精品解析：北京市第一七一中学2026—2027学年度第一学期八年级数学科目期中调研试卷

北京市第一七一中学教育集团2026-2027学年度第一学期 初二年级数学科目期中调研试卷 一、单选题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 清代·袁枚的一首诗苔中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开”若苔花的花粉直径约为0.0000084米，则数据0.0000084用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 以下列长度的线段为边，能构成三角形的是（ ） A. 3，5，8 B. 4，5，10 C. 6，6，10 D. 5，6，11 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 下列变形是因式分解的是（　　） A. B. C. D. 6. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知在，若以点为圆心，长为半径画弧，交腰于点，则下列结论一定正确的是（） A. B. C. D. 8. 若是一个完全平方式，则的值为（ ） A. B. C. 8 D. 4 9. 如图，是的角平分线，，垂足为．的面积为，，，的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是等边三角形，点为边上一个动点不与，重合，点在边上，且，连接，相交于点，过点作于点，下列说法：   其中一定正确的个数有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、解答题（本题共8小题，每小题2分，共16分） 11. 空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的三角形支架进行固定，其几何原理是___________． 12. 分解因式：_______． 13. 如图，，，要使，可以添加的条件是______（添加一个即可） 14. 若点与点关于轴对称，则___________． 15. 若等腰三角形一个内角是70°，则该三角形的顶角为______． 16. 如下图，在的正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为1，则___________． 17. 某“数学乐园”展厅的密码被设计成如图所示的数学问题．小明在参观时认真思索，输入密码后成功地连接到网络．他输入的密码是___________． 18. 如图，中，，，，为上一动点，垂直平分分别交于、交于，则的最大值为___________． 三、解答题（本题共10道，19-20题每题4分，21-24题每题5分，25-26题每题6分，27-28题每题7分，共54分） 19. 计算：． 20. 分解因式： 21. 先化简，再求值：已知：，求代数式的值． 22. 如图，点D在上，E在上，，，求证：． 23. 如图所示，的顶点坐标分别为，，． （1）作出关于x轴对称的图形； （2）写出的坐标； （3）直接写出的面积． （4）请通过画图直接在x轴上找一点，使得的值最小．（保留作图痕迹） 24. 下面是小雅“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程． 已知：直线l及直线l外一点P． 求作：直线PQ，使得PQ⊥l． 做法：如图， ①在直线l的异侧取一点K，以点P为圆心，PK长为半径画弧，交直线l于点A，B； ②分别以点A，B为圆心，大于AB的同样长为半径画弧，两弧交于点Q（与P点不重合）； ③作直线PQ，则直线PQ就是所求作的直线． 根据小雅设计的尺规作图过程： （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：∵PA＝________，QA＝________， ∴PQ⊥l___________（填推理的依据）． 25. 如图，在中，点是边上一点，且，过点作于点，过点作于点，与交于点． （1）若，求的度数； （2）当时，判断的形状，并说明理由． 26. 在“整式乘法”与“因式分解”章节的学习过程中，我们常采用构造几何图形的方法对代数式的变形加以说明．例如，利用图1中边长分别为，的正方形，以及长为，宽为的长方形卡片若干张拼成如图2、图3的正方形或长方形等图案（卡片间不重叠、无缝隙）． 请你结合图形解答下面的问题： （1）利用图1中的三种卡片若干张拼成图2，可以用来解释完全平方公式：___________． （2）利用图1中的三种卡片若干张拼成图3，可以解释等式：___________； （3）利用图1中三种卡片若干张拼出一个面积为的长方形，请你在虚线框内画出你所构造的长方形的图案，并直接写出这个长方形的长和宽． 27. 如图，在等边三角形ABC右侧作射线CP，∠ACP=（0°<<60°），点A关于射线CP的对称点为点D，BD交CP于点E，连接AD，AE． （1）依题意补全图形； （2）求∠DBC的大小（用含的代数式表示）； （3）直接写出∠AEB的度数； （4）用等式表示线段AE，BD，CE之间的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于点和点（点的横、纵坐标相等），给出如下定义： 为过点且与轴垂直的直线，为过点且与轴垂直的直线，先作点关于的对称点，再作点关于的对称点，则称点是点关于点的“对称关联点”． （1）写出点关于点的“对称关联点”的坐标___________； （2）如果点是点关于点的“对称关联点”，那么___________ （3）点关于点的“对称关联点”为，如果是以为底的等腰三角形，直接写出的面积； （4）点关于点的“对称关联点”为，如果以为边的等腰直角三角形只在第一象限内，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第一七一中学教育集团2026-2027学年度第一学期 初二年级数学科目期中调研试卷 一、单选题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选A． 2. 清代·袁枚的一首诗苔中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开”若苔花的花粉直径约为0.0000084米，则数据0.0000084用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定与的值即可得到答案． 【详解】解：∵将转化为时，需满足，可得， ∵原数小数点向右移动6位得到， ∴， 即． 3. 以下列长度的线段为边，能构成三角形的是（ ） A. 3，5，8 B. 4，5，10 C. 6，6，10 D. 5，6，11 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的构成条件即可计算判断． 【详解】解：A. ∵，不满足两边之和大于第三边，故不能构成三角形； B. ∵，不满足两边之和大于第三边，故不能构成三角形； C. 满足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，故能构成三角形； D. ∵，不满足两边之和大于第三边，故不能构成三角形； 故选：C 【点睛】此题主要考查三角形的构成条件，解题的关键是熟知三角形的构成条件：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法法则，积的乘方法则，幂的乘方法则对各项进行运算即可． 【详解】解：A、x2+x2=2x2，故A不符合题意； B、，故B符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查合并同类项，同底数幂乘法，积的乘方法则，幂的乘方法则，解答的关键是掌握对应的运算法则． 5. 下列变形是因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】解：A、中，是整式乘法，故本选项不符合题意； B、不是把多项式转化成几个整式积的形式，故本选项不符合题意； C、不是把多项式转化成几个整式积的形式，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式． 6. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据直角三角板的性质得出∠ACD的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】解：如图所示， 由一副三角板的性质可知：∠ECD=60°，∠BCA=45°，∠D=90°， ∴∠ACD=∠ECD－∠BCA=60°－45°=15°， ∴∠α=180°－∠D－∠ACD=180°－90°－15°=75°， 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键． 7. 如图，已知在，若以点为圆心，长为半径画弧，交腰于点，则下列结论一定正确的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，掌握当等腰三角形的底角对应相等时其顶角也相等．根据等腰三角形的两底角相等和三角形的内角和可知，当两个等腰三角形的顶角相等时则其底角也相等． 【详解】解： 以点为圆心，长为半径画弧，交腰于点， ， ， 故选：C． 8. 若是一个完全平方式，则的值为（ ） A. B. C. 8 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查完全平方式的结构特征，根据完全平方公式，对比原式确定的值． 【详解】解：∵是完全平方式，且，， ∴根据完全平方公式，可得， ∴． 故选：A． 9. 如图，是的角平分线，，垂足为．的面积为，，，的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再利用的面积求解即可． 【详解】解：如图，过点作于， 是的角平分线，， ， 的面积为，，， ， ， 故选：B． 10. 如图，是等边三角形，点为边上一个动点不与，重合，点在边上，且，连接，相交于点，过点作于点，下列说法：   其中一定正确的个数有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、直角三角形的两个锐角互余、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，证明是解题的关键．由等边三角形的性质得，，因为，所以，可判断①正确；由，推导出，可根据“”证明，得，则，可判断②正确；由于点，得，若成立，则，因为点为边上一个动点，所以不一定等于，可判断③错误；由，，求得，则，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：是等边三角形，点在边上，点在边上， ，， ， ，故①正确； ， ， 在和中， ， ， ， ，故②正确； 于点， ， 若成立，则， 点为边上一个动点， 不一定等于， 与不一定相等，故③错误； ，， ， ，故④正确． 综上，正确的有3个． 故选：B． 二、解答题（本题共8小题，每小题2分，共16分） 11. 空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的三角形支架进行固定，其几何原理是___________． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【详解】解：∵空调安装的固定支架采用三角形结构． ∴其应用的几何原理为三角形具有稳定性． 12. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，运用平方差公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 如图，，，要使，可以添加的条件是______（添加一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定方法，由题意得，推出，结合即可求解； 【详解】证明：∵， ， ， ， ∵， ∴当时，可通过证； 故答案为：（答案不唯一） 14. 若点与点关于轴对称，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形－轴对称变换，熟知关于y轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数；是解本题的关键． 根据关于y轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数得出的值，代入求值即可． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 若等腰三角形一个内角是70°，则该三角形的顶角为______． 【答案】70°或40° 【解析】 【分析】首先要进行分析题意，“等 腰三角形的一个内角”没明确是顶角还是底角，所以要分两种情况进行讨论． 【详解】解：分两种情况， ①当70°角为顶角时，顶角的度数为70°， ②当70°角为底角时，顶角的度数为180°-2×70°=40°； ∴这个等腰三角形的顶角为40°或70°． 故答案为：70°或40°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键． 16. 如下图，在的正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为1，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】证明，可得，再由三角形外角的性质解答即可． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ∴， ∴， ∵， ∴． 17. 某“数学乐园”展厅的密码被设计成如图所示的数学问题．小明在参观时认真思索，输入密码后成功地连接到网络．他输入的密码是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到密码是结果中单项式各项字母的次数，即可求解． 【详解】解：中x，y，z的指数分别为15，2，3，得到密码是单项式各项字母的次数， 中x，y，z的指数分别为5，3，1，得到密码是单项式各项字母的次数， 因为中的指数分别为20，2，7， 所以他输入的密码是2027． 18. 如图，中，，，，为上一动点，垂直平分分别交于、交于，则的最大值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】过F作于H，连接，根据题意得到若要使最大，只需最小，设，则，，根据垂线段最短列不等式求得的最小值，即可求解． 【详解】解：过F作于H，连接， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴若要使最大，只需最小， 设，则， ∵，， ∴， 根据垂线段最短，得，即 解得，即， ∴的最小值为，则的最大值为． 三、解答题（本题共10道，19-20题每题4分，21-24题每题5分，25-26题每题6分，27-28题每题7分，共54分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】该题主要考查了实数的混合运算和同底数幂除法运算，解题的重点是熟悉零指数幂，负整数指数幂，以及同底数幂除法运算； 先计算零指数幂，负整数指数幂，同底数幂除法运算，再合并即可； 【详解】解：原式 ． 20. 分解因式： 【答案】 【解析】 【分析】先提取多项式各项的公因式，再对剩余的二次三项式利用完全平方公式完成分解． 【详解】解：． 21. 先化简，再求值：已知：，求代数式的值． 【答案】9 【解析】 【分析】对所求代数式提取公因式化简，将已知等式整体代入化简后的式子计算． 【详解】解： ， 将代入上式，得 原式 ． 22. 如图，点D在上，E在上，，，求证：． 【答案】 证明：在与中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应边相等）． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形的公共边和公共角． 根据两边及其夹角对应相等可以判断，再由全等三角形对应边相等可说明结论． 【详解】略 23. 如图所示，的顶点坐标分别为，，． （1）作出关于x轴对称的图形； （2）写出的坐标； （3）直接写出的面积． （4）请通过画图直接在x轴上找一点，使得的值最小．（保留作图痕迹） 【答案】（1）如图， （2） （3）7 （4）如图，点P即为所求． 【解析】 【分析】（1）作出A、B、C关于轴对称的对应点，然后顺次连接即可； （2）由（1）中作出的图形求解； （3）利用割补法求解； （4）连接交x轴于点P即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的面积； 【小问4详解】 解：如图，连接， 由轴对称可得，， ∴， ∴当点，P，C三点共线时，的值最小，故点P即为所求． 24. 下面是小雅“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程． 已知：直线l及直线l外一点P． 求作：直线PQ，使得PQ⊥l． 做法：如图， ①在直线l的异侧取一点K，以点P为圆心，PK长为半径画弧，交直线l于点A，B； ②分别以点A，B为圆心，大于AB的同样长为半径画弧，两弧交于点Q（与P点不重合）； ③作直线PQ，则直线PQ就是所求作的直线． 根据小雅设计的尺规作图过程： （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：∵PA＝________，QA＝________， ∴PQ⊥l___________（填推理的依据）． 【答案】（1） 如图所示， （2）PB，QB；到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 【解析】 【分析】（1）根据题干提示的作图步骤完成作图即可； （2）根据线段的垂直平分线的判定定理进行解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：∵PA=PB，QA=QB， ∴PQ⊥l （到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）． 故答案为PB，QB；到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图与证明，掌握“作图步骤与理论原理”是解本题的关键． 25. 如图，在中，点是边上一点，且，过点作于点，过点作于点，与交于点． （1）若，求的度数； （2）当时，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2） 解：是等腰三角形，理由如下： 设与交于点， ，， ，， ， ，， ， ，， ， 又， ， ， ， 是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出，由，得，即可求解； （2）设与交于点，由，，可得，，进而得到，根据等腰三角形的性质和垂直的定义可推出，即可判断． 【小问1详解】 解：，， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 26. 在“整式乘法”与“因式分解”章节的学习过程中，我们常采用构造几何图形的方法对代数式的变形加以说明．例如，利用图1中边长分别为，的正方形，以及长为，宽为的长方形卡片若干张拼成如图2、图3的正方形或长方形等图案（卡片间不重叠、无缝隙）． 请你结合图形解答下面的问题： （1）利用图1中的三种卡片若干张拼成图2，可以用来解释完全平方公式：___________． （2）利用图1中的三种卡片若干张拼成图3，可以解释等式：___________； （3）利用图1中三种卡片若干张拼出一个面积为的长方形，请你在虚线框内画出你所构造的长方形的图案，并直接写出这个长方形的长和宽． 【答案】（1） （2） （3）， 长方形的长为，宽为． 【解析】 【分析】（1）利用两种方法表示大正方形的面积，列出等式即可； （2）利用两种方法表示大长方形的面积，列出等式即可； （3）根据已知等式画出相应的图形，然后根据图形写出长方形的长和宽即可． 【小问1详解】 解：大正方形的面积可以表示为， 大正方形的面积还可以表示为， ∴； 【小问2详解】 解：大长方形的面积可以表示为， 大长方形的面积还可以表示为， ∴； 【小问3详解】 解：∵拼出一个面积为的长方形， ∴需要边长分别为的正方形卡片1张，长为，宽为的长方形卡片4张，边长为的正方形卡片3张， 画图略； ∴长方形的长为，宽为． 27. 如图，在等边三角形ABC右侧作射线CP，∠ACP=（0°<<60°），点A关于射线CP的对称点为点D，BD交CP于点E，连接AD，AE． （1）依题意补全图形； （2）求∠DBC的大小（用含的代数式表示）； （3）直接写出∠AEB的度数； （4）用等式表示线段AE，BD，CE之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） 依题意补全图形； （2）；（3）60°； （4）结论：. 在EB上截取，连接AF. ∵， ∴△AEF是等边三角形， ∴，. ∵△ABC是等边三角形， ∴，. ∴. ∴ . 在△BAF 和△CAE中 ∵ ∴ △BAF≌△CAE（SAS） ∴ BF=CE（全等三角形的对应边相等） ∵点A和点D关于射线CP的对称， ∴ AE=DE. ∴． 【解析】 【分析】（1）根据对称性即可补全图形； （2）连接CD，根据对称性得到，从而得到，再根据即可求解； （3）根据对称性可得=，再根据角度的八字模型即可得到∠AEB=，故可求解； （4）在EB上截取，连接AF，得到△AEF是等边三角形，根据△ABC是等边三角形得到，，进而证明△BAF≌△CAE，得到BF=CE，再根据对称性得到AE=DE，故可得到． 【详解】（1）略 （2）解： 连接CD. ∵线段AC和DC关于射线CP的对称， ∴，. ∵△ABC是等边三角形， ∴，. ∴，. ∴. （3）根据对称性可得= ∵ ∴∠AEB==60° （4）略 【点睛】此题主要考查轴对称与几何综合，解题的关键是熟知等边三角形的性质、旋转的性质及对称性的应用． 28. 在平面直角坐标系中，对于点和点（点的横、纵坐标相等），给出如下定义： 为过点且与轴垂直的直线，为过点且与轴垂直的直线，先作点关于的对称点，再作点关于的对称点，则称点是点关于点的“对称关联点”． （1）写出点关于点的“对称关联点”的坐标___________； （2）如果点是点关于点的“对称关联点”，那么___________ （3）点关于点的“对称关联点”为，如果是以为底的等腰三角形，直接写出的面积； （4）点关于点的“对称关联点”为，如果以为边的等腰直角三角形只在第一象限内，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） （4）且 【解析】 【分析】（1）根据“对称关联点”的定义求解； （2）根据对称性质即可解答； （3）设点关于直线的对称点为，则点关于直线的对称点为，得到点到直线的距离等于点到直线的距离，点到直线的距离等于点到直线的距离．即可得出，设是的中点，根据是以为底的等腰三角形，即可得出，计算面积即可； （4）根据点关于点的“对称关联点”为，得出和，再根据以为边的等腰直角三角形只在第一象限内，即可列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：∵点， ∴直线为直线，直线为直线， ∴点关于直线的对称点为， ∴点关于直线的对称点为； 【小问2详解】 解：点是点关于点的“对称关联点”， ∴点和点关于直线对称， ； 【小问3详解】 解：∵点关于点的“对称关联点”为， 设点关于直线的对称点为，则点关于直线的对称点为，如图， ∴点到直线的距离等于点到直线的距离，点到直线的距离等于点到直线的距离， ， ， ， 设是的中点， ， ∵是以为底的等腰三角形， ∴， ∴点的纵坐标为2， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：点关于点的“对称关联点”为， ， ， 以为边的等腰直角三角形只在第一象限内，如图， ， 解得， 时，不能构成三角形，故， ∴当且时，以为边的等腰直角三角形只在第一象限内． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $