3.2 对数（分层作业练题型）高一数学沪教版必修第一册

分层作业 3.2 对数 A组 巩固过关 题型01对数的概念 题型02指数式与对数式的互化 题型03对数运算性质的应用 题型04换底公式的应用 题型05简单对数方程的求解 题型06由已知对数求解或表示未知对数式 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 ( 题型0 1 )对数的概念 1．使式子有意义的的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．， 【答案】C 【分析】根据题意，结合对数式的定义，列出不等式组，即可求解. 【详解】由式子有意义，则满足，解得且. 故选：C. 2．若有意义，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据真数大于0即可得到答案. 【详解】由题意得，解得. 故答案为：. 3．计算（    ） A．7 B．9 C．10 D．20 【答案】D 【分析】利用指数运算及对数的定义计算得解. 【详解】. 故选：D 4．，则(    ) A．0 B．1 C．5 D．625 【答案】C 【分析】利用对数的性质，由内到外进行求值即可. 【详解】，，. 故选：. ( 题型0 2 )指数式与对数式的互化 5．已知，则的值为（     ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【详解】已知，故， ，故． 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由指数和对数互化公式和运算性质直接计算即可得解. 【详解】由题可得，所以. 故选：D 7．若，则__________. 【答案】9 【分析】利用对数的定义直接求解. 【详解】由，得. 故答案为：9 8．已知，则__________. 【答案】 【分析】根据指数与对数的运算法则计算． 【详解】由得，则， 所以， 故答案为：. 9．已知，求的值． 【答案】 【分析】根据指数与对数的相互转化求解即可. 【详解】由，得，解得或（舍去）， 由，得， 则． 10．将下列指数式与对数式进行转换： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据指数式与对数式的互化可依次将其转化. 【详解】（1）根据指数式与对数式的互化，可知可化为. （2）根据指数式与对数式的互化，可知可化为. （3）根据指数式和对数式的关系，可化为 （4）根据指数式和对数式的关系，可化为 ( 题型0 3 )对数运算性质的应用 11．已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的运算法则化简即可. 【详解】由题可得. 12．若，，则不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A， ，A 正确； 对于B，由题：，， 所以， ，B正确； 对于C，由选项A可知，所以， 所以，当且仅当时取等号，因为，所以，C错误； 对于D，由选项A可知，由选项B可知，， 由基本不等式得，则，当且仅当时取等号， 因为，所以，D正确． 13．若，，则下列各式中，恒等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于选项A，，故A错误； 对于选项B，，故B正确； 对于选项C，，故C错误； 对于选项D，，故D错误. 14．计算_______． 【答案】 【分析】本题为同底数对数的混合运算，直接运用对数的运算性质将各项合并化简，即可求得结果. 【详解】 15．求值： (1)； (2). 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）注意到同一对数式中底数和真数互为倒数，进而利用这一关系求解即可； （2）方法一：逆用对数运算性质，化为对数单项式即可求解；方法二：正用对数运算性质，统一真数即可求解. 【详解】（1）原式． （2）方法一：原式． 方法二：原式 ． 16．； 【答案】 【详解】原式＝ ＝. ( 题型0 4 )换底公式的应用 17．若，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【详解】因为，所以，又， 所以. 18．（    ） A．1 B．2 C．5 D．7 【答案】B 【详解】. 19．已知，且，则（   ） A．6 B．9 C．12 D．36 【答案】A 【详解】由，得，而， 因此，即， 则，又，所以. 20．已知，，，，若，且，则的最小值为（     ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】通过对数换底公式将转化为关于的对数表达式，结合的定值条件，利用基本不等式可求解的最小值 【详解】因，则，， 结合，可得. 则， 当且仅当时取等号. 21．设，，，，则下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将已知对数统一底数为2，再结合对数运算公式和基本不等式逐个验证选项即可. 【详解】因为，，故，且，因此即. 选项A：，故A正确； 选项B：，故B错误； 选项C：，故C正确； 选项D：设，，则 ，， 故. 时，， 所以，等号当且仅当时成立，故D正确. 22．已知，，则______． 【答案】 【详解】由，得， 则， 即， 所以． 23．已知，则的值为________． 【答案】 【详解】设，则， 由，得， 整理得，解得， 即，则， 所以. ( 题型0 5 )简单对数方程的求解 24．方程的解______ 【答案】 【分析】由对数式转化为指数式，解方程，可得答案. 【详解】由，则，解得. 故答案为：. 25．方程的解集为___________. 【答案】 【分析】根据对数的运算性质得出，解方程即可. 【详解】因为 得 所以 所以 化简得      解得或 经检验或都满足题意， 所以原方程的解集为. 故答案为： 26．（1）已知，则的值为________. （2）方程的解为________. 【答案】 【分析】（1）根据对数运算性质可得； （2）根据对数定义及运算性质可得. 【详解】由，得，即 化为，解得或. 又∴.∴， （2）原方程可化为， 即 所以， 即，解得或 又且，所以. 所以不满足题意，因此应舍去. 故方程的解为 27．关于的方程的解为___________． 【答案】 【分析】根据对数的运算性质，即可求得答案. 【详解】由题意， 所以. 故答案为： 28．方程的解集为________． 【答案】 【分析】依题意得到，解得即可. 【详解】因为, 则，解得， 所以方程的解集为. 故答案为： 29．记方程的根为，求的值． 【答案】7 【分析】先应用对数运算律得出，再应用对数运算化简得值. 【详解】，即， 则，即， 故． ( 题型0 6 )由已知对数求解或表示未知对数式 30．已知，，则18可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将 写成 ，再利用对数的运算性质把 用 表示. 【详解】由对数的运算性质，. 代入 和 ，得 . 所以 . 31．下列关系表示不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若设，且，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对于A，，所以，所以，所以A正确； 对于B，由，得，故，所以B正确； 对于C，设，取对数得.所以.所以C正确； 对于D，因为，所以，所以，所以D错误. 故选：D. 32．已知，，则可用，表示为_____． 【答案】 【分析】先将化为对应对数式，再通过换底公式与对数运算性质拆解目标对数，再代入已知关系化简可得. 【详解】由，根据对数定义可得； 由，根据换底公式，得. 再根据换底公式 . 因此. 33．已知，试用表示________． 【答案】 【详解】由换底公式可得： ， 又 ， ，又， 所以. 34．已知：，则___________.（用含有的代数式表示） 【答案】 【详解】. 35．已知，（且），用表示. 【答案】 【分析】根据对数运算法则即可求解. 【详解】. 1．已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】先利用对数的运算性质化简已知等式，得到的关系，再结合基本不等式求解目标式的最值. 【详解】∵， ∴，且均为正数. ∴， 当且仅当即（）时等号成立，故原式最小值为6. 2．设且，且，若，则的最小值是（    ） A．3 B． C．9 D．18 【答案】B 【分析】利用对数换底公式化简已知条件，得到与的关系式，再用基本不等式求最小值. 【详解】由换底公式可得 ， 原式化为 ，所以 ， 因为，由基本不等式得， 当且仅当，即时，取等号成立. 所以的最小值是. 3．已知实数，若且，则（   ） A．9 B．21 C．27 D．30 【答案】D 【分析】设，由已知条件可得，求出t，即可得，结合可求出n的值，继而求出m，即可求得答案. 【详解】设，则，由于，则， 故由可得，即， 解得，舍去， 故，即得， 又，则，即，结合，得， 故，则. 4．若，则的最小值为（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 【答案】C 【分析】由指数函数运算性质可得，由对数函数的性质可得，再由基本不等式求解即可. 【详解】因为，且，所以， 因为，当且仅当，即，时等号成立， 故的最小值为. 5．已知为正数，且，则的取值范围是___________ 【答案】 【分析】利用对数的运算法则化简得出关于的一元二次方程，利用求解. 【详解】因为，所以， 则 设，则且关于的一元二次方程有实根， ，即， 则或，即或， 故的取值范围是 6．沙漏也叫作沙钟，是一种测量时间的装置．现有一个沙漏（如图）上方装有的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过分钟时剩余的细沙量为，且（为常数），经过16分钟时，上方还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的，需经过的时间为________分钟． 【答案】32 【分析】先利用已知条件求出指数衰减模型中的参数，再代入目标剩余量，通过对数运算解出所需时间. 【详解】依题意有，即， 两边取对数得，所以，得到， 当容器上方细沙只有开始时的时， 则有，所以， 两边取对数得，所以， 即需要经过的时间为32分钟． 故答案为：. 7．已知，，且，则的最大值为_____________. 【答案】 【分析】根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，，则， 又因为，则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 1．已知，则不正确的是（    ） A． B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】令，得，再结合对数的运算求解． 【详解】令， 得， 对于A项，，故A项正确； 对于B项，当时，得，则， 得，故B项正确； 对于C项，当时，得，而， 则，得，但推不出，故C项错误； 对于D项，当时，得， 则 ， 而，得，得，得， 得，而， 得，得，得，故D项正确． 2．对表示不超过的最大整数，如，通常把叫做取整函数，也称之为高斯（）函数.若，则的值为（    ） A．28 B．29 C．30 D．31 【答案】B 【分析】根据当，时，求解即可. 【详解】当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 此时； 取，则有， 则的值为. 故选：B 3．设集合，集合，则集合的元素个数为_____． 【答案】68 【分析】先找出的关系，再分别进行讨论即可 【详解】设，则或4， 于是或．由于， 当时，，此时共有62个； 当时，，此时共有6个， 所以集合的元素个数为68． 故答案为： 1．（2022·浙江·高考真题）已知，则（    ） A．25 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出． 【详解】因为，，即，所以． 故选：C. 2．（2022·天津·高考真题）化简（         ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据对数的性质可求代数式的值. 【详解】原式 ， 故选：C 3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知且，则______． 【答案】64 【分析】将利用换底公式转化成来表示即可求解. 【详解】由题，整理得， 或，又， 所以，故 故答案为：64. 4．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分析可得，消去即可求解. 【详解】由题意得，则，即，所以. 故选：D. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.2 对数 A组 巩固过关 题型01对数的概念 题型02指数式与对数式的互化 题型03对数运算性质的应用 题型04换底公式的应用 题型05简单对数方程的求解 题型06由已知对数求解或表示未知对数式 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 ( 题型0 1 )对数的概念 1．使式子有意义的的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．， 2．若有意义，则实数的取值范围是__________. 3．计算（    ） A．7 B．9 C．10 D．20 4．，则(    ) A．0 B．1 C．5 D．625 ( 题型0 2 )指数式与对数式的互化 5．已知，则的值为（     ） A． B．2 C． D．3 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 7．若，则__________. 8．已知，则__________. 9．已知，求的值． 10．将下列指数式与对数式进行转换： (1)； (2)； (3)； (4). ( 题型0 3 )对数运算性质的应用 11．已知，，则（     ） A． B． C． D． 12．若，，则不正确的是（ ） A． B． C． D． 13．若，，则下列各式中，恒等的是（    ） A． B． C． D． 14．计算_______． 15．求值： (1)； (2). 16．； ( 题型0 4 )换底公式的应用 17．若，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 18．（    ） A．1 B．2 C．5 D．7 19．已知，且，则（   ） A．6 B．9 C．12 D．36 20．已知，，，，若，且，则的最小值为（     ） A． B． C．2 D．3 21．设，，，，则下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 22．已知，，则______． 23．已知，则的值为________． ( 题型0 5 )简单对数方程的求解 24．方程的解______ 25．方程的解集为___________. 26．（1）已知，则的值为________. （2）方程的解为________. 27．关于的方程的解为___________． 28．方程的解集为________． 29．记方程的根为，求的值． ( 题型0 6 )由已知对数求解或表示未知对数式 30．已知，，则18可以表示为（    ） A． B． C． D． 31．下列关系表示不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若设，且，则 D．若，则 32．已知，，则可用，表示为_____． 33．已知，试用表示________． 34．已知：，则___________.（用含有的代数式表示） 35．已知，（且），用表示. 1．已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．设且，且，若，则的最小值是（    ） A．3 B． C．9 D．18 3．已知实数，若且，则（   ） A．9 B．21 C．27 D．30 4．若，则的最小值为（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 5．已知为正数，且，则的取值范围是___________ 6．沙漏也叫作沙钟，是一种测量时间的装置．现有一个沙漏（如图）上方装有的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过分钟时剩余的细沙量为，且（为常数），经过16分钟时，上方还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的，需经过的时间为________分钟． 7．已知，，且，则的最大值为_____________. 1．已知，则不正确的是（    ） A． B．当时， C．当时， D．当时， 2．对表示不超过的最大整数，如，通常把叫做取整函数，也称之为高斯（）函数.若，则的值为（    ） A．28 B．29 C．30 D．31 3．设集合，集合，则集合的元素个数为_____． 1．（2022·浙江·高考真题）已知，则（    ） A．25 B．5 C． D． 2．（2022·天津·高考真题）化简（         ） A．1 B． C．2 D． 3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知且，则______． 4．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.2 对数 参考答案 ( 题型0 1 )对数的概念 1．【答案】C 【分析】根据题意，结合对数式的定义，列出不等式组，即可求解. 【详解】由式子有意义，则满足，解得且. 故选：C. 2．【答案】 【分析】根据真数大于0即可得到答案. 【详解】由题意得，解得. 故答案为：. 3．【答案】D 【分析】利用指数运算及对数的定义计算得解. 【详解】. 故选：D 4．【答案】C 【分析】利用对数的性质，由内到外进行求值即可. 【详解】，，. 故选：. ( 题型0 2 )指数式与对数式的互化 5．【答案】C 【详解】已知，故， ，故． 6．【答案】D 【分析】由指数和对数互化公式和运算性质直接计算即可得解. 【详解】由题可得，所以. 故选：D 7．【答案】9 【分析】利用对数的定义直接求解. 【详解】由，得. 故答案为：9 8．【答案】 【分析】根据指数与对数的运算法则计算． 【详解】由得，则， 所以， 故答案为：. 9．【答案】 【分析】根据指数与对数的相互转化求解即可. 【详解】由，得，解得或（舍去）， 由，得， 则． 10．将下列指数式与对数式进行转换： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据指数式与对数式的互化可依次将其转化. 【详解】（1）根据指数式与对数式的互化，可知可化为. （2）根据指数式与对数式的互化，可知可化为. （3）根据指数式和对数式的关系，可化为 （4）根据指数式和对数式的关系，可化为 ( 题型0 3 )对数运算性质的应用 11．【答案】D 【分析】根据对数的运算法则化简即可. 【详解】由题可得. 12．【答案】C 【详解】对于A， ，A 正确； 对于B，由题：，， 所以， ，B正确； 对于C，由选项A可知，所以， 所以，当且仅当时取等号，因为，所以，C错误； 对于D，由选项A可知，由选项B可知，， 由基本不等式得，则，当且仅当时取等号， 因为，所以，D正确． 13．【答案】B 【详解】对于选项A，，故A错误； 对于选项B，，故B正确； 对于选项C，，故C错误； 对于选项D，，故D错误. 14．【答案】 【分析】本题为同底数对数的混合运算，直接运用对数的运算性质将各项合并化简，即可求得结果. 【详解】 15．【答案】(1) (2)2 【分析】（1）注意到同一对数式中底数和真数互为倒数，进而利用这一关系求解即可； （2）方法一：逆用对数运算性质，化为对数单项式即可求解；方法二：正用对数运算性质，统一真数即可求解. 【详解】（1）原式． （2）方法一：原式． 方法二：原式 ． 16．【答案】 【详解】原式＝ ＝. ( 题型0 4 )换底公式的应用 17．【答案】C 【详解】因为，所以，又， 所以. 18．【答案】B 【详解】. 19．【答案】A 【详解】由，得，而， 因此，即， 则，又，所以. 20．【答案】D 【分析】通过对数换底公式将转化为关于的对数表达式，结合的定值条件，利用基本不等式可求解的最小值 【详解】因，则，， 结合，可得. 则， 当且仅当时取等号. 21．【答案】B 【分析】先将已知对数统一底数为2，再结合对数运算公式和基本不等式逐个验证选项即可. 【详解】因为，，故，且，因此即. 选项A：，故A正确； 选项B：，故B错误； 选项C：，故C正确； 选项D：设，，则 ，， 故. 时，， 所以，等号当且仅当时成立，故D正确. 22．【答案】 【详解】由，得， 则， 即， 所以． 23．【答案】 【详解】设，则， 由，得， 整理得，解得， 即，则， 所以. ( 题型0 5 )简单对数方程的求解 24．【答案】 【分析】由对数式转化为指数式，解方程，可得答案. 【详解】由，则，解得. 故答案为：. 25．【答案】 【分析】根据对数的运算性质得出，解方程即可. 【详解】因为 得 所以 所以 化简得      解得或 经检验或都满足题意， 所以原方程的解集为. 故答案为： 26．【答案】 【分析】（1）根据对数运算性质可得； （2）根据对数定义及运算性质可得. 【详解】由，得，即 化为，解得或. 又∴.∴， （2）原方程可化为， 即 所以， 即，解得或 又且，所以. 所以不满足题意，因此应舍去. 故方程的解为 27．【答案】 【分析】根据对数的运算性质，即可求得答案. 【详解】由题意， 所以. 故答案为： 28．【答案】 【分析】依题意得到，解得即可. 【详解】因为, 则，解得， 所以方程的解集为. 故答案为： 29．【答案】7 【分析】先应用对数运算律得出，再应用对数运算化简得值. 【详解】，即， 则，即， 故． ( 题型0 6 )由已知对数求解或表示未知对数式 30．【答案】C 【分析】将 写成 ，再利用对数的运算性质把 用 表示. 【详解】由对数的运算性质，. 代入 和 ，得 . 所以 . 31．【答案】D 【详解】对于A，，所以，所以，所以A正确； 对于B，由，得，故，所以B正确； 对于C，设，取对数得.所以.所以C正确； 对于D，因为，所以，所以，所以D错误. 故选：D. 32．【答案】 【分析】先将化为对应对数式，再通过换底公式与对数运算性质拆解目标对数，再代入已知关系化简可得. 【详解】由，根据对数定义可得； 由，根据换底公式，得. 再根据换底公式 . 因此. 33．【答案】 【详解】由换底公式可得： ， 又 ， ，又， 所以. 34．【答案】 【详解】. 35．【答案】 【分析】根据对数运算法则即可求解. 【详解】. 1．【答案】C 【分析】先利用对数的运算性质化简已知等式，得到的关系，再结合基本不等式求解目标式的最值. 【详解】∵， ∴，且均为正数. ∴， 当且仅当即（）时等号成立，故原式最小值为6. 2．【答案】B 【分析】利用对数换底公式化简已知条件，得到与的关系式，再用基本不等式求最小值. 【详解】由换底公式可得 ， 原式化为 ，所以 ， 因为，由基本不等式得， 当且仅当，即时，取等号成立. 所以的最小值是. 3．【答案】D 【分析】设，由已知条件可得，求出t，即可得，结合可求出n的值，继而求出m，即可求得答案. 【详解】设，则，由于，则， 故由可得，即， 解得，舍去， 故，即得， 又，则，即，结合，得， 故，则. 4．【答案】C 【分析】由指数函数运算性质可得，由对数函数的性质可得，再由基本不等式求解即可. 【详解】因为，且，所以， 因为，当且仅当，即，时等号成立， 故的最小值为. 5．【答案】 【分析】利用对数的运算法则化简得出关于的一元二次方程，利用求解. 【详解】因为，所以， 则 设，则且关于的一元二次方程有实根， ，即， 则或，即或， 故的取值范围是 6． 【答案】32 【分析】先利用已知条件求出指数衰减模型中的参数，再代入目标剩余量，通过对数运算解出所需时间. 【详解】依题意有，即， 两边取对数得，所以，得到， 当容器上方细沙只有开始时的时， 则有，所以， 两边取对数得，所以， 即需要经过的时间为32分钟． 故答案为：. 7．【答案】 【分析】根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，，则， 又因为，则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 1．【答案】C 【分析】令，得，再结合对数的运算求解． 【详解】令， 得， 对于A项，，故A项正确； 对于B项，当时，得，则， 得，故B项正确； 对于C项，当时，得，而， 则，得，但推不出，故C项错误； 对于D项，当时，得， 则 ， 而，得，得，得， 得，而， 得，得，得，故D项正确． 2．【答案】B 【分析】根据当，时，求解即可. 【详解】当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 此时； 取，则有， 则的值为. 故选：B 3．【答案】68 【分析】先找出的关系，再分别进行讨论即可 【详解】设，则或4， 于是或．由于， 当时，，此时共有62个； 当时，，此时共有6个， 所以集合的元素个数为68． 故答案为： 1．【答案】C 【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出． 【详解】因为，，即，所以． 故选：C. 2．【答案】C 【分析】根据对数的性质可求代数式的值. 【详解】原式 ， 故选：C 3．【答案】64 【分析】将利用换底公式转化成来表示即可求解. 【详解】由题，整理得， 或，又， 所以，故 故答案为：64. 4．【答案】D 【分析】根据题意分析可得，消去即可求解. 【详解】由题意得，则，即，所以. 故选：D. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $