专题08 圆中各类最值类型（含隐圆、阿氏圆等）11大题型（专项训练）数学新教材北京版九年级上册

专题08 圆中各类最值类型（含隐圆、阿氏圆等）11大题型 常考题型·精准突破 考点一 圆中各类最值类型（含隐圆、阿氏圆等） 题型一 圆中勾股定理型最值 题型二 90度隐圆最值 题型三 45度、120度与135度隐圆最值 题型四 圆中线段最值问题 题型五 圆中线段和最值问题 题型六 圆中周长、面积最值问题 题型七 利用三角形的中位线求圆中最值 题型八 圆中旋转最值问题 题型九 圆中翻折最值问题 题型十 运动路径长最值问题 题型十一 阿氏圆最值问题（含相似证明） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 圆中各类最值类型（含隐圆、阿氏圆等） ◆题型一 圆中勾股定理型最值 1．如图，抛物线与x轴交于B、C两点，与y轴交于A点，的圆心为C，半径为1，点P是直线上的动点，过点P作的切线，切点是Q，则切线长的最小值是________． 2．如图，在平面直角坐标系中，，与射线以及轴的正半轴始终相切，过点作的切线，切点为，则切线长的最小值为______． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴、轴分别相交于点A、B，的圆心的坐标为，半径为1，点是直线上的一个动点，直线与相切于点，则线段长度的最小值为__________． ◆题型二 90度隐圆最值 4．如图，以为直径的半圆，是弧的中点，是弧上任意一点，，交于点．若，则长的最小值为（     ） A．4 B． C． D． 5．如图，中，，点为的边上或内部一动点，满足，连接，若的最小值是，则的最大值是（     ） A． B． C． D． 6．如图，在正方形中，，点E，F分别在上，相交于点G，连结．当点E从点C运动到点D的过程中，的最小值为（     ） A．2 B． C．4 D． ◆题型三 45度、120度与135度隐圆最值 7．如图，分别经过原点和点的动直线，，其夹角，点是中点，连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在平行四边形中，，，，点是边的中点，动点在边上运动，以为折痕将折叠到，连接，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 9．如图，中，，，是内一点，且，则长的最小值为______． ◆题型四 圆中线段最值问题 10．如图，在三角形中，，，，平分交于点D．点P是内一动点，且满足，则的最小值为（     ） A． B．1 C．2 D． 11．平面直角坐标系中，以点为圆心，5为半径作，直线与交于B，C两点，则的最小值为______． 12．如图，已知的半径为2，圆外一点O满足，点P为上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且，，l不经过点C，则的最小值为______． ◆题型五 圆中线段和最值问题 13．如图，已知的直径为2，所对的圆心角度数为，B是的中点，点P在直径上移动，则的最小值为___________． 14．是的直径，，是的半径，，点D在上，，点P是半径上的一个动点，则的最小值为_______． 15．如图，点A是半圆上的一个三等分点，点是的中点，点P是直径上一个动点，的半径为1，则的最小值为________． ◆题型六 圆中周长、面积最值问题 16．如图，在中，，，，点D是半径为4的上一动点，点M是的中点，则的取值范围是________． 17．如图，在矩形中，，，为矩形的中心，以点为圆心，1为半径作，为上的一个动点，连接，，，则面积的最大值为________． 18．如图，在中，，，以点为圆心，为半径作，过上的动点作的切线，，过劣弧上一点作的另一条切线分别交，于点，，则周长的最小值为_________________ ． ◆题型七 利用三角形的中位线求圆中最值 19．如图，在平面直角坐标系中，的半径为1，点是上的动点，点是线段的中点，则线段的最大值是（    ） A． B． C． D． 20．如图， 在平面直角坐标系中，，，半径为，为上任意一点，是 的中点，则 的最小值是（   ） 如 A． B． C． D． 21．如图，在直角坐标系中，已知点、点，的半径为，点是上的动点，点是线段的中点，那么长的取值范围是________． ◆题型八 圆中旋转最值问题 22．如图，在中，，，，，线段绕点旋转，点为的中点，则的最大值是_____． 23．三角形的旋转是一种几何变换，它不仅能够帮助我们理解和分析图形的性质，还能够在解决实际问题时提供有效的思路和方法数学社团的同学以“直角三角形的旋转”为主题开展了一系列的探究活动． (1)操作判断：如图1，小组同学将绕点B顺时针旋转得到，连接，则的形状为____________． (2)深入探究：小组同学继续旋转，若，． ①如图2，当点D恰好落在的延长线上时，过点B作的垂线交于点F．求的面积． ②如图3，连接，取的中点M，连接，求线段长度的最大值和最小值． 24．已知正方形的边长为4，动点满足，将点绕点按逆时针方向旋转得到点，连接，则的最大值是______． ◆题型九 圆中翻折最值问题 25．如图，在等边中，，点为中点，为上靠近点的一个三等分点，连接，为直线上一动点，连接、，将沿直线翻折至，连接，为中点，连接，则的最大值为_____． 26．在矩形中，是的中点，点在上运动．将沿翻折得到，连接，则的最小值为___________． 27．如图，菱形中，，点为上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，点为上一点，且，连接，则线段的最小值为______． ◆题型十 运动路径长最值问题 28．如图，菱形的边长为6，．M为边上一动点，作点C关于的对称点，射线与交于点P，N为的中点，当点M从点C运动到点N过程中，点P运动路径长为______． 29．如图，是的直径，，点C为上一点，连接，，点D是线段延长线上一点，且，连接并延长交于点P．当点C绕运动一周时，点P运动的路径长为_________． 30．如图，在矩形中，，，为矩形的边上的一动点，点P从点B运动到点C，的外接圆的圆心运动的路径长为（ ） A． B． C． D． ◆题型十一 阿氏圆最值问题（含相似证明） 31．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于两点，为抛物线顶点． (1)求的值； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，交于点，是否存在？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值． 32．已知与有公共顶点C，为等边三角形，在中，． (1)如图1，当点E与点B重合时，连接AD，已知四边形ABDC的面积为，求的值； (2)如图2，， A、E、D三点共线，连接、，取中点M，连接，求证：； (3)如图3，，，将以C为旋转中心旋转，取中点F，当的值最小时，求的值． 33．如图1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP，BP，求： ①， ②， ③， ④的最小值． 综合攻坚·知能拔高 34．如图，是的直径，为上一点，且，为圆上一动点，点为的中点，连接．若的半径为，则的长最小时的面积是（     ） A． B． C． D． 35．如图，在边长为的正方形中，以点为圆心，为半径的圆弧与边，分别交于点，．点在边上，点在上，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 36．如图，在边长为8的正方形中，，分别是，的中点．若是正方形内一点，且满足，则的最小值是（     ） A． B．4 C． D． 37．如图，是的弦，，点是上的一个动点，且，若点、分别是、的中点，则长的最大值是（   ） A．10 B．5 C． D． 38．如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为的圆与轴交于两点，与轴交于两点，点为上一动点，于点，则点在上运动过程中，线段的长的最小值为___________． 39．如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是___________． 40．如图，为的直径，且．点在半圆上，丄，垂足为点为半圆上任意一点，过点作于，设的内心为，连接、．当点在半圆上从点运动到点时，则内心所经过的路径长为______． 41．如图，在菱形中，，则以为圆心，为半径的与直线的位置关系是______；点为菱形所在平面内一动点，且，连接，，取的中点，连接．则线段最小值为______． 42．如图，是的直径，弦半径于点E，P为直径上一动点，若C为劣弧的中点，，则的最小值是__________． 43．如图，是半圆的直径，点在半圆上，，，是弧上的一个动点，连接，过点作于点，连接．在点移动的过程中，的最小值等于________． 44．阅读理解： (1)【学习心得】 小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． ①类型一，“定点+定长”：如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数． 解：若以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，（请你在图1上画圆）则点C、D必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到______ ②类型二，“定角+定弦”：如图，中，，，，P是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 解：， ， ， ， ______，（定角） 点P在以（定弦）为直径的上 如图2，连接交于点P，此时最小， 点O是的中点， 在中，，，， ， 最小值为2， (2)【问题解决】 如图3，在矩形中，已知，，点P是边上一动点点P不与B，C重合，连接，作点B关于直线的对称点M，则线段的最小值为______． (3)【问题拓展】 如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边，上移动，且满足连接和，交于点 ①请你写出与的数量关系和位置关系，并说明理由； ②点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，点P的运动路径长为______． 45．解决问题： 如图，半径为4的外有一点P，且，点A在上，则PA的最大值和最小值分别是______和______． 如图，扇形AOB的半径为4，，P为弧AB上一点，分别在OA边找点E，在OB边上找一点F，使得周长的最小，请在图中确定点E、F的位置并直接写出周长的最小值； 拓展应用 如图，正方形ABCD的边长为；E是CD上一点不与D、C重合，于F，P在BE上，且，M、N分别是AB、AC上动点，求周长的最小值． 46．阅读理解： (1)【学习心得】学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． ①类型一，“定点＋定长”： 如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数． 解：由题意，若以点A（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆（可在图1中画出辅助圆），则点C、D必在上，是所对的圆心角，而是所对的圆周角，从而可容易得到______． ②类型二，“定角＋定弦”： 如图2，中，，，，P是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 请将以下解题过程补充完整． 解：∵，∴， 请补全缺失过程 ∴点P在以（定弦）为直径的上， ∴连接交于点P，此时最小． (2)【方法应用】如图3，在矩形中，已知，，点P是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点B关于直线的对称点M， 直接写出线段的最小值为______，并利用无刻度的直尺及圆规确定使线段的长度最小时的点M的准确位置； 47．阅读理解： （1）【学习心得】学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． ①类型一，“定点定长”： 如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数． 解：由题意，若以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆（可在图1中画出辅助圆），则点、必在上，是所对的圆心角，而是所对的圆周角，从而可容易得到________． ②类型二，“定角定弦”： 如图2，中，，，，是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 请将以下解题过程补充完整． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴_______，（定角） ∴点在以（定弦）为直径的上， 如图2，连接交于点，此时最小． 请完成后面的解题过程． （2）【方法应用】如图3，在矩形中，已知，，点是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为________（直接写结果）． （3）【能力拓展】如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边，上移动，且满足．连接和，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点的运动路径长． 48．如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 圆中各类最值类型（含隐圆、阿氏圆等）11大题型 常考题型·精准突破 考点一 圆中各类最值类型（含隐圆、阿氏圆等） 题型一 圆中勾股定理型最值 题型二 90度隐圆最值 题型三 45度、120度与135度隐圆最值 题型四 圆中线段最值问题 题型五 圆中线段和最值问题 题型六 圆中周长、面积最值问题 题型七 利用三角形的中位线求圆中最值 题型八 圆中旋转最值问题 题型九 圆中翻折最值问题 题型十 运动路径长最值问题 题型十一 阿氏圆最值问题（含相似证明） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 圆中各类最值类型（含隐圆、阿氏圆等） ◆题型一 圆中勾股定理型最值 1．如图，抛物线与x轴交于B、C两点，与y轴交于A点，的圆心为C，半径为1，点P是直线上的动点，过点P作的切线，切点是Q，则切线长的最小值是________． 【答案】 【分析】由题意，推出的值最小时，的值最小，根据垂线段最短可知，当于时，的值最小，据此求解即可； 【详解】解：对于抛物线， 令，得到， ， 令， 解得：或2， ， ∵是切线， ， ， ， 故的值最小时，的值最小， 根据垂线段最短可知，当于时，的值最小， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，二次函数的性质，勾股定理，垂线段最短等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 2．如图，在平面直角坐标系中，，与射线以及轴的正半轴始终相切，过点作的切线，切点为，则切线长的最小值为______． 【答案】 【分析】由勾股定理可直接得，由于与射线以及轴的正半轴始终相切，可推得圆心在的角平分线上，通过作点关于直线的对称点，进而找到的中点坐标，则必经过点，可求出直线的表达式为，设点坐标为，故．由勾股定理可得：，将的最值问题转化为函数最值问题．通过求此二次函数的最值即可得的最小值． 【详解】解：如图所示，设切轴于点，连接， ∵，∴， ∵与射线以及轴的正半轴始终相切， ∴圆心在的角平分线上． 作点关于直线的对称点， 则， ∴， 则的中点坐标为即， 则必经过点， 设的表达式为，代入得， ， ， ∴直线的表达式为． 设点坐标为， 故． 的半径， 连接，则， 则由勾股定理可得：， 即， 故有最小值27， 此时最小为． 故答案为：． 【点睛】本题考查圆的切线，二次函数的性质，勾股定理，轴对称的性质，一次函数解析式的确定，中点公式，掌握相关知识是解决问题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴、轴分别相交于点A、B，的圆心的坐标为，半径为1，点是直线上的一个动点，直线与相切于点，则线段长度的最小值为__________． 【答案】 【分析】过点M作于点H，轴于点N，交于点C，连结，根据圆的切线的性质及勾股定理，可求得，即当取最小值时，线段的长度取最小值，进一步可知当点P在点H处时，取最小值，此时，线段的长度取最小值；再利用函数的性质及相似三角形的判定与性质，求出的长即可． 【详解】解：过点M作于点H，轴于点N，交于点C，连结， 直线PQ与相切于点， ， ， 当取最小值时，线段的长度取最小值， ， 当点P在点H处时，取最小值，此时，线段的长度取最小值； 令，则， ， ， 令，则， ， 令，则， 解得， ， ，， ， ， ，轴， ， ， ， ， ， ， ， ， 即当点P在点H处时，线段长度取最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何的综合性问题，圆的切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，找出线段长度取最小值时点P的位置是解题的关键． ◆题型二 90度隐圆最值 4．如图，以为直径的半圆，是弧的中点，是弧上任意一点，，交于点．若，则长的最小值为（     ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】设以为直径的半圆的圆心为点O，连接，可求出，则，进而可证明；作的外接圆，其圆心为点，在优弧上取一点G，连接，可证明，证明，得到，则，根据，可得当三点共线时，有最小值，最小值为的值，即为． 【详解】解：如图所示，设以为直径的半圆的圆心为点O，连接， ∵是弧的中点，是半圆的直径， ∴， ∴， ∵，即， ∴； 如图所示，作的外接圆，其圆心为点，在优弧上取一点G，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为的值，即为． 5．如图，中，，点为的边上或内部一动点，满足，连接，若的最小值是，则的最大值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，可知点在以为直径的上，根据的最小值是，求出，因为当点在上时，最大，利用勾股定理可得方程设，则，解方程求出的值即为的最大值． 【详解】解：如下图所示， ， 点在以为直径的上， 当点在上时，最小， 、是的半径， ， 设，则， ，点是的中点， ， 在中，， ， 解得：， ， 当点在上时，最大， 设，则， ， 即， 解得：． 6．如图，在正方形中，，点E，F分别在上，相交于点G，连结．当点E从点C运动到点D的过程中，的最小值为（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】先利用正方形的边相等、内角为直角的性质，结合证明，进而推出，从而确定点G的运动轨迹是以为直径的圆弧， 将求线段最小值问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题，当O，G，D共线时，有最小值，用点到圆心的距离减去半径即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点G的运动轨迹是以为直径的圆弧，当O，G，D共线时，有最小值， 如图，以为直径作，连接， 在正方形中，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为． 【点睛】“定弦定角”模型是发现隐圆、进而求解最值的关键核心． ◆题型三 45度、120度与135度隐圆最值 7．如图，分别经过原点和点的动直线，，其夹角，点是中点，连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，，则点在的外接圆上运动，在轴上截取，则，当取最小值时，取最小值，连接交于点，此时的长度最小． 【详解】解：如图所示， ∵，， ∴， ∴点在的外接圆上运动， 在轴上截取，连接， ∵点是中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当取最小值时，取最小值， 连接交于点， 则，当点与点重合时，取得最小值， 此时长度的最小值为， ∵在中，，，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 过点作于点， ∴，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 此时， ∴的最小值是． 8．如图，在平行四边形中，，，，点是边的中点，动点在边上运动，以为折痕将折叠到，连接，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质得到，，进而得到，根据折叠的性质得到，即无论F如何运动，M点都在以E为圆心、半径为1的圆上，以E为圆心、1为半径作圆，连接，过E作交延长线于N，可知的最小值是，根据三角形内角和定理及等角对等边得到，根据勾股定理求出，则，根据勾股定理求出，即可求出的最小值． 【详解】解：∵平行四边形， ∴，， ∵点是边的中点， ∴， ∵以为折痕将折叠到， ∴， 即无论F如何运动，M点都在以E为圆心、半径为1的圆上． 如图，以E为圆心、1为半径作圆，连接，过E作交延长线于N， 可知的最小值是． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴（负值舍去）， ∴， ∴， ∴的最小值． 9．如图，中，，，是内一点，且，则长的最小值为______． 【答案】 【分析】先求出，以为斜边，在下方作等腰，过作交直线于，连接，，得到点在以为圆心，为半径的圆上，，当点在线段上时，长取得最小值，此时，根据勾股定理求出，即可得到的最小值． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， 以为斜边，在下方作等腰，过作交直线于，连接，，则，， ∴点在以为圆心，为半径的圆上， ∴，当点在线段上时，长取得最小值，此时； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ◆题型四 圆中线段最值问题 10．如图，在三角形中，，，，平分交于点D．点P是内一动点，且满足，则的最小值为（     ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】首先利用勾股定理求出的长，根据角平分线的性质求出的长；取的中点 ，过点 作 于点 ，设 ，，利用勾股定理推导与的数量关系，从而确定点的轨迹是以为圆心、为半径的圆；最后根据点与圆心的位置关系，求出的最小值. 【详解】解：在 中，，，， . 平分， ∴点到的距离和点到的距离相等，均为的长， ， ， ， 取的中点，连接， ， 过点作于点，设，， 在 和 中， ， ， ， 在 中，， ， ， ，解得. 点在以为圆心，为半径的圆上. ，，且点在上， 点在之间，， ∵点在 内部（）， 当点位于线段的延长线与圆的交点处时， 取得最小值， ∴. 11．平面直角坐标系中，以点为圆心，5为半径作，直线与交于B，C两点，则的最小值为______． 【答案】6 【分析】将直线方程变形为，可知无论取何值，直线恒过定点；由点到圆心的距离（半径），知点在内；过圆内一定点的弦中，与该定点和圆心连线垂直的弦最短，此时结合垂径定理和勾股定理即可求出最短弦长． 【详解】解：， 当时，， 无论取何值，直线恒过定点． 圆心的坐标为， ． 的半径为5，且， 点在内． 连接，过点作于点，由垂径定理，得． 点在直线上，而是点到直线的垂线段， （垂线段最短），当时，最大，此时半弦长最小，弦最短． 在直角三角形中，， 当时，， ， ， 即的最小值为6． 【点睛】①含参直线过定点：把方程整理成的形式，令，含的项消失，即得定点；②过圆内一定点的所有弦中，与定点和圆心连线垂直的弦最短，此时弦心距最大（等于定点到圆心的距离）；③最短弦长用勾股定理求：，再由垂径定理得弦长． 12．如图，已知的半径为2，圆外一点O满足，点P为上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且，，l不经过点C，则的最小值为______． 【答案】3 【分析】先连接，，，根据，即可得到当点O，P，C三点共线时，最短，依据，，可得点P在以O为圆心，为直径的圆上，进而得到与相切时，最短，根据已知长度求得此时的长，即可由解答． 【详解】解：如图，连接，，， ∵，， ∴， ∵， ∴当点O，P，C三点共线时，最短， 如图， ∵，， ∴点P在以O为圆心，为直径的圆上， ∴与相切时，最短， ∵，， ∴， ∴． ◆题型五 圆中线段和最值问题 13．如图，已知的直径为2，所对的圆心角度数为，B是的中点，点P在直径上移动，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】作点关于的对称点，连接交于点，延长交于点，连接、、，当点在一条直线上时，有最小值，最小值为，由题意可得所对的圆心角度数为，根据圆周角定理得到，，根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，即为的最小值． 【详解】解：如图，作点B关于的对称点，连接，连接并延长交于点E，连接，． ∵点B与点关于对称， ，． ， ∴当点，P，A在同一直线上时，有最小值，最小值为的长． 是的中点，所对的圆心角度数为， 所对的圆心角度数为， 所对的圆心角度数为， 所对的圆心角度数为， ． 是的直径， ，， ， ， ， 的最小值为． 14．是的直径，，是的半径，，点D在上，，点P是半径上的一个动点，则的最小值为_______． 【答案】/ 【分析】先找出P点的位置，求出，求出，根据勾股定理求出和，求出，再根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解：， ∴A和B关于对称， ∴， 连接，交于点P，连接，，， 则此时的值最小，此时连接， ∵是的直径， ， ∵是的直径，， ， ， ， ， ， ，即的最小值为． 15．如图，点A是半圆上的一个三等分点，点是的中点，点P是直径上一个动点，的半径为1，则的最小值为________． 【答案】 【分析】作点关于的对称点，连接，交于点，连接，，，则，，求出，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，交于点，连接，，， 点与关于对称，点是半圆上的一个三等分点， ，． 点是的中点， ， ． 又， ． 当点，，在一条直线上时，此时最小，为的值，即最小值是． ◆题型六 圆中周长、面积最值问题 16．如图，在中，，，，点D是半径为4的上一动点，点M是的中点，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】取的中点，连接，取的中点，连接，，利用三角形中位线定理求出的长，确定点的轨迹，再求出点到的距离，从而得到点到距离的取值范围，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】解：取的中点，连接，取的中点，连接，， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵点在半径为4的上， ∴， ∴，即点在以为圆心，2为半径的圆上运动， 设点到的距离为， ∵点在以为圆心，2为半径的圆上，且圆心到的距离为4 ， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 17．如图，在矩形中，，，为矩形的中心，以点为圆心，1为半径作，为上的一个动点，连接，，，则面积的最大值为________． 【答案】 【分析】当点到直线的距离最大时，的面积最大，过点作于点，的延长线交于点，此时点到直线的距离最大，为的长．根据勾股定理先求得的长，进而求得的长，根据等面积法求得的长，从而求得的长，最后根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】由题意知，当点到直线的距离最大时，的面积最大， 如图，连接． 点为矩形的中心， ，，三点共线， 过点作于点，的延长线交于点，此时点到直线的距离最大，为的长． 四边形是矩形， ，，， ， ． ， ， ， 的最大面积． 18．如图，在中，，，以点为圆心，为半径作，过上的动点作的切线，，过劣弧上一点作的另一条切线分别交，于点，，则周长的最小值为_________________ ． 【答案】 【分析】先根据切线长定理得到的周长为，然后连接，，则，即可得到当时，最小，最小，的周长最小，然后根据勾股定理解题即可． 【详解】解：∵，，是的切线， ∴，，， ∴的周长为， 连接，，如图，则， ∵的半径不变，， ∴长随着的变化而变化，即当最小时，最小，的周长最小； ∴当时，最小， 在中，，， 由勾股定理得：，点是的中点， 则， 在中，由勾股定理得：， ∴的周长最小为． ◆题型七 利用三角形的中位线求圆中最值 19．如图，在平面直角坐标系中，的半径为1，点是上的动点，点是线段的中点，则线段的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，取的中点，连接，由勾股定理求出，由直角三角形斜边中线的性质得到，由三角形中位线定理得到，由三角形三边关系定理得到，即可得到线段的最大值． 【详解】解：连接，取的中点，连接，如图所示： ∵， ， ， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， 的半径为1， ， ∴， 由三角形三边关系可知，， ∴线段的最大值是， 故选：C． 【点睛】本题考查动点最值问题，涉及点与圆的位置关系、坐标与图形、三角形中位线的判定与性质、三角形三边关系、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、勾股定理，掌握圆中动点最值问题的基本解法，构造出，进而由三角形三边关系得到是解决问题的关键． 20．如图， 在平面直角坐标系中，，，半径为，为上任意一点，是 的中点，则 的最小值是（   ） 如 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，取的中点，连接，，根据三角形的中位线定理可得，推出点的运动路径是以为圆心半径为的圆． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接，，， ∵是 的中点，半径为， ∴是的中位线， ∴， ∴点的运动路径是以为圆心半径为的圆， ∵，， ∴， ∴， ∵为上任意一点， ∴，当点、、共线时取等号， 此时取得最小值，最小值为， ∵， ∴的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，三角形的中位线定理，两点间距离，三角形三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找点的运动路径． 21．如图，在直角坐标系中，已知点、点，的半径为，点是上的动点，点是线段的中点，那么长的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据D、P分别是、的中点，，D是定点，，即点P的运动轨迹是以点D为圆心，为半径的圆，求出的长，由此解答即可． 【详解】解：连接，，取的中点D， ∵点、点， ∴D的坐标为，即， ∴ 连接， 又∵D、P分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵D是定点，，即点P的运动轨迹是以点D为圆心，为半径的圆， ∴当三点在同一条直线上时，的最小值为，的最大值为， ∴长的取值范围是． ◆题型八 圆中旋转最值问题 22．如图，在中，，，，，线段绕点旋转，点为的中点，则的最大值是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了轨迹圆问题、中位线性质、三角形三边关系，熟练掌握这些性质是解此题的关键．由且绕点旋转，知点的轨迹为以为圆心、为半径的圆；取的中点，连接，利用三角形中位线定理得，再由勾股定理得，根据三角形三边关系，即可求出的最大值． 【详解】解：取的中点，连接， ，线段绕点旋转， 点的运动轨迹是以点为圆心、为半径的圆， 点是的中点， ， 点是的中点，点是的中点， 是的中位线， ， 即点的运动轨迹是以为圆心、为半径的圆， 在中，，，， 由勾股定理得：， 根据三角形三边关系：， 当且仅当三点共线，且点在的延长线上时，取得最大值， ． 23．三角形的旋转是一种几何变换，它不仅能够帮助我们理解和分析图形的性质，还能够在解决实际问题时提供有效的思路和方法数学社团的同学以“直角三角形的旋转”为主题开展了一系列的探究活动． (1)操作判断：如图1，小组同学将绕点B顺时针旋转得到，连接，则的形状为____________． (2)深入探究：小组同学继续旋转，若，． ①如图2，当点D恰好落在的延长线上时，过点B作的垂线交于点F．求的面积． ②如图3，连接，取的中点M，连接，求线段长度的最大值和最小值． 【答案】(1)等腰直角三角形 (2)①；②的最大值为，最小值为． 【分析】（1）根据旋转的性质知为等腰直角三角形； （2）①过点D作的垂线交的延长线于点I，推出四边形为矩形，证得，在中，利用勾股定理列式计算即可求解； ②取的中点为T，连接，，推出在以T为圆心，1为半径的圆上，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：由旋转的性质知：，， ∴为等腰直角三角形； （2）解：①过点D作的垂线交的延长线于点I， 由旋转的性质知：，，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵，， ∵， ∴， 设， ∵，， ∴， ∵， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴的面积； ②取的中点为T，连接，， ∵，，， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴在以T为圆心，1为半径的圆上， 当M点在的延长线上时，的最大值为； 当M点在线段上时，的最小值为． 24．已知正方形的边长为4，动点满足，将点绕点按逆时针方向旋转得到点，连接，则的最大值是______． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，点与圆上一点的最值问题，找到取得最值的条件是解题的关键． 由题意可知，点P在以点C为圆心，半径为3的上运动，以C为圆心，以为半径画圆，连接，以A为圆心，以为半径画圆，延长交于E．根据正方形的性质得到，根据旋转的性质得到，进而证明，得到，根据P是上任意一点可知点Q在上移动，根据求出的最大值即可． 【详解】解：∵动点满足， ∴点P在以点C为圆心，半径为3的上运动， 如下图所示，以C为圆心，以为半径画圆，连接，以A为圆心，以为半径画圆，延长交于E． ∵正方形的边长为4，的半径为3， ． ∵点P绕点D按逆时针方向旋转，得到点Q， ， ， ∴，即， ∴， ， ． ∵P是上任意一点， ∴点Q在上移动， ∴， ∴当点Q与点E重合时，取得最大值为， ． 故答案为：． ◆题型九 圆中翻折最值问题 25．如图，在等边中，，点为中点，为上靠近点的一个三等分点，连接，为直线上一动点，连接、，将沿直线翻折至，连接，为中点，连接，则的最大值为_____． 【答案】 【分析】过点作于点，根据题意求得，根据折叠的性质可得，取的中点，连接，则为的中位线，可得在以为圆心，为半径的圆上运动，进而求得，即可求得的最大值． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵等边中，，点为中点，为上靠近点的一个三等分点， ∴，， ∴，， ∴ ∴ ∵折叠 ∴ 取的中点，连接 ∴为的中位线 ∴ ∴在以为圆心，为半径的圆上运动 ∵是的中点， ∴ ∴ 26．在矩形中，是的中点，点在上运动．将沿翻折得到，连接，则的最小值为___________． 【答案】/ 【分析】如图，连接，由折叠的性质易证，推出点在以点为圆心，为直径的圆上运动，当三点共线时，有最小值，利用勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：如图，连接， 由折叠的性质得， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴点在以点为圆心，为直径的圆上运动， 当三点共线时，有最小值， ∵，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴的最小值为． 27．如图，菱形中，，点为上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，点为上一点，且，连接，则线段的最小值为______． 【答案】/ 【分析】如图，延长到点H，使得，连接，，，，则是的中位线，则有，证明是等边三角形，可求，则，由翻折的性质可知，，则点F在以C为圆心，8为半径的圆上运动，当点C，点F，点H三点共线时，最小，即最小，由勾股定理可求解，则最小的，最小的，计算求解即可． 【详解】解：如图，延长到点H，使得，连接，，，，如图， ∴是的中位线， ∴， 由菱形的性质可知，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由翻折的性质可知，， ∴点F在以C为圆心，8为半径的圆上运动， ∴当点C，点F，点H三点共线时，最小，即最小， 由勾股定理得，， ∴最小的， ∴最小的． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，图形折叠的性质，中位线的性质，圆的定义，勾股定理解三角形，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质，折叠的性质，求解的最小值是解决本题的关键． ◆题型十 运动路径长最值问题 28．如图，菱形的边长为6，．M为边上一动点，作点C关于的对称点，射线与交于点P，N为的中点，当点M从点C运动到点N过程中，点P运动路径长为______． 【答案】 【分析】 首先根据菱形性质得出和是等边三角形，从而，说明 A，B，C 在以 D 为圆心的圆上． 然后利用轴对称和等腰三角形性质计算角度，得出 ，确定 P 点轨迹． 最后确定 M 在起点 C 和终点 N 时 P 的位置，计算圆心角和弧长． 【详解】解：连接，，如图所示， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴和均为等边三角形， ∴， ∴点A，B，C在以D为圆心，6为半径的圆上， 由对称性可知，，， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， 设，则， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴点P在以D为圆心，6为半径的圆上． 当点M在点C时，点P与点C重合．当点M在点N时，N为中点，为等边三角形， ∴，，此时，， ∵， ∴点在上， ∵， ∴点与点D重合，此时射线即为射线， ∵点P在上， ∴， ∴点P在的延长线上， ∵A，D，P共线，， ∴， ∴点P的运动路径长为． 29．如图，是的直径，，点C为上一点，连接，，点D是线段延长线上一点，且，连接并延长交于点P．当点C绕运动一周时，点P运动的路径长为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 如图，过O点作于E，过A点作交的延长线于E，取的中点Q，连接，先利用圆的性质、平行线的性质证明可得，再证明四边形是平行四边形可得，再根据中位线的性质可得，即，则点P的运动轨迹为以为直径，的中点为圆心的圆上；再求出，最后求出点P在直径为的圆周上面运动一周的周长即可解答． 【详解】解：如图，过O点作于E，过A点作交的延长线于E，取的中点Q，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点P的运动轨迹为以为直径，的中点为圆心的圆上， 又∵， ∴当点C绕运动一周时，点P在直径为的圆周上面运动一周，运动的路径长为． 故答案为：． 30．如图，在矩形中，，，为矩形的边上的一动点，点P从点B运动到点C，的外接圆的圆心运动的路径长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，交于点，当点为的中点，即时，连接，并延长交于点，设此时的外接圆的圆心为点，先求出点从点运动到点，的外接圆的圆心运动的路径是从点运动到点，再从点运动到点，其路径长是，再利用勾股定理求出，的长，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，交于点， ∵四边形是矩形，，， ∴，，，， ∴点在的边的垂直平分线上， 当点与点或重合时，的外接圆的圆心为点， 当点为的中点，即时，连接，并延长交于点，设此时的外接圆的圆心为点，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴此时点在的边的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∵的外接圆的圆心一定在边的垂直平分线上， ∴点一定在上， ∴点从点运动到点，的外接圆的圆心运动的路径是从点运动到点，再从点运动到点，其路径长是， 在中，， ， ∴， 又∵垂直平分， ∴， ∴， ∵，垂直平分， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， 即点从点运动到点，的外接圆的圆心运动的路径长为， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、三角形的外接圆、线段垂直平分线的判定与性质、勾股定理等知识，正确找出外接圆的圆心运动的路径是解题关键． ◆题型十一 阿氏圆最值问题（含相似证明） 31．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于两点，为抛物线顶点． (1)求的值； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，交于点，是否存在？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）通过长度先得到点坐标，再将两点代入函数解析式，解方程即可； （2）先求出直线的函数表达式，设出点坐标为，进而得到两点坐标，再通过列出方程，解方程即可； （3）取取，连接，，先证得，得到，进而可得到，再通过两点坐标求得长度． 【详解】（1）解：， 点坐标为， 将，代入， 得， 解得， （2）解：设直线的表达式为， 由（1）可知抛物线的表达式为， 故点坐标为， 直线的表达式为 设点坐标为， 则， ， ， 若， 则， 解得， ， 故，此时点坐标为； （3）如图，取，连接， ，，， 又， ， ， ， ， ， 故的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数综合问题，能够熟练掌握二次函数的基本性质以及相似三角形的应用是解题关键． 32．已知与有公共顶点C，为等边三角形，在中，． (1)如图1，当点E与点B重合时，连接AD，已知四边形ABDC的面积为，求的值； (2)如图2，， A、E、D三点共线，连接、，取中点M，连接，求证：； (3)如图3，，，将以C为旋转中心旋转，取中点F，当的值最小时，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）延长到T，使得连接，过点D做于N，证明，得出，，证明为等边三角形，设，得出，求出x的值即可得出答案； （2）延长到使得，连接、，证明，得出，证明为的中位线，得出，即可证明结论； （3）连接，过点A作于点G，以点C为圆心，为半径作圆，在上截取，连接，证明，得出，即，得出，连接与交于一点，当点F在此点时，最小，即最小，过点M作于点N，过点A作于点Q，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：延长到T，使得连接，过点D做于N，如图所示： ∵为等边三角形，， ∴，， 四边形中，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∵四边形ABDC的面积为， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， （2）证明：延长到使得，连接、，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵A为中点，M为中点， ∴为的中位线， ∴， ∴； （3）解：如图，连接，过点A作于点G，以点C为圆心，为半径作圆，在上截取，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵点F为等边三角形的边中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的长度为定值， ∴在旋转时，点F在以C为圆心，为半径的圆上运动， ∴如图，连接与交于一点，当点F在此点时，最小，即最小，过点M作于点N，过点A作于点Q， ， ， ， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，特殊角的三角函数，求正切值，勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，找出取最小值时，点F的位置． 33．如图1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP，BP，求： ①， ②， ③， ④的最小值． 【答案】①；②；③；④． 【分析】①在CB上取点D，使，连接CP、DP、AD．根据作图结合题意易证，即可得出，从而推出，说明当A、P、D三点共线时，最小，最小值即为长．最后在中，利用勾股定理求出AD的长即可； ②由，即可求出结果； ③在CA上取点E，使，连接CP、EP、BE．根据作图结合题意易证，即可得出，从而推出，说明当B、P、E三点共线时，最小，最小值即为长．最后在中，利用勾股定理求出BE的长即可； ④由，即可求出结果． 【详解】解：①如图，在CB上取点D，使，连接CP、DP、AD． ∵，，， ∴． 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴当A、P、D三点共线时，最小，最小值即为长． ∵在中，． ∴的最小值为； ②∵， ∴的最小值为； ③如图，在CA上取点E，使，连接CP、EP、BE． ∵，，， ∴． 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴当B、P、E三点共线时，最小，最小值即为长． ∵在中，． ∴的最小值为； ④∵， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．正确的作出辅助线，并且理解三点共线时线段最短是解答本题的关键． 综合攻坚·知能拔高 34．如图，是的直径，为上一点，且，为圆上一动点，点为的中点，连接．若的半径为，则的长最小时的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，连接、、，过点作于，根据垂径定理得出，确定出点的运动轨迹为以为直径的，当，，三点共线时，的值最小，利用勾股定理得出，利用“等积法”求出，利用三角形面积公式即可得出答案． 【详解】解：如图，取的中点，连接、、，过点作于， ∵点为的中点，为圆心， ∴，即， ∴点在以点为圆心，为直径的圆上， ∴当，，三点共线时，的值最小， ∵的半径为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴． 35．如图，在边长为的正方形中，以点为圆心，为半径的圆弧与边，分别交于点，．点在边上，点在上，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作点关于的对称点，连接，可得 ，利用正方形的性质得，，得到点 在同一条直线上，即得到 ，连接，与相交于点，与相交于点，此时的值最小，最小值 ，再利用勾股定理解答即可求解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，则， ∴， ∵四边形是正方形，边长为， ∴，， ∴， ∴点 在同一条直线上， ∴， ∴， 连接，与相交于点，与相交于点，如图， 此时的值最小，最小值 ， ∵， ∴ ， ∴的最小值为． 36．如图，在边长为8的正方形中，，分别是，的中点．若是正方形内一点，且满足，则的最小值是（     ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，可得点在以为圆心，４为半径的圆弧（右侧）上运动，当三点在一条直线上时，最小，最小值为，根据勾股定理求出即可得出结论． 【详解】解：设正方形的坐标为，, ,，建立平面直角坐标系，如图， ∵M、N分别是的中点， ∴,， ∵， 根据圆周角定理，对应的圆心角为，则点在以为圆心，４为半径的圆弧（右侧）上运动， 设圆心为， ∵,，且， ∴，半径, ∴, 当三点在一条直线上时，最小，最小值为, 又, ∴最小值为． 37．如图，是的弦，，点是上的一个动点，且，若点、分别是、的中点，则长的最大值是（   ） A．10 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】连接，首先根据圆周角定理可知，结合，在中由勾股定理解得的长度；根据题意易知为的中位线，易得，当经过原点，即为的直径时，取最大值，此时也取最大值，然后确定答案即可． 【详解】解：如下图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴在中，， ∴，解得（负值舍去）， ∵点、分别是、的中点， ∴为的中位线， ∴， 当经过原点，即为的直径时，如下图， ∴此时取最大值，为，且也取最大值， ∴长的最大值． 38．如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为的圆与轴交于两点，与轴交于两点，点为上一动点，于点，则点在上运动过程中，线段的长的最小值为___________． 【答案】 【分析】连接，取的中点，说明点F在以为直径的上运动，根据点到圆的距离，求出最小值即可． 【详解】解：连接，连接，取的中点， ， ， 点F在以为直径的上运动， 当点在的延长线上时，即图中点处时，最小， 以点为圆心，半径为的圆与轴交于两点， ， ， ， 以点为圆心，半径为的圆与轴交于两点， ， ， ，即， 的半径为， ， ，即最小值为． 39．如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是___________． 【答案】 【分析】延长交于点，连接，根据垂径定理及弧中点性质推得，求得，进而得，点关于的对称点为点，根据两点之间线段最短得出当，，三点共线时，最小，最小值为的长，再利用含角的直角三角形性质求出和的长，即可求解 ． 【详解】解：延长交于点，连接，， ∵， ∴， ∵为弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ． ∵， ∴， ∴点关于的对称点为点，即， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当，，三点共线时，最小，最小值为的长． ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ， 设的半径为，则， ∵， ∴ ， ∴，解得 ， ∴． 在中，，， ∴ ， ∴ ， 即的最小值是． 40．如图，为的直径，且．点在半圆上，丄，垂足为点为半圆上任意一点，过点作于，设的内心为，连接、．当点在半圆上从点运动到点时，则内心所经过的路径长为______． 【答案】 【分析】根据三角形内心的定义求出，利用全等三角形证明，从而确定点的轨迹是以为弦、圆周角为的两段圆弧；根据对称性可知这两段弧长相等，利用弧长公式计算即可． 【详解】解：， ， ， 为的内心， 平分，平分， ，， ， 当点在半圆上从点运动到点时， 连接， 在和中， ， ， ， 点在以为弦，并且所对的圆周角为的劣弧上， 设该劣弧所在圆的圆心为，半径为， 在优弧上取一点，连接， ， ， ， ， 在中，， ， ， 点从点运动到点时，点经过的路径长为， 同理，当点从点运动到点时，点经过的路径长也为， 内心所经过的路径长为． 41．如图，在菱形中，，则以为圆心，为半径的与直线的位置关系是______；点为菱形所在平面内一动点，且，连接，，取的中点，连接．则线段最小值为______． 【答案】 相离 【分析】连接，交于点，交于点，由菱形的性质可得，，然后通过直角三角形的性质得，再与半径比较即可判断与直线的位置关系；连接，，交于点，由菱形的性质可得，，，然后通过是的中位线，得，所以点在以为圆心，为半径的圆上运动，故当点在线段上时，取得最小值． 【详解】解：如图，连接，交于点，交于点， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴以为半径的与直线的位置关系是相离； 如图，连接，，交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵点为中点，点为中点， ∴是的中位线， ∴， ∴点在以为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点在线段上时，取得最小值，如图， 此时最小值为． 42．如图，是的直径，弦半径于点E，P为直径上一动点，若C为劣弧的中点，，则的最小值是__________． 【答案】18 【分析】由垂径定理和弧的中点性质推出，利用轴对称的性质将的最小值转化为两点间的距离，计算即可得出结果． 【详解】解：∵是的直径，弦半径于点E，P为直径上一动点， ∴，， ∵C为劣弧的中点， ∴， ∴， 如图，连接， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 过点作于，延长交于点，连接， ∴，， ∴点与点关于对称， ∴， ∴， ∴点、、三点共线， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴、、三点共线时，有最小值，的最小值为点与点重合时，即最小值为， 即为的中点，时，的最小值为． 43．如图，是半圆的直径，点在半圆上，，，是弧上的一个动点，连接，过点作于点，连接．在点移动的过程中，的最小值等于________． 【答案】 【分析】先利用直径构造直角三角形求出，再由确定的轨迹是以为直径的圆，连接点与圆心，当、、三点共线时，用减去圆半径即可得到的最小值． 【详解】解：如图，连接， ∵是半圆的直径， ∴， 在中，， ∵， ∴， 根据的圆周角所对弦是直径，点的轨迹是以为直径的圆， 设中点为点，则点是该圆的圆心，半径， 连接，在中，， 如图，当、、三点共线，且点在线段之间时，取得最小值， 此时． 44．阅读理解： (1)【学习心得】 小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． ①类型一，“定点+定长”：如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数． 解：若以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，（请你在图1上画圆）则点C、D必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到______ ②类型二，“定角+定弦”：如图，中，，，，P是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 解：， ， ， ， ______，（定角） 点P在以（定弦）为直径的上 如图2，连接交于点P，此时最小， 点O是的中点， 在中，，，， ， 最小值为2， (2)【问题解决】 如图3，在矩形中，已知，，点P是边上一动点点P不与B，C重合，连接，作点B关于直线的对称点M，则线段的最小值为______． (3)【问题拓展】 如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边，上移动，且满足连接和，交于点 ①请你写出与的数量关系和位置关系，并说明理由； ②点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，点P的运动路径长为______． 【答案】(1)①；②； (2)4； (3)①；② 【分析】（1）①以点定点为圆心，定长为半径作辅助圆，得出是的圆心角，而是圆周角，即可求出答案； ②先判断出，进而判断出，进而判断出点P在上，即可求出答案； （2）连接，由点B，点M关于直线对称，得到，则点M在以点A为圆心，为半径的圆上运动，当点M在线段上时，有最小值，再根据勾股定理求解即可； （3）①先证明，可得，，由余角的性质可证； ②由题意可得点P的运动路径是以为直径的圆的，由弧长公式可求解． 【详解】（1）①， 点B，点C，点D在以点A为圆心，为半径的圆上， 如图1， ， 故答案为：； ②， ， ， ， ， 点P在以定弦为直径的上， 如图2，连接OC交于点P，此时最小， 点O是的中点， ， 在中，，，， ， 最小值为2， 故答案为：； （2）如图3，连接， 点B，点M关于直线对称， ， 点M在以点A为圆心，为半径的圆上运动， 当点M在线段上时，有最小值， ，， ， 的最小值为， 故答案为：4； （3）①四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， ， ， ∴，； ②连接，交于点O， 点P在运动中保持， 点P的运动路径是以为直径的圆的， 点P的运动路径长为， 故答案为： 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，弧长公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 45．解决问题： 如图，半径为4的外有一点P，且，点A在上，则PA的最大值和最小值分别是______和______． 如图，扇形AOB的半径为4，，P为弧AB上一点，分别在OA边找点E，在OB边上找一点F，使得周长的最小，请在图中确定点E、F的位置并直接写出周长的最小值； 拓展应用 如图，正方形ABCD的边长为；E是CD上一点不与D、C重合，于F，P在BE上，且，M、N分别是AB、AC上动点，求周长的最小值． 【答案】（1）11，3； （2）如图，点E、F即为所求． AI 周长最小值为； （3）． 【分析】根据圆外一点P到这个圆上所有点的距离中，最远是和最近的点是过圆心和该点的直线与圆的交点，容易求出最大值与最小值分别为11和3； 作点P关于直线OA的对称点，作点P关于直线OB的对称点，连接、，与OA、OB分别交于点E、F，点E、F即为所求，此时周长最小，然后根据等腰直角三角形求解即可； 类似题作对称点，周长最小，然后由三角形相似和勾股定理求解． 【详解】解：如图， 圆外一点P到这个圆上所有点的距离中，最大距离是和最小距离都在过圆心的直线OP上， 此直线与圆有两个交点，圆外一点与这两个交点的距离个分别最大距离和最小距离． 的最大值， PA的最小值， 故答案为11和3； 如图， 以O为圆心，OA为半径，画弧AB和弧BD，作点P关于直线OA的对称点，作点P关于直线OB的对称点，连接、，与OA、OB分别交于点E、F，点E、F即为所求． 连接、、OP、PE、PF， 由对称知识可知，，，， ∴， ， 为等腰直角三角形， ， 周长，此时周长最小． 故答案为； 作点P关于直线AB的对称，连接、，作点P关于直线AC的对称， 连接、，与AB、AC分别交于点M、N．如图③ 由对称知识可知，，，周长， 此时，周长最小． 由对称性可知，，，， ∴ ， 为等腰直角三角形， 周长最小值，当AP最短时，周长最小． 连接DF． ，且， ， ， ，， 又， 在与中，， ∽， ， ∴ ，取AB中点O． 点F在以BC为直径的圆上运动，当D、F、O三点在同一直线上时，DF最短． ， 最小值为 此时，周长最小值． 【点睛】本题考查圆以及正方形的性质，运用圆的对称性和正方形的对称性是解答本题的关键． 46．阅读理解： (1)【学习心得】学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． ①类型一，“定点＋定长”： 如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数． 解：由题意，若以点A（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆（可在图1中画出辅助圆），则点C、D必在上，是所对的圆心角，而是所对的圆周角，从而可容易得到______． ②类型二，“定角＋定弦”： 如图2，中，，，，P是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 请将以下解题过程补充完整． 解：∵，∴， 请补全缺失过程 ∴点P在以（定弦）为直径的上， ∴连接交于点P，此时最小． (2)【方法应用】如图3，在矩形中，已知，，点P是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点B关于直线的对称点M， 直接写出线段的最小值为______，并利用无刻度的直尺及圆规确定使线段的长度最小时的点M的准确位置； 【答案】(1)①28；②见解析； (2)； 【分析】（1）①根据圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半即可得；②先求出，从而可得点在以（定弦）为直径的上，然后连接交于点，此时最小，根据圆的性质可得，利用勾股定理求出的长，根据线段长的最小值等于即可得； （2）连接，先利用矩形的性质、勾股定理可得，再根据轴对称的性质可得，从而可得点在以点为圆心，为半径的圆上运动，则当点在线段上时，的值最小，最小值为；作法：用直尺连接点A、点C，得到线段．以点A为圆心，的长度为半径，用圆规画圆，该圆经过点B．线段与相交于一点，此交点就是使长度最小的点M； 【详解】（1）解：（1）①∵，， ∴如图1，以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，则点、必在上， ∵是所对的圆心角，而是所对的圆周角，且， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴，（定角） ∴点在以（定弦）为直径的上， 如图2，连接交于点，此时最小． ∵的直径， ∴， 在中，， ∴线段长的最小值为． （2）解：如图3，连接， ∵在矩形中，，， ∴， ∵点与点关于直线的对称， ∴， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点在线段上时，的值最小，最小值为． 作图如下 47．阅读理解： （1）【学习心得】学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． ①类型一，“定点定长”： 如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数． 解：由题意，若以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆（可在图1中画出辅助圆），则点、必在上，是所对的圆心角，而是所对的圆周角，从而可容易得到________． ②类型二，“定角定弦”： 如图2，中，，，，是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 请将以下解题过程补充完整． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴_______，（定角） ∴点在以（定弦）为直径的上， 如图2，连接交于点，此时最小． 请完成后面的解题过程． （2）【方法应用】如图3，在矩形中，已知，，点是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为________（直接写结果）． （3）【能力拓展】如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边，上移动，且满足．连接和，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点的运动路径长． 【答案】（1）①28； ②， ∵的直径， ∴， 在中，， ∴线段长的最小值为． （2）4； （3） 【分析】（1）①根据圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半即可得； ②先求出，从而可得点在以（定弦）为直径的上，然后连接交于点，此时最小，根据圆的性质可得，利用勾股定理求出的长，根据线段长的最小值等于即可得； （2）连接，先利用矩形的性质、勾股定理可得，再根据轴对称的性质可得，从而可得点在以点为圆心，为半径的圆上运动，则当点在线段上时，的值最小，最小值为，由此即可得； （3）先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，则点的运动路径是在以为直径的圆的上，再利用等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得，，最后利用弧长公式计算即可得． 【详解】解：（1）①∵，， ∴如图1，以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，则点、必在上， ∵是所对的圆心角，而是所对的圆周角，且， ∴， 故答案为：28． ②略 （2）如图3，连接， ∵在矩形中，，， ∴， ∵点与点关于直线的对称， ∴， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点在线段上时，的值最小，最小值为， 故答案为：4． （3）如图4，连接，交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在点的运动过程中，始终有， 又∵点从点开始运动到点时，点也随之运动， ∴点的运动路径是在以为直径的圆的上， 如图4，取的中点，连接， ∴，， ∴点的运动路径长为． 【点睛】本题考查了圆周角定理、弧长公式、正方形的性质、轴对称的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，较难的是题（3），正确找出点的运动路径是解题关键． 48．如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______． 【答案】 【分析】如图，连接，在上取一点，使得，进而证明,则在点P运动的任意时刻，均有PM=，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，在△PDM中，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值，勾股定理即可求得． 【详解】如图，连接，在上取一点，使得， ， 在△PDM中，PD-PM＜DM， 当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值， 四边形是正方形 在中， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，构造是解题的关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $