植树活动的移植成活率进行统计并绘制了统计图（如图）． 请你根据统计图提供的信息，回答下列问题： (1)这批树苗成活的频率稳定在_____附近，估计成活概率为_____；（精确到0.1） (2)此次植树活动的树苗主要有油松、侧柏、杨树和云杉，每种树苗的棵数均相同．如果小张随机拿取一棵树苗栽种，拿中侧柏的概率是多少? (3)此次植树活动已经种了2000棵树苗，请你估计，要使此次移植的树苗成活2160棵，还需要移植多少棵树苗？ 7．（24-25八年级下·江苏南京·期中）在一个不透明的箱子里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，重复该操作．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 59 93 b 295 480 601 摸到白球的频率 0.59 a 0.61 0.59 0.60 0.601 (1)表中的______，______； (2)“摸到白球”的概率的估计值是______；（精确到0.1） (3)如果箱子中一共有30个球，除了白球外，估计还有多少个其他颜色的球？ 8．（24-25七年级下·江西抚州·期中）工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数 50 100 200 300 500 1000 合格件数 49 94 192 285 m 950 合格频率 n (1)表格中m的值为 ，n的值为 ； (2)估计任抽一件该产品是不合格品的概率． (3)该工厂规定，若每被抽检出一件不合格产品，需在相应员工奖金中扣除2元的材料损失费，今天甲员工被抽检了420件产品，估计要在他奖金中扣除多少材料损失费？ 9．（24-25七年级下·河南郑州·期末）同学们学习完频率估计概率之后，觉得特别有趣，在班级进行了一次实验验证．已知一个不透明的袋子中有7个除颜色外完全相同的小球，大家进行了大量的摸球实验得到如下表格： 摸出红球的次数 10 21 32 54 90 145 203 实验的总次数 40 80 120 200 320 500 700 摸出红球的频率 0．25 0．26 0．27 0．28 0．29 (1)表格中的 ________； _______；（保留两位小数） (2)根据频率估计概率的知识，同学们算出袋子中大约有红球_______个，打开袋子发现红球的个数与计算结果相同； (3)小明经过思考，又提出了一个问题，若不透明的袋子中现在有8个除颜色外完全相同的小球，如果想让摸出红球的概率与下图所示自由转盘转到红色区域的概率相同，应该有几个红球？请你帮助小明计算出来． 10．（24-25七年级下·四川巴中·期末）某课外学习小组做摸球试验：一只不透明的袋子中装有红球、黑球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得如下数据： 摸球次数 100 150 200 500 800 1000 2000 摸到红球的次数 52 72 262 404 499 1000 摸到红球的频率 0.52 0.51 0.524 0.505 0.499 0.5 (1)表中的_____________，_____________； (2)通过摸球实验，请你估计摸到红球的概率是_____________； (3)上述实验中，若袋中10个球中有3个黑球，为决定谁将获得仅有的一张电影票，设计了如下的摸球游戏，规则如下：如果摸到黑球，则小明获胜；如果摸到白球，则小颖获胜；如果抽到红球，则视为无效抽球，需将球放回袋中，游戏继续，这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由，如果不公平，请重新设计一个公平游戏． 11．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）无锡阳山水蜜桃以果肉细腻、汁多味甜闻名全国，是江苏省地理标志产品．每年盛夏，阳山水蜜桃进入成熟季，果农们会严格检测品质以确保消费者能品尝到最佳风味．某基地对不同批次的水蜜桃进行坏果率抽检，得到如下数据： 检测批次的总果数 1000 2000 3000 4000 5000 6000 坏果数 59 124 240 305 354 坏果频率 根据表格回答下列问题： (1)表中的___________，___________； (2)任取一个水蜜桃，估计它是坏果的概率为___________（精确到）； (3)若基地需要为即将到来的水果节确保9400颗完好水蜜桃用于销售，那么至少需要准备多少颗水蜜桃进行分拣？ 12．（23-24九年级上·广东梅州·期中）（1）解方程：． （2）我市某工厂对一批灯泡的质量进行了随机调查，见下表： 抽取灯泡的数量a 40 100 200 500 1000 3000 优等品的数量b 36 92 182 455 910 2730 优等品的频率b/a 0.9 0.92 0.91 0.91 填写表格； 根据所抽取的灯泡优等品的频率，估计这批灯泡优等品的概率是多少？ （结果精确到0.01） 13．（24-25七年级下·江西吉安·期末）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 65 96 122 295 484 600 摸到白球的频率 0.64 0.59 (1)完成上表； (2)当很大时，估计摸到白球的频率将会接近___________； (3)假如你去摸一次，你摸到白球的概率是___________，摸到黑球的概率是___________； (4)估算口袋中黑球、白球的数量． 14．（24-25七年级下·山东烟台·期中）在一个不透明的盒子里装有红、白两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．实践小组的同学做摸球试验，搅匀后，从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的部分统计数据： 摸球的次数 10 20 50 100 200 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 4 7 10 28 50 127 196 252 744 摸到白球的频率 0．400 0．350 0．200 0．280 0．250 0．254 0．245 0．252 0．248 (1)请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近_____________（精确到0．01）； (2)试估算盒子里白球有_____________个； (3)某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合（1）中结果的试验最有可能的是___________（填写所有正确结论的序号）． ①从一副扑克牌（不含大小王）中任意抽取一张，这张牌是“红桃”． ②掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“小于3”． ③投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上． ④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲． 15．某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：    （1）在这次研究中，一共调查了　 名学生；若该校共有名学生，估计全校爱好运动的学生共有　 　名； （2）补全条形统计图，并计算阅读部分圆心角是　 　； （3）在全校同学中随机选出一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生概率是　 　． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$