3.2对数课时作业- 2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

沪教版·必修第一册 3.2 对数 3.2 对数 课时作业 沪教版·必修第一册 第3章 幂、指数与对数 班级__________ 姓名__________ 得分________ 一、知识梳理 1. 对数的定义 （1）定义：一般地，如果 （ 且 ，），那么数 叫做以 为底 的对数，记作 　　， 其中 叫做对数的底数， 叫做真数。 图 3-1 指数式与对数式的互化 （2）互化关系：（，，）。指数式与对数式是同一关系的两种不同写法，底数不变，指数与对数互换位置。 （3）两个重要限制： 　①底数 且 ；　②真数 ，即零和负数没有对数。 （4）常用对数与自然对数： 名称 底数 记法 举例 常用对数 （即 ） 自然对数 （即 ） （5）基本性质（，）： 　①；　②；　③（）； 　④对数恒等式：（）。 易错提醒：写对数式之前一定要先检查真数是否为正、底数是否符合要求。例如 有意义的条件是 。 2. 对数的运算性质 设 ，，，，则 名称 公式 文字叙述 积的对数 积的对数等于对数的和 商的对数 商的对数等于对数的差 幂的对数 （） 幂的对数等于指数乘以对数 方根的对数 由幂的对数直接得到 推导（积的对数）：设 ，，则 ，， 于是 ，由定义得 。 易错提醒： 　①；　②； 　③ 要求 ；而 （）才是恒等式。 常用结论：，这是常用对数计算中最常用的一条。 3. 对数的换底公式 （1）换底公式：（，；；，）。 推导：设 ，则 。两边取以 为底的对数得 ， 因为 ，故 ，所以 。 （2）常用推论： 　①，即 （、 均为正数且不等于 ）； 　②（）； 　③（链式相乘，"首尾相接"）。 （3）作用：把不同底的对数化为同底（常换成以 或以 为底），便于计算与化简；也便于用计算器求值。 4. 典型例题 例1　求下列各式的值：（1）；（2）；（3）。 解：（1）设 ，则 ，故 。 （2）设 ，则 ，即 ，故 。 （3）。 例2　计算 。 解：；由对数恒等式得 。 所以原式 。 例3　已知 ，用 表示 与 。 解：由推论①得 ； 。 5. 对数运算的常用技巧 （1）"凑 "：常用对数计算中，看到 与 就想到 ；看到 与 、 与 也要立刻联想到它们的乘积是 的整数次幂。 （2）化幂为积：把真数中的 、、、、 等先写成 、 的幂或分数指数幂，再用幂的对数公式把指数提到前面。 （3）统一底数：题中出现多个不同底的对数时，一律用换底公式换成以 （或以题中出现最多的那个数）为底。 （4）整体代换：已知 、 一类条件时，把待求式的真数分解成 、、 的乘积或商。例如 　　。 （5）先定义域，后变形，再检验：这是处理一切含对数的方程与化简问题的基本程序。 二、课时作业 （一）选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1．若 ，则 用对数式表示为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 2． 的值是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 3．使 有意义的 的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 4． 的值是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 5． 的值是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 6． 的值是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 7．已知 ，，则 等于（　　） A．　　B．　　C．　　D． 8．若 ，（，），则 等于（　　） A．　　B．　　C．　　D． （二）填空题（每小题 5 分，共 30 分） 9．把指数式 化为对数式是　　　　　　；把对数式 化为指数式是　　　　　　． 10．　　　　　　． 11．　　　　　　． 12．　　　　　　． 13．若 ，则 　　　　　　． 14．　　　　　　． （三）解答题（共 50 分） 15．（8 分）求下列各式的值： （1）；　（2）；　（3）（，）。 16．（8 分）计算： （1）；　（2）；　（3）。 17．（10 分）用 、、 表示下列各式（式中字母均为正数， 且 ）： （1）；　（2）。 18．（12 分）已知 ，，求下列各式的近似值（结果保留四位小数）： （1）；　（2）；　（3）。 19．（12 分）解下列关于 的方程： （1）；　（2）。 三、参考答案与解析 （一）选择题 1．A　由定义 ，底数 不变，指数 成为对数值，真数为 ，故 。选 A。 2．B　设 ，则 ，故 。选 B。 3．C　真数必须大于零，故 ，解得 。选 C。 4．B　，故原式 。选 B。 5．B　由对数恒等式 得 。选 B。 6．B　由换底公式（链式相乘）得 。选 B。 （也可这样算：。） 7．B　。选 B。 8．C　。由 得 ；由 得 。 所以 。选 C。 （二）填空题 9．；　 解析：互化时底数不变，指数与对数值互换。 中底数为 、指数为 、幂为 ，故对数式为 。 10． 解析：。也可用推论②：。 11． 解析：。 12． 解析：提取公因式 ： 原式 。 13． 解析：由定义得 ，故 。检验： 时真数 ，符合。 14． 解析：连续使用链式换底：，再乘 得 ，再乘 得 。 （三）解答题 15．解：（1）设 ，则 ，故 。 （2）设 ，则 ，即 ，故 ，。 （3），，故原式 。 16．解：（1）。 （2）。 （3）；又 。 所以原式 。 17．解：（1） 。 （2）。 注意：先用商的对数拆开分子分母，再用积的对数拆开各因式，最后用幂的对数把指数提到前面，顺序不能乱。 18．解：（1）。 （2）。 （3） 。 19．解：（1）由真数为正得 且 ，故 。 原方程化为 ，即 ， 所以 ， 或 。因 ，故 舍去，得 。 （2）由真数为正得 且 ，故 。 原方程化为 ，即 ， 所以 ，，。检验 ，符合要求。 警示：解对数方程必须先确定定义域（真数大于零），最后代回检验，否则极易产生增根。 四、变式训练（选做） 20．已知 ，，试用 、 表示 ，并求 。 21．计算：。 22．已知 ，，且 ，求 的值。 23．计算：。 24．已知 ，，且 ，求 的值。 变式训练参考答案 20．解：由换底公式的链式推论得 。 又 。 21．解：由推论 得 。 22．解：由 ，故已知条件即 。 因为常用对数的真数相等时两数相等，所以 。 又 ，，故 。 23．解：注意到 ，故 。于是 原式 。 24．解：由对数有意义得 ，，。 原式化为 ，故 。 展开得 ，即 ， 因式分解得 ，所以 或 。 若 ，则 ，与 矛盾，舍去； 若 ，则 ，符合要求。 所以 。 本节易错点小结 （1）忽视真数大于零、底数大于零且不等于 的限制条件； （2）误认为 或 ； （3） 与 混为一谈（前者是换底公式的形式，后者是商的对数）； （4）解对数方程时不验根，把增根当作方程的解； （5） 中把 可能为负的情形忽略。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $