专题04 直线与圆14大题型（专项训练）数学新教材北京版九年级上册

专题04 直线与圆14大题型 常考题型·精准突破 考点一 直线与圆 题型1 判断直线和圆的位置关系 题型2 已知直线和圆的位置关系求半径的取值 题型3 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 题型4 有关切线的概念辨析 题型5 证明某直线是圆的切线 题型6 切线的性质定理 题型7 切线的性质和判定的综合应用、 题型8 过圆外一点做圆的切线 题型9 应用切线长定理求解 题型10 应用切线长定理求证 题型11 三角形内心有关应用 题型12 三角形内切圆与外接圆综合 题型13 圆与三角形综合 题型14 圆与四边形综合 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 直线与圆 ◆题型1 判断直线和圆的位置关系 1．（26-27九年级上·全国·期末）平面直角坐标系中，点M的坐标为，以2为半径画，则以下结论正确的是（     ） A．与x轴相交，与y轴相切 B．与x轴相切，与y轴相离 C．与x轴相离，与y轴相离 D．与x轴相离，与y轴相切 【答案】D 【分析】根据点M坐标判断点到坐标轴的距离，由圆与直线的位置关系即可解答． 【详解】解：点M的坐标为， 点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为2， 的半径为2， 圆心M到x轴的距离大于半径，到y轴的距离等于半径， 与x轴相离，与y轴相切． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）在中，．以点C为圆心，r为半径作圆，当时，直线与的位置关系是_______． 【答案】相离 【分析】先求出斜边的长度，再利用三角形面积公式求出圆心到直线的距离，比较距离与半径的大小，即可判断直线与圆的位置关系． 【详解】解：过点作于点． ∵，，， ∴由勾股定理得 . ∵， ∴， ∴， 即圆心到直线的距离． ∵， ∴直线与相离． 3．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）在中，，，． (1)若以点C为圆心，长为半径画，则直线与的位置关系___________； (2)若直线与半径为r的相切，求r的值． (3)若线段与半径为r的有唯一公共点，则r的取值范围为______________． 【答案】(1)相离 (2) (3)或 【分析】先通过面积法求出点C到直线AB的距离，再结合直线与圆的位置关系判定前两问；第三问分相切、线段与圆仅有一个交点两类讨论． 【详解】（1）解：在中，，，， 由勾股定理得：， 过点作于点， 由三角形面积公式，， ∴，即圆心到直线的距离. 当时， ∵， ∴直线与相离； （2）解：∵直线与相切， ∴； （3）解：分两种情况讨论： ①当与直线相切时，切点在线段上，线段与有唯一公共点，此时； ②当与直线相交时，若线段与仅有一个公共点，则需直线与圆的两个交点中仅一个在线段上， ∵，， 当时，点在上，另一交点在线段上，有2个公共点，不符合； 当时，点在内，点在上或圆外，仅一个交点在线段上，符合； 当时，点、均在内，无公共点，不符合， 综上所述，的取值范围为或． ◆题型2 已知直线和圆的位置关系求半径的取值 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在矩形中，，连接，以点B为圆心，r为半径作． (1)当与相切时，求r的值； (2)若与边有唯一公共点，求r的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）因为直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，所以先求点B到的距离，该距离即为r的值，计算时可利用直角三角形面积的等积法． （2）圆与线段有唯一公共点的两种情况：圆与线段相切，或圆与线段相交且仅一个交点在边上，得，根据，．，即可确定r的范围． 【详解】（1）解：∵在矩形中，， ∴由题意可知． ∵与相切， ∴点B到的距离即为的半径r， ， 解得． （2）解：∵在矩形中，，． 由（1）知，，∴， 与边有唯一公共点， ∴， ∵， ∴r的取值范围是． 5．（26-27九年级上·全国·课后作业）在同一平面内，已知点O到直线l的距离为5，以点O为圆心，r为半径画圆． (1)当_____时，上有且只有一个点到直线l的距离等于3； (2)当______时，上有且只有三个点到直线l的距离等于3； (3)随着r的变化，上到直线l的距离等于3的点的个数如何变化？并求出相对应的r的值或取值范围． 【答案】(1)2 (2)8 (3)当时，上没有点到直线l的距离等于3．当时，上有且只有1个点到直线l的距离等于3．当时，上有且只有2个点到直线l的距离等于3．当时，上有且只有3个点到直线l的距离等于3．当时，上有且只有4个点到直线l的距离等于3 【分析】根据圆心到直线的距离即可求解． 【详解】（1）解：点O到直线l的距离为5， 则上有且只有一个点到直线l的距离等于3时，； （2）解：点O到直线l的距离为5， 则上有且只有三个点到直线l的距离等于3时，； （3）解：当时，上没有点到直线l的距离等于3； 当时，上有且只有1个点到直线l的距离等于3； 当时，上有且只有2个点到直线l的距离等于3； 当时，上有且只有3个点到直线l的距离等于3； 当时，上有且只有4个点到直线l的距离等于3． 6．（2026·山东聊城·一模）如图，已知，，，，M、N是边上的点，，如果以为直径的与边有公共点，那么的值不可以是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】如图，取的中点O，连接，过点O作于点H，设，则，利用勾股定理求出，，然后求出，利用勾股定理求出，然后解直角三角形求出，进而求解即可． 【详解】解：如图，取的中点O，连接，过点O作于点H， ∵，，， ∴设，则 ∴，即 ∴（负值舍去） ∴， ∵点O是的中点 ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴，即 ∴ ∵以为直径的与边有公共点， ∴ ∴ ∵ ∴的值不可以是． ◆题型3 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 7．（25-26九年级上·全国·课后作业）以点为圆心，为半径画圆，与坐标轴恰好有三个公共点，则的值为__________． 【答案】或 【分析】作轴，连结，根据勾股定理计算出，然后根据直线与圆的位置关系即可得到满足条件的的取值为或． 【详解】解：作轴，连结，如图， ∵点的坐标为， ∴，， ∴． ∵以点为圆心，为半径的圆与坐标轴恰好有三个公共点， ∴过点或者与轴相切． 如图所示，当过点时，与轴、轴各有两个公共点，且其中一个公共点都是点，符合题意，此时半径； 如图所示，当与轴相切时，与轴有一个公共点，与轴有两个公共点，符合题意，此时半径； ∴或． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设的半径为，圆心到直线的距离为：①直线和相交⇔；②直线和相切⇔；③直线和相离⇔．也考查了坐标与图形性质． 8．（25-26九年级下·全国·单元复习）在平面直角坐标系中，以为圆心，为半径作圆，为上一点，若点的坐标为，则线段的最小值为（　　） A．3 B．2 C．4 D．2 【答案】D 【分析】根据N的坐标可确定其为直线上一点，进而通过直线和圆的位置关系结合图象得出的最小值． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴点为直线上任意一点， 如下图，    直线为函数的图象，则为直线上一点，为上一点， 由图象可知：过点作垂线，当、分别是垂线与、的交点时，的长度最小， 此时：＝， 由题意可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， 此时， 故选：D． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，熟练掌握与圆相关的最值问题解决方法是解题关键． 9．（2026·福建龙岩·二模）直线与轴、轴分别交于A和B点，圆心为（0，2）且与轴相切的圆上有一动点P，则点P到直线AB的距离的最小值为______． 【答案】． 【分析】过点作交于点，与圆交于点，根据直线与轴、轴分别交于和点，可得点坐标是（0，-2），点坐标是（-4，0），则有，，，再根据圆心为（0，2）的圆与轴相切，可得,，根据,可求得，利用，可求得结果． 【详解】解：如图示，过点作交于点，与圆 交于点，则点为所求， 直线与轴、轴分别交于 和点， ∴当时，， ∴点坐标是（0，-2）， ∴当时，， ∴点坐标是（-4，0）， ∴，， ∴， 又∵圆心为（0，2）的圆与轴相切， ∴,， ∴， ∴， ∴， 故答案是：． 【点睛】本题综合考查了一次函数图象性质，勾股定理，三角形的面积，求出圆心到直线的距离是解题的关键． ◆题型4 有关切线的概念辨析 10．（26-27九年级上·全国·课后作业）下列命题中，正确的有：_______．（请填写序号） ①与圆没有公共点的线段所在的直线和圆相离；②与圆只有一个公共点的线段和圆相切；③与圆有公共点的直线和圆相交；④直线与圆相切时只有一个公共点． 【答案】④ 【分析】区分线段与直线和圆的位置关系，根据直线与圆位置关系的定义逐一判断即可． 【详解】解：① 若线段与圆没有公共点，线段所在的直线仍可能与圆有公共点，只是线段未延伸到圆的区域，因此①错误； ② 若线段仅一个端点在圆上，其余部分都在圆内，此时线段与圆只有一个公共点，但不符合相切的定义，因此②错误； ③ 与圆有公共点的直线和圆可能相切，不一定相交，因此③错误； ④ 直线与圆相切的定义就是直线与圆只有一个公共点，因此④正确． 综上所述，命题正确的是④． 11．（25-26九年级上·天津滨海新区·阶段检测）下列说法中错误的是（    ） A．切线与圆有唯一的公共点 B．到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线 C．垂直于切线的直线必经过切点 D．从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等 【答案】C 【分析】根据圆的切线相关的概念辨析即可． 【详解】A、B、D说法均正确； C、垂直于切线的直径必定过切点，但是垂直于切线的直线不一定过切点，故错误； 故选：C． 【点睛】本题考查圆的切线的判定与性质，及切线长定理，熟记基本概念并准确判断是解题关键． 12．（2018·江苏苏州·一模）下列四个命题中正确的是（    ） ①与圆有公共点的直线是该圆的切线； ②垂直于圆的半径的直线是该圆的切线； ③到圆心的距离等于半径的直线是该圆的切线； ④过圆直径的端点，垂直于此直径的直线是该圆的切线． A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】C 【详解】解：①中，与圆有一个公共点的直线是该圆的切线，故错误； ②中，应经过此半径的外端，故错误； ③中，符合切线的判定方法，故正确； ④中，符合切线的判定方法，故正确． ◆题型5 证明某直线是圆的切线 13．（26-27九年级上·辽宁盘锦·阶段检测）如图，四边形内接于，为的直径，点为的中点，对角线，交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：为的直径， ，， ， 点为的中点， ， ， ， ，， ， ， ， ， 是的切线； (2) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得，由等弧所对的圆周角相等得，再由等腰三角形三线合一知，从而说明，结论得证； （2）由勾股定理可求的长，根据面积法即可求． 【详解】（1）略； （2）解：，，， ， ， ， ， 14．（25-26九年级上·北京石景山·期末）如图，在四边形中，，，以为直径的与相切于点．若，．则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查切线的判定及切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，其切线长相等，熟练掌握切线长定理是解题关键． 根据题意得出与、都相切，切点为、，根据切线长定理即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵以为直径的与相切于点， ∴与、都相切，切点为、， ∴，， ∵，， ∴． 故答案为：． 15．（25-26九年级上·北京·阶段检测）如图，在中，，为边上的点，以为直径作，连接并延长交于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1) 证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 是的切线； (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，圆的切线的判定，勾股定理，掌握圆的切线的判定和性质是解题关键 （1）连接，根据等边对等角的性质，得出，，进而得出，即可证明结论； （2）连接，过点作交于点，设的半径为，在中，利用勾股定理，求出，再根据三角形面积公式求出，再利用勾股定理，先求出，再求出，即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，过点作交于点， 设的半径为，则， ， ，， 在中，， , 解得：， ，， ， ， 在中，， ， 在中，． ◆题型6 切线的性质定理 16．（2026·北京·模拟预测）如图，为的直径，点C在上，连接、，过点B作的切线交的延长线于点D．若，则的大小为______． 【答案】/30度 【分析】连接，由题意易得，，则有，然后可得是等边三角形，进而问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵过点B作的切线交的延长线于点D， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴． 17．（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图，为的直径，，分别切于点B，D，交的延长线于点E，的延长线交于点G，于点F．若，． (1)求证：； (2)①求的半径长；②求线段的长． 【答案】(1) 证明：∵，分别切于点，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)①3；② 【分析】（）利用切线长定理得到，利用切线的性质得，则，由于，，再根据等角的余角相等即可求证； （）①连接，由切线长定理得，，，则，，由勾股定理得，设的半径为，则，，然后通过勾股定理即可求解； ②先由勾股定理求解，再由即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：①连接， ∵，分别切于点，， ∴，，， ∴，， 在中，， 设的半径为，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴的半径长为； ②∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 18．（25-26九年级上·山东临沂·期中）如图，与相切于点，的延长线交于点．，且交于点．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查切线的性质定理，等腰三角形的性质和判定；连接，根据切线的性质得到，得到为等边三角形，为等边三角形，即可求出． 【详解】解：如图，连接，     ∵与相切于点，         ∴，         ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴ ， ∴为等边三角形， ∴， 故选：C． ◆题型7 切线的性质和判定的综合应用、 19．（2026·北京朝阳·模拟预测）下面是“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：和上一点． 求作：的切线，使经过点． 作法：如图， ①作射线； ②以点为圆心，小于的长为半径作弧交射线于，两点； ③分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于，两点； ④作直线．则就是所求作的的切线． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：∵，， ∴垂直平分（________）， ∴， ∵点在圆上， ∴就是所求作的的切线（________）． 【答案】(1)切线如图所示： (2)证明：∵，， ∴垂直平分（垂直平分线的逆定理）， ∴， ∵点在圆上， ∴就是所求作的的切线（切线的判定定理）． 【详解】（1）略 （2）略 20．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，点O是上（异于点A、B）的一点，恰好经过点B、C，，垂足为点D，且平分． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，，求的半径长． 【答案】(1)与相切， 理由如下：连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴与相切； (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、切线的判定、相似三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）连接，根据角平分线的定义得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据平行线的性质和切线的判定定理即可得到结论； （2）根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴∽， ∴， ∴， ∴， ∴的半径长为． 21．（24-25九年级上·北京平谷·期末）如图，已知中，，点D是边上一点，连接，以为直径画，与边交于点E，与边交于点F，，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵为的直径， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴为的切线 (2) 【分析】（1）由为的直径得，由等边对等角和等量代换得，结合可证，进而可证为的切线； （2）证明得，求出，由勾股定理得求出，，再利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）略 （2）∵为的切线 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 由勾股定理得， ∵ ∴ 由勾股定理得， 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，等边对等角，解直角三角形，以及勾股定理等知识，灵活运用各知识点是解答本题的关键． ◆题型8 过圆外一点做圆的切线 22．（25-26九年级上·北京西城·期末）已知：点，，在上，且． 求作：直线，使其过点，并与相切． 作法：①连接； ②分别以点，点为圆心，长为半径作弧，两弧交于外一点； ③作直线． 直线就是所求作直线． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接，， ∵， ∴四边形是菱形， ∵点，，在上，且， ∴______°（_________________）（填推理的依据）． ∴四边形是正方形， ∴，即， ∵为半径， ∴直线为的切线（_________________）（填推理的依据）． 【答案】(1) 补全图形，如图所示； (2)90°；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【分析】（1）按照题中作法步骤作图即可； （2）根据圆周角定理和切线的判定定理填空． 【详解】（1）略 （2）90°；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，圆周角定理，切线的判断和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 23．（25-26九年级上·山东烟台·期末）尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹） 已知：和外一点P． 求作：过点P的的切线，． 【答案】 作图如图，直线、即为所作的的切线． 【分析】根据几何语言画出对应的几何图形即可； 【详解】略 【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 24．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）探究：如图①，点P在⊙O上，利用直尺（没有刻度）和圆规过点P作⊙O的切线， 小明所在的数学小组经过合作探究，发现了很多作法，精彩纷呈． 作法一： ①作直径PA的垂直平分线交⊙O于点B； ②分别以点B、P为圆心，OP为半径作弧，交于点C； ③作直线PC． 作法二： ①作直径PA的四等分点B、C； ②以点A为圆心，CA为半径作弧，交射线PA于点D； ③分别以点A、P为圆心，PD、PC为半径作弧，两弧交于点E； ④作直线PE． 以上作法是否正确？选一个你认为正确的作法予以证明． 【答案】两种作法都正确，证明见解答． 【分析】选作法一、连接BC，判断出四边形OBCP为菱形，得出∠BOP=90°，进而判断出∠OPC=90°，即可得出结论； 选作法二、连接DE，设PD=5x，AP=4x，PC=3x，得出，进而得出∠APE=90°，即可得出结论． 【详解】解：选作法一、如图作法一，    连接BC，由题意得，OB=OP=BC=PC， ∴四边形OBCP为菱形， ∴∠BOP=90°， ∴OBCP， ∵∠BOP=90°， ∴∠OPC=90°， ∵OP为⊙O的半径， ∴PC是⊙O的切线； 选作法二、如图作法二，    连接DE，由题意设，AP=4x， ∴PE=3x，AE=PD=4x， ∴， ∴△APE是直角三角形，∠APE=90°， ∵OP为⊙P的半径， ∴PE是⊙O的切线． 【点睛】此题主要考查了尺规作图，正方形的判定和性质，勾股定理的逆定理，正确作出辅助线是解本题的关键． ◆题型9 应用切线长定理求解 25．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，是的内切圆，、、为切点．若，，则的周长为_____． 【答案】12 【分析】根据切线长定理，得到，进而推出的周长等于，即可得出结果． 【详解】解：∵是的内切圆，、、为切点， ∴， ∴的周长， ∵，， ∴的周长． 26．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，的周长为24，则的长为________． 【答案】9 【分析】本题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，由的周长为24，可求的长． 【详解】解：与、、分别相切于点、、， ，，， ∵的周长为24， ， ， ． 故答案为：9 27．（24-25九年级上·北京海淀·开学考试）如图，为的直径，，分别与⊙O相切于点B，C，过点C作的垂线，垂足为E，交于点D．若，则线段的长为______． 【答案】 【分析】如图，作于H，证明，，四边形为矩形，可得，证明，再进一步可得答案． 【详解】解：如图，作于H， ∵直径于H，，为的切线， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，分别切于C，B， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，矩形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，关键是通过辅助线构造直角三角形，求出的长． ◆题型10 应用切线长定理求证 28．（26-27九年级上·江苏常州·阶段检测）如图，中，D为AC边上一点，为内切圆，G、E、F为切点．求证：； 【答案】证明：∵为内切圆，、、为切点， ∴， ∵， ∴即 ∴． 【分析】根据切线长定理可得，，根据，由线段的差相等，即可求解． 【详解】略 29．（2026·河南周口·模拟预测）乐乐发现墙上点A处挂着一个圆形的装饰物，如图所示，悬挂绳分别切于点B、C，连接． (1)求证：垂直平分． (2)当为，四边形为正方形时，求的面积．（结果保留π） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据切线长定理以及线段垂直平分线的判定证明即可； （2）先根据正方形的性质求出半径，再由圆的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵悬挂绳分别切于点B、C， ∴ ∵ ∴垂直平分； （2）解：∵四边形为正方形时 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴的面积 30．（2026·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，以为直径作半圆O，切线的延长线交于点F，E为切点，对角线恰好过E点． (1)求证：F为中点； (2)求的长． 【答案】(1) 证明：∵矩形， ∴， ∵为半圆O的直径， 、CD为的切线， 又AE为切线， ， ， 在矩形ABCD中，， ， ， ， 、FC为切线， ， ， 为CD中点． (2) 【分析】（1）先证、CD为的切线，再根据切线长定理得出，从而得出，然后根据平行线的性质与对顶角性质证得，得出，最后由切线长定理得出，即可得出结论； （2）设，则，，再在中，由勾股定理得出，解得：，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：、AE为切线 ， 设 则， ∴， ∵矩形， ∴， 在中 ， 即， 又， ， ． 【点睛】本题考查切线的判定与性质，切线长定理，勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握切线的判定与性质以及切线长定理是解题的关键． ◆题型11 三角形内心有关应用 31．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，三角形纸片的内切圆与边，，分别相切于点N，P，Q，小刚沿着与相切的剪下一个三角形纸片，与的切点为M，已知三角形纸片的周长为7，，求的周长． 【答案】15 【分析】根据切线长定理结合三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：由切线长定理可得， ， ． 32．（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）在中，，点为三角形内心，则______________． 【答案】 【分析】本题考查三角形的内心，三角形内角和定理，掌握三角形内心即三角形角平分线的交点是解题的关键．根据内心的定义得到，，在和中，分别根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：点为三角形内心， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 33．（24-25九年级上·江西南昌·阶段检测）追本溯源 题（1）来自课本中的练习，请你完成解答，利用类似方法并完成题（2）． （1）如图1，在中，，，点是的内心．求的度数． 变式拓展 （2）如图2，在中，，点是的内心． ①求的度数； ②若，，求的长． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】本题考查了三角形的内心，切线长定理，勾股定理，解题的关键是： （1）根据内心的定义求出，，然后根据三角形内角和定理求解即可； （）①由三角形内角和定理得，再根据内心的定义得，进而即可求解； ②画出的内切圆，过点分别作，，，垂足分别为，连接，由内切圆的性质可知垂足也是三边与的切点，即得，，，，利用勾股定理得，设，则，可得，，进而由得，解得，设，利用三角形面积得，最后利用勾股定理即可求解； 【详解】解∶（1）∵点是的内心． ∴平分，平分， ∴，， ∵，， ∴，， ∴； （2）①∵在中，， ∴． ∵点是的内心， ∴， ∴； ②如图，画出的内切圆，过点分别作，，，垂足分别为，连接， 根据三角形的内切圆的性质可知垂足也是三边与的切点， ∴，，，， ∵，，， ∴， 设，则， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， 设， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． ◆题型12 三角形内切圆与外接圆综合 34．（2025·湖北武汉·模拟预测）我们将一个三角形内切圆的半径与外接圆的半径的比值叫做该三角形的“径比”，已知等腰三角形底为6，腰为5，则该三角形的“径比”为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了新定义，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的内切圆和外接圆等知识点，解题的关键是求出内切圆和外接圆的半径． 本题需计算等腰三角形的内切圆半径与外接圆半径的比值，通过勾股定理求高，进而计算面积，分别求出两个半径，最后求比值． 【详解】解：如图所示，为等腰底边上的高，点为三角形的外心， ∴， 由三线合一和勾股定理得，， ， 由勾股定理得， 解得， 如图，点为的内心， ， ∴， ∴ 故选：B． 35．（25-26九年级下·江苏南京·期中）如图，在中，，的内切圆与，分别相切于点，，连接，的延长线交于点，则________． 【答案】 【分析】本题重点考查三角形的内切圆的性质、切线长定理、三角形内角和定理、三角形外角与内角的关系．首先连接、、，根据三角形内切圆的性质可知：，，平分，平分，在中，，根据，可以求出，从而可以求出，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和可得． 【详解】解：如下图所示，连接、、， 是的内切圆， ，，平分，平分， ， ， ，， 在中，， ， 又， ， 是的外角， ， ． 故答案为：． 36．（25-26九年级上·广东江门·期末）如图，在中，，，则的外接圆的直径是______． 【答案】 【分析】本题考查三角形的外接圆和外心，根据题意作出合适的辅助线，然后根据圆的相关知识即可求得外接圆的直径，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：设圆的圆心为点，则的外接圆如图，连接,，过点作， ∵在中,，， ∴， ∵ ∴，， ∴ ∴，即外接圆的直径是， 故答案为：． ◆题型13 圆与三角形综合 37．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，在中，直径垂直弦于点，为的半径，且点是的中点，连接交于点，交于点． (1)若，，求的长； (2)连接，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂径定理得，；在和中，由得，即；在中，由勾股定理建立方程，解方程即可求解． （2）在中由三角形内角和定理得，由点是的中点，得圆心角，再利用平角的知识可得的度数． 【详解】（1）解：∵为的半径，且点是的中点， ∴，，， ∵直径垂直弦于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 设的半径为，则, 即， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ∴． （2）解：∵直径垂直弦于点， ∴， 在中， 即， ∵点是的中点， ∴， ∴，， ∵， ∴． 38．（2026·湖北·中考真题）如图，在中，，以为直径的交于点，弦，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：如图，连接， 为的直径， ， 又， ； (2) 【分析】（1）利用等腰三角形三线合一证明即可； （2）由（1）得出的长，利用垂径定理求出的长，在中利用勾股定理求出的长，设的半径为，则，，在中利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）略； （2）解：如图，连接， 弦，为直径，， ， ，， ， 在中，， 设的半径为，则，， 在中，， ，化简得，解得， 的半径为． 39．（2026·福建三明·一模）如图，点、在上，过点的切线交所在的直线于点，过点作于，连接． (1)求证：平分； (2)连接并延长，交于点，若．求的值． 【答案】(1) 证明：如图，连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， 平分； (2) 【分析】（1）连接，根据圆的切线的性质推出，利用平行线的性质和等边对等角的性质，得出，即可得证； （2）连接、，由直径可得，由同角的余角相等以及等边对等角，得出，从而证明，得到，再根据同弧所对的圆周角相等求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接、， 是直径， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 在中，， ， ， ． ◆题型14 圆与四边形综合 40．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，正方形内接于．点E为上一点，连接、，若，，则的长为___． 【答案】 【分析】连接、、，由圆内接正方形的性质可得到，，，进而证得是等边三角形，得到，根据勾股定理求出，即可得到． 【详解】解：如图，连接、、， ∵正方形内接于， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，证得是等边三角形是解决问题的关键． 41．（2026·广东深圳·三模）如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】由正方形的性质，知点是点关于的对称点，过点作，使得，连接交于，取，连接、，则点，为所求点，则点，为所求点，进而即可求解． 【详解】解：的面积为， 圆的半径为， ， 由正方形的性质，可知点是点关于的对称点， 过点作，使得， 连接交于，取，连接、，则点，为所求点，如图所示， 理由：，且，则四边形为平行四边形， 则， 则， 故的周长最小值为， 故选B． 【点睛】本题考查了圆的性质、点的对称性质、平行四边形的性质、正方形的性质，确定点的位置是解题的关键． 42．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，四边形内接于半径为6.5的，且，，，则___________ 【答案】 【分析】作直径，连接，利用直径所对圆周角是直角及勾股定理求出的长，结合的长得出，进而得到，再由，得出，最后在中利用勾股定理求解． 【详解】解：作直径，连接， ∵是的直径， ∴， ∵半径为， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，． 综合攻坚·知能拔高 1．（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）下列关于圆的论断中，错误的是（     ） A．过不共线三点可以作一个圆 B．垂直于弦的直径一定平分这条弦 C．圆心到切线的距离等于半径的长度 D．相等的弦所对的圆心角相等 【答案】D 【分析】根据确定圆的条件、垂径定理、切线的性质、弦与圆心角的关系，即可判断． 【详解】解：A、过不在同一条直线的三点一定可以作一个圆，原说法正确，故选项不符合题意； B、垂直于弦的直径一定平分这条弦，原说法正确，故选项不符合题意； C、圆心到切线的距离等于半径的长度，原说法正确，故选项不符合题意； D、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，原说法错误，故选项符合题意． 2．（26-27九年级上·北京·课后作业）如图所示，P是外一点，分别和切于两点，C是上任意一点，过C作的切线分别交于．若的周长为12，则的长为（     ） A．12 B．6 C．8 D．4 【答案】B 【分析】根据切线长定理得到，，再根据的周长为12得到，即可求出的长． 【详解】解；∵分别和切于两点， ∴， ∵过C作的切线分别交于． ∴， ∴， ∴的周长为12， ∴， ∴ 3．（26-27九年级上·北京·课前预习）如图，，P为边上的一点，且，若以P为圆心，r为半径的圆与射线只有一个公共点，则半径r的取值范围是（     ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】分两种情况考虑即可． 【详解】解：如图，过点P作于点C，则， 即当时，此时与射线只有一个公共点； 如图，当时，则与射线只有一个公共点，此时; 综上，当或时，与射线只有一个公共点． 4．（2026·湖南娄底·模拟预测）以坐标原点O为圆心，作半径为4的圆，若直线与⊙O相交，则b的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：当直线与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图： 在中，令时，，则与y轴的交点是， 当时，，则与x轴的交点是， 则，即是等腰直角三角形， 在中，， 连接圆心O和切点C，则， ， ∴， 则； 同理，当直线与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，； 则若直线与⊙O相交，则b的取值范围是． 5．（25-26九年级下·辽宁鞍山·期中）对于题目“已知及外一点，如何过点作的切线？”甲、乙两位同学的作法如下： 甲的作法：连接，作的垂直平分线交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点，作直线，，直线，即为所求．    乙的作法：连接并延长，交于两点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，交于点，连接，，作直线，，直线，即为所求．    下列说法正确的是（    ）． A．乙的作法正确，甲的作法错误． B．甲和乙的作法都错误． C．甲的作法正确，乙的作法错误． D．甲和乙的作法都正确． 【答案】D 【分析】要判断甲、乙作法是否正确，证明所作直线是否满足切线判定定理：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线．即需证明． 【详解】解：分析甲的作法： 连接、， 由作法知：是的中点，， ，， ， ，即 ， 是半径， 是的切线， 同理可证， 直线，即为切线，因此甲的作法正确； 分析乙的作法 由作法知：，，是的直径， ， ， 又 ，在上， 根据等腰三角形性质可得，即， 是半径， 是的切线， 同理可证 是的切线，因此乙的作法正确． 综上，甲和乙的作法正确． 6．（2022·贵州黔东南·模拟预测）如图，已知⊙P的半径为3，圆心P在抛物线上运动，当⊙P与轴相切时，圆心P的坐标为_________． 【答案】或 【分析】根据圆与轴相切的性质可知圆心纵坐标的绝对值等于半径，结合抛物线解析式及取值范围求解即可． 【详解】解：∵的半径为3，且与轴相切 ∴圆心的纵坐标为3或 当时，代入得， 解得， 即， ∴点的坐标为或， 当时，代入得， 整理得， ∴此方程无实数解， 综上所述：点的坐标为或． 7．（26-27九年级上·北京·课后作业）设的半径为，圆心到直线的距离为，若，是方程的两根，则直线与相切时，的值为______；当时，直线与______． 【答案】 相交或相离 【分析】直线和圆相切时满足，结合方程根的性质可求出的值；时，判断方程根的情况，结合，的正负性，分析与的大小关系，得到直线与圆的位置关系． 【详解】解：∵直线与相切， ∴， ∵，是方程的两根， ∴方程有两个相等的实数根， ∴，解得； 当时，方程为，此时， 由根与系数的关系可得，两根之和，两根之积， ∴方程有两个不相等的正实数根，即， 分两种情况：若，直线与圆相离；若，直线与圆相交； 因此直线与相交或相离． 8．（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）如图，、切于、两点，且切线长，切于点，分别交、于点、，则的周长为_____；若，则_____． 【答案】 【分析】对于第一空，由切线长定理得到，，，再根据三角形的周长公式和线段的和差关系求解即可；对于第二空，连接，由切线的性质和角平分线的判定定理可证明平分，平分，求出的度数，再根据角平分线的定义和角的和差关系求解即可． 【详解】解：由切线长定理得，，， ∴的周长 ； 如图所示，连接， 由切线的性质可得， 又∵， ∴平分，平分， ∴； ∵， ∴， ∴． 9．（2026·广东深圳·三模）如图，左边是九年级班荣获的足球赛奖杯，右边是它的截面图，已知，，分别与相切于点，，，则的半径为______． 【答案】 【分析】如图，连接、，根据切线的性质及切线长定理得，，再根据正切的定义可得答案． 【详解】解：如图，连接、， ∵，分别与相切于点，，， ∴，， 在中，，， ∴， ∴的半径为． 10．（25-26九年级上·四川广安·期末）如图，直线、相交于点，，的半径为，且，如果以的速度沿由向的方向移动，则___________秒时与直线相切． 【答案】2或6 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系：直线与圆有三种位置关系（相切、相交、相离）．也考查了切线的性质和直角三角形的性质．分类讨论：当点在 点左侧，与相切时，过作于，根据切线的性质得到，再利用得到，则的圆心在直线上向右移动了后与相切，即可得到移动所用的时间；当点在 点右侧，与相切，同前面一样易得到此时移动所用的时间． 【详解】解：当点在 点左侧，与相切时，过作于，如图， ， ， ， 的圆心在直线上向右移动了后与相切， 移动所用的时间（秒）； 当点在 点右侧，与相切，如图， 同理，得的圆心在直线上向右移动了后与相切， 移动所用的时间（秒）． 故答案为：2或6． 11．（2026·宁夏·中考真题）如图，内接于，是直径，．点是上一点且与点位于两侧，，过点作交的延长线于，连接． (1)求的度数； (2)求证：是的切线． 【答案】(1) (2)证明：如图所示，连接， ， ， ． ， ． ， ， ， ，即， 又是的半径， 是的切线． 【分析】（1）连接，根据同弧所对的圆周角相等得到的度数，再根据等弧所对的圆周角相等得到，据此可求出的度数，再根据直径所对的圆周角是直角得到的度数，据此可得答案； （2）连接，根据（1）所求可得的度数，则可求出的度数，再求出的度数，进而求出的度数，再由切线的判定定理可证明结论． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ，， ； ， ． 是的直径， ， ； （2）略 12．（25-26九年级下·浙江温州·开学考试）如图，D为的直角边上一点，以为直径的半圆O与斜边相切于点E，，交的延长线于点F．已知． (1)求的值． (2)若，求的半径的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）证明，根据相似三角形的性质得到，根据切线长定理得到，再根据正弦的定义计算即可； （2）连接，根据勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ∴ ∵为的直径，， ∴是的切线， ∵是的切线， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即 解得： ，即的半径的长为． 13．（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，，是的内切圆，切点分别是、、． (1)连接、，则______． (2)若，，求的半径． (3)在（2）的条件下，的外心和内心的距离等于______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1） 内心是三角形三条角平分线的交点，故平分，平分．在中，，因此，再由三角形内角和定理得． （2）设半径为r，由切线长定理得，，．于是三边可表示为，，．利用勾股定理建立关于的方程，即可求得答案． （3）由（2）知，，．直角三角形的外心位于斜边中点，设斜边的中点为，则到切点的距离为，而且，在中利用勾股定理可求得外心与内心的距离． 【详解】（1）解：是的内切圆， 平分，平分， 在中，， ， ， ． （2）解：设半径为r，连接、， 是的内切圆，切点分别为、、， 由切线长定理得：，，， ，，， 四边形是正方形，， ，， ， 在中，由勾股定理得： ， 解得： 或 （舍去负值）， 的半径． （3）解：由（2）知，，， 设斜边的中点为，则是的外心， 分别连接， ，， ， ， 是内切圆半径，， ， 在中，由勾股定理得： ， 的外心和内心的距离为． 14．（2026·天津南开·三模），分别与相切于，两点，是的直径．过点作交于点，交于点．连接，． (1)如图1，若，求和的大小； (2)如图2，连接，若，且的半径为，求线段的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据圆的切线的性质以及四边形内角和定理求出，再由圆周角定理以及平行线的性质求解； （2）连接，由圆的切线的性质以及切线长定理得到，求出，再解和，最后运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵，分别与相切于，两点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴； （2）解：如图2，连接， ∵，分别与相切于，两点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， 在中，， ∴， ∴． 15．（2026·山东淄博·一模）新学期，同学们布置教室．如图1所示，教室前门ABCD宽度，门轴A到墙角E的距离，设E，A，B在同一条直线上，门打开后被黑板墙阻挡，，门边靠在墙的位置． (1)门打开的最大角度______； (2)教室的俯视图如图2，其中靠近前门第一位同学课桌右侧与墙的距离为，且该矩形课桌的边与教室前墙平行，若要使得开关门不受阻挡，则与的距离需大于多少？（结果保留两位小数） (3)如图3，同学们想充分利用教室的空间，在门后中放置一个圆柱形的储物桶，如果购买直径为的圆柱形桶，能放得进去吗？请说明理由．（参考数据：，，） 【答案】(1)； (2)需大于 (3) 解：能放进直径为的圆柱形桶，理由如下： 如图，设圆心为，内切圆半径为，连接切点，，，则四边形为正方形， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴能放进直径为的圆柱形桶． 【分析】（）易得，进而可得的余弦值，即可求得的度数，则可以求得的度数； （）作于点，连接，求得的长度，加上的长度，即可求得点到的距离，进而可得开关门不受阻挡，与的距离范围； （）求得直角三角形内切圆的半径，进而可得内切圆的直径，和圆桶的直径比较即可得到能否放进去． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， （2）解：在图中作于点，连接， 则，， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴与的距离需大于； （3）略 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 直线与圆14大题型 常考题型·精准突破 考点一 直线与圆 题型1 判断直线和圆的位置关系 题型2 已知直线和圆的位置关系求半径的取值 题型3 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 题型4 有关切线的概念辨析 题型5 证明某直线是圆的切线 题型6 切线的性质定理 题型7 切线的性质和判定的综合应用、 题型8 过圆外一点做圆的切线 题型9 应用切线长定理求解 题型10 应用切线长定理求证 题型11 三角形内心有关应用 题型12 三角形内切圆与外接圆综合 题型13 圆与三角形综合 题型14 圆与四边形综合 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 直线与圆 ◆题型1 判断直线和圆的位置关系 1．（26-27九年级上·全国·期末）平面直角坐标系中，点M的坐标为，以2为半径画，则以下结论正确的是（     ） A．与x轴相交，与y轴相切 B．与x轴相切，与y轴相离 C．与x轴相离，与y轴相离 D．与x轴相离，与y轴相切 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）在中，．以点C为圆心，r为半径作圆，当时，直线与的位置关系是_______． 3．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）在中，，，． (1)若以点C为圆心，长为半径画，则直线与的位置关系___________； (2)若直线与半径为r的相切，求r的值． (3)若线段与半径为r的有唯一公共点，则r的取值范围为______________． ◆题型2 已知直线和圆的位置关系求半径的取值 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在矩形中，，连接，以点B为圆心，r为半径作． (1)当与相切时，求r的值； (2)若与边有唯一公共点，求r的取值范围． 5．（26-27九年级上·全国·课后作业）在同一平面内，已知点O到直线l的距离为5，以点O为圆心，r为半径画圆． (1)当_____时，上有且只有一个点到直线l的距离等于3； (2)当______时，上有且只有三个点到直线l的距离等于3； (3)随着r的变化，上到直线l的距离等于3的点的个数如何变化？并求出相对应的r的值或取值范围． 6．（2026·山东聊城·一模）如图，已知，，，，M、N是边上的点，，如果以为直径的与边有公共点，那么的值不可以是（    ） A． B．2 C． D． ◆题型3 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 7．（25-26九年级上·全国·课后作业）以点为圆心，为半径画圆，与坐标轴恰好有三个公共点，则的值为__________． 8．（25-26九年级下·全国·单元复习）在平面直角坐标系中，以为圆心，为半径作圆，为上一点，若点的坐标为，则线段的最小值为（　　） A．3 B．2 C．4 D．2 9．（2026·福建龙岩·二模）直线与轴、轴分别交于A和B点，圆心为（0，2）且与轴相切的圆上有一动点P，则点P到直线AB的距离的最小值为______． ◆题型4 有关切线的概念辨析 10．（26-27九年级上·全国·课后作业）下列命题中，正确的有：_______．（请填写序号） ①与圆没有公共点的线段所在的直线和圆相离；②与圆只有一个公共点的线段和圆相切；③与圆有公共点的直线和圆相交；④直线与圆相切时只有一个公共点． 11．（25-26九年级上·天津滨海新区·阶段检测）下列说法中错误的是（    ） A．切线与圆有唯一的公共点 B．到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线 C．垂直于切线的直线必经过切点 D．从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等 12．（2018·江苏苏州·一模）下列四个命题中正确的是（    ） ①与圆有公共点的直线是该圆的切线； ②垂直于圆的半径的直线是该圆的切线； ③到圆心的距离等于半径的直线是该圆的切线； ④过圆直径的端点，垂直于此直径的直线是该圆的切线． A．①② B．②③ C．③④ D．①④ ◆题型5 证明某直线是圆的切线 13．（26-27九年级上·辽宁盘锦·阶段检测）如图，四边形内接于，为的直径，点为的中点，对角线，交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 14．（25-26九年级上·北京石景山·期末）如图，在四边形中，，，以为直径的与相切于点．若，．则的长为___________． 15．（25-26九年级上·北京·阶段检测）如图，在中，，为边上的点，以为直径作，连接并延长交于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，求的长． ◆题型6 切线的性质定理 16．（2026·北京·模拟预测）如图，为的直径，点C在上，连接、，过点B作的切线交的延长线于点D．若，则的大小为______． 17．（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图，为的直径，，分别切于点B，D，交的延长线于点E，的延长线交于点G，于点F．若，． (1)求证：； (2)①求的半径长；②求线段的长． 18．（25-26九年级上·山东临沂·期中）如图，与相切于点，的延长线交于点．，且交于点．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． ◆题型7 切线的性质和判定的综合应用、 19．（2026·北京朝阳·模拟预测）下面是“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：和上一点． 求作：的切线，使经过点． 作法：如图， ①作射线； ②以点为圆心，小于的长为半径作弧交射线于，两点； ③分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于，两点； ④作直线．则就是所求作的的切线． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：∵，， ∴垂直平分（________）， ∴， ∵点在圆上， ∴就是所求作的的切线（________）． 20．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，点O是上（异于点A、B）的一点，恰好经过点B、C，，垂足为点D，且平分． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，，求的半径长． 21．（24-25九年级上·北京平谷·期末）如图，已知中，，点D是边上一点，连接，以为直径画，与边交于点E，与边交于点F，，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． ◆题型8 过圆外一点做圆的切线 22．（25-26九年级上·北京西城·期末）已知：点，，在上，且． 求作：直线，使其过点，并与相切． 作法：①连接； ②分别以点，点为圆心，长为半径作弧，两弧交于外一点； ③作直线． 直线就是所求作直线． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接，， ∵， ∴四边形是菱形， ∵点，，在上，且， ∴______°（_________________）（填推理的依据）． ∴四边形是正方形， ∴，即， ∵为半径， ∴直线为的切线（_________________）（填推理的依据）． 23．（25-26九年级上·山东烟台·期末）尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹） 已知：和外一点P． 求作：过点P的的切线，． 24．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）探究：如图①，点P在⊙O上，利用直尺（没有刻度）和圆规过点P作⊙O的切线， 小明所在的数学小组经过合作探究，发现了很多作法，精彩纷呈． 作法一： ①作直径PA的垂直平分线交⊙O于点B； ②分别以点B、P为圆心，OP为半径作弧，交于点C； ③作直线PC． 作法二： ①作直径PA的四等分点B、C； ②以点A为圆心，CA为半径作弧，交射线PA于点D； ③分别以点A、P为圆心，PD、PC为半径作弧，两弧交于点E； ④作直线PE． 以上作法是否正确？选一个你认为正确的作法予以证明． ◆题型9 应用切线长定理求解 25．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，是的内切圆，、、为切点．若，，则的周长为_____． 26．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，的周长为24，则的长为________． 27．（24-25九年级上·北京海淀·开学考试）如图，为的直径，，分别与⊙O相切于点B，C，过点C作的垂线，垂足为E，交于点D．若，则线段的长为______． ◆题型10 应用切线长定理求证 28．（26-27九年级上·江苏常州·阶段检测）如图，中，D为AC边上一点，为内切圆，G、E、F为切点．求证：； 29．（2026·河南周口·模拟预测）乐乐发现墙上点A处挂着一个圆形的装饰物，如图所示，悬挂绳分别切于点B、C，连接． (1)求证：垂直平分． (2)当为，四边形为正方形时，求的面积．（结果保留π） 30．（2026·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，以为直径作半圆O，切线的延长线交于点F，E为切点，对角线恰好过E点． (1)求证：F为中点； (2)求的长． ◆题型11 三角形内心有关应用 31．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，三角形纸片的内切圆与边，，分别相切于点N，P，Q，小刚沿着与相切的剪下一个三角形纸片，与的切点为M，已知三角形纸片的周长为7，，求的周长． 32．（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）在中，，点为三角形内心，则______________． 33．（24-25九年级上·江西南昌·阶段检测）追本溯源 题（1）来自课本中的练习，请你完成解答，利用类似方法并完成题（2）． （1）如图1，在中，，，点是的内心．求的度数． 变式拓展 （2）如图2，在中，，点是的内心． ①求的度数； ②若，，求的长． ◆题型12 三角形内切圆与外接圆综合 34．（2025·湖北武汉·模拟预测）我们将一个三角形内切圆的半径与外接圆的半径的比值叫做该三角形的“径比”，已知等腰三角形底为6，腰为5，则该三角形的“径比”为（   ） A． B． C． D． 35．（25-26九年级下·江苏南京·期中）如图，在中，，的内切圆与，分别相切于点，，连接，的延长线交于点，则________． 36．（25-26九年级上·广东江门·期末）如图，在中，，，则的外接圆的直径是______． ◆题型13 圆与三角形综合 37．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，在中，直径垂直弦于点，为的半径，且点是的中点，连接交于点，交于点． (1)若，，求的长； (2)连接，，求的度数． 38．（2026·湖北·中考真题）如图，在中，，以为直径的交于点，弦，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 39．（2026·福建三明·一模）如图，点、在上，过点的切线交所在的直线于点，过点作于，连接． (1)求证：平分； (2)连接并延长，交于点，若．求的值． ◆题型14 圆与四边形综合 40．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，正方形内接于．点E为上一点，连接、，若，，则的长为___． 41．（2026·广东深圳·三模）如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 42．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，四边形内接于半径为6.5的，且，，，则___________ 综合攻坚·知能拔高 1．（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）下列关于圆的论断中，错误的是（     ） A．过不共线三点可以作一个圆 B．垂直于弦的直径一定平分这条弦 C．圆心到切线的距离等于半径的长度 D．相等的弦所对的圆心角相等 2．（26-27九年级上·北京·课后作业）如图所示，P是外一点，分别和切于两点，C是上任意一点，过C作的切线分别交于．若的周长为12，则的长为（     ） A．12 B．6 C．8 D．4 3．（26-27九年级上·北京·课前预习）如图，，P为边上的一点，且，若以P为圆心，r为半径的圆与射线只有一个公共点，则半径r的取值范围是（     ） A． B． C． D．或 4．（2026·湖南娄底·模拟预测）以坐标原点O为圆心，作半径为4的圆，若直线与⊙O相交，则b的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级下·辽宁鞍山·期中）对于题目“已知及外一点，如何过点作的切线？”甲、乙两位同学的作法如下： 甲的作法：连接，作的垂直平分线交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点，作直线，，直线，即为所求．    乙的作法：连接并延长，交于两点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，交于点，连接，，作直线，，直线，即为所求．    下列说法正确的是（    ）． A．乙的作法正确，甲的作法错误． B．甲和乙的作法都错误． C．甲的作法正确，乙的作法错误． D．甲和乙的作法都正确． 6．（2022·贵州黔东南·模拟预测）如图，已知⊙P的半径为3，圆心P在抛物线上运动，当⊙P与轴相切时，圆心P的坐标为_________． 7．（26-27九年级上·北京·课后作业）设的半径为，圆心到直线的距离为，若，是方程的两根，则直线与相切时，的值为______；当时，直线与______． 8．（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）如图，、切于、两点，且切线长，切于点，分别交、于点、，则的周长为_____；若，则_____． 9．（2026·广东深圳·三模）如图，左边是九年级班荣获的足球赛奖杯，右边是它的截面图，已知，，分别与相切于点，，，则的半径为______． 10．（25-26九年级上·四川广安·期末）如图，直线、相交于点，，的半径为，且，如果以的速度沿由向的方向移动，则___________秒时与直线相切． 11．（2026·宁夏·中考真题）如图，内接于，是直径，．点是上一点且与点位于两侧，，过点作交的延长线于，连接． (1)求的度数； (2)求证：是的切线． 12．（25-26九年级下·浙江温州·开学考试）如图，D为的直角边上一点，以为直径的半圆O与斜边相切于点E，，交的延长线于点F．已知． (1)求的值． (2)若，求的半径的长． 13．（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，，是的内切圆，切点分别是、、． (1)连接、，则______． (2)若，，求的半径． (3)在（2）的条件下，的外心和内心的距离等于______． 14．（2026·天津南开·三模），分别与相切于，两点，是的直径．过点作交于点，交于点．连接，． (1)如图1，若，求和的大小； (2)如图2，连接，若，且的半径为，求线段的长． 15．（2026·山东淄博·一模）新学期，同学们布置教室．如图1所示，教室前门ABCD宽度，门轴A到墙角E的距离，设E，A，B在同一条直线上，门打开后被黑板墙阻挡，，门边靠在墙的位置． (1)门打开的最大角度______； (2)教室的俯视图如图2，其中靠近前门第一位同学课桌右侧与墙的距离为，且该矩形课桌的边与教室前墙平行，若要使得开关门不受阻挡，则与的距离需大于多少？（结果保留两位小数） (3)如图3，同学们想充分利用教室的空间，在门后中放置一个圆柱形的储物桶，如果购买直径为的圆柱形桶，能放得进去吗？请说明理由．（参考数据：，，） 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $