第二十一章 圆全章高频重点题型突破（二十大高频+八大重难题型，专项训练）数学新教材北京版九年级上册

第二十一章 圆全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 圆的概念辨析 题型2 与圆有关的弦、弧、角的简单计算 题型3 确定圆的条件 题型4 圆周角定理 题型5 圆的内接四边形 题型6 利用垂径定理求值 题型7 垂径定理的实际应用问题 题型8 圆周角定理问题 题型9 直径所对的圆周角是直角问题 题型10 圆的内接四边形有关计算问题 题型11 点与圆的位置关系 题型12 直线与圆的位置关系 题型13 切线的性质定理 题型14 切线长定理 题型15 三角形的内接圆问题 题型16 正多边形与圆嗯 题型17 弧长、扇形面积计算 题型18 求某点的弧形运动路径长度 题型19 求不规则扇形面积 题型20 圆锥的侧面积 核心提升：重难题型归纳 题型1 与圆有关的多结论问题 题型2 圆与三角形综合 题型3 圆与四边形综合 题型4 圆与函数综合 题型5 圆的切线与判定定理综合 题型6 圆中最值（隐圆）问题 题型7 圆中最值（动点）问题 题型8 圆的新定义与材料理解型问题 ◆题型1 圆的概念辨析 1．（26-27八年级上·浙江湖州·期中）下列说法：①半径相等的两个圆是等圆；②长度相等的两条弧是等弧；③圆中最长的弦是直径；④同一条弦所对的两条弧一定是一条优弧、一条劣弧；⑤两个半圆是等弧．其中正确的说法有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）下列说法中正确的是（     ） A．直径是弦，半径也是弦 B．半圆是弧，但弧不一定是半圆 C．弦就是直径 D．长度相等的两条弧是等弧 3．（26-27九年级上·辽宁盘锦·阶段检测）给出下列说法： ①相等的两个圆心角所对的弦相等； ②同弧或等弧所对的圆周角相等； ③三点确定一个圆；         ④平分弦的直径垂直于弦； ⑤圆周角的度数等于它所对弧的度数． 其中正确的有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 ◆题型2 与圆有关的弦、弧、角的简单计算 4．（26-27八年级上·浙江湖州·期中）如图，是的直径上一点，过点作弦，若为，， (1)求证：． (2)求弧的度数． 5．（26-27九年级上·浙江温州·期中）已知：如图，是上的点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 6．（2026·山西临汾·三模）如图，是的半径，是的中点，连接，点在的延长线上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． ◆题型3 确定圆的条件 7．（26-27九年级上·浙江绍兴·阶段检测）直角三角形的两条边长分别是6，8，则这个三角形的外接圆半径是（     ） A．4 B．5 C．4或5 D．3或4 8．（26-27九年级上·全国·期中）如图，在中，． (1)用尺规作的外接圆（保留作图痕迹，标出圆心O） (2)求的外接圆的半径． 9．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点、、． (1)利用网格线画出经过，，三点的圆弧所在圆的圆心（保留痕迹），且点的坐标为_________； (2)的半径为_________，的度数为_________． ◆题型4 圆周角定理 10．（重庆育才中学教共体2026-2027学年九年级上学期第二次自主作业数学试卷）如图，点，，在上，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 11．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，是的弦，，点在上运动（点不与点、重合），且，则的半径为________． 12．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，四边形内接于，点E在的延长线上，若的度数为，则的度数为______________． ◆题型5 圆的内接四边形 13．（26-27九年级上·北京密云·期中）如图，是以为直径的上一点，点在弧上，，则的度数为________． 14．（26-27九年级上·吉林·期中）如图，四边形是的内接四边形，E为延长线上一点．若，的度数（     ） A． B． C． D． 15．（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，是的直径，弦，E是延长线上的一点，连接交于点F，连接、． (1)若，直接写出的度数； (2)求证：平分． ◆题型6 利用垂径定理求值 16．（26-27九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，的两条弦，互相垂直，垂足为，且，已知，，则的半径为________． 17．（26-27九年级上·浙江温州·期中）如图，已知点在上，点在内，和均为直角，的半径为，，则的长度为（） A． B． C． D． 18．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，在中，，是的直径，是的切线，连接，D是上一点，连接并延长交于点E，交于点F，连接． (1)已知，求证：； (2)在（1）的条件下，若，求的长． ◆题型7 垂径定理的实际应用问题 19．（26-27九年级上·湖南长沙·期中）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度，拱高． (1)求圆弧所在圆的半径的长； (2)已知当洪水上涨到跨度只有48m时，需要采取紧急措施．某时刻拱顶离水面只有4m（图中位置），即时，是否需要采取紧急措施？ 20．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）课外研学活动中，数学探究小组准备估算古石拱桥拱弧所在圆的半径．这座古桥拱由横截面为矩形的花岗岩条石堆砌修建，上下层条石交错排布，上层石块顶点恰好对齐下层石块长边的中点位置（如图1）．实地勘测后标记拱弧上两点A、B．点A是拱弧的顶端，落在相邻两块条石的接缝位置，B点为花岗岩条石的棱角顶点（如图2）． 小组现场测量：单块花岗岩条石长，高． (1)通过观察，拱桥跨度的长为 ；A到的距离为 ； (2)利用测得的数据，计算这座石拱桥拱弧所在圆的半径． 21．（24-25九年级下·广东广州·期中）广州永庆坊的月亮桥是荔枝湾涌上的一道亮丽风景，游客可乘坐小红船从桥拱下穿过，近距离感受岭南水乡风情． 现在需要对河道进行拓宽，并同步拓宽桥拱．数学兴趣小组对此开展了通航安全评估，以下为该小组评估报告中的部分记录，请认真阅读，解决问题． 永庆坊·月亮桥游船通航安全评估报告 素材1 图1是月亮桥截面示意图，它由圆心在点的劣弧和矩形构成．桥墩之间宽，桥墩高，拱桥顶端距离河床底面（即）． 素材2 拱桥拓宽后，中间设置宽为米的隔离带，两边为游船通道．如图2，拓宽后桥墩之间宽，桥墩高和拱桥顶端距离河床底面保持不变． 设计 设计1 拱桥上半部分劣弧改造成顶点为的抛物线一部分的形式． 设计2 拱桥上半部分劣弧改造后仍为劣弧的形式． 问题解决： (1)任务1，按设计1：以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． (2)任务2   按设计2：求拱桥上半部分劣弧所在圆的半径． (3)任务3   a的确定：当水面刚好淹没桥墩顶部时，要使有载满游客的小红船（长方体状）顺利通过月亮桥，此时船顶部距水面，小船宽度为，求出设计1改造方案下的最大值（，结果精确到米）． ◆题型8 圆周角定理问题 22．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，以为直径的经过的顶点C，分别平分和，的延长线交于点D，连接． (1)判断的形状，并证明你的结论； (2)若，求的长． 23．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，四边形内接于，为延长线上一点，平分． (1)求证：； (2)如图，若为直径，过点作于，且，求的半径． 24．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）【模型认识】如图①，、是的两条弦，是弧的中点，过点作，垂足为，则有结论．要证明该结论，我们可以在上截取，连接、、、（如图②所示）…… (1)如图②，证明：． 【模型运用】 (2)如图③，边长为2的等边三角形内接于，是弧上一点，，，垂足为，则的周长为______． 【深入探究】 (3)如图④，若是弧的中点，过点作，垂足为，则、、之间有怎样的数量关系？直接写出结论． (4)如图⑤，在中，为直径，，，是的外接圆，是上一点，且，直接写出的长． ◆题型9 直径所对的圆周角是直角问题 25．（26-27九年级上·北京密云·期中）如图，，，，是上的四个点，为直径，，连接，，于点． (1)求的度数； (2)若，，求的半径． 26．（26-27九年级上·河北石家庄·期中）如图，四边形内接于，，是的直径，与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 27．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）把正方形和正方形拼接在一起，、、三点共线，过、、三点作．分别交边，于点、，若，，则的半径长为______． ◆题型10 圆的内接四边形有关计算问题 28．（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）如图1，四边形内接于，E为延长线上一点，平分． (1)求证：； (2)如图2，若为直径，过A点作于E，且，求的半径． 29．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）已知：菱形内接于． (1)证明：四边形是正方形； (2)若的半径为，求四边形的边长． 30．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知四边形内接于半径为4的，且，则（    ） A． B． C． D． ◆题型11 点与圆的位置关系 31．（26-27九年级上·吉林·期中）已知的直径为，点在内，则的长可能是（     ） A． B． C． D． 32．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）已知的半径为，点到圆心的距离为，若点在圆内，通过画图，观察可以得出的取值范围是__________． 33．（26-27九年级上·浙江绍兴·阶段检测）矩形的边，，以B为圆心，4为半径画圆． (1)判断点A，C，D与圆B的位置关系； (2)若以B为圆心，r为半径画圆，当点A，C，D中只有一个点在圆内时，求r的取值范围． ◆题型12 直线与圆的位置关系 34．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）在中，，，． (1)若以点C为圆心，长为半径画，则直线与的位置关系___________； (2)若直线与半径为r的相切，求r的值． (3)若线段与半径为r的有唯一公共点，则r的取值范围为______________． 35．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）在平面直角坐标系中，的圆心坐标为，半径是方程的一个根，那么与x轴的位置关系是______． 36．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知，M是射线上一点，，以点M为圆心，r为半径作． （1）若，则射线与的位置关系是__________； （2）若与射线没有交点，则r的取值范围是___________； （3）当时，射线与的位置关系是__________． ◆题型13 切线的性质定理 37．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，平分，与相切于点，连接，延长交于点． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为4，，求的长． 38．（26-27九年级上·山东济南·期中）已知：如图，为的直径，且，与相切于点，交延长线于点，连接，，，平分交于点，过点作，垂足为，求线段的长______． 39．（26-27九年级上·江苏南京·期中）如图，经过的三个顶点，，，且与相切，切点为，并交边于点． (1)求证：； (2)若，，则的半径为______． ◆题型14 切线长定理 40．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，P为外一点，和为的两条切线，A和B为切点，为直径，连接，．如果，那么的度数是（     ） A． B． C． D． 41．（2022·四川内江·模拟预测）如图，是外一点，是的切线，是切点，是上一点，且，射线交于、两点． (1)求证：是的切线； (2)求证：平分； (3)若的直径是，，则点与的内切圆上各点之间距离的最大值为______ ． 42．（25-26八年级下·北京海淀·期末）如图，，是的两条切线，切点分别为B，C，连接并延长交于点D，过点D作的切线交的延长线于点E，于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． ◆题型15 三角形的内接圆问题 43．（26-27九年级上·广西南宁·期中）综合与探究 在数学课上，学习小组对一类特殊的圆内接四边形开展研究，给出如下定义： 【定义】 有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【示例】 如图1，如果圆内接四边形中，，则称四边形是圆美四边形，是它的美角， 【初步应用】 (1)如图，四边形是圆美四边形，是它的美角，已知的半径为． 直接写出美角的度数； 求弦的长； 【拓展提升】 (2)如图，四边形是圆美四边形，是它的美角，连接，若平分 求证：； 若已知的半径为，直接写出圆美四边形面积的最大值． 44．（2026九年级上·全国·专题练习）已知，如图，为的直径，内接于，，点是的内心，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)已知的半径是，，求的长． 45．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，是的外接圆，且为的直径，点E为的内心，的延长线交于点F，连接．若，，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．25 ◆题型16 正多边形与圆嗯 46．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，边长为的正六边形内接于，则它的边心距为_____． 47．（24-25九年级上·云南德宏·期末）公园里有一个亭子，它的地基是边长为米的正六边形，则这个正六边形的边心距是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 48．（2026·浙江·中考真题）我国很多古建筑，如图1所示的六角亭运用了简单的几何图形，如圆和正多边形．如图2，已知圆的内接正六边形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． ◆题型17 弧长、扇形面积计算 49．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）一个扇形的半径为，扇形的圆心角为，则该扇形的弧长为_______． 50．（26-27九年级上·河北石家庄·期中）如图，半圆的直径，以长为的弦为直径，向点方向作半圆，其中点在（弧）上且不与点重合，但点可与点重合． (1)发现：（弧）的长与（弧）的长之和为定值，求； (2)思考：①点与的最大距离为________，此时点，间的距离为________； ②点与的最小距离为________，此时半圆的弧与所围成的封闭图形面积为________． 51．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，育才中学手工制作社团准备用一块直径为的圆形卡纸制作书签配件，需要在圆片上裁剪出一个圆周角为的扇形作为装饰部件． (1)求裁剪得到的扇形装饰部件的半径； (2)求裁剪后剩下废料的面积． ◆题型18 求某点的弧形运动路径长度 52．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）如图，在所给的格点图（每个小正方形的边长均为1，点，，均在格点上）中完成下列各题： (1)以点为旋转中心，将按逆时针方向旋转作出旋转后的； (2)求旋转过程中，点的路径长． 53．（26-27九年级上·全国·期末）如图，在矩形中，，，将矩形按如图所示的方式在直线上进行两次旋转，则点在两次旋转过程中经过的路径长为（     ） A． B． C． D． 54．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)将向下平移5个单位后得到，请画出； (2)将绕原点O逆时针旋转后得到，请画出；的坐标为__________； (3)在（2）的条件下，点B绕原点O逆时针旋转的路径长为__________． ◆题型19 求不规则扇形面积 55．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，是半圆的直径，，、为半圆的三等分点，则阴影部分的面积为________． 56．（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，已知是的直径，弦与半径平行． (1)求证：点C是的中点； (2)若，求阴影部分的面积． 57．（26-27九年级上·北京西城·期中）日晷是我国古代使用的一种计时仪器，如图①，某日晷模型底座的正面与晷面在同一平面上．如图②，表示日晷的晷面圆周，日晷底座的底边在水平线上，为等边三角形，，与分别交于，两点，点，是上两点，，过点作于，交于，交于，已知，，． (1)求的半径； (2)直接写出图②中阴影部分的面积为_________．（结果保留） ◆题型20 圆锥的侧面积 58．（26-27九年级上·广西南宁·阶段检测）如图，冰激凌蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是_________． 59．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，现有一圆心角为，半径为80厘米的扇形铁片，用它恰好围成一个圆锥形的量筒．如果用其他铁片再做一个圆形盖子把量筒底面密封（接缝都忽略不计），求： (1)该圆形盖子的半径为多少厘米？ (2)制作这个密封量筒，共用铁片多少平方厘米（结果保留）？ 60．（26-27九年级上·北京·课后作业）光明灯具厂生产一批台灯罩，如图的阴影部分为灯罩的侧面展开图．已知半径、分别为、，． (1)若要在灯罩的上下边缘镶上花边（花边的宽度忽略不计），需要多长的花边？ (2)求灯罩的侧面积（接缝不计）．（以上计算结果保留） ◆题型1 与圆有关的多结论问题 61．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在⊙O的内接四边形中，，过点D作的垂线交延长线于E，则下列结论：①平分；②若点C是弧中点，则平行于的某条角平分线；③若，则；④若，则，其中正确的有（　　） A．①③ B．①②④ C．②④ D．①②③④ 62．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，点A是上一定点，点B是上一动点、连接，分别将线段绕点A顺时针旋转到，连接，下列结论正确的有（     ） ①点在⊙O上；②；③；④当时，与相切． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 63．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，是的直径，点C，点D是半圆上两点，连接，相交于点P，连接，．已知于点E，．下列结论：①；②若点P为的中点，则；③若，则；④若，则平分．其中正确的是（     ） A．①② B．①②③④ C．②③④ D．①②③ ◆题型2 圆与三角形综合 64．（26-27九年级上·吉林·阶段检测）如图，是的内接三角形，，直径与边交于点，点是的中点，，现给出下面四个结论： ①；②；③的半径为；④．上述结论中，正确结论的序号有________． 65．（26-27九年级上·重庆江北·阶段检测）如图，是的外接圆，，于点，的延长线交于点，交于点．设，则_________（用含的式子表示）；若，，则_________． 66．（2026·山东淄博·中考真题）如图，是的直径，，是上的点，，平分，交于点，垂足为，则______． ◆题型3 圆与四边形综合 67．（26-27九年级下·全国·单元测试）如图，在矩形中，，，为矩形的中心，以点为圆心，1为半径作，为上的一个动点，连接，，，则面积的最大值为________． 68．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，四边形是平行四边形，点，在上，，与交于点，，是的直径，且于点，，连接交于点，连接，则的长度为________，的长度为________． 69．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，为的直径，点是上一点，点是上的点，四边形为平行四边形，交于点，连接，．若，，，则的长度为________；的长度为________． ◆题型4 圆与函数综合 70．（25-26九年级上·山东日照·期中）如图，函数与轴交于两点，是以点为圆心、为半径的圆上的一点，是线段的中点，连接．则线段的最大值是__________． 71．（26-27九年级下·安徽芜湖·自主招生）如图，点P为函数的图象上一点，且到两坐标轴距离相等，半径为2，，，点Q是上的动点，点C是的中点，则的最小值是__________． 72．（26-27九年级下·广东梅州·开学考试）在平面直角坐标系中，已知点和直线m的函数表达式为，动点在A点的右边，过点B作x轴的垂线交直线m于点C，过点B作直线m的平行线交y轴于点D，当时，则x的值为___．      ◆题型5 圆的切线与判定定理综合 73．（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，过A，B，C三点的交于点E． (1)求证：与相切； (2)若，求的半径． 74．（26-27九年级上·北京西城·期中）如图，是的直径，是弦，是的中点，与交于点，是延长线上的一点，且． (1)求证：为的切线； (2)连接，取的中点，连接．补全图形，若，，求的长． 75．（2026·甘肃兰州·中考真题）如图，是的直径，是的切线，为延长线上一点，延长交于点，，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． ◆题型6 圆中最值（隐圆）问题 76．（26-27九年级上·北京西城·期中）如图，内接于，，，是的中点，则的长的最大值是（     ） A．4 B． C． D． 77．（2022·四川自贡·模拟预测）如图，在中，，，，是以斜边为直径的半圆上一动点，为的中点，连接，则 的最小值为（     ） A． B． C． D． 78．（2022·江苏镇江·一模）如图，以为直径的半圆，是弧的中点，是弧上任意一点，，交于点．若，则长的最小值为（     ） A．4 B． C． D． ◆题型7 圆中最值（动点）问题 79．（2026·山东临沂·二模）如图，矩形中，，，以、为圆心，半径分别为2和1画圆，、分别是、上的一动点，是上的一动点，则的最小值是（     ） A．6 B．7 C．8 D．10 80．（2026·浙江·模拟预测）如图，在三角形中，，，，平分交于点D．点P是内一动点，且满足，则的最小值为（     ） A． B．1 C．2 D． 81．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，已知，，点在以为圆心，为半径的圆上，关于的对称点为．连接，将绕点逆时针旋转得到．连接．则的最小值是（　　） A． B． C． D． ◆题型8 圆的新定义与材料理解型问题 82．（2026·甘肃兰州·模拟预测）我们给出如下定义：两个图形和，在上的任意一点P引出两条垂直的射线与相交于点M、N，如果，我们就称M、N为点P的垂等点，为点P的垂等线段，点P为垂等射点． (1)如图1，在平面直角坐标系中，点为x轴上的垂等射点，过作x轴的平行线l，则直线l上的为点P的垂等点的是 ； (2)如果一次函数图象过，点M为垂等射点的一个垂等点且另一个垂等点N也在此一次函数图象上，在图2中画出示意图并写出一次函数表达式； (3)如图3，以点O为圆心，1为半径作⊙O，垂等射点P在上，垂等点在经过的直线上，如果关于点P的垂等线段始终存在，求垂等线段长的取值范围（画出图形直接写出答案即可）． 83．（2026·吉林长春·一模）【概念认识】 定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫作垂等四边形． (1)如图①，已知在垂等四边形中，对角线与交于点E，若，，，则______； 【数学理解】 (2)如图②，在中，已知是弦，、是半径，过点O作，交于点D、C，连结．求证：四边形是垂等四边形； 【问题解决】 (3)如图③，已知A是上一定点，B为上一动点，以为一边作出的内接垂等四边形（点A、B不重合且A、B、O三点不共线），对角线与交于点E，的半径为，当点E到的距离为时，直接写出弦的长度． 84．（2026·北京平谷·二模）定义：如图1，的半径为，若平面内以为线段一端点的长度为的线段上存在的切点，则称点为的切线段端点，简称“切端点”． (1)以下各点中，是半径为2的的“切端点”的有：__________； ，，， (2)在（1）的条件下，若直线上存在的“切端点”，则的取值范围为__________； (3)在平面直角坐标系中，的半径为，直线分别与轴，轴交于点，，若线段上的所有点都是的“切端点”，则的半径的取值范围为__________． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十一章 圆全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 圆的概念辨析 题型2 与圆有关的弦、弧、角的简单计算 题型3 确定圆的条件 题型4 圆周角定理 题型5 圆的内接四边形 题型6 利用垂径定理求值 题型7 垂径定理的实际应用问题 题型8 圆周角定理问题 题型9 直径所对的圆周角是直角问题 题型10 圆的内接四边形有关计算问题 题型11 点与圆的位置关系 题型12 直线与圆的位置关系 题型13 切线的性质定理 题型14 切线长定理 题型15 三角形的外接圆问题 题型16 正多边形与圆嗯 题型17 弧长、扇形面积计算 题型18 求某点的弧形运动路径长度 题型19 求不规则扇形面积 题型20 圆锥的侧面积 核心提升：重难题型归纳 题型1 与圆有关的多结论问题 题型2 圆与三角形综合 题型3 圆与四边形综合 题型4 圆与函数综合 题型5 圆的切线与判定定理综合 题型6 圆中最值（隐圆）问题 题型7 圆中最值（动点）问题 题型8 圆的新定义与材料理解型问题 ◆题型1 圆的概念辨析 1．（26-27八年级上·浙江湖州·期中）下列说法：①半径相等的两个圆是等圆；②长度相等的两条弧是等弧；③圆中最长的弦是直径；④同一条弦所对的两条弧一定是一条优弧、一条劣弧；⑤两个半圆是等弧．其中正确的说法有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①半径相等的两个圆是等圆，说法正确； ②等弧需能完全重合，长度相等的弧不一定是等弧，原说法错误； ③圆中最长的弦是直径，说法正确； ④直径所对的两条弧都是半圆，故同一条弦所对的弧不一定是一条优弧一条劣弧，原说法错误； ⑤半径相等的两个半圆才是等弧，原说法错误； 综上，正确的说法共2个． 2．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）下列说法中正确的是（     ） A．直径是弦，半径也是弦 B．半圆是弧，但弧不一定是半圆 C．弦就是直径 D．长度相等的两条弧是等弧 【答案】B 【详解】解：直径是经过圆心的弦，半径一端为圆心不在圆上，不是弦，A错误； 弧是圆上任意两点间的部分，半圆是特殊的弧，弧还包括优弧、劣弧，故半圆是弧，弧不一定是半圆，B正确． 弦不一定过圆心，故弦不都是直径，C错误． 等弧是能够完全重合的弧，需在同圆或等圆中才存在，仅长度相等的弧不一定是等弧，D错误． 3．（26-27九年级上·辽宁盘锦·阶段检测）给出下列说法： ①相等的两个圆心角所对的弦相等； ②同弧或等弧所对的圆周角相等； ③三点确定一个圆；         ④平分弦的直径垂直于弦； ⑤圆周角的度数等于它所对弧的度数． 其中正确的有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据圆的基本性质和相关概念逐项分析即可得出结果． 【详解】解：①在同圆或等圆中，相等的两个圆心角所对的弦相等，故①说法错误； ②同弧或等弧所对的圆周角相等，故②说法正确； ③不在同一条直线上的三点才能确定一个圆，故③说法错误； ④平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故④说法错误； ⑤圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，故⑤说法错误； 综上所述，正确的有个． ◆题型2 与圆有关的弦、弧、角的简单计算 4．（26-27八年级上·浙江湖州·期中）如图，是的直径上一点，过点作弦，若为，， (1)求证：． (2)求弧的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵为， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）利用等边得出等角，利用弧和圆心角的度数得出相等的角，最后利用等角对等边得出相等的边； （2）利用角的和差求出圆心角，然后利用圆心角和弧的关系求解． 【详解】（1）证明：略； （2）解：由（1）得，， ∴， ∴， ∴弧的度数为． 5．（26-27九年级上·浙江温州·期中）已知：如图，是上的点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据圆心角，弦，弧之间的关系，证明即可； （2）根据圆的性质，三角形内角和，圆心角，弦，弧之间的关系，解答即可． 【详解】（1）略． （2）解：， ， ， 由（1）可知，， ， 的度数为． 6．（2026·山西临汾·三模）如图，是的半径，是的中点，连接，点在的延长线上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用邻补角定义求出，根据等腰三角形性质求出 ，再利用弧中点性质得出，最后求和即可． 【详解】解：连接， 点在的延长线上， 是的中点 ． ◆题型3 确定圆的条件 7．（26-27九年级上·浙江绍兴·阶段检测）直角三角形的两条边长分别是6，8，则这个三角形的外接圆半径是（     ） A．4 B．5 C．4或5 D．3或4 【答案】C 【分析】未明确两条已知边是否为直角边，需分两种情况讨论求解． 【详解】解：直角三角形外接圆半径等于斜边长的一半， 当6和8均为直角边长时， 斜边长为， 外接圆半径为； 当8为斜边长时， 外接圆半径为； 综上，该三角形外接圆半径为4或5． 8．（26-27九年级上·全国·期中）如图，在中，． (1)用尺规作的外接圆（保留作图痕迹，标出圆心O） (2)求的外接圆的半径． 【答案】(1)如图所示 (2)5 【分析】（1）分别以点B，C为圆心，以为半径画弧，两弧交于点D，E，作直线，再以点A，C为圆心，以为半径画弧，两弧交于点G，H，作直线，两直线交于点O，以点O为圆心，以为半径画弧，则即为所求作； （2）根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：根据勾股定理，得， ∴， 所以的外接圆的半径是5． 9．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点、、． (1)利用网格线画出经过，，三点的圆弧所在圆的圆心（保留痕迹），且点的坐标为_________； (2)的半径为_________，的度数为_________． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）作、的垂直平分线，它们的交点就是圆心； （2）利用网格特点，结合勾股定理求出半径，再利用勾股定理的逆定理即可得到． 【详解】（1）解：图略，点的坐标为； （2）解： ∵，，， ∴，的半径为， ∴． ◆题型4 圆周角定理 10．（重庆育才中学教共体2026-2027学年九年级上学期第二次自主作业数学试卷）如图，点，，在上，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆周角定理（在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）即可得出答案． 【详解】解：∵点，，在上，， ∴， 即的度数是． 11．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，是的弦，，点在上运动（点不与点、重合），且，则的半径为________． 【答案】 【分析】连接，，根据圆周角定理得出的度数，结合判定为等边三角形，从而得出半径长度． 【详解】解：连接，，如图： ， ， ， 是等边三角形， ，即的半径为4． 12．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，四边形内接于，点E在的延长线上，若的度数为，则的度数为______________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴． ◆题型5 圆的内接四边形 13．（26-27九年级上·北京密云·期中）如图，是以为直径的上一点，点在弧上，，则的度数为________． 【答案】 【分析】根据直径所对的圆周角是直角得出，利用三角形内角和定理求出的度数，再根据圆内接四边形对角互补即可求解． 【详解】解：是的直径， ， ， ， 四边形内接于， ， ． 14．（26-27九年级上·吉林·期中）如图，四边形是的内接四边形，E为延长线上一点．若，的度数（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴, ∵， ， ， ． 15．（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，是的直径，弦，E是延长线上的一点，连接交于点F，连接、． (1)若，直接写出的度数； (2)求证：平分． 【答案】(1) (2)证明：如图，连接， ∵是直径，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，即平分． 【分析】（1）连接，交于点，根据垂径定理可推出，，从而求得，然后由同弧所对的圆周角相等即可求得的度数； （2）连接，根据垂径定理可推出，然后根据圆内接四边形的对角互补得到，结合同弧所对的圆周角相等可知，即可证得结论． 【详解】（1）解：如图，连接，交于点， ∵是直径，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， （2）略 ◆题型6 利用垂径定理求值 16．（26-27九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，的两条弦，互相垂直，垂足为，且，已知，，则的半径为________． 【答案】 【分析】过点分别作、的垂线、，连接，，证明四边形是正方形，利用垂径定理求出，利用正方形的性质求出，然后在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点分别作、的垂线、，连接，． ∵，，， ∴四边形是矩形，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ， 矩形是正方形． ，， ， ， ∴， ∴在正方形中，， ∴在中，． 17．（26-27九年级上·浙江温州·期中）如图，已知点在上，点在内，和均为直角，的半径为，，则的长度为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两个直角给出；过圆心作弦的垂线，一方面由垂径定理算出圆心到的距离，另一方面借矩形把已知的、搬到辅助线上，再用勾股定理求出，相减即得． 【详解】解：∵，， ∴． 过圆心作于点，延长交的延长线于点（如图）， ∵，且是的弦， ∴点是的中点， ∴． 在中，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，． ∴． 在中，， ∴． ∴． 【点睛】本题考查垂径定理、矩形的判定与勾股定理的综合运用．关键有两步：一是由得，从而两平行线间的距离就是；二是过圆心作弦的垂线，先用垂径定理求出与，再由矩形把搬到、把搬到，由得，最后在中求，由得解． 18．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，在中，，是的直径，是的切线，连接，D是上一点，连接并延长交于点E，交于点F，连接． (1)已知，求证：； (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】(1)证明：是的直径， ， ． 为的切线， ， 即， ∴． ， ． ， ∴， ； (2)16 【分析】（1）结合切线的性质可得，可证明，即可求证； （2）由（1）得，再由垂径定理可得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ∵， ∴， ． ◆题型7 垂径定理的实际应用问题 19．（26-27九年级上·湖南长沙·期中）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度，拱高． (1)求圆弧所在圆的半径的长； (2)已知当洪水上涨到跨度只有48m时，需要采取紧急措施．某时刻拱顶离水面只有4m（图中位置），即时，是否需要采取紧急措施？ 【答案】(1) (2)需要采取紧急措施 【分析】（1）由垂径定理和圆的性质可得米，米，再由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案； （2）由垂径定理和圆的性质可得，米，利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：设点O为该圆弧所在的圆的圆心，连接， ∵米，米，且， ∴米，米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴圆弧所在的圆的半径r的长为； （2）解：如图所示，连接， 由题意得，， ∴， ∵米， ∴米， ∴米， ∴米， ∵，则， ∴需要采取紧急措施． 20．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）课外研学活动中，数学探究小组准备估算古石拱桥拱弧所在圆的半径．这座古桥拱由横截面为矩形的花岗岩条石堆砌修建，上下层条石交错排布，上层石块顶点恰好对齐下层石块长边的中点位置（如图1）．实地勘测后标记拱弧上两点A、B．点A是拱弧的顶端，落在相邻两块条石的接缝位置，B点为花岗岩条石的棱角顶点（如图2）． 小组现场测量：单块花岗岩条石长，高． (1)通过观察，拱桥跨度的长为 ；A到的距离为 ； (2)利用测得的数据，计算这座石拱桥拱弧所在圆的半径． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）结合花岗岩条石的数量计算即可； （2）设这座石拱桥拱弧所在圆的圆心为O，连接，其中交于点D，则，设圆的半径为，由（1）可知，，根据垂径定理得到，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图， 可知拱桥跨度的长为， A到的距离为； （2）解：如图，设这座石拱桥拱弧所在圆的圆心为O，连接，其中交于点D，则， 设圆的半径为，由（1）可知，， ∵，即， ∴，， ∴， 解得：， 即圆的半径为． 21．（24-25九年级下·广东广州·期中）广州永庆坊的月亮桥是荔枝湾涌上的一道亮丽风景，游客可乘坐小红船从桥拱下穿过，近距离感受岭南水乡风情． 现在需要对河道进行拓宽，并同步拓宽桥拱．数学兴趣小组对此开展了通航安全评估，以下为该小组评估报告中的部分记录，请认真阅读，解决问题． 永庆坊·月亮桥游船通航安全评估报告 素材1 图1是月亮桥截面示意图，它由圆心在点的劣弧和矩形构成．桥墩之间宽，桥墩高，拱桥顶端距离河床底面（即）． 素材2 拱桥拓宽后，中间设置宽为米的隔离带，两边为游船通道．如图2，拓宽后桥墩之间宽，桥墩高和拱桥顶端距离河床底面保持不变． 设计 设计1 拱桥上半部分劣弧改造成顶点为的抛物线一部分的形式． 设计2 拱桥上半部分劣弧改造后仍为劣弧的形式． 问题解决： (1)任务1，按设计1：以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． (2)任务2   按设计2：求拱桥上半部分劣弧所在圆的半径． (3)任务3   a的确定：当水面刚好淹没桥墩顶部时，要使有载满游客的小红船（长方体状）顺利通过月亮桥，此时船顶部距水面，小船宽度为，求出设计1改造方案下的最大值（，结果精确到米）． 【答案】(1) (2) (3)设计1改造方案下的最大值为 【分析】（1）根据题意得到，，设抛物线的解析式为，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意，，，设，则，在中由勾股定理列式求解即可； （3）根据题意得到，代入抛物线计算得到小船刚好能过桥时的宽度，再结合小船的宽度，即可得到中间隔离带宽度的最大值． 【详解】（1）解：根据题意，改造后，， ∴， 以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，抛物线的顶点为点E， ∴，， 设抛物线的解析式为，把点代入得，， 解得，， ∴抛物线解析式为； （2）解：改造后，，，，且， ∴，， 设， ∴， 在中，， ∴， 解得，， ∴拱桥上半部分劣弧所在圆的半径为； （3）解：桥墩高，船顶部距水面， ∴， ∴，则， ∴， 解得，，， ∵小船宽度为， ∴ ∴设计1改造方案下的最大值为． ◆题型8 圆周角定理问题 22．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，以为直径的经过的顶点C，分别平分和，的延长线交于点D，连接． (1)判断的形状，并证明你的结论； (2)若，求的长． 【答案】(1)解：为等腰直角三角形， 证明：∵分别平分和， ∴， ， ， ， ∵为直径, ∴， ∴是等腰直角三角形； (2)8 【分析】（1）根据角平分线及圆周角定理得出，结合图形及等量代换得出，确定，再由圆周角定理得出，即可得出结果； （2）证出垂直平分，再由勾股定理确定，设，则，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）如图，连接，交于点F， ∵， ， ， ∴垂直平分， ∴ ∵是等腰直角三角形，， ， ∵， ， 设，则， 在和中， ， 解得， ∴， ∴． 23．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，四边形内接于，为延长线上一点，平分． (1)求证：； (2)如图，若为直径，过点作于，且，求的半径． 【答案】(1)证明：平分， ． 四边形内接于， ． 又， ． ． (2) 【分析】（1）由角平分线得到，利用圆内接四边形外角等于内对角得到，再利用同弧所对圆周角相等得到，推导出，等角对等边证得． （2）连接延长交于，交圆于，由得到垂直平分，结合直径得，证明四边形为矩形，得到，算出，在中用勾股定理算出直径，进而得到圆半径为． 【详解】（1）略． （2）解：如图，连接并延长，交于点，交于点， 则． ，经过圆心， ，则， ，． 是的直径， ，即． ，， ． 四边形是矩形． ． ， ． ， ． 在中，，，， 由勾股定理得． 的半径为． 24．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）【模型认识】如图①，、是的两条弦，是弧的中点，过点作，垂足为，则有结论．要证明该结论，我们可以在上截取，连接、、、（如图②所示）…… (1)如图②，证明：． 【模型运用】 (2)如图③，边长为2的等边三角形内接于，是弧上一点，，，垂足为，则的周长为______． 【深入探究】 (3)如图④，若是弧的中点，过点作，垂足为，则、、之间有怎样的数量关系？直接写出结论． (4)如图⑤，在中，为直径，，，是的外接圆，是上一点，且，直接写出的长． 【答案】(1)证明：在上截取，连接，，和． 是的中点， ． 在和中， ， ， ， 又， ， ； (2) (3) (4) 【分析】（1）首先证明，进而得出，再利用等腰三角形的性质得出，即可得出答案； （2）先利用已知条件求出，再用（1）的结论得出，即可得出结论． （3）在上截取，连接、、、，证明，可得，由等腰三角形的性质可得，可得结论； （4）作与，因为，则为的中点，由（3）知，由条件可求，则可求，又可求，为等腰直角三角形，所以可解． 【详解】（1）略； （2）解：在上截取，连接， 在中， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 的周长． （3）解： 证明：在上截取，连接、、、，如图3， 是弧的中点， ，， 又， △△， ， ， 又， ， ，即； （4）解：作与， ∵为直径， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴为的中点， 由（3）知， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴ ◆题型9 直径所对的圆周角是直角问题 25．（26-27九年级上·北京密云·期中）如图，，，，是上的四个点，为直径，，连接，，于点． (1)求的度数； (2)若，，求的半径． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由圆周角定理与等腰三角形的性质可得，结合“同弧所对的圆周角相等”可得； （2）连接，容易判断是等腰直角三角形，则，由圆周角定理可得，使用勾股定理求出，进而得到的半径． 【详解】（1）解：∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∵为直径， ∴， 在中，， ∴的半径为． 26．（26-27九年级上·河北石家庄·期中）如图，四边形内接于，，是的直径，与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：是的直径， ， ， ， 点是的中点， 是的半径，点是的中点， 由垂径定理的推论，可得：， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可知，根据垂径定理的推论可知，根据同位角相等，两直线平行可证结论成立； （2）由垂径定理可知，设的半径为，利用勾股定理求出，从而可知，再利用勾股定理求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，， ，， 设的半径为， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 27．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）把正方形和正方形拼接在一起，、、三点共线，过、、三点作．分别交边，于点、，若，，则的半径长为______． 【答案】 【分析】连接，，，，，根据题意可以推得，根据直角所对的弦是直径可知是的直径，根据直径所对圆周角是直角可得和是直角三角形；设，根据题意和勾股定理列式求解即可． 【详解】解：连接，，，，， 设， ∵正方形和正方形， ∴， ∴， 则是的直径， ∴， ∵， ∴， 则， ∵， ∴，， ∴， 则在中，， 在中，， 即 解得或（舍） 代入可得， ∴半径为． ◆题型10 圆的内接四边形有关计算问题 28．（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）如图1，四边形内接于，E为延长线上一点，平分． (1)求证：； (2)如图2，若为直径，过A点作于E，且，求的半径． 【答案】(1)证明：平分， ． ∵四边形内接于， ∴， ∵， ． ∴， 又， ， ． (2) 【分析】（1）由题意易得，结合圆的内接四边形对角互补，然后可得，接着利用同弧所对的圆周角相等，进而可得，则问题可求证； （2）连接并延长，交于点H，交于点K，则，由题意易得，，则有四边形是矩形，然后可得，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接并延长，交于点H，交于点K，则， ，经过圆心O， ，则， ，． ∵是的直径， ，即． ，， ， ∴四边形是矩形， ． ， ． ， ． 在中，，，， ， 的半径为． 29．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）已知：菱形内接于． (1)证明：四边形是正方形； (2)若的半径为，求四边形的边长． 【答案】(1)证明：∵菱形， ∴， ∵菱形内接于， ∴， ∴， ∴菱形是正方形 (2) 【分析】（1）根据菱形对角相等，内接四边形对角互补，即可证明； （2）：连接，在中利用勾股定理即可作答； 【详解】（1）见答案 （2）解：连接，如图， 根据（1）中可知， 则为的直径，即， ∵在中，，， ∴． ∴（负值舍去）． 30．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知四边形内接于半径为4的，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接并延长交于点E，连接 ∵四边形内接于半径为4的 ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵是的直径 ∴ ∴ ∴ ∴． ◆题型11 点与圆的位置关系 31．（26-27九年级上·吉林·期中）已知的直径为，点在内，则的长可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点与圆的位置关系进行判断即可． 【详解】解：∵的直径为， ∴的半径为， ∵点在内， ∴， 四个选项中，符合要求． 32．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）已知的半径为，点到圆心的距离为，若点在圆内，通过画图，观察可以得出的取值范围是__________． 【答案】 【分析】已知半径为，点在圆内，结合点到圆心距离的非负性，根据点与圆的位置关系判定规则推导的取值范围 【详解】解：∵点到圆心的距离为非负值，即，点在圆内的判定条件是点到圆心的距离小于圆的半径，的半径为， ∴点到圆心的距离满足， ∴综合可得的取值范围是． 33．（26-27九年级上·浙江绍兴·阶段检测）矩形的边，，以B为圆心，4为半径画圆． (1)判断点A，C，D与圆B的位置关系； (2)若以B为圆心，r为半径画圆，当点A，C，D中只有一个点在圆内时，求r的取值范围． 【答案】(1)点A在圆B内，点C在圆B上，点D在圆B外 (2) 【分析】（1）连接，利用矩形的性质得到，，利用勾股定理求出，然后结合圆B的半径为4判断即可； （2）判断出只能是点A在圆内，然后求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接 ∵矩形的边，， ∴，， ∴ ∵圆B的半径为4 ∴小于圆B的半径，等于圆B的半径，大于圆B的半径， ∴点A在圆B内，点C在圆B上，点D在圆B外； （2）解：∵ ∴当点A，C，D中只有一个点在圆内时，只能是点A在圆内 ∴r的取值范围为． ◆题型12 直线与圆的位置关系 34．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）在中，，，． (1)若以点C为圆心，长为半径画，则直线与的位置关系___________； (2)若直线与半径为r的相切，求r的值． (3)若线段与半径为r的有唯一公共点，则r的取值范围为______________． 【答案】(1)相离 (2) (3)或 【分析】先通过面积法求出点C到直线AB的距离，再结合直线与圆的位置关系判定前两问；第三问分相切、线段与圆仅有一个交点两类讨论． 【详解】（1）解：在中，，，， 由勾股定理得：， 过点作于点， 由三角形面积公式，， ∴，即圆心到直线的距离. 当时， ∵， ∴直线与相离； （2）解：∵直线与相切， ∴； （3）解：分两种情况讨论： ①当与直线相切时，切点在线段上，线段与有唯一公共点，此时； ②当与直线相交时，若线段与仅有一个公共点，则需直线与圆的两个交点中仅一个在线段上， ∵，， 当时，点在上，另一交点在线段上，有2个公共点，不符合； 当时，点在内，点在上或圆外，仅一个交点在线段上，符合； 当时，点、均在内，无公共点，不符合， 综上所述，的取值范围为或． 35．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）在平面直角坐标系中，的圆心坐标为，半径是方程的一个根，那么与x轴的位置关系是______． 【答案】相切 【分析】解方程推出的半径，再求出点A到x轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得或， ∵的半径是方程的一个根， ∴的半径为6， ∵的圆心坐标为， ∴点A到x轴的距离为， ∴点A到x轴的距离等于的半径， ∴与x轴的位置关系是相切． 36．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知，M是射线上一点，，以点M为圆心，r为半径作． （1）若，则射线与的位置关系是__________； （2）若与射线没有交点，则r的取值范围是___________； （3）当时，射线与的位置关系是__________． 【答案】 相切 相交 【分析】过点M作于点N，根据直线与圆的位置关系，逐个进行分析求解即可． 【详解】解：（1）如图，过点M作于点N， ∵ 在中，， ∴射线与的位置关系是相切． （2）∵与射线没有交点， ， ∴r的取值范围是． （3）∵， ∴， ∴射线与的位置关系是相交． ◆题型13 切线的性质定理 37．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，平分，与相切于点，连接，延长交于点． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为4，，求的长． 【答案】(1)过点作于， 切于D， 平分，， ， 是的切线； (2) 【分析】（1）过点作于，切线的性质结合角平分线的性质，得到，即可得证； （2）中，求出的长，切线长定理得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：的半径为4，，中，， ，是的切线， ∴，设， 在中，， 解得， ∴． 38．（26-27九年级上·山东济南·期中）已知：如图，为的直径，且，与相切于点，交延长线于点，连接，，，平分交于点，过点作，垂足为，求线段的长______． 【答案】 【分析】根据切线的性质，直径所对的圆周角是，先求出，得，再求出，最后根据勾股定理可求出答案． 【详解】解：如下图，连结， 与相切于点C， ， ， ， ， ， ， 为的直径， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ，即， 解得． 39．（26-27九年级上·江苏南京·期中）如图，经过的三个顶点，，，且与相切，切点为，并交边于点． (1)求证：； (2)若，，则的半径为______． 【答案】(1)证明：如图，连接并延长，交于， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴，即， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)． 【分析】如图，连接并延长，交于，由平行四边形的性质和切线的性质得到，进而证明得到，则，再由圆内接四边形的性质可得，又，，则，从而求证； 由得，，则，，通过平行四边形的性质、圆内接四边形性质可得，所以，从而有，则，然后连接，如图，设的半径为，最后通过勾股定理即可求出的半径． 【详解】（1）略； （2）解：由得，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接，如图，设的半径为， 在中，， ∴， ， ， ，即的半径为． ◆题型14 切线长定理 40．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，P为外一点，和为的两条切线，A和B为切点，为直径，连接，．如果，那么的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明，则．求出，即可得到，进而即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵和为的两条切线， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 41．（2022·四川内江·模拟预测）如图，是外一点，是的切线，是切点，是上一点，且，射线交于、两点． (1)求证：是的切线； (2)求证：平分； (3)若的直径是，，则点与的内切圆上各点之间距离的最大值为______ ． 【答案】(1)证明：如图中，连接． 是切线， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∵为半径， 是的切线． (2)证明：如图中，设． ， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， 平分． (3) 【分析】（1）证明，推出，可得结论； （2）设，通过导角计算证明，即可解决问题； （3）图中，设交于点，、是的切线，推出平分，因为平分，推出点是的内心，设的内切圆交于，点到上各点的最大距离为，求出即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图中，设交于点． 是的切线， 平分， 平分， 点是的内心，设的内切圆交于， 的直径为， ， 垂直平分， ， ， ， ， 点到上各点的最大距离为， 最大距离． 42．（25-26八年级下·北京海淀·期末）如图，，是的两条切线，切点分别为B，C，连接并延长交于点D，过点D作的切线交的延长线于点E，于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵、是的切线，是的直径， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； (2)5 【分析】（1）根据切线的性质和矩形的判定定理即可得到结论； （2）根据切线长定理可得，，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，是的切线， ∴，， 由（1）知，四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 故的长为5． ◆题型15 三角形的外接圆问题 43．（26-27九年级上·广西南宁·期中）综合与探究 在数学课上，学习小组对一类特殊的圆内接四边形开展研究，给出如下定义： 【定义】 有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【示例】 如图1，如果圆内接四边形中，，则称四边形是圆美四边形，是它的美角， 【初步应用】 (1)如图，四边形是圆美四边形，是它的美角，已知的半径为． 直接写出美角的度数； 求弦的长； 【拓展提升】 (2)如图，四边形是圆美四边形，是它的美角，连接，若平分 求证：； 若已知的半径为，直接写出圆美四边形面积的最大值． 【答案】(1) ①; ②． (2)①证明：， ． 平分， ． 如图所示：在上截取，连接． ，， 是等边三角形． ，， ． （同弧所对的圆周角相等），，， ， ． ，且，， ． ② 【分析】第问与第问都依赖同一条信息——是定弦：由半径与圆心角算出，弦长固定后，圆上动点到弦的距离只与它在弧上的位置有关，这既是垂径定理的计算，也是面积最值的几何依据． 第问采用截长补短：在上截，用构造等边三角形，把转换成，再用证，把转移到，于是．这条思路的关键是“等腰即等边”，以及同弧圆周角相等提供的等角． 第问把四边形拆成两个同底三角形，底的定长使问题化为两次“点到直线的最大距离”：优弧上最远点为优弧中点，距离为；劣弧上最远点为劣弧中点，距离为，两部分相加即得最大面积． 【详解】（1）解：四边形内接于， （圆内接四边形对角互补）． 是美角，，即． ，． 连接、． ， （同弧所对圆心角是圆周角的倍）． 如图所示：过点作于，连接 由垂径定理得，． 在中，， ∴． （2）①证明见答案； ②解：． 对于：，为定弦，点在优弧上． 当点到的距离最大时面积最大，此时为优弧的中点． 圆心到的距离， 到的最大距离， ． 对于：，为定弦，点在劣弧上． 当为劣弧的中点时，到的距离最大，此时． 劣弧中点到的距离， ． ∴． 44．（2026九年级上·全国·专题练习）已知，如图，为的直径，内接于，，点是的内心，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)已知的半径是，，求的长． 【答案】(1)证明：∵为的直径， ， 点是的内心， ，， ， ，， ， ． (2) 【分析】（1）由圆周角定理得出，由内心得出，，，由三角形的外角性质得出，即可得出结论； （2）连接，过点作于，由圆周角定理得出，证出是等腰直角三角形，得出，由，，推出，得到，根据勾股定理可求的长，即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，过点作于， 为的直径，的半径是，， ，是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ∴， ∴． 45．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，是的外接圆，且为的直径，点E为的内心，的延长线交于点F，连接．若，，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．25 【答案】B 【分析】连接交于点G，作于点H，证明，得到，，证明是等腰直角三角形，得到，则，利用等积法得到，即可得到答案． 【详解】解：连接交于点G，作于点H， ∵点E为的内心， ∴，， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴ ∵ ∴， ∵，， ∴， ∴ ◆题型16 正多边形与圆嗯 46．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，边长为的正六边形内接于，则它的边心距为_____． 【答案】 【分析】连接，，过点作于点，先求出中心角，再得到是等边三角形，然后根据等边三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，，过点作于点， ∵边长为的正六边形内接于， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴它的边心距为． 47．（24-25九年级上·云南德宏·期末）公园里有一个亭子，它的地基是边长为米的正六边形，则这个正六边形的边心距是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】连接、，作于点，容易判断是等边三角形，利用等边三角形的性质与勾股定理计算出即可． 【详解】解：如图，连接、，作于点， ∵六边形是边长为米的正六边形， ∴，米， 又∵， ∴是等边三角形， ∴米， ∵， ∴米， 在中，（米）， ∴这个正六边形的边心距是米． 48．（2026·浙江·中考真题）我国很多古建筑，如图1所示的六角亭运用了简单的几何图形，如圆和正多边形．如图2，已知圆的内接正六边形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接圆心和正六边形的顶点，将阴影部分转化为扇形面积减去等边三角形面积进行计算． 【详解】解：设圆的圆心为，正六边形的一条边为，连接， 多边形为正六边形， 圆心角 正六边形的边长为， 圆的半径 为等边三角形 过点作于点，则 在中， 阴影部分的面积． ◆题型17 弧长、扇形面积计算 49．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）一个扇形的半径为，扇形的圆心角为，则该扇形的弧长为_______． 【答案】 【分析】已知扇形的半径与圆心角，直接代入弧长公式计算即可得到对应弧长． 【详解】解：∵，， ∴． 50．（26-27九年级上·河北石家庄·期中）如图，半圆的直径，以长为的弦为直径，向点方向作半圆，其中点在（弧）上且不与点重合，但点可与点重合． (1)发现：（弧）的长与（弧）的长之和为定值，求； (2)思考：①点与的最大距离为________，此时点，间的距离为________； ②点与的最小距离为________，此时半圆的弧与所围成的封闭图形面积为________． 【答案】(1) (2)①，；②， 【分析】（1）半圆的长度是固定不变的，由于也是定值，所以的长度也是固定值，所以与的长之和为定值； （2）过点作于点，当与重合时，与的距离最大，此时，，；当与重合时，与的距离最小，此时围成的封闭图形面积可以用扇形的面积减去的面积即可求解． 【详解】（1）解：如图1，连接、， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 又半圆的长为：， ， ； （2）解：①如图，过点作于点，连接， ，， ，， 即当与重合时，与的距离最大，最大值为， 连接， 此时，， ， ， 是等边三角形， ； ②如图，当与重合时，此时，与的距离最小，设此时半圆与交于点，连接，过点作于点， ， ， 即与的距离最小值为， ， ， 是等边三角形， ， 扇形的面积为：， 的面积为：， 半圆的弧与所围成的封闭图形面积为：． 51．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，育才中学手工制作社团准备用一块直径为的圆形卡纸制作书签配件，需要在圆片上裁剪出一个圆周角为的扇形作为装饰部件． (1)求裁剪得到的扇形装饰部件的半径； (2)求裁剪后剩下废料的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）连接，说明是直角三角形，根据勾股定理即可求解； （2）用圆形面积减去裁剪的扇形面积即可． 【详解】（1）解：连接，根据题意，， ， 是直径， ，， ， ， ， ， 即裁剪得到的扇形装饰部件的半径为； （2）解： 即裁剪后剩下废料的面积为． ◆题型18 求某点的弧形运动路径长度 52．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）如图，在所给的格点图（每个小正方形的边长均为1，点，，均在格点上）中完成下列各题： (1)以点为旋转中心，将按逆时针方向旋转作出旋转后的； (2)求旋转过程中，点的路径长． 【答案】(1)如图，即为所求： (2) 【分析】（1）根据旋转的性质作图即可； （2）点的路径是以为半径，为圆心角的弧长，由勾股定理求出，再根据弧长公式求路径长． 【详解】（1）略 （2）解：点的路径是以为半径，为圆心角的弧长， 由勾股定理得，， 旋转过程中，点的路径长为． 53．（26-27九年级上·全国·期末）如图，在矩形中，，，将矩形按如图所示的方式在直线上进行两次旋转，则点在两次旋转过程中经过的路径长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】第一次旋转是以为圆心，的长为半径旋转；第二次旋转是以为圆心，的长为半径旋转，根据弧长计算公式得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵在矩形中，，，， ∴，； ∴根据题意可知，点在两次旋转过程中经过的路径长为． 54．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)将向下平移5个单位后得到，请画出； (2)将绕原点O逆时针旋转后得到，请画出；的坐标为__________； (3)在（2）的条件下，点B绕原点O逆时针旋转的路径长为__________． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）分别作出，，的对应点，，即可． （2）分别作出，，的对应点，，即可． （3）根据弧长公式计算即可． 【详解】（1）略． （2）解：图略． 由图可得． （3）解：， ∴点B绕原点O逆时针旋转的路径长为． ◆题型19 求不规则扇形面积 55．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，是半圆的直径，，、为半圆的三等分点，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】根据题意，可求出的度数，且与等底等高，所以阴影部分的面积为扇形的面积，由此即可求解． 【详解】解：连接，， ∵点为半圆的三等分点， ∴，， ∴， ∵半圆的直径， ∴， ∵， ∴与等底等高， ∴阴影部分的面积为扇形的面积， ∴扇形的面积， ∴阴影部分的面积为． 56．（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，已知是的直径，弦与半径平行． (1)求证：点C是的中点； (2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵ ∴， ∴点C是的中点． (2) 【分析】（1）证明，由得到，即可证明结论； （2）证明是等边三角形，则，根据扇形面积减去三角形面积即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：连结， ∵， ∴是等边三角形． ∴， ∴ 57．（26-27九年级上·北京西城·期中）日晷是我国古代使用的一种计时仪器，如图①，某日晷模型底座的正面与晷面在同一平面上．如图②，表示日晷的晷面圆周，日晷底座的底边在水平线上，为等边三角形，，与分别交于，两点，点，是上两点，，过点作于，交于，交于，已知，，． (1)求的半径； (2)直接写出图②中阴影部分的面积为_________．（结果保留） 【答案】(1)的半径为 (2) 【分析】（1）利用垂径定理得到，连接，利用勾股定理列方程，可求得半径； （2）利用等边三角形的性质结合勾股定理可得到的值，然后根据阴影部分的面积等于列式计算即可． 【详解】（1）解：，， ， ， 如图，连接， 设的半径为， ， 根据勾股定理可得， 可得方程， 解得，即的半径为； （2）解：由（1）得，， ， ， 为等边三角形，， ，，， ， 在中，根据勾股定理可得， ，解得（负值已舍去）， ， 阴影部分的面积为． ◆题型20 圆锥的侧面积 58．（26-27九年级上·广西南宁·阶段检测）如图，冰激凌蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是_________． 【答案】 【详解】解：由图可知，蛋筒圆锥部分包装纸是一个扇形，这个扇形的半径为，扇形的弧长为， 则蛋筒圆锥部分包装纸的面积为． 59．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，现有一圆心角为，半径为80厘米的扇形铁片，用它恰好围成一个圆锥形的量筒．如果用其他铁片再做一个圆形盖子把量筒底面密封（接缝都忽略不计），求： (1)该圆形盖子的半径为多少厘米？ (2)制作这个密封量筒，共用铁片多少平方厘米（结果保留）？ 【答案】(1)该圆形盖子的半径为20厘米． (2)制作这个密封量筒，共用铁片平方厘米． 【分析】（1）先求出圆锥的底面周长，即为扇形的弧长，设圆锥底面圆的半径是r厘米，根据圆的周长公式即可求解； （2）用侧面积加上底面积即可． 【详解】（1）解：圆锥的底面周长是（厘米）． 设圆锥底面圆的半径是r厘米，则， 解得． 答：该圆形盖子的半径为20厘米． （2）解：（平方厘米） 答：制作这个密封量筒，共用铁片平方厘米． 60．（26-27九年级上·北京·课后作业）光明灯具厂生产一批台灯罩，如图的阴影部分为灯罩的侧面展开图．已知半径、分别为、，． (1)若要在灯罩的上下边缘镶上花边（花边的宽度忽略不计），需要多长的花边？ (2)求灯罩的侧面积（接缝不计）．（以上计算结果保留） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分别求劣的长与劣的长，进而即可求解； （2）分别求出小扇形和小扇形的面积，进而即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，劣的长， 劣的长， ∴花边的长度为； （2）解：由题意得，， ， ∴ ． ◆题型1 与圆有关的多结论问题 61．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在⊙O的内接四边形中，，过点D作的垂线交延长线于E，则下列结论：①平分；②若点C是弧中点，则平行于的某条角平分线；③若，则；④若，则，其中正确的有（　　） A．①③ B．①②④ C．②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】①正确，证明即可；②正确．作平分，证明即可；③错误，应该等于；④正确．利用勾股定理求解即可． 【详解】解：， ，， ， 四边形是的内接四边形， ， ， ， ，即平分，故①正确； 点是中点， ， ， 又， ， 如图所示，作平分， ， ；故②正确； 如图所示，过点作于点， 平分， ， ，， ∴， ， 又，， ∴， ， ， ， 在中，，故③不正确， 若，， ， ， 在中，，故④正确． 62．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，点A是上一定点，点B是上一动点、连接，分别将线段绕点A顺时针旋转到，连接，下列结论正确的有（     ） ①点在⊙O上；②；③；④当时，与相切． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】根据等边三角形的判定得出是等边三角形，是等边三角形，利用点与圆的位置关系即可判断①；再由全等三角形的判定得出，即可判断②；利用全等三角形的性质得出，再由等边对等角确定，结合图形及题意进行等量代换即可判断③；作，可推出，进而得出，结合可推出点C和点A重合即可判断④． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， 同理得，是等边三角形， ①∵是等边三角形， ∴， ∴点在上，故①正确， ∵， ， ， ，故②正确， ③由②知，， ， ， ， ， 是等边三角形， ∴， ， ， ∴，故③正确， ④如图， 过点O作于点C， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴点和点重合， ∴， ∴是的切线，故④正确； 综上所述：①②③④均正确． 63．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，是的直径，点C，点D是半圆上两点，连接，相交于点P，连接，．已知于点E，．下列结论：①；②若点P为的中点，则；③若，则；④若，则平分．其中正确的是（     ） A．①② B．①②③④ C．②③④ D．①②③ 【答案】B 【分析】由垂径定理，圆周角定理得出，，进而根据等角的余角相等判断①；由点P为的中点，得出，进而证明，得出，进而根据三角形中位线定理得出，等量代换得出即可判断②；连接，根据垂径定理得出，由得出，则，得出为等边三角形，由，即可得出，继而判断③；由勾股定理得出，则有，由③可得为等边三角形，利用等边三角形的性质即可判断④，进而可得答案． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ②∵点P为的中点， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ③连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴，故③正确，符合题意； ④∵，， ∴， ∵， ∴， 则由③知为等边三角形，又， ∴平分， 即平分，故④正确，符合题意； 故正确的是①②③④． ◆题型2 圆与三角形综合 64．（26-27九年级上·吉林·阶段检测）如图，是的内接三角形，，直径与边交于点，点是的中点，，现给出下面四个结论： ①；②；③的半径为；④．上述结论中，正确结论的序号有________． 【答案】①②③ 【分析】①根据“弧、弦、圆心角的关系”，即可判断；②连接，根据“弧、弦、圆心角的关系”，易得，再根据圆周角定理，即可判断；③根据圆周角定理，可得，计算可得，从而，再利用勾股定理，即可求解；④先求，再计算即可． 【详解】解：①， ，故①正确； ②如图，连接， 点是的中点， ， ， ， ， ，故②正确； ③， ， ，， ， ， ，即是等腰三角形， ， 在中，， ， ，即的半径为，故③正确； ④的半径为，， ， ， 则，故④不正确； 综上所述，正确结论的序号有①②③． 65．（26-27九年级上·重庆江北·阶段检测）如图，是的外接圆，，于点，的延长线交于点，交于点．设，则_________（用含的式子表示）；若，，则_________． 【答案】 【分析】连接，由圆周角定理得到，由直径得到，求出，再根据等腰三角形和垂直得到；根据角度关系得到，则，设，则，在中，根据列方程解得，则直径，连接并延长交于，则，根据垂径定理的推论得到，，再根据勾股定理计算，最后根据计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵ ， ∴ ， 由题意可知，是的直径， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴ ， ∵ ， ∴ ，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵中，，， ∴， 解得， ∴，直径， 连接并延长交于，则， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 66．（2026·山东淄博·中考真题）如图，是的直径，，是上的点，，平分，交于点，垂足为，则______． 【答案】 【分析】利用圆周角定理求出的度数，结合等腰三角形性质求出，再根据角平分线定义求出，最后利用垂径定理推导，通过角的和差关系求解． 【详解】解： 与分别是中所对的圆周角和圆心角， ， ， ， ， 平分， ， ，是的直径， ， ， ． ◆题型3 圆与四边形综合 67．（26-27九年级下·全国·单元测试）如图，在矩形中，，，为矩形的中心，以点为圆心，1为半径作，为上的一个动点，连接，，，则面积的最大值为________． 【答案】 【分析】当点到直线的距离最大时，的面积最大，过点作于点，的延长线交于点，此时点到直线的距离最大，为的长．根据勾股定理先求得的长，进而求得的长，根据等面积法求得的长，从而求得的长，最后根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】由题意知，当点到直线的距离最大时，的面积最大， 如图，连接． 点为矩形的中心， ，，三点共线， 过点作于点，的延长线交于点，此时点到直线的距离最大，为的长． 四边形是矩形， ，，， ， ． ， ， ， 的最大面积． 68．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，四边形是平行四边形，点，在上，，与交于点，，是的直径，且于点，，连接交于点，连接，则的长度为________，的长度为________． 【答案】 【详解】解：∵是的直径，且， ∴， ∵， ∴， ∴，， 连接， 设的半径为， ∴， ∴， 在中，，即， 解得， ∴； 连接，作于点， 设，， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形，且， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 在中，，， ，即， ∴， 解得（舍去）或， ∴， 解得， ∴，， 在中，． 69．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，为的直径，点是上一点，点是上的点，四边形为平行四边形，交于点，连接，．若，，，则的长度为________；的长度为________． 【答案】 【分析】作于点，作交的延长线于点，连接，设圆的半径为，由垂径定理可得，容易证明四边形是矩形，则．易得四边形是矩形，则，，使用勾股定理分别表示出与，列方程求出，最后计算出的长即可． 【详解】解：如图，作于点，作交的延长线于点，连接，设圆的半径为， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 整理，得， 解得或（负根，舍去）， ∴，，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在中，． ◆题型4 圆与函数综合 70．（25-26九年级上·山东日照·期中）如图，函数与轴交于两点，是以点为圆心、为半径的圆上的一点，是线段的中点，连接．则线段的最大值是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、三角形中位线定理、圆的性质及两点间距离公式，熟练掌握三角形中位线定理和圆上一点到圆外一点距离的最值求法是解题的关键． 先确定抛物线与轴交点、的坐标，利用三角形中位线定理建立与的联系，再根据圆的性质，当、、共线且在、之间时，取得最大值，进而求出的最大值． 【详解】解：连接、、， 令，则，即， 解得． ∴，． ∴，即是的中点， ∵是的中点， ∴是的中位线． ∴． ∵，， ∴． ∵是以为圆心、为半径的圆上的点，根据两点间线段的距离最短可得， ∴当、、共线且在、之间时，最大，此时． ∵， ∴的最大值为． 故答案为：． 71．（26-27九年级下·安徽芜湖·自主招生）如图，点P为函数的图象上一点，且到两坐标轴距离相等，半径为2，，，点Q是上的动点，点C是的中点，则的最小值是__________． 【答案】 【分析】取点，连接交于点，连接，取的中点，连接．因为、，所以，所以当最小时，、最小，运动到时，最小，由此即可解决问题． 【详解】解：取点，连接交于点，连接，取的中点，连接，此时最小． 设点的坐标为，则， ，，点是的中点， ，， ． 当运动到时，最小， 此时的最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、两点间的距离公式、完全平方公式、三角形中位线定理、最小值问题等知识，解题的关键是根据完全平方公式找出最小时点的坐标并确定当最小时点的位置． 72．（26-27九年级下·广东梅州·开学考试）在平面直角坐标系中，已知点和直线m的函数表达式为，动点在A点的右边，过点B作x轴的垂线交直线m于点C，过点B作直线m的平行线交y轴于点D，当时，则x的值为___．      【答案】或 【分析】先根据题意画出图形，分两种情况：①当点B在原点右边时，证明A、C、B、D四点共圆，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等从而得到是直角三角形，分别在和中用x表示出，构造方程求解x值；②如图2，当B点在A点右边，O点左边时，可得A、C、O、D四点共圆，根据同弧或等弧所对的圆周角相等从而得到，分别在和中用x表示出，构造方程求解x值． 【详解】解：分两种情况： ①如图，当点B在原点右边时，中，        ∴，， ∴，， ∴在中，根据勾股定理得． ∵，， ∴． ∴A、C、B、D四点共圆． 连接，则，又， ∴． 在中，利用勾股定理可得， ∴在中，， ∴， 解得． 如图，当B点在A点右边，O点左边时，此时．      同理可得A、C、O、D四点共圆，， 在中，， 在中， ∴在中，． ∴，解得． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象和性质、勾股定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，已知圆内接四边形求角度，对点的位置分类讨论是解题的关键． ◆题型5 圆的切线与判定定理综合 73．（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，过A，B，C三点的交于点E． (1)求证：与相切； (2)若，求的半径． 【答案】(1)证明：连接并且延长交于点，连接， 则， ∴点O在的垂直平分线上， ， ∴点A在的垂直平分线上， ∴垂直平分， 即垂直平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ， ， ∵是的半径， 与相切； (2) 【分析】（1）连接并且延长交于点，连接，根据，，得到垂直平分，结合平行四边形性质，可得，利用切线判定定理完成证明． （2）设的半径为，连接，则．根据平行四边形性质，可得，即得，得到．结合，运用勾股定理求出，运用勾股定理即可得到r的方程，即可求出r的值． 【详解】（1）略 （2）解：设的半径为，则 ∵在中，， ， ， ， ， ， ， ， ∵，且， ， 解得， 的半径长为． 74．（26-27九年级上·北京西城·期中）如图，是的直径，是弦，是的中点，与交于点，是延长线上的一点，且． (1)求证：为的切线； (2)连接，取的中点，连接．补全图形，若，，求的长． 【答案】(1)证明：如图，连接，，则． ∵， ∴， ∵， ∴． ∵是的直径，是的中点， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴为的切线． (2)的长为． 【分析】（1）连接，，利用等腰三角形和半径、对顶角分别证明角相等，通过角度转换证明半径和直线垂直，进而判定切线． （2）设半径，利用勾股定理列方程求出半径，由半径得到等腰直角三角形，求出和，进而得到，根据“直径所对的圆周角是直角”可得，进而利用勾股定理求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，，． 设的半径为r，则． 在中，，解得． ∵是的直径， ∴． ∵，是的中点， ∴和是等腰直角三角形， ∴． ∵为的中点， ∴． ∴． 75．（2026·甘肃兰州·中考真题）如图，是的直径，是的切线，为延长线上一点，延长交于点，，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：连接， 是的直径，是的切线， ， ， ，， ， ， ， 四边形中，， ， ， 是的半径， 是的切线； (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质得，根据四边形的内角和是及，，可得，进而即可证明结论； （2）根据证明，得，根据勾股定理求出，进而根据勾股定理建立方程即可求得的半径． 【详解】（1）略 （2）解：， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 中，， 在中，， 即， 解得， 即的半径为． ◆题型6 圆中最值（隐圆）问题 76．（26-27九年级上·北京西城·期中）如图，内接于，，，是的中点，则的长的最大值是（     ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，，取的中点E，连接，，过点E作于点G，由圆周角定理及等边三角形性质求出半径，根据垂径定理推论确定点D在以为直径的圆上，转化为求点B到该圆上点的最大距离． 【详解】解：连接，，，取的中点E，连接，，过点E作于点G，如图： ， ． ， 是等边三角形， ． 是的中点， ，即． 点D在以为直径的上，且半径． 当点D在的延长线上时，取得最大值，最大值为． 在中，， ∴， ∵， ， 又∵， ∴， ． 在中，． 的最大值为． 77．（2022·四川自贡·模拟预测）如图，在中，，，，是以斜边为直径的半圆上一动点，为的中点，连接，则 的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设的中点为O，连接，，先根据直角三角形斜边上的中线性质和勾股定理得到，，进而推导出，根据三线合一得到，则点M在以为直径的圆上运动，设圆心为，连接，当M在线段上即点处时，最小，过作于H，证明是等边三角形得，然后利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得，进而可得答案． 【详解】解：如图，设的中点为O，连接，， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∵是以斜边为直径的半圆上一动点， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 则点M在以为直径的圆上运动，设圆心为，连接，当M在线段上（即点处）时，最小， 过作于H，则， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 在中，，， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴的最小值为． 78．（2022·江苏镇江·一模）如图，以为直径的半圆，是弧的中点，是弧上任意一点，，交于点．若，则长的最小值为（     ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】设以为直径的半圆的圆心为点O，连接，可求出，则，进而可证明；作的外接圆，其圆心为点，在优弧上取一点G，连接，可证明，证明，得到，则，根据，可得当三点共线时，有最小值，最小值为的值，即为． 【详解】解：如图所示，设以为直径的半圆的圆心为点O，连接， ∵是弧的中点，是半圆的直径， ∴， ∴， ∵，即， ∴； 如图所示，作的外接圆，其圆心为点，在优弧上取一点G，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为的值，即为． ◆题型7 圆中最值（动点）问题 79．（2026·山东临沂·二模）如图，矩形中，，，以、为圆心，半径分别为2和1画圆，、分别是、上的一动点，是上的一动点，则的最小值是（     ） A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】B 【分析】以为轴作矩形的对称图形以及对称，连接交于，则就是最小值，根据勾股定理求得的长，即可求得最小值． 【详解】解：如图，以为轴作矩形的对称图形以及对称，连接交于，则就是最小值； 矩形中，，，的半径为2，的半径为1， ，，，， ， ， ． 80．（2026·浙江·模拟预测）如图，在三角形中，，，，平分交于点D．点P是内一动点，且满足，则的最小值为（     ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】首先利用勾股定理求出的长，根据角平分线的性质求出的长；取的中点 ，过点 作 于点 ，设 ，，利用勾股定理推导与的数量关系，从而确定点的轨迹是以为圆心、为半径的圆；最后根据点与圆心的位置关系，求出的最小值. 【详解】解：在 中，，，， . 平分， ∴点到的距离和点到的距离相等，均为的长， ， ， ， 取的中点，连接， ， 过点作于点，设，， 在 和 中， ， ， ， 在 中，， ， ， ，解得. 点在以为圆心，为半径的圆上. ，，且点在上， 点在之间，， ∵点在 内部（）， 当点位于线段的延长线与圆的交点处时， 取得最小值， ∴. 81．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，已知，，点在以为圆心，为半径的圆上，关于的对称点为．连接，将绕点逆时针旋转得到．连接．则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，轴对称，旋转的性质得到点关于点的对称点坐标为，点在以点为圆心，为半径的圆上，点在以点为圆心，为半径的圆上，找到与的关系，由此得到的最小值是的最大值，最后数形结合分析即可求解． 【详解】解：∵点，， ∴点关于点的对称点的横坐标为，纵坐标为，即， ∵点在以为圆心，为半径的圆上，关于的对称点为， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上， 如图，连接， ∵， ∴点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴， 将绕点逆时针旋转度得，则， ∴与轴的负半轴的夹角为， ∴， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上， ∴当点在上顺时针运动时，根据轴对称的性质可得： 点在上逆时针运动，点在上顺时针运用， 连接， ∴， ∵点，的运动方向不同， ∴线段与线段的关系是：相交（如图）与平行（如图）， ∴如图，当时，延长交于点，过点作于点， 当，时，， ∴最大时，的值最小， ∴当时，的值在四边形是平行四边形时最大， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称、中心对称、旋转的性质、勾股定理、圆的性质、平行四边形的性质等，掌握点的运动规律，建立合理的数量关系，数形结合分析问题是关键． ◆题型8 圆的新定义与材料理解型问题 82．（2026·甘肃兰州·模拟预测）我们给出如下定义：两个图形和，在上的任意一点P引出两条垂直的射线与相交于点M、N，如果，我们就称M、N为点P的垂等点，为点P的垂等线段，点P为垂等射点． (1)如图1，在平面直角坐标系中，点为x轴上的垂等射点，过作x轴的平行线l，则直线l上的为点P的垂等点的是 ； (2)如果一次函数图象过，点M为垂等射点的一个垂等点且另一个垂等点N也在此一次函数图象上，在图2中画出示意图并写出一次函数表达式； (3)如图3，以点O为圆心，1为半径作⊙O，垂等射点P在上，垂等点在经过的直线上，如果关于点P的垂等线段始终存在，求垂等线段长的取值范围（画出图形直接写出答案即可）． 【答案】(1)点B，点E (2)如图所示，直线的关系式为； 如图所示，直线的关系式为； (3) 【分析】（1）根据垂等点的定义解答； （2）分两种情况：当垂等点N在直线右侧时，作于点F，再根据“角角边”证明，可得，然后结合点得出点，接下来根据待定系数法求出直线关系式即可；当垂等点N在直线左侧时，仿照上述解答； （3）先确定当点P在第一和第三象限的角平分线上，且时，取得最小值或最大值，延长交于点C，连接，再求出直线的关系式，当最小时，由进而求出点N的纵坐标为，然后代入关系式得出点N横坐标为，即可求出最小值，同理可求出的最大值，则此题可解． 【详解】（1）解：如图，过点B作轴，于点G，过点E作轴，于点H， ∴ ∴， ∴ ∴为点P的垂等点； （2）解：①如图，当垂等点N在直线右侧时，作于点F， 依题意，得． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵点， ∴． ∵点N在第一象限， ∴点， 则过点的直线关系式为，得 解得， ∴直线的关系式为； ②如图所示，当垂等点N在直线左侧时，依题意，得点， 过点M，N的直线关系式为； （3）如图，当点P在第一和第三象限的角平分线上，且时，取得最小值或最大值， 延长交于点C，连接， ∵点， ∴直线的关系式为． 当最小时，由 ∴， ∴点N的纵坐标为， ∴横坐标为， ∴, 同理可求出的最大值， ∴． 83．（2026·吉林长春·一模）【概念认识】 定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫作垂等四边形． (1)如图①，已知在垂等四边形中，对角线与交于点E，若，，，则______； 【数学理解】 (2)如图②，在中，已知是弦，、是半径，过点O作，交于点D、C，连结．求证：四边形是垂等四边形； 【问题解决】 (3)如图③，已知A是上一定点，B为上一动点，以为一边作出的内接垂等四边形（点A、B不重合且A、B、O三点不共线），对角线与交于点E，的半径为，当点E到的距离为时，直接写出弦的长度． 【答案】(1)5 (2)见详解 (3)或 【分析】（1）根据垂等四边形的定义列式求解即可； （2）连接并相交于点，证明，得到，证明，即可得到结果； （3）连接，根据已知条件求出，再根据相似三角形的性质列式计算即可； 【详解】（1）解：由垂等四边形的定义得， 又 ∵， ， ． （2）证明：如图 1，连接并相交于点， ， ， ，即， ， ， ， ， ∴四边形是垂等四边形． （3）解：连接，由（2）可得等腰， ∵的半径为， ∴， ， 作， ∵点E到的距离为， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 设， 则，即， 解得：（如图2），（如图3）， 或， 作，连接， ∴， ， ， 或， （如图2）或（如图3）． 84．（2026·北京平谷·二模）定义：如图1，的半径为，若平面内以为线段一端点的长度为的线段上存在的切点，则称点为的切线段端点，简称“切端点”． (1)以下各点中，是半径为2的的“切端点”的有：__________； ，，， (2)在（1）的条件下，若直线上存在的“切端点”，则的取值范围为__________； (3)在平面直角坐标系中，的半径为，直线分别与轴，轴交于点，，若线段上的所有点都是的“切端点”，则的半径的取值范围为__________． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据“切端点”定义可得，满足点是半径为的的“切端点”则，据此逐个判断即可； （2）设与轴交点为，与轴交点为，边上的高为，则，，，，，再根据“切端点”定义可得，，得到解得； （3）先求出，，则，，，设边上的高为，，设点是线段上任意一点，则，根据“切端点”定义可得，，即可得到，解得． 【详解】（1）解：根据“切端点”定义可得，，，与相切， ∴，， ∴， ∴， 根据垂线段最短可得最小值为， 即满足点是半径为的的“切端点”则， ∵半径为2的， ∴，， 对于，，故不是半径为2的的“切端点”； 对于，，故是半径为2的的“切端点”； 对于，，满足，故是半径为2的的“切端点”； 对于，，故不是半径为2的的“切端点”； 综上所述，是半径为2的的“切端点”的有，； （2）解：设与轴交点为，与轴交点为，边上的高为， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， 即到直线的距离为， 在（1）的条件下，若直线上存在半径为2的的“切端点”，即直线上存在点，满足， ∴时，会存在在点，满足， 解得； （3）解：令得到，令得到，解得， ∴直线与轴交点，与轴交点， ∴，， ∴， 设边上的高为， ∴， ∴， 即到直线的距离为， 设点是线段上任意一点，则最小值为，最大值为， ∴， ∵线段上的所有点都是的“切端点”， ∴线段上的任意一点满足， ∴， 解得． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $