第4章 §4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较(Word练习)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

[基础巩固·夯基提能] 1．如图所示给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是(　　) A．指数函数：y＝2t　 B．对数函数：y＝log2t C．幂函数：y＝t3 D．二次函数：y＝2t2 解析　由散点图可知，与指数函数拟合最贴切，故选A. 答案　A 2．下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是(　　) A．y＝ex B．y＝100ln x C．y＝x100 D．y＝100·2x 解析　指数爆炸式形容指数函数．又因为e>2，所以ex比100·2x增大速度快． 答案　A 3.(多选)甲、乙两人在一次赛跑中，路程y与时间x的函数关系如右图所示，则下列说法不正确的是(　　) A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多 C．甲、乙两人的速度相同 D．甲先到达终点 解析　根据图象可以看出，甲、乙两人同一时间从同一地点出发，两人路程一样，显然甲所用时间短，所以甲先到达终点．故只有D正确． 答案　ABC 4．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1,2)，(2,5)，现有两个待选模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为函数模型． 解析　作出散点图，故选y＝x2＋1更合适． 答案　甲 5．三个变量y1，y2，y3随自变量x的变化情况如下表： x 1 3 5 7 9 11 y1 5 135 625 1715 3645 6633 y2 5 29 245 2189 19 685 177 149 y3 5 6.1 6.61 6.95 7.20 7.40 其中符合对数函数模型的变量是________，符合指数函数模型的变量是________，符合幂函数模型的变量是________． 解析　由题中表格，可知三个变量y1，y2，y3随着x的增大都是越来越大的，其中y2的增长速度最快，符合指数函数模型，y3的增长速度最慢，符合对数函数模型，y1的增长速度位于y2，y3之间，符合幂函数模型． 答案　y3　y2　y1 6．函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如下图所示． (1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数； (2)比较两函数的增长差异(以两函数图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)． 解析　(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x. (2)当0＜x＜x1时，g(x)＞f(x)； 当x1＜x＜x2时，f(x)＞g(x)； 当x＞x2时，g(x)＞f(x)． [关键能力·综合提升] 7．四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x>1)的函数关系是f1(x)＝x2，f2(x)＝2x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x.如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体对应的函数关系是(　　) A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝2x C．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x 解析　由增长速度可知，当自变量充分大时，指数函数的值最大，故选D. 答案　D 8.如右图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间t(单位：月)的近似函数关系：y＝at(t≥0，a＞0且a≠1)的图象．有以下叙述： ①第4个月时，剩留量就会低于； ②每月减少的有害物质量都相等； ③若剩留量为，，时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3. 其中所有正确叙述的序号是________． 解析　根据题意，函数的图象经过点，故函数为y＝t.易知①③正确． 答案　①③ 9．下图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息： ①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h； ②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动； ③骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者； ④骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样． 其中，正确信息的序号是________． 解析　看时间轴易知①正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此②正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，故③正确；④错误． 答案　①②③ 10．某企业常年生产一种出口产品，根据调查可知，该产品的产量平稳增长．记2019年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(万件)之间的关系如下表所示： x 1 2 3 4 f(x) 4.00 5.58 7.00 8.44 若f(x)近似符合以下三种函数模型之一：f(x)＝ax＋b，f(x)＝2x＋a，f(x)＝x＋a. (1)找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后求出相应的函数关系式(所求a或b的值保留1位小数)； (2)受某些因素影响，预测2025年的年产量比预计减少30%，试根据所选择的函数模型，确定2025年的年产量． 解析　(1)符合条件的是f(x)＝ax＋b. 理由如下： 若模型为f(x)＝x＋a，则f(x)是减函数，与已知不符． 若模型为f(x)＝2x＋a， 则由f(1)＝21＋a＝4，得a＝2， 即f(x)＝2x＋2， 此时f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，与已知数据相差太大，不符合． 则近似符合的模型为f(x)＝ax＋b. 由已知得解得 所以f(x)＝1.5x＋2.5，x∈N＋. (2)2025年的预计年产量为f(7)＝1.5×7＋2.5＝13(万件)，所以13×(1－30%)＝9.1(万件)，即预测2025年的年产量为9.1万件． [核心价值·探索创新] 11．(2025·河南优质高中联考)小明在调查某班小学生每月的人均零花钱时，得到了下列一组数据： x/月份 2 3 4 5 6 … y/元 1.40 2.56 5.31 11 21.30 … 小明选择了模型y＝，他的同学却认为模型y＝更合适． (1)试问用哪个函数模型更合适； (2)大约在几月份小学生的平均零花钱会超过100元？ 解析　(1)根据表格提供的数据，画出散点图，并结合y＝及y＝的图象(如图所示)，观察可知，这些点基本都落在y＝的图象上或附近，因此用y＝这一模型更符合． (2)当>100时，2x>300. 则x>log2300＝＝≈8.23. ∴x＝9.∴大约在9月份小学生的平均零花钱会超过100元． 学科网（北京）股份有限公司 $$