4.1 幂函数（分层作业练题型）高一数学沪教版必修第一册

分层作业 4.1 幂函数 A组 巩固过关 题型01判断函数是否为幂函数 题型02求幂函数的解析式或函数值 题型03幂函数的定义域 题型04幂函数的值域 题型05幂函数的图象 题型06幂函数过定点问题 题型07判断幂函数或与其相关的复合函数的单调性 题型08利用幂函数的单调性比较大小或解不等式 题型09根据幂函数的单调性求参数 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 ( 题型0 1 )判断函数是否为幂函数 1．下列函数中，不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂函数的定义判定选项即可. 【详解】形如（为常数）的函数为幂函数，故A、B、C均为幂函数，D错误. 故选：D 2．下面的函数中是幂函数的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．①⑤ B．①②③ C．②④ D．②③⑤ 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义判断即可. 【详解】由幂函数定义可知，②④是幂函数， 故选：C. 3．“”是“是幂函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由幂函数的定义求出的值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若是幂函数，则，解得或； 所以由推得出是幂函数，故充分性成立； 由是幂函数推不出，故必要性不成立； 所以“”是“是幂函数”的充分不必要条件. 故选：A 4．“函数是幂函数”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．既不充分也不必要条件 C．必要不充分条件 D．充要条件 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义求出参数的值，再根据充分条件、必要条件的定义判断. 【详解】若函数是幂函数， 则，解得或； 则由“函数是幂函数”推不出“”，故充分性不成立； 由“”推得出“函数是幂函数”，故必要性成立； 所以“函数是幂函数”是“”的必要不充分条件. 故选：C ( 题型0 2 )求幂函数的解析式或函数值 5．已知幂函数的图象经过点，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，由图像经过点得，解得， 则的定义域为， 要使有意义，要满足解得，则的定义域为． 6．已知幂函数的图象过点，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据题目条件求出幂函数的表达式，再代入值即可求解． 【详解】幂函数的一般形式为（为常数），所以， 解得，故幂函数解析式为， ． 故选：B． 7．已知幂函数的图象经过点，则______. 【答案】/ 【详解】因为为幂函数，故设， 由题意得， 故，所以. 8．已知幂函数的图象过点，则___________. 【答案】/ 【分析】根据幂函数图象上的点求出解析式，利用解析式求值即可. 【详解】为幂函数， 可设， ，解得：， ， . 9．已知函数为幂函数，且，则______． 【答案】1 【分析】根据条件得，，从而得，再代入即可求解. 【详解】因为函数为幂函数，则，，所以， 则， 故答案为：. ( 题型0 3 )幂函数的定义域 10．幂函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数的定义直接求出定义域. 【详解】函数的定义域为. 故选：B 11．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求使函数有意义的的取值范围可得答案. 【详解】由已知解得，所以f(x)的定义域为． 故选：B． 12．若函数则函数y＝f(4 x－3)的定义域是(　　) A．(－∞，＋∞) B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，根据幂函数的定义域求解即可. 【详解】幂函数， , 所以，所以， 所以函数的定义域是，故选D. 【点睛】本题主要考函数的定义域、不等式的解法，属于简单题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出. 13．在函数①；②；③；④；⑤；⑥中，定义域是的有________个． 【答案】3 【分析】根据次方根，分数指数幂的意义来求解函数的定义域，利用非负数存在偶次方根，任意的实数存在奇次方根来求解函数的定义域． 【详解】解：①的定义域为； ②的定义域为； ③的定义域为； ④的定义域为； ⑤的定义域为； ⑥的定义域为． 故定义域为的有①③⑥，共3个， 故答案为：3． 14．若幂函数的定义域为R，则m=______________． 【答案】1 【分析】根据幂函数的定义，可得m值，代入检验，结合定义域，即可得答案. 【详解】因为为幂函数，所以，解得或， 当时，，定义域为R，符合题意； 当时，，定义域为，不符合题意. 故 ( 题型0 4 )幂函数的值域 15．在下列函数中，定义域和值域不同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把幂函数写成根式的形式即可求出定义域及值域，逐项分析即可得解. 【详解】由可知，,，定义域、值域相同； 由可知，，定义域、值域相同； 由可知，,，定义域、值域相同； 由可知，，，定义域、值域不相同. 故选：D 16．已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出分段函数在各段上的函数值集合，再根据给定值域，列出不等式求解作答. 【详解】函数在上单调递减，其函数值集合为， 当时，的取值集合为，的值域，不符合题意， 当时，函数在上单调递减，其函数值集合为， 因函数的值域为，则有，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D 17．（1）函数的定义域是________，值域是________； （2）函数的定义域是________，值域是________； （3）函数的定义域是________，值域是________； （4）函数的定义域是________，值域是________． 【答案】 【分析】画出对应幂函数的图像，结合幂函数的图像特征，写出定义域与值域 【详解】（1）幂函数图像如图所示，定义域为，值域为, （2）幂函数图像如图所示，定义域为，值域为, （3）幂函数图像如图所示，定义域为，值域为, （4）幂函数图像如图所示，定义域为，值域为, 故答案为：（1）;, （2）;, （3）;, （4）;. 18．下列函数中，定义域和值域不相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数、反比例函数、幂函数和分段函数的性质，逐个选项进行判断即可得到答案. 【详解】对于A：函数的定义域为，值域也为，不符合题意； 对于B：函数的定义域和值域都为，不符合题意； 对于C：的定义域和值域都为，不符合题意； 对于D：的定义域为； 当时，；当时，； 所以值域为，定义域和值域不相同，符合题意； 故选：D． 19．幂函数中a的取值集合C是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出各幂函数的定义域和值域，得到答案. 【详解】当时，定义域和值域均为，符合题意； 时，定义域为，值域为，故不合题意； 时，定义域为，值域为，符合题意； 时，定义域与值域均为R，符合题意； 时，定义域为R，值域为，不符合题意； 时，定义域与值域均为R，符合题意. 故选：C 20．函数在区间[－4，－2]上的最小值是____． 【答案】/－0.125 【分析】根据幂函数的单调性即可求解. 【详解】解析：因为函数在(－∞，0)上单调递减， 所以当x＝－2时，． 故答案为：. ( 题型0 5 )幂函数的图象 21．已知幂函数的图象经过点，则图象的大致形状为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，由，得， 解得，所以， 的定义域为，是偶函数，在上单调递减， 所以图象的大致形状与选项A中的图象一致． 22．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先判断函数的定义域和值域，再根据幂函数的性质判断即可. 【详解】函数的定义域为，值域为，排除B，D选项， 又函数函数图像为曲线非直线，故C错误， A选项图像大致符合函数图像. 故选：A 23．如图是某幂函数的图象，则该幂函数可能是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的单调性与图象可得出合适的选项. 【详解】由图可知，该幂函数的定义域为，而ABC选项中的幂函数的定义域均为， 幂函数的定义域为，符合题意， 由图可知，该幂函数在上为增函数，且在第一象限内的图象呈“上凸”状， 故该函数为. 故选：D. 24．幂函数的图像是（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的性质和单调性确定结果即可. 【详解】因为幂函数的定义域为， 而选项B中的图象取不到，所以B错误； 因为幂函数为偶函数，而D选项的图象关于原点对称，所以D错误； 因为，根据幂函数的单调性和变化幅度可知选项A符合，C错误. 故选：A. 25．已知下图中给出了①，②，③，④四个幂函数的图象，按照图象从左往右的顺序，则函数的大致对应依次为______________．（用数字序号表示） 【答案】 ④①③② 【分析】根据幂函数的定义域、奇偶性以及图象的分布特征，将四个函数解析式与图象一一对应即可． 【详解】对于函数①，其定义域为，且，该函数为偶函数，图象关于轴对称，且过原点，对应图中从左往右数的第二个图象； 对于函数②，其定义域为，图象不过原点，且分布在第一、三象限，对应图中从左往右数的第四个图象； 对于函数③，其定义域为，图象只分布在第一象限（含原点），对应图中从左往右数的第三个图象； 对于函数④，其定义域为，且，该函数为奇函数，图象关于原点对称，且过原点，在第一象限内增长较快，对应图中从左往右数的第一个图象； 综上所述，按照图象从左往右的顺序，函数的大致对应依次为④①③②． 26．若，且函数与的图象有两个交点，则满足条件的不同集合有______个． 【答案】4 【分析】作出函数图象，结合图象分析交点个数，进而可得集合A. 【详解】分别作出函数、、和的图象，如图所示， 可知与、、的交点个数分别为1、1、2； 与、的交点个数分别为2、2； 与的交点个数为2； 可知集合或或或， 所以满足条件的不同集合有4个. 故答案为：4. ( 题型0 7 )幂函数过定点问题 27．函数的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用幂函数的图象与性质，即可求解. 【详解】由函数，令，可得且， 所以函数的图象恒过定点. 28．函数（是有理数）的图象过一定点，则的坐标为______. 【答案】 【分析】根据幂函数恒过定点求解. 【详解】由幂函数的性质可知，恒过定点， 故答案为： 29．幂函数的图象不可能在第四象限，但所有图象过定点，定点坐标为__________. 【答案】 【分析】根据幂函数的图象与性质，直接求出定点坐标即得. 【详解】因为对任意实数，当时，， 所以所有幂函数的图象都过点. 故答案为： 30．已知函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，，则的最小值为_________. 【答案】4 【分析】求出函数的图象恒过定点，得到，使用基本不等式求的最小值. 【详解】函数的图象恒过定点，所以 , 因为，所以， 当时，的最小值为4. 故答案为：4 ( 题型0 8 )判断幂函数或与其相关的复合函数的单调性 31．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】选项A：函数为偶函数，在区间上单调递增，符合； 选项B：函数的定义域为，定义域不关于原点对称，因此该函数不具备奇偶性，不符合； 选项C：函数，即，为奇函数，且在区间上单调递减，不符合； 选项D：函数为奇函数，不符合. 32．下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A：在上单调递增，所以A错误； 对于B：在上单调递增，所以B错误； 对于C：在上单调递减，所以C正确； 对于D：在上单调递增，所以D错误. 33．已知幂函数的图象经过点，则的增区间为__________． 【答案】 【分析】先根据幂函数过的点求出其函数表达式，然后结合复合函数单调性单调性即可求解. 【详解】由题意设幂函数为，则，所以，解得，所以，其定义域为， 而关于在上分别单调递减、单调递增， 关于在定义域内单调递增，在均是单调递减， 由复合函数单调性可知在上分别单调递增、单调递减. 故答案为：. 34．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由根式性质求定义域，结合二次函数和幂函数的性质确定增区间. 【详解】由题意，令，即或， 根据二次函数性质知：在上递减，在上递增 又在定义域上递增，故的单调递增区间为. 故选：C 35．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于函数，由可得，解得， 故函数的定义域为， 令，内层函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 而外层函数在上为增函数， 由复合函数的单调性可知函数的增区间为. 36．函数的单调递增区间是______. 【答案】 【分析】先求出函数的定义域，在定义域内，根据二次函数、幂函数及复合函数的单调性即可求出该函数的增区间． 【详解】由得或， ∴函数的定义域为． ∵函数在上单调递减，在上单调递增， 又∵函数在其定义域上单调递减， ∴函数在上单调递增，在上单调递减． 故答案为：． ( 题型0 9 )利用幂函数的单调性比较大小或解不等式 37．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】等价于，故“”是“”的充要条件. 38．函数，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定幂函数的定义域与单调性，再将函数不等式转化为关于的不等式组，求解后取交集得到解集. 【详解】 的定义域为，因 ，则在上单调递减， 于是 ，解得. 故不等式的解集为. 39．已知 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的单调性判断即可. 【详解】. 因为单调递增，且，所以，即. 40．若，则它们的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造幂函数，利用函数的单调性，即可得到的大小关系. 【详解】由幂函数在上单调递增，且， 所以，即. 41．不等式的解集为_________. 【答案】 【详解】因为幂函数在上单调递增， 所以原不等式等价于 ，解得, 因此原不等式的解集为． 42．已知，则的大小关系是______．（用小于号连接） 【答案】 【分析】利用幂函数的单调性判断即可. 【详解】由， 因为幂函数在单调递增， 且，所以， 故答案为：. 43．已知幂函数过点，若不等式成立，则满足不等式的实数m的解集是_________. 【答案】 【详解】由题可设幂函数，则，即， 所以， 所以，即， 所以该函数定义域为，且该函数在上单调递减， 所以若不等式成立， 则，解得，即满足不等式的实数m的解集是. ( 题型 10 )根据幂函数的单调性求参数 44．已知幂函数 ，若 ， 且 都有 成立，则 的值为（    ） A． B． C． 或 D． 【答案】B 【分析】令，解出，再根据在为增函数，即可求解. 【详解】由题意得：令，即，解得或， 又， 且 都有 ， 所以在为增函数，所以. 45．已知幂函数在上单调递减，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【详解】由幂函数在上单调递减， 得，所以. 46．已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义及单调性求解即可. 【详解】因为是幂函数，所以，解得，或. 又函数在单调递减，要求指数，所以. 47．设命题：函数是在上单调递增的幂函数；命题：实数满足，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据幂函数的图象与性质求得或，结合充分条件、必要条件的定义即可求解. 【详解】∵幂函数在上单调递增， ∴，解得或； 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 48．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为_________． 【答案】 【分析】分段函数的两段都是减函数，两端端点处函数值左边不小于右边，由此列不等式计算求解． 【详解】依题意，在上单调递减， 在上单调递减，两端端点处函数值左边不小于右边， 故，解得， 所以实数的取值范围为. 1．已知幂函数，若函数与函数的图象关于直线对称，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】通过两函数的对称性得到，即可求解. 【详解】因为函数与函数的图象关于直线对称， 则对于上任意一点，其关于的对称点一定在上，即 ， 则， 又，可得： ， 因此. 2．已知函数，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】先根据分段函数的定义，分情况讨论和的符号，由求出参数 ，再代入更新后的函数，从内到外依次计算和. 【详解】若，则，因为函数在单调递增， 且，所以方程无解； 若，，则， 得到，即， 整理得，解得（舍）或； 若，因为函数在单调递减， 且，所以方程无解； 综上，，， 所以，. 故选：B. 3．函数 的图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用定义判断函数的奇偶性，根据偶函数图象的对称性进行选择. 【详解】因为，定义域为， 且，所以函数为偶函数，图象关于轴对称. 4个选项中，只有A选项符合. 4．已知函数满足：对任意的，有，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据单调性的定义，可得在R上单调递增，根据解析式，结合单调性，列出不等式，即可得答案. 【详解】因为对任意的，有， 所以在R上单调递增， 因为， 所以，解得， 则实数的取值范围是. 5．幂函数的图象过点，则函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设幂函数，先求出，.再换元利用二次函数图象和性质求解. 【详解】设幂函数， 因为函数的图象过点， 所以，所以， 故， 所以. 令，所以， 则， 所以当时，. 故选：C. 6．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数，在上单调递增，可得结论. 【详解】因为在上单调递增，又，所以， 又因为在上单调递增，又，所以， 故. 故选：A. 7．已知幂函数. (1)求的解析式； (2)设，证明：在其定义域上单调递减. 【答案】(1)； (2)，定义域为， 任取，则， 因为，则，， 则，即，则在上单调递减 【分析】（1）根据幂函数定义得到方程组，解出即可； （2）取值、作差再有理化即可判断其单调性. 【详解】（1）由题意得，解得， 则. （2）略 1．已知函数，在实数集上满足：对，都有，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题目信息可以得到函数在上单调递增，根据分段函数单调递增的条件列不等式即可求解. 【详解】不妨令，即时， 由可知，即， 所以函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 故，即， 此时函数在上单调递增， 所以若函数在上单调递增，则， 解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 2．已知幂函数在上单调递减． (1)求函数的解析式； (2)若，，求的取值范围； (3)若对任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）依据幂函数系数为 1 的定义求解m的取值，再结合函数的单调性验证取舍，最终得到函数解析式； （2）先判断的奇偶性与正半轴单调性，利用偶函数性质将函数不等式转化为自变量绝对值的大小关系，平方后解二次不等式得到解集； （3）将 “任意，都存在” 的双量词问题转化为最值关系，利用关于的一次函数单调性求出右侧表达式的最大值，解二次不等式得到的取值范围. 【详解】（1）由幂函数在上单调递减， 可得，解得或， 当时，，为偶函数，在上单调递减，在上单调递增，不合题意， 当时，，在上单调递减，满足题意， 所以． （2）由知，定义域为，为偶函数且在上单调递增， 则可化为，平方得， 化简得，解得，所以的取值范围是． （3）由（1）知， 因为对，都成立， 所以，其中， 由（1）可得函数在上的最大值为4，所以， 因为存在，使得成立，可得， 又因为，所以是关于的单调递增函数， 所以，即，解得或， 所以实数的取值范围为． 3．已知幂函数的图象关于轴对称． (1)求的值； (2)设，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用幂函数的定义及性质计算即可； （2）将问题化为的值域为函数的值域的子集，利用集合间的基本关系计算参数即可. 【详解】（1）由幂函数定义，知，解得或， 当时，的图象不关于轴对称，舍去， 当时，的图象关于轴对称，符合题意，因此． （2）由上易知， 由于对任意的，总存在，使成立， 设函数在上的值域为集合，函数在的值域为集合， 所以， 易知当时，的值域，则集合， 当时，的值域为，则集合， 又，得，解得. 1．（2022·上海·高考真题）下列函数定义域为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】化分数指数幂为根式，分别求出四个选项中函数的定义域得答案． 【解答】，定义域为， ，定义域为， ，定义域为， ，定义域为． 故选：C． 2．（2026·上海·高考真题）已知函数是偶函数，当时，，若，则__________． 【答案】 【分析】根据偶函数的性质求解. 【详解】因为函数是偶函数，当时，， 所以，解得. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 4.1 幂函数 A组 巩固过关 题型01判断函数是否为幂函数 题型02求幂函数的解析式或函数值 题型03幂函数的定义域 题型04幂函数的值域 题型05幂函数的图象 题型06幂函数过定点问题 题型07判断幂函数或与其相关的复合函数的单调性 题型08利用幂函数的单调性比较大小或解不等式 题型09根据幂函数的单调性求参数 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 ( 题型0 1 )判断函数是否为幂函数 1．下列函数中，不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 2．下面的函数中是幂函数的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．①⑤ B．①②③ C．②④ D．②③⑤ 3．“”是“是幂函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．“函数是幂函数”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．既不充分也不必要条件 C．必要不充分条件 D．充要条件 ( 题型0 2 )求幂函数的解析式或函数值 5．已知幂函数的图象经过点，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 6．已知幂函数的图象过点，则（    ） A．2 B． C．3 D． 7．已知幂函数的图象经过点，则______. 8．已知幂函数的图象过点，则___________. 9．已知函数为幂函数，且，则______． ( 题型0 3 )幂函数的定义域 10．幂函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 11．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 12．若函数则函数y＝f(4 x－3)的定义域是(　　) A．(－∞，＋∞) B． C． D． 13．在函数①；②；③；④；⑤；⑥中，定义域是的有________个． 14．若幂函数的定义域为R，则m=______________． ( 题型0 4 )幂函数的值域 15．在下列函数中，定义域和值域不同的是（    ） A． B． C． D． 16．已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 17．（1）函数的定义域是________，值域是________； （2）函数的定义域是________，值域是________； （3）函数的定义域是________，值域是________； （4）函数的定义域是________，值域是________． 18．下列函数中，定义域和值域不相同的是（    ） A． B． C． D． 19．幂函数中a的取值集合C是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为（    ） A． B． C． D． 20．函数在区间[－4，－2]上的最小值是____． ( 题型0 5 )幂函数的图象 21．已知幂函数的图象经过点，则图象的大致形状为（    ） A． B． C． D． 22．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 23．如图是某幂函数的图象，则该幂函数可能是（   ）    A． B． C． D． 24．幂函数的图像是（   ）. A． B． C． D． 25．已知下图中给出了①，②，③，④四个幂函数的图象，按照图象从左往右的顺序，则函数的大致对应依次为______________．（用数字序号表示） 26．若，且函数与的图象有两个交点，则满足条件的不同集合有______个． ( 题型0 7 )幂函数过定点问题 27．函数的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 28．函数（是有理数）的图象过一定点，则的坐标为______. 29．幂函数的图象不可能在第四象限，但所有图象过定点，定点坐标为__________. 30．已知函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，，则的最小值为_________. ( 题型0 8 )判断幂函数或与其相关的复合函数的单调性 31．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 32．下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 33．已知幂函数的图象经过点，则的增区间为__________． 34．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 35．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 36．函数的单调递增区间是______. ( 题型0 9 )利用幂函数的单调性比较大小或解不等式 37．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 38．函数，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 39．已知 ，，，则（　　） A． B． C． D． 40．若，则它们的大小关系是（ ） A． B． C． D． 41．不等式的解集为_________. 42．已知，则的大小关系是______．（用小于号连接） 43．已知幂函数过点，若不等式成立，则满足不等式的实数m的解集是_________. ( 题型 10 )根据幂函数的单调性求参数 44．已知幂函数 ，若 ， 且 都有 成立，则 的值为（    ） A． B． C． 或 D． 45．已知幂函数在上单调递减，则（    ） A． B． C．或 D． 46．已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 47．设命题：函数是在上单调递增的幂函数；命题：实数满足，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 48．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为_________． 1．已知幂函数，若函数与函数的图象关于直线对称，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．已知函数，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 3．函数 的图象是（　　） A． B． C． D． 4．已知函数满足：对任意的，有，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．幂函数的图象过点，则函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 6．若，则（    ） A． B． C． D． 7．已知幂函数. (1)求的解析式； (2)设，证明：在其定义域上单调递减. 1．已知函数，在实数集上满足：对，都有，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．已知幂函数在上单调递减． (1)求函数的解析式； (2)若，，求的取值范围； (3)若对任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围． 3．已知幂函数的图象关于轴对称． (1)求的值； (2)设，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围． 1．（2022·上海·高考真题）下列函数定义域为的是（　　） A． B． C． D． 2．（2026·上海·高考真题）已知函数是偶函数，当时，，若，则__________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 4.1 幂函数 参考答案 ( 题型0 1 )判断函数是否为幂函数 1．【答案】D 【分析】利用幂函数的定义判定选项即可. 【详解】形如（为常数）的函数为幂函数，故A、B、C均为幂函数，D错误. 故选：D 2．【答案】C 【分析】根据幂函数的定义判断即可. 【详解】由幂函数定义可知，②④是幂函数， 故选：C. 3．【答案】A 【分析】由幂函数的定义求出的值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若是幂函数，则，解得或； 所以由推得出是幂函数，故充分性成立； 由是幂函数推不出，故必要性不成立； 所以“”是“是幂函数”的充分不必要条件. 故选：A 4．【答案】C 【分析】根据幂函数的定义求出参数的值，再根据充分条件、必要条件的定义判断. 【详解】若函数是幂函数， 则，解得或； 则由“函数是幂函数”推不出“”，故充分性不成立； 由“”推得出“函数是幂函数”，故必要性成立； 所以“函数是幂函数”是“”的必要不充分条件. 故选：C ( 题型0 2 )求幂函数的解析式或函数值 5．【答案】A 【详解】设，由图像经过点得，解得， 则的定义域为， 要使有意义，要满足解得，则的定义域为． 6．【答案】B 【分析】根据题目条件求出幂函数的表达式，再代入值即可求解． 【详解】幂函数的一般形式为（为常数），所以， 解得，故幂函数解析式为， ． 故选：B． 7．【答案】/ 【详解】因为为幂函数，故设， 由题意得， 故，所以. 8．【答案】/ 【分析】根据幂函数图象上的点求出解析式，利用解析式求值即可. 【详解】为幂函数， 可设， ，解得：， ， . 9．【答案】1 【分析】根据条件得，，从而得，再代入即可求解. 【详解】因为函数为幂函数，则，，所以， 则， 故答案为：. ( 题型0 3 )幂函数的定义域 10．【答案】B 【分析】利用幂函数的定义直接求出定义域. 【详解】函数的定义域为. 故选：B 11．【答案】B 【分析】求使函数有意义的的取值范围可得答案. 【详解】由已知解得，所以f(x)的定义域为． 故选：B． 12．【答案】D 【分析】先求出，根据幂函数的定义域求解即可. 【详解】幂函数， , 所以，所以， 所以函数的定义域是，故选D. 【点睛】本题主要考函数的定义域、不等式的解法，属于简单题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出. 13．【答案】3 【分析】根据次方根，分数指数幂的意义来求解函数的定义域，利用非负数存在偶次方根，任意的实数存在奇次方根来求解函数的定义域． 【详解】解：①的定义域为； ②的定义域为； ③的定义域为； ④的定义域为； ⑤的定义域为； ⑥的定义域为． 故定义域为的有①③⑥，共3个， 故答案为：3． 14．【答案】1 【分析】根据幂函数的定义，可得m值，代入检验，结合定义域，即可得答案. 【详解】因为为幂函数，所以，解得或， 当时，，定义域为R，符合题意； 当时，，定义域为，不符合题意. 故 ( 题型0 4 )幂函数的值域 15．【答案】D 【分析】把幂函数写成根式的形式即可求出定义域及值域，逐项分析即可得解. 【详解】由可知，,，定义域、值域相同； 由可知，，定义域、值域相同； 由可知，,，定义域、值域相同； 由可知，，，定义域、值域不相同. 故选：D 16．【答案】D 【分析】求出分段函数在各段上的函数值集合，再根据给定值域，列出不等式求解作答. 【详解】函数在上单调递减，其函数值集合为， 当时，的取值集合为，的值域，不符合题意， 当时，函数在上单调递减，其函数值集合为， 因函数的值域为，则有，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D 17．【答案】 【分析】画出对应幂函数的图像，结合幂函数的图像特征，写出定义域与值域 【详解】（1）幂函数图像如图所示，定义域为，值域为, （2）幂函数图像如图所示，定义域为，值域为, （3）幂函数图像如图所示，定义域为，值域为, （4）幂函数图像如图所示，定义域为，值域为, 故答案为：（1）;, （2）;, （3）;, （4）;. 18．【答案】D 【分析】根据一次函数、反比例函数、幂函数和分段函数的性质，逐个选项进行判断即可得到答案. 【详解】对于A：函数的定义域为，值域也为，不符合题意； 对于B：函数的定义域和值域都为，不符合题意； 对于C：的定义域和值域都为，不符合题意； 对于D：的定义域为； 当时，；当时，； 所以值域为，定义域和值域不相同，符合题意； 故选：D． 19．【答案】C 【分析】分别求出各幂函数的定义域和值域，得到答案. 【详解】当时，定义域和值域均为，符合题意； 时，定义域为，值域为，故不合题意； 时，定义域为，值域为，符合题意； 时，定义域与值域均为R，符合题意； 时，定义域为R，值域为，不符合题意； 时，定义域与值域均为R，符合题意. 故选：C 20．【答案】/－0.125 【分析】根据幂函数的单调性即可求解. 【详解】解析：因为函数在(－∞，0)上单调递减， 所以当x＝－2时，． 故答案为：. ( 题型0 5 )幂函数的图象 21．【答案】A 【详解】设，由，得， 解得，所以， 的定义域为，是偶函数，在上单调递减， 所以图象的大致形状与选项A中的图象一致． 22．【答案】A 【分析】首先判断函数的定义域和值域，再根据幂函数的性质判断即可. 【详解】函数的定义域为，值域为，排除B，D选项， 又函数函数图像为曲线非直线，故C错误， A选项图像大致符合函数图像. 故选：A 23．【答案】D 【分析】根据幂函数的单调性与图象可得出合适的选项. 【详解】由图可知，该幂函数的定义域为，而ABC选项中的幂函数的定义域均为， 幂函数的定义域为，符合题意， 由图可知，该幂函数在上为增函数，且在第一象限内的图象呈“上凸”状， 故该函数为. 故选：D. 24．【答案】A 【分析】根据幂函数的性质和单调性确定结果即可. 【详解】因为幂函数的定义域为， 而选项B中的图象取不到，所以B错误； 因为幂函数为偶函数，而D选项的图象关于原点对称，所以D错误； 因为，根据幂函数的单调性和变化幅度可知选项A符合，C错误. 故选：A. 25．【答案】 ④①③② 【分析】根据幂函数的定义域、奇偶性以及图象的分布特征，将四个函数解析式与图象一一对应即可． 【详解】对于函数①，其定义域为，且，该函数为偶函数，图象关于轴对称，且过原点，对应图中从左往右数的第二个图象； 对于函数②，其定义域为，图象不过原点，且分布在第一、三象限，对应图中从左往右数的第四个图象； 对于函数③，其定义域为，图象只分布在第一象限（含原点），对应图中从左往右数的第三个图象； 对于函数④，其定义域为，且，该函数为奇函数，图象关于原点对称，且过原点，在第一象限内增长较快，对应图中从左往右数的第一个图象； 综上所述，按照图象从左往右的顺序，函数的大致对应依次为④①③②． 26．【答案】4 【分析】作出函数图象，结合图象分析交点个数，进而可得集合A. 【详解】分别作出函数、、和的图象，如图所示， 可知与、、的交点个数分别为1、1、2； 与、的交点个数分别为2、2； 与的交点个数为2； 可知集合或或或， 所以满足条件的不同集合有4个. 故答案为：4. ( 题型0 7 )幂函数过定点问题 27．【答案】B 【分析】根据题意，利用幂函数的图象与性质，即可求解. 【详解】由函数，令，可得且， 所以函数的图象恒过定点. 28．【答案】 【分析】根据幂函数恒过定点求解. 【详解】由幂函数的性质可知，恒过定点， 故答案为： 29．【答案】 【分析】根据幂函数的图象与性质，直接求出定点坐标即得. 【详解】因为对任意实数，当时，， 所以所有幂函数的图象都过点. 故答案为： 30．【答案】4 【分析】求出函数的图象恒过定点，得到，使用基本不等式求的最小值. 【详解】函数的图象恒过定点，所以 , 因为，所以， 当时，的最小值为4. 故答案为：4 ( 题型0 8 )判断幂函数或与其相关的复合函数的单调性 31．【答案】A 【详解】选项A：函数为偶函数，在区间上单调递增，符合； 选项B：函数的定义域为，定义域不关于原点对称，因此该函数不具备奇偶性，不符合； 选项C：函数，即，为奇函数，且在区间上单调递减，不符合； 选项D：函数为奇函数，不符合. 32．【答案】C 【详解】对于A：在上单调递增，所以A错误； 对于B：在上单调递增，所以B错误； 对于C：在上单调递减，所以C正确； 对于D：在上单调递增，所以D错误. 33．【答案】 【分析】先根据幂函数过的点求出其函数表达式，然后结合复合函数单调性单调性即可求解. 【详解】由题意设幂函数为，则，所以，解得，所以，其定义域为， 而关于在上分别单调递减、单调递增， 关于在定义域内单调递增，在均是单调递减， 由复合函数单调性可知在上分别单调递增、单调递减. 故答案为：. 34．【答案】C 【分析】由根式性质求定义域，结合二次函数和幂函数的性质确定增区间. 【详解】由题意，令，即或， 根据二次函数性质知：在上递减，在上递增 又在定义域上递增，故的单调递增区间为. 故选：C 35．【答案】C 【详解】对于函数，由可得，解得， 故函数的定义域为， 令，内层函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 而外层函数在上为增函数， 由复合函数的单调性可知函数的增区间为. 36．【答案】 【分析】先求出函数的定义域，在定义域内，根据二次函数、幂函数及复合函数的单调性即可求出该函数的增区间． 【详解】由得或， ∴函数的定义域为． ∵函数在上单调递减，在上单调递增， 又∵函数在其定义域上单调递减， ∴函数在上单调递增，在上单调递减． 故答案为：． ( 题型0 9 )利用幂函数的单调性比较大小或解不等式 37．【答案】C 【详解】等价于，故“”是“”的充要条件. 38．【答案】A 【分析】先确定幂函数的定义域与单调性，再将函数不等式转化为关于的不等式组，求解后取交集得到解集. 【详解】 的定义域为，因 ，则在上单调递减， 于是 ，解得. 故不等式的解集为. 39．【答案】B 【分析】根据幂函数的单调性判断即可. 【详解】. 因为单调递增，且，所以，即. 40．【答案】D 【分析】构造幂函数，利用函数的单调性，即可得到的大小关系. 【详解】由幂函数在上单调递增，且， 所以，即. 41．【答案】 【详解】因为幂函数在上单调递增， 所以原不等式等价于 ，解得, 因此原不等式的解集为． 42．【答案】 【分析】利用幂函数的单调性判断即可. 【详解】由， 因为幂函数在单调递增， 且，所以， 故答案为：. 43．【答案】 【详解】由题可设幂函数，则，即， 所以， 所以，即， 所以该函数定义域为，且该函数在上单调递减， 所以若不等式成立， 则，解得，即满足不等式的实数m的解集是. ( 题型 10 )根据幂函数的单调性求参数 44．【答案】B 【分析】令，解出，再根据在为增函数，即可求解. 【详解】由题意得：令，即，解得或， 又， 且 都有 ， 所以在为增函数，所以. 45．【答案】A 【详解】由幂函数在上单调递减， 得，所以. 46．【答案】D 【分析】根据幂函数的定义及单调性求解即可. 【详解】因为是幂函数，所以，解得，或. 又函数在单调递减，要求指数，所以. 47．【答案】B 【分析】根据幂函数的图象与性质求得或，结合充分条件、必要条件的定义即可求解. 【详解】∵幂函数在上单调递增， ∴，解得或； 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 48．【答案】 【分析】分段函数的两段都是减函数，两端端点处函数值左边不小于右边，由此列不等式计算求解． 【详解】依题意，在上单调递减， 在上单调递减，两端端点处函数值左边不小于右边， 故，解得， 所以实数的取值范围为. 1．【答案】B 【分析】通过两函数的对称性得到，即可求解. 【详解】因为函数与函数的图象关于直线对称， 则对于上任意一点，其关于的对称点一定在上，即 ， 则， 又，可得： ， 因此. 2．【答案】B 【分析】先根据分段函数的定义，分情况讨论和的符号，由求出参数 ，再代入更新后的函数，从内到外依次计算和. 【详解】若，则，因为函数在单调递增， 且，所以方程无解； 若，，则， 得到，即， 整理得，解得（舍）或； 若，因为函数在单调递减， 且，所以方程无解； 综上，，， 所以，. 故选：B. 3．【答案】A 【分析】利用定义判断函数的奇偶性，根据偶函数图象的对称性进行选择. 【详解】因为，定义域为， 且，所以函数为偶函数，图象关于轴对称. 4个选项中，只有A选项符合. 4．【答案】B 【分析】根据单调性的定义，可得在R上单调递增，根据解析式，结合单调性，列出不等式，即可得答案. 【详解】因为对任意的，有， 所以在R上单调递增， 因为， 所以，解得， 则实数的取值范围是. 5．【答案】C 【分析】设幂函数，先求出，.再换元利用二次函数图象和性质求解. 【详解】设幂函数， 因为函数的图象过点， 所以，所以， 故， 所以. 令，所以， 则， 所以当时，. 故选：C. 6．【答案】A 【分析】利用函数，在上单调递增，可得结论. 【详解】因为在上单调递增，又，所以， 又因为在上单调递增，又，所以， 故. 故选：A. 7．【答案】(1)； (2)，定义域为， 任取，则， 因为，则，， 则，即，则在上单调递减 【分析】（1）根据幂函数定义得到方程组，解出即可； （2）取值、作差再有理化即可判断其单调性. 【详解】（1）由题意得，解得， 则. （2）略 1．【答案】D 【分析】根据题目信息可以得到函数在上单调递增，根据分段函数单调递增的条件列不等式即可求解. 【详解】不妨令，即时， 由可知，即， 所以函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 故，即， 此时函数在上单调递增， 所以若函数在上单调递增，则， 解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 2．【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）依据幂函数系数为 1 的定义求解m的取值，再结合函数的单调性验证取舍，最终得到函数解析式； （2）先判断的奇偶性与正半轴单调性，利用偶函数性质将函数不等式转化为自变量绝对值的大小关系，平方后解二次不等式得到解集； （3）将 “任意，都存在” 的双量词问题转化为最值关系，利用关于的一次函数单调性求出右侧表达式的最大值，解二次不等式得到的取值范围. 【详解】（1）由幂函数在上单调递减， 可得，解得或， 当时，，为偶函数，在上单调递减，在上单调递增，不合题意， 当时，，在上单调递减，满足题意， 所以． （2）由知，定义域为，为偶函数且在上单调递增， 则可化为，平方得， 化简得，解得，所以的取值范围是． （3）由（1）知， 因为对，都成立， 所以，其中， 由（1）可得函数在上的最大值为4，所以， 因为存在，使得成立，可得， 又因为，所以是关于的单调递增函数， 所以，即，解得或， 所以实数的取值范围为． 3．【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用幂函数的定义及性质计算即可； （2）将问题化为的值域为函数的值域的子集，利用集合间的基本关系计算参数即可. 【详解】（1）由幂函数定义，知，解得或， 当时，的图象不关于轴对称，舍去， 当时，的图象关于轴对称，符合题意，因此． （2）由上易知， 由于对任意的，总存在，使成立， 设函数在上的值域为集合，函数在的值域为集合， 所以， 易知当时，的值域，则集合， 当时，的值域为，则集合， 又，得，解得. 1．【答案】C 【详解】化分数指数幂为根式，分别求出四个选项中函数的定义域得答案． 【解答】，定义域为， ，定义域为， ，定义域为， ，定义域为． 故选：C． 2．【答案】 【分析】根据偶函数的性质求解. 【详解】因为函数是偶函数，当时，， 所以，解得. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $