精品解析：北京市第十三中学分校2026-2027学年上学期期中八年级数学试卷

八年级数学 第Ⅰ卷 一、选择题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 在学生综合活动实践中心，同学们体验了各种不同的劳动课程，感受了劳动的魅力和价值．其中一个小组的同学体验了扎染，它是中国民间传统而独特的染色工艺之一，以下扎染图案，不属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，作出边上的高，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列变形是因式分解的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，有A，B，C三种纸片若干张．小明要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，他选取A纸片1张，再取B纸片6张，还需要取C纸片几张？（ ） A. 9张 B. 8张 C. 6张 D. 3张 7. 甲、乙、丙、丁四位同学通过尺规作图，解决以下问题，其中正确的作图是（） 问题：学校内有一块三角形空地，如图所示，4位同学玩传球的游戏，甲同学站在三角形内，负责发球，分别传球给站在点A、B、C处的3名同学．甲同学应站在哪里，才能保证传给三位同学的传球距离相等．设甲同学站在M处 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 8. 在平面直角坐标系中，点，．若点C不与点A重合，且以B，O，C为顶点的三角形与全等，则称C为B的“友好点”．给出下面四个结论： ①对于所有的点B，在y轴上都有B的“友好点”； ②能够找到点B，使得在x轴上有B的“友好点”； ③对于所有的点B，在第一象限内都有B的“友好点”； ④能够找到点B，使得在第四象限内有B的“友好点”． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分） 9. 计算：______． 10. 等腰三角形的两边长分别是4和8，则第三条边长是__________． 11. 如图，在中，的垂直平分线分别交，于，．若，的周长为，则的周长等于______． 12. （_______）． 13. 如右图，在中，AC = BC，D是BC边上一点，且AB=AD=DC，则∠C=____° 14. 将一副三角板按如图所示．，，，F为与的交点．若，则__________． 15. 随着信息技术的发展，简易因式分解加密技术常被用于校园档案、私人笔记本、电子设备的基础密码设置．其原理是：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或者0的因式码，最后将因式码按照从小到大的顺序排列就可以生成密码．如多项式，若取则有，，其中20，26分别为因式码，将因式码按照从小到大的顺序进行排列并拼接就可以得到密码2026． （1）若多项式为，当取，取时，生成的密码是__________． （2）小明利用多项式生成的密码，他忘记密码了，只记得生成的六位密码中有一个因式码是11，请你帮他破解密码，小明的密码是__________． 16. 如图，等腰中，，于点E，于点D，且与交于点H，于点F，且与交于点G，则下面的结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是__________． 三、解答题（共11小题，共68分） 17. 分解因式 （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 已知：如图，是上的两点，且，，． 求证：． 20. 如图，在四边形的内部找一点P，使P到，的距离相等，且．下面是小芸设计的尺规作图过程． 作法： ①用尺规作的平分线l； ②以点B为圆心，线段a长为半径作弧，分别交于点E，F； ③以点C为圆心，线段a长为半径作弧，交于点G，再以点G为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点H； ④作射线，交射线l于点P，点P即为所求． （1）根据小芸设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：连接，． ∵点P在的平分线上， 到，的距离相等，（______________________________）（填推理的依据） 又∵在和中， ， ，（__________） ，（______________________________） ∴点P即为所求． （3）若已知，直接写出__________． 21. 如图：已知，、相交于点M，、相交于点N，，．求证：． 22. 如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中建立平面直角坐标系，的顶点都在格点上（小正方形的顶点称为格点），点为内任意一点．请解答下列问题． （1）画出关于y轴对称的，并直接写出点的坐标__________； （2）点P关于直线的对称点的坐标为__________； （3）图中若存在格点Q（不与点C重合），使得与的面积相等，这样的格点Q有__________个，请标注在图中． 23. 小明在学习平方差公式时，探究了以下问题：有一组按如下规律排列的正整数：，，，……即每个数都能表示为两个连续的正偶数的平方差，我们称这样的数为“偶差数”，记为第一个“偶差数”，则按顺序排列的第n个“偶差数”记为（n为正整数） （1）第5个“偶差数”可以表示为哪两个正偶数的平方差：________________； （2）求证：对于任意的正整数n，一定能被4整除． 24. 已知：如图，点C在的外部，且B，C，E三点在同一条直线上，平分，，于M，于N． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25. 1637年笛卡尔（，1596—1650）在其《几何学》中，首次应用待定系数法给出因式分解定理．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下： 分解因式：． 解：观察可知，当时，原式． ∴原式可分解为与另一个整式的积． 设另一个整式为．则， ， ∵等式两边x同次幂的系数相等，则有：，解得． ． （1）已知多项式（a为常数）有一个因式是，求另一个因式以及a的值． （2）若关于x的二次三项式（p、m、n均为整数），满足成立（s、t均为整数） ①求p、m、n三者满足的数量关系（用一个等式表示），并说明理由； ②若当时，这个二次三项式还能分解出因式，求：m、n的值． 26. 如图，已知：等腰中，，、分别是的角平分线．过点C作，交的延长线于点F，． （1）求的度数（用含的代数式表示） （2）若，用等式表示、和三条线段的数量关系，并给出证明． 27. 在平面直角坐标系中，直线l表示过且垂直于x轴的直线．对于图形W和点P，给出如下定义：图形W关于直线l的对称图形为，若点P恰好在图形上，则称点P是图形W关于直线l的“关联点”． （1）若点P是点关于直线l的“关联点”，则点P的坐标为__________； （2）如图，在中，，，． ①已知点，点，若线段上存在两个关于直线l的“关联点”，则e的取值范围是__________； ②已知点和点，若线段上存在关于直线l的“关联点”，则m的取值范围是__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 第Ⅰ卷 一、选择题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 在学生综合活动实践中心，同学们体验了各种不同的劳动课程，感受了劳动的魅力和价值．其中一个小组的同学体验了扎染，它是中国民间传统而独特的染色工艺之一，以下扎染图案，不属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】若一个图形沿某条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合，则该图形为轴对称图形． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，不符合题意； B． 该图形不是轴对称图形，符合题意； C． 该图形是轴对称图形，不符合题意； D． 该图形是轴对称图形，不符合题意． 2. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数乘法和除法运算等知识，掌握相关运算法则是解题关键．根据幂的乘方运算法则、积的乘方运算法则、同底数乘法和除法运算法则，逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，本选项运算错误，不符合题意； B. ，本选项运算错误，不符合题意； C. ，本选项运算错误，不符合题意； D. ，本选项运算正确，不符合题意． 故选：D． 3. 在中，作出边上的高，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形高的定义（从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段即为该边上的高），判断从顶点向边（或其延长线）作垂线，垂足在边（或其延长线）上的图形即可． 【详解】解：A、所作线段不垂直，故A选项错误； B、所作线段不是从点B出发，故B选项错误； C、所作线段不垂直，故C选项错误； D、所作线段是从点B出发，且垂足在的延长线上，符合边上的高的定义，故D选项正确，符合题意． 4. 下列变形是因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】解：A、中，是整式乘法，故本选项不符合题意； B、不是把多项式转化成几个整式积的形式，故本选项不符合题意； C、不是把多项式转化成几个整式积的形式，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式． 5. 如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定求解即可． 【详解】解：A、由，，，根据证明，说法正确，故不符合题意； B、由，，，根据证明，说法正确，故不符合题意； C、由，，，根据证明，说法正确，故不符合题意； D、，，，不能判定，故选项D符合题意． 6. 如图，有A，B，C三种纸片若干张．小明要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，他选取A纸片1张，再取B纸片6张，还需要取C纸片几张？（ ） A. 9张 B. 8张 C. 6张 D. 3张 【答案】A 【解析】 【分析】设还需要取张纸片，根据拼成大正方形可知总面积为完全平方式，据此列式求解． 【详解】解：设还需要取张纸片，由图可知纸片面积为，纸片面积为，纸片面积为． 总面积为． 拼接成一个大正方形， 是一个完全平方式． ， ． 7. 甲、乙、丙、丁四位同学通过尺规作图，解决以下问题，其中正确的作图是（） 问题：学校内有一块三角形空地，如图所示，4位同学玩传球的游戏，甲同学站在三角形内，负责发球，分别传球给站在点A、B、C处的3名同学．甲同学应站在哪里，才能保证传给三位同学的传球距离相等．设甲同学站在M处 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，故点应为三角形三边垂直平分线的交点． 【详解】解：由题意可知，需满足． 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， 点应为三边垂直平分线的交点． 观察图形可知：甲的作图痕迹是作和的垂直平分线，交点到A，B，C距离相等，符合题意； 乙的作图痕迹不完整，无法确定点位置； 丙的作图痕迹是作和的角平分线，交点到三边距离相等，不符合题意； 丁的作图痕迹包含角平分线，不符合题意． 甲的作图正确． 8. 在平面直角坐标系中，点，．若点C不与点A重合，且以B，O，C为顶点的三角形与全等，则称C为B的“友好点”．给出下面四个结论： ①对于所有的点B，在y轴上都有B的“友好点”； ②能够找到点B，使得在x轴上有B的“友好点”； ③对于所有的点B，在第一象限内都有B的“友好点”； ④能够找到点B，使得在第四象限内有B的“友好点”． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】 先明确的边长特征，再逐个判断每个结论，通过计算或举例验证结论是否成立． 【详解】解：∵，，， ∴是直角三角形，，三边长为，，， ① 对任意，取点，该点在轴上，此时，，为公共边， ∴，且不与重合， 因此轴上一定存在友好点，①正确； ② 假设轴上存在友好点，不与重合，也不能与重合（否则无法构成三角形）， ∵全等三角形斜边相等，斜边为， ∴， 解得或，均不符合要求， 因此轴上不存在友好点，②错误； ③ 当时，所有符合条件的友好点为（在轴），第一象限内没有友好点， 因此不是对所有点都成立，③错误； ④ 举例：取，如图，设与轴交于点，过点作轴于点， ∵， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，该点在第四象限， 因此存在这样的点，使得在第四象限内有B的“友好点”，故④正确， 综上，正确结论为①④． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分） 9. 计算：______． 【答案】1 【解析】 【详解】解：． 10. 等腰三角形的两边长分别是4和8，则第三条边长是__________． 【答案】 【解析】 【分析】结合等腰三角形两腰相等的性质，分两种腰长的情况讨论，依据三角形三边关系判断能否构成三角形，排除无效情况后得到第三边长度． 【详解】解：等腰三角形两腰长度相等，因此分两种情况讨论． 当腰长为时，三角形三边长为，，． ∵，不满足三角形任意两边之和大于第三边． ∴该情况无法构成三角形，舍去． 当腰长为时，三角形三边长为，，． ∵，，满足三角形三边关系． ∴该情况成立，第三条边长为． 11. 如图，在中，的垂直平分线分别交，于，．若，的周长为，则的周长等于______． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意由垂直平分线性质，得且， 周长为，故，即； ∴的周长为． 12. （_______）． 【答案】 【解析】 【分析】化简等式左侧的已知整式部分，通过乘除逆运算将待求项单独分离，结合平方运算的性质得到最终结果． 【详解】解：设括号内的待填内容为，根据题意列等式 ， ∵ 由积的乘方法则可得， ∴ 等式左侧化简为， ∵ 等式两边同时除以非零项，等式仍然成立， ∴ ， ∵ 平方结果为的代数式为， ∴ 括号内应填入． 13. 如右图，在中，AC = BC，D是BC边上一点，且AB=AD=DC，则∠C=____° 【答案】36 【解析】 【详解】 AD=DC, ∠C=∠DAC, ∠ADB=∠C+∠DAC, ∠ADB=2∠C， AB=AD, AC = BC， ∠B=∠BAC=∠ADB=2∠C, ∠B+∠BAC+∠C=180°， ∠C=36°； 故答案为：36 14. 将一副三角板按如图所示．，，，F为与的交点．若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据角度的和差关系求出的度数，再设与交于点，利用三角形的外角性质得出，代入数据计算即可求解． 【详解】解：， 设与交于点 是的外角 是的外角 ，， 故答案为：． 15. 随着信息技术的发展，简易因式分解加密技术常被用于校园档案、私人笔记本、电子设备的基础密码设置．其原理是：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或者0的因式码，最后将因式码按照从小到大的顺序排列就可以生成密码．如多项式，若取则有，，其中20，26分别为因式码，将因式码按照从小到大的顺序进行排列并拼接就可以得到密码2026． （1）若多项式为，当取，取时，生成的密码是__________． （2）小明利用多项式生成的密码，他忘记密码了，只记得生成的六位密码中有一个因式码是11，请你帮他破解密码，小明的密码是__________． 【答案】 ①. 2852 ②. 911101 【解析】 【分析】先利用平方差公式对多项式分解因式，代入变量值计算各因式的结果，将结果按从小到大顺序拼接得到密码；第二问结合因式码为11的条件，分情况讨论确定x的取值，根据六位密码的要求筛选符合条件的结果． 【详解】解：（1）对多项式用平方差公式分解因式， ， 代入，， ， ， 将两个因式码按从小到大排列为28，52，拼接得到密码2852； （2）对多项式逐步用平方差公式分解因式， ， 已知其中一个因式码为11，分三种情况讨论， ① 若，则， 此时另外两个因式的值为，， 三个因式码为11，13，145，拼接后总长度为7位，不符合六位密码的要求，排除； ② 若，则， 此时另外两个因式的值为，， 三个因式码为9，11，101，按从小到大排列为9，11，101，拼接后总长度为6位，符合要求； ③ 若，则，，x不是正整数，不符合因式码为正整数或0的要求，排除， 将符合条件的因式码按从小到大拼接得到密码911101． 16. 如图，等腰中，，于点E，于点D，且与交于点H，于点F，且与交于点G，则下面的结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是__________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】由及可得；由等腰及可得，进而利用证得，得出，；利用等腰三角形三线合一及角度计算可证，在上截取，连接，推导出，可得到继而推导出，即可判断各结论． 【详解】解：， ， ， ， 是等腰三角形，于点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，故①正确． ，故④正确． 平分 ， 在中， ， ， 在中， ， ， ，故③正确． 在上截取，连接，如图， ，即， ， ， ，故②错误． 综上所述，正确结论的序号是①③④． 三、解答题（共11小题，共68分） 17. 分解因式 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． （）先提公因式，再利用完全平方公式因式分解即可； （）先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为，代入已知条件后，原式的值为或． 【解析】 【分析】先利用乘法公式展开原式，合并同类项后结合已知条件对高次项降次，再代入求解． 【详解】解： ． 由，得， 则， 所以， 由，得， 所以原式． 解，即， 解得或， 当时，原式， 当时，原式， 综上，原式的值为或． 19. 已知：如图，是上的两点，且，，． 求证：． 【答案】 证明：， ， ， ， 即， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的性质与判定．根据平行线的性质可得，进而根据，可得，结合，根据边角边即可证明三角形全等． 【详解】略 20. 如图，在四边形的内部找一点P，使P到，的距离相等，且．下面是小芸设计的尺规作图过程． 作法： ①用尺规作的平分线l； ②以点B为圆心，线段a长为半径作弧，分别交于点E，F； ③以点C为圆心，线段a长为半径作弧，交于点G，再以点G为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点H； ④作射线，交射线l于点P，点P即为所求． （1）根据小芸设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：连接，． ∵点P在的平分线上， 到，的距离相等，（______________________________）（填推理的依据） 又∵在和中， ， ，（__________） ，（______________________________） ∴点P即为所求． （3）若已知，直接写出__________． 【答案】（1） （2）角平分线上的点到角两边的距离相等；；；；全等三角形的对应角相等 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意作图即可； （2）根据角平分线上的点到角两边的距离相等，全等三角形的判定与性质进行求解即可； （3）先求出，再根据等腰三角形的内角和，求出，继而由全等三角形的性质，得到，即可解答． 【小问1详解】 解：如图所示，图略； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：点在的平分线上， ， ∵ ． 21. 如图：已知，、相交于点M，、相交于点N，，．求证：． 【答案】证明：， ，即． 在和中， ， ， ． 在和中， ， ， ． ， ， 即． 【解析】 【分析】先由已知角推出，推导出，得；再证，得，利用线段差即可完成证明． 【详解】略 22. 如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中建立平面直角坐标系，的顶点都在格点上（小正方形的顶点称为格点），点为内任意一点．请解答下列问题． （1）画出关于y轴对称的，并直接写出点的坐标__________； （2）点P关于直线的对称点的坐标为__________； （3）图中若存在格点Q（不与点C重合），使得与的面积相等，这样的格点Q有__________个，请标注在图中． 【答案】（1） （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）根据轴对称作图，即可解答； （2）根据点的对称的特征进行解答即可； （3）将向右平移3个单位长度，得到，根据平行线间的距离处处相等，即可解答． 【小问1详解】 解：如图所示，图略， ∴； 【小问2详解】 解：设点关于直线的对称点的坐标为， ∴， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示 由作图可知，， ∴点到的距离等于点Q到的距离， 即与是同底等高， ∴与的面积相等， 由图可知，满足题意的Q点有3个． 23. 小明在学习平方差公式时，探究了以下问题：有一组按如下规律排列的正整数：，，，……即每个数都能表示为两个连续的正偶数的平方差，我们称这样的数为“偶差数”，记为第一个“偶差数”，则按顺序排列的第n个“偶差数”记为（n为正整数） （1）第5个“偶差数”可以表示为哪两个正偶数的平方差：________________； （2）求证：对于任意的正整数n，一定能被4整除． 【答案】（1）12，10 （2）证明：对于任意正整数n， 因为第n个“偶差数”对应的两个连续正偶数分别为和， 所以， 由平方差公式可得， 所以， 因为n是正整数， 所以也为正整数， 所以是4与正整数的乘积， 因此一定能被4整除． 【解析】 【分析】（1）直接根据已知排列规律，写出第5个“偶差数”； （2）先利用平方差公式进行规律探究与代数变形，再推导完成证明． 【小问1详解】 解：根据已知排列规律，． 【小问2详解】 略 24. 已知：如图，点C在的外部，且B，C，E三点在同一条直线上，平分，，于M，于N． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：平分，，， ，， ∵， ∴； ∴， ∴； （2）1 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质可得，即可证，得到，则，即可解答； （2）由题意可证：，可得，推导出，可得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 25. 1637年笛卡尔（，1596—1650）在其《几何学》中，首次应用待定系数法给出因式分解定理．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下： 分解因式：． 解：观察可知，当时，原式． ∴原式可分解为与另一个整式的积． 设另一个整式为．则， ， ∵等式两边x同次幂的系数相等，则有：，解得． ． （1）已知多项式（a为常数）有一个因式是，求另一个因式以及a的值． （2）若关于x的二次三项式（p、m、n均为整数），满足成立（s、t均为整数） ①求p、m、n三者满足的数量关系（用一个等式表示），并说明理由； ②若当时，这个二次三项式还能分解出因式，求：m、n的值． 【答案】（1）另一个因式为，的值为． （2）①数量关系为．理由如下： ，且， 由等式两边同次幂的系数相等，即， 由第二个等式得， 将代入上式，得， 将代入第三个等式，得， 整理得； ②，． 【解析】 【分析】（1）设另一个二次因式，用待定系数法对比同次幂系数求解． （2）①展开等式右侧，对比系数后消去参数、，推导三者数量关系． ②利用因式对应的根的性质列方程，结合①的结论联立求解． 【小问1详解】 解：设另一个因式为． 由题意得． ， 对比等式两边同次幂的系数，得， 解得， 另一个因式为，的值为； 【小问2详解】 ①略． ②有因式， 当时，，即． 将代入，得，即． 由①的结论， 将代入，得． 将代入，得， 解得， ． 26. 如图，已知：等腰中，，、分别是的角平分线．过点C作，交的延长线于点F，． （1）求的度数（用含的代数式表示） （2）若，用等式表示、和三条线段的数量关系，并给出证明． 【答案】（1） （2）解：，证明如下： 延长到点，使，连接，如图 ， ， ∴， ，， ， ， 平分， ， ∴， 在和中 ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）先推导出，，得到，继而推导出，在中，求出，即可解答； （2）延长到点，使，连接，先求出，得到，求出，继而推导出，得到，再根据，即可解答． 【小问1详解】 解：平分， ，， 即， 平分， ， ， ， ， 在中， ； 【小问2详解】 略 27. 在平面直角坐标系中，直线l表示过且垂直于x轴的直线．对于图形W和点P，给出如下定义：图形W关于直线l的对称图形为，若点P恰好在图形上，则称点P是图形W关于直线l的“关联点”． （1）若点P是点关于直线l的“关联点”，则点P的坐标为__________； （2）如图，在中，，，． ①已知点，点，若线段上存在两个关于直线l的“关联点”，则e的取值范围是__________； ②已知点和点，若线段上存在关于直线l的“关联点”，则m的取值范围是__________． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的特征进行求解即可； （2）①设关于直线l：的对称图形为，求出，分类讨论：当时，当时，当时，当时，当时，结合图形，逐个分析求解即可； ②设关于直线l：的对称图形为，令交x轴于点D，求出，，分类讨论：第一种情况：点M在点的左侧，且点N在点的右侧（包括点），第二种情况：点M在点的左侧，且点N在点D的右侧（包括点D），逐个分析求解即可． 【小问1详解】 解：∵，对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点横坐标：，纵坐标不变． ∴对称点为． 由定义可知，就是这个对称点． ． 【小问2详解】 解：①设关于直线l：的对称图形为，由题意及（1），同理可得，， 当时，如图， 此时线段与没有交点，不符合题意； 当时，如图， 此时线段与只有个交点，不符合题意； 当时，如图， 此时线段与有个交点，符合题意； 当时，如图， 此时线段与有个交点，符合题意； 当时，如图 此时线段与只有个交点或没有交点，都不符合题意； 综上所述，当线段与只有个交点时，； ②由图可得过点O，设关于直线l：的对称图形为，令交x轴于点D，由题意及（1），同理可得，，， ∴，， 即， ∴当线段在线段上（不包括端点）时，线段上不存在关于直线l的“关联点”，不符合题意， ∵当线段上存在关于直线l的“关联点”时， ∴点M在点的左侧，且点N在点的右侧（包括点），或点M在点的左侧，且点N在点D的右侧（包括点D）， 第一种情况：点M在点的左侧，且点N在点的右侧（包括点），如图 ∴， 解得， 第二种情况：点M在点的左侧，且点N在点D的右侧（包括点D），如图 ∴， 解得， 综上所述，当线段上存在关于直线l的“关联点”时，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $