精品解析：广东广州市培英中学2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

初三数学期中教育教学评价 问卷 第一部分 选择题（共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知点在反比例函数的图象上，下列各点中也在该函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 3. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 抛物线的顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而增大 4. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（） A. B. C. 且 D. 且 5. 如果三点，和在抛物线的图象上，那么，与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 用长的绳子围成一个面积为的矩形，设矩形的一边长为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，，将绕直角顶点逆时针旋转得到，则点转过的路径长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，为的直径，点是上位于异侧的两点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（ ） A. B. C. 或 D. 或 10. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为( ) A. 3 B. 1+ C. 1+3 D. 1+ 第二部分 非选择题（共110分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）． 11. 在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则___________． 12. 已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是____． 13. 如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为______． 14. 如图，四边形是的内接四边形，，的半径为6，则的长为__________． 15. 如图，在中，，，，点P从点A出发，以的速度沿运动；同时，点Q从点B出发，以的速度沿运动，当点Q到达C时，P、Q两点同时停止运动，则的最大面积是______． 16. 在平面直角坐标系中，点和点的坐标分别为和，抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是______． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知是关于的一元二次方程． （1）证明：不论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）设该方程的两个根为，，当时，求的值． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为、、． （1）画关于原点成中心对称的； （2）把向上平移4个单位长度，得，画出； （3）和关于某点成中心对称，直接写出该对称中心的坐标_________． 20. 如图，已知在⊙O中，AB=4，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A=30°． （1）求图中阴影部分的面积； （2）若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径． 21. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存．商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）如果你是该商场经理，你将如何决策？使商场平均每天能获得最大盈利是多少？ 22. 如图，已知：二次函数y=x2+bx+c 的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（-3，0），与 y 轴交于点 C（0，-3）在抛物线上． （1）求抛物线的表达式； （2）抛物线的对称轴上有一动点 P，求出当 PB+PC 最小时点 P的坐标； （3）若抛物线上有一动点Q，使△ABQ的面积为6，求Q点坐标． 23. 【问题背景】如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，． （1）【发现问题】猜想线段与之间的数量关系，并说明理由； （2）【拓展应用】若，，，求四边形的面积． 24. 如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）在坐标轴上有一点P，使得是直角三角形，直接写出点P的坐标． 25. 如图，是的直径，点是上一点（点不与，重合），连接，．的平分线与交于点． （1）求的度数； （2）探究，，三者之间的等量关系，并证明； （3）为外一点，满足，，，若点为中点，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学期中教育教学评价 问卷 第一部分 选择题（共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意． 2. 已知点在反比例函数的图象上，下列各点中也在该函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，利用点的坐标求出的值，再逐项判断各点的坐标乘积是否等于即可求解，熟知反比例函数图象上各点的坐标的乘积等于比例系数是解题的关键． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 、∵， ∴点不在该函数图象上； 、∵， ∴点在该函数图象上； 、∵， ∴点不在该函数图象上； 、∵， ∴点不在该函数图象上； 故选：． 3. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 抛物线的顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】B 【解析】 【详解】解：将抛物线解析式配方得， ∵二次项系数， ∴抛物线开口向上，A选项错误； 抛物线的对称轴为直线，B选项正确； 抛物线的顶点坐标为，C选项错误； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，D选项错误． 4. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，注意二次项系数不为零．一元二次方程有两个实数根需满足判别式且二次项系数，据此求解即可． 【详解】∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴，即， 且． ∴ ． ∴． 又∵， ∴m的取值范围是且． 故选：D． 5. 如果三点，和在抛物线的图象上，那么，与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，， 当时，随的增大而减小， 关于对称轴的对应点为， ， ， 故选：B． 6. 用长的绳子围成一个面积为的矩形，设矩形的一边长为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形周长求出长与宽的和为，再根据面积公式列方程即可． 【详解】解：∵矩形周长为， ∴长宽， 设一边长为，则另一边长为， ∵面积为， ∴． 7. 如图，在中，，，，将绕直角顶点逆时针旋转得到，则点转过的路径长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】所对的直角边是斜边的一半，利用勾股定理求出的长，根据旋转的性质求出，再用弧长公式代入即可． 【详解】解：在中，，，， ， 在中，，，， 由勾股定理得：， ∵绕直角顶点逆时针旋转得到， ∴， ∴点转过的路径长为． 8. 如图，为的直径，点是上位于异侧的两点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，由为的直径可得，进而由得，再根据圆周角定理即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 9. 如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】利用数形相结合，借助图象求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵把 ，直线与双曲线交于点和点， ∴当时，直线在双曲线的下方且直线在x轴的上方， ∴不等式的解集是：， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，利用数形相结合的思想是解此题的关键． 10. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为( ) A. 3 B. 1+ C. 1+3 D. 1+ 【答案】D 【解析】 【分析】如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．首先证明点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，利用勾股定理求出CK即可解决问题. 【详解】解：如图，连接OQ，作CH⊥AB于H． ∵AQ=QP， ∴OQ⊥PA， ∴∠AQO=90°， ∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK， 当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大， 在Rt△OCH中，∵∠COH=60°，OC=2， ∴OH= OC=1，CH=， 在Rt△CKH中，CK= =， ∴CQ的最大值为1+， 故选D． 【点睛】本题考查圆周角定理、轨迹、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是正确寻找点Q的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 第二部分 非选择题（共110分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）． 11. 在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】关于原点对称，则横纵坐标变为原来的相反数，由此即可求解． 【详解】解：点与点关于原点对称， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查关于原点对称的性质，理解和掌握点的对称是解题的关键． 12. 已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 先求出抛物线的对称轴，再求出最大值和最小值即可求解的取值范围． 【详解】解：， ∴函数图象的对称轴为直线，开口向上， ∵， ∴当时，；时，，当时，， ∴的取值范围是：， 故答案为：． 13. 如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数，根据的纵坐标相同以及点在反比例函数上得到的坐标，进而用代数式表达的长度，然后根据列出一元一次方程求解即可． 【详解】是平行四边形 纵坐标相同 的纵坐标是 在反比例函数图象上 将代入函数中，得到 的纵坐标为 即： 解得： 故答案为：． 14. 如图，四边形是的内接四边形，，的半径为6，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形，解直角三角形，连接并延长，交于点，连接，由圆周角定理得到，根据圆内角四边形的内对角互补，求出的度数，再解直角三角形求出的长即可． 【详解】解：四边形是的内接四边形，， ∴， 连接并延长，交于点，连接，则：为的直径，， ∴， ∵的半径为6， ∴， 在中，； 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，点P从点A出发，以的速度沿运动；同时，点Q从点B出发，以的速度沿运动，当点Q到达C时，P、Q两点同时停止运动，则的最大面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 依据题意，设动点运动的时间为t s，从而，故，再结合二次函数的性质可以判断得解． 【详解】解：根据题意，点运动的时间为，点运动的时间为，设动点运动的时间为，则， ∴， ∴， ∴， ∴当时，的最大面积为：， 故答案为：． 16. 在平面直角坐标系中，点和点的坐标分别为和，抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据抛物线求出对称轴，轴的交点坐标为，顶点坐标为，直线CD的表达式，分两种情况讨论：当时，当时，利用抛物线的性质可知，当越大，则抛物线的开口越小，即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴为：，当时，，故抛物线与轴的交点坐标为，顶点坐标为，直线CD的表达式， 当时，且抛物线过点时， ，解得（舍去）， 当，抛物线与线段只有一个公共点时， 即顶点在直线CD上，则，解得， 当时，且抛物线过点时， ，解得， 当抛物线过点时， 解得，m=-1 由抛物线的性质可知，当越大，则抛物线的开口越小，且抛物线与线段只有一个公共点， ， 综上所述，的取值范围为或， 故答案为或． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，理解对称轴的含义，熟练掌握二次函数的性质，巧妙运用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：因式分解得， 则或， 解得，； 【小问2详解】 解：， ，，， ， ∴， 解得，． 18. 已知是关于的一元二次方程． （1）证明：不论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）设该方程的两个根为，，当时，求的值． 【答案】（1） 证明：依题意， ， ∴无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，以及方程的解； （1）直接计算原方程根的判别式，结合非负性证明即可； （2）运用根与系数的关系求得，，再整体代入求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当时，方程化为， ∵该方程的两根为，， ∴，， ∴． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为、、． （1）画关于原点成中心对称的； （2）把向上平移4个单位长度，得，画出； （3）和关于某点成中心对称，直接写出该对称中心的坐标_________． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．另外要求掌握对称中心的定义． （1）根据网格结构找出A、B、C关于原点O的中心对称点的位置，然后顺次连接即可； （2）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点的位置，然后顺次连接即可； （3）根据，即可求得对称中心坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴和关于某点成中心对称，对称中心的坐标为即． 20. 如图，已知在⊙O中，AB=4，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A=30°． （1）求图中阴影部分的面积； （2）若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【详解】（1）过O作OE⊥AB于E，则AE=AB=2． 在RtAEO中，∠BAC=30°，cos30°=． ∴OA==4． 又∵OA=OB，∴∠ABO=30°．∴∠BOC=60°． ∵AC⊥BD，∴． ∴∠COD =∠BOC=60°．∴∠BOD=120°． ∴S阴影=． （2）设圆锥的底面圆的半径为r，则周长为2πr， ∴． ∴． 21. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存．商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）如果你是该商场经理，你将如何决策？使商场平均每天能获得最大盈利是多少？ 【答案】（1）每件衬衫应降价元 （2）每件衬衫应降价元，商场平均每天能获得最大盈利，为元 【解析】 【分析】（1）设每件衬衫降价x元，根据题意列出一元二次方程，求解检验即可； （2）设每件衬衫降价m元，商场平均每天能获得盈利元，根据题意可得，再根据二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设每件衬衫降价x元，则平均每天可售出件， ， 解得，， 尽快减少库存， ， 答：每件衬衫应降价元； 【小问2详解】 解：设每件衬衫降价m元，商场平均每天能获得盈利元， ， ， 当时，取得最大值，为（元）， 答：每件衬衫应降价元，商场平均每天能获得最大盈利，为元． 22. 如图，已知：二次函数y=x2+bx+c 的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（-3，0），与 y 轴交于点 C（0，-3）在抛物线上． （1）求抛物线的表达式； （2）抛物线的对称轴上有一动点 P，求出当 PB+PC 最小时点 P的坐标； （3）若抛物线上有一动点Q，使△ABQ的面积为6，求Q点坐标． 【答案】（1）y=x２+2x-3；（2）点 P 的坐标为（-1，-2）；（3）点 Q 的坐标为（-1+，3），（-1-，3），（0，-3）或（-2，-3）． 【解析】 【分析】（1）根据题目中点 A 和点 C 的坐标可以求得该抛物线的解析式； （2）根据二次函数图象具有对称性和两点之间线段最短可以求得点P 的坐标； （3）根据（1）中求得的函数解析式可以求得点 B 的坐标，然后根据△ABQ 的面积为 6，可以求得点Q 的纵坐标的绝对值，然后根据点Q 在抛物线上，即可求得点 Q 的坐标． 【详解】（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象过点A（-3，0）和点C（0，-3）， ∴， 得， 即抛物线的解析式为y=x2+2x-3； （2）∵抛物线解析式为y=x2+2x-3=（x+1）2-4，如图： ∴该抛物线的对称轴为直线x=-1， ∵点P为抛物线的对称轴上的一动点，点A和点B关于直线x=-1对称， ∴点P到点A的距离等于点P到点B的距离， ∵两点之间线段最短， ∴连接点A和点C与直线x=-1的交点就是使得PB+PC最小时的点P， 设过点A（-3，0）和点C（0，-3）的直线解析式为y=kx+m， ，得， 即直线AC的函数解析式为y=-x-3， 当x=-1时，y=-（-1）-3=-2， 即点P的坐标为（-1，-2）； （3）∵抛物线解析式为y=x2+2x-3， 当y=0时，x=-3或x=1， ∴点B的坐标为（1，0）， ∵点A的坐标为（-3，0）， ∴AB=1-（-3）=4， ∵抛物线上有一动点Q，使△ABQ的面积为6， ∴设点Q的纵坐标的绝对值为：=3， 当点Q的纵坐标为3时，则3=x2+2x-3，得x1=-1+，x2=-1-， 当点Q的纵坐标为-3时，则-3=x2+2x-3，得x3=0或x4=-2， ∴点Q的坐标为（-1+，3），（-1-，3），（0，-3）或（-2，-3）． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式、最短路线问题，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 23. 【问题背景】如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，． （1）【发现问题】猜想线段与之间的数量关系，并说明理由； （2）【拓展应用】若，，，求四边形的面积． 【答案】（1），理由如下： 根据题意可知，，即， 三角形为等边三角形， ，，即， ， 在和中， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）利用旋转得、，结合等边三角形的性质，用证明，进而证得； （2）连接，过点作，先推出为等边三角形，算出其面积，再利用（1）的结论推出，通过勾股逆定理证明是直角三角形，算出它的面积，两个三角形面积相加得到四边形面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，过点作， 据（1）可知， ，， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ，， 在中，， 为直角三角形，， ， ． 24. 如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）在坐标轴上有一点P，使得是直角三角形，直接写出点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3）点P的坐标为或或或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法、一次函数与反比例函数的交点、一次函数与坐标轴的交点、三角形的面积公式、直角三角形的性质、勾股定理等知识，用分类讨论和方程思想解决问题是解题的关键． （1）先把代入，求得m的值即可； （2）把代入反比例函数的解析式求得n，最后把A，B两点代入即可求得一次函数解析式，再利用一次函数的解析式求得点C的坐标，利用三角形的面积公式即可求解；（3）分三种情况求解：①当时，②当时，③当点P在y轴上， 时，④，逐一分析，即可解答． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 ∵点也在反比例函数的图象上， ∴． ∵点，都在一次函数的图象上， ∴， 解得． ∴一次函数的解析式为． 如图，设直线与x轴交于点C， ∴， ∴． ∵，， ∴ ． 【小问3详解】 当点P在x轴上时，设． ①如图，若， ∵点A的坐标为， ∴点P的坐标为； ②如图，若，则，． ∵是直角三角形， ∴，即， 解得， ∴点P的坐标为． ③当点P在y轴上时，设． 如图，若， ∵点A的坐标为， ∴点P的坐标为； ④如图，若，，则 ，． ∵是直角三角形， ∴， 即， 解得， ∴点P的坐标为． 综上所述，点P的坐标为或或或． 25. 如图，是的直径，点是上一点（点不与，重合），连接，．的平分线与交于点． （1）求的度数； （2）探究，，三者之间的等量关系，并证明； （3）为外一点，满足，，，若点为中点，求的长． 【答案】（1） （2） ，连接延长与圆交于点G，连接、，延长、交于点F，如下图所示， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， （由（1）可知）， ， ， 中，由勾股定理得：， ， ， 在和中，， ， ， ， ，， ． （3） 【解析】 【分析】（1）直径所对的圆周角是直角，用角平分线的定义求解； （2）连接延长与圆交于点G，连接、，延长、交于点F，利用平行线的性质和三角形内角和定理得到和是等腰直角三角形，用勾股定理求得，用证明，进而得到，借助图形线段之间的关系进行求解． （3）过点A作，过点B作交延长线于点N，一线三垂直模型证明，根据三角形内角和定理和同弧所对的圆周角相等，可得出是等腰直角三角形，勾股定理求出的长度，全等性质和等量代换可得，用勾股定理方程思想可得出和的长度，结合全等性质和线段之间的关系，得出和的长度，用勾股定理求出的长度，用三角形中位线的性质可以得到的长． 【小问1详解】 解：是的直径， ， 平分， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 过点A作，过点B作交延长线于点N，连接，如下图所示， 是的直径， ， 又， ， ， ， 由勾股定理得：， ， ， ，， ， ， 又， ， ， 在和中，， ， ，， ，， ， 在中，， 在中，， ， 解得：， ，， ，， 在中，，， 由勾股定理得：， 是中点，O是中点， ． 【点睛】直径所对的圆周角相为直角，构造等腰直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $