精品解析：广东省深圳市龙华外国语高级中学2026-2027学年高二上学期第一次月考测试数学试卷

2026-2027学年度龙华外国语高级中学高二数学第一次月考测试卷 本卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题 1. 已知点，若向量，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 一条光线从点射出，与轴交于点，经轴反射，则反射光线经过的点的坐标可以为（ ） A. B. C. D. 7. 过点的直线可表示为，若直线与两坐标轴围成三角形的面积为4，则这样的直线有（    ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 8. 如图，是棱长为1的正方体，若点在平面内，且满足，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 空间中任意两个单位向量必相等 B. 在正方体中，必有 C. 若空间向量，，满足，，则 D. 若空间向量，满足，则 10. 已知直线，，下列选项正确的是（） A. 若，则 B. 若，则 C. 时，两条直线相交 D. 时，两直线重合 11. 在中，，，D，E分别是，中点，将沿折起至．设二面角为，则（ ） A. B. 当时，平面与平面的夹角为60° C. 存在，使平面平面 D. 存在，使 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 在棱长为1的正四面体中，是的中点，则________. 13. 已知两点 ，过点 的直线 与线段 总有公共点，则直线 倾斜角的取值范围是_____. 14. 直线：绕着点旋转一周所不能经过的点构成的平面区域的面积为_________ 四、解答题 15. 如图在边长是的正方体中，分别为，的中点. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离. 16. 求满足下列条件的曲线的标准方程： （1）过三点、、的圆； （2）圆经过点，，且圆心在直线上 17. 已知的三个顶点是，，． （1）求边上的中线所在直线的点斜式方程； （2）求边上的高所在直线的斜截式方程； （3）求边的垂直平分线的一般式方程． 18. （1）已知为任意实数，当变化时，方程表示什么图形？该图形有何特征？ （2）已知直线，其中、均为任意实数，． （i）证明：直线过定点； （ii）过点作直线，使得，且，过作的垂线，垂足为，求的面积的最大值． 19. 如图，在正四棱锥中，所有棱长都相等，点分别是棱的中点，点在棱上，且. （1）若，证明：平面； （2）若，求的值； （3）求平面与平面夹角余弦值的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度龙华外国语高级中学高二数学第一次月考测试卷 本卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题 1. 已知点，若向量，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设点的坐标是，则， 所以，解得， 所以点的坐标是. 2. 已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，，所以，故. 3. 若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【详解】设直线与平面的夹角为，则， 由，解得. 4. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的公式计算即可. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为: . 5. 若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由二元二次方程表示圆可得的范围，再结合点在圆的外部，即可得解. 【详解】将圆化成标准方程，可得， 由，解得. 因为点在圆的外部， 所以，解得. 综上可得. 6. 一条光线从点射出，与轴交于点，经轴反射，则反射光线经过的点的坐标可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得到点关于轴对称的点为，利用反射光线经过点和点即可求解. 【详解】 如图所示，点关于轴对称的点为， 因为反射光线同时经过点和点，且，所以反射光线所在直线的方程为，即， 所以反射光线经过的点的坐标为，故反射光线经过的点的坐标可以为，故A正确. 7. 过点的直线可表示为，若直线与两坐标轴围成三角形的面积为4，则这样的直线有（    ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】C 【解析】 【分析】首先判断直线与坐标轴相交的前提，求出直线在轴和轴上的截距，判断一元二次方程的实根个数，不同的实根对应不同的直线，实根个数即为满足条件的直线条数。 【详解】可化为①， 要使与两坐标轴能围成三角形，则且， 由①令得；令得， 依题意，， 所以或， 所以或， 设，则或，则或， 解得或， 即或， 所以这样的直线有条. 8. 如图，是棱长为1的正方体，若点在平面内，且满足，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，利用四点共面的充要条件求出，进而得到点坐标，最后利用点到直线的距离公式求解. 【详解】如图，以点为原点，分别为轴建立空间坐标系， 所以，，，， 则，故， 因为点在平面内，所以四点共面. 由空间向量共面定理可知，解得，所以， 直线的方向向量为，，， 所以点到直线的距离. 二、多选题 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 空间中任意两个单位向量必相等 B. 在正方体中，必有 C. 若空间向量，，满足，，则 D. 若空间向量，满足，则 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同故不一定相等，所以A错误； 对于B，由正方体的结构特征知，与的方向相同，模也相等，故，所以B正确； 对于C，向量的相等满足传递性，所以C正确； 对于D，根据向量相等的定义知，模相等且方向相同为相等向量，而D中向量与的方向不一定相同，所以D错误． 10. 已知直线，，下列选项正确的是（） A. 若，则 B. 若，则 C. 时，两条直线相交 D. 时，两直线重合 【答案】BC 【解析】 【分析】利用直线一般方程的平行垂直公式，分析即得解. 【详解】A选项：若，当时，斜率分别为 令： 所以时也平行，A选项错误； B选项：若，斜率乘积为： ，B选项正确； C选项：当时，，， 代入，得，两直线相交，C选项正确； D选项：当时，，， 两直线平行且不重合，D选项错误. 11. 在中，，，D，E分别是，中点，将沿折起至．设二面角为，则（ ） A. B. 当时，平面与平面的夹角为60° C. 存在，使平面平面 D. 存在，使 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A：根据线面垂直的判定定理以及直线与平面垂直的定义来判断；选项B：由二面角的平面角定义作出平面与平面的平面角，计算出角的大小即可判断；选项C：根据等腰三角形的两个底角相等以及三角形的内角和等于来判断是否存在；选项D：向量数量积等于0推出和垂直，再由的范围判断是否存在，即可作出判断. 【详解】选项A：因为D，E分别是，中点，所以，，， 所以平面，平面，所以，A正确. 选项B：因为，，所以为的平面角. 过点作平行于、的直线， 可证即平面与平面的交线.，， 所以为平面与平面的平面角. 因为，，所以是等边三角形， 所以，B正确. 选项C：若平面平面，则两平面夹角为，即平面角， 在中，因为，所以 ， 结论不符合三角形的性质，所以不存在使平面平面，C错误. 选项D：，即. 可知时，，时，， 的范围在至之间，越大越大， 所以存在，使，所以D正确. 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 在棱长为1的正四面体中，是的中点，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】将转化成，再结合正四面体性质和数量积的定义计算即可. 【详解】由题意可得 . 故答案为：. 13. 已知两点 ，过点 的直线 与线段 总有公共点，则直线 倾斜角的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】由图结合题设可得斜率范围，然后可得倾斜角范围. 【详解】如图结合斜率公式可得，则斜率范围为. 设直线倾斜角为，当时，因，，则此时范围为：； 当时，因，则此时范围为：. 综上可得：. 14. 直线：绕着点旋转一周所不能经过的点构成的平面区域的面积为_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意分析出符合要求的点构成的平面区域是以点为圆心，以点到直线的距离为半径的圆内部，再使用圆的面积公式求解. 【详解】点到直线的距离为：， 直线：绕着点旋转一周所不能经过的点， 等价于到该点的距离小于点到直线的距离， 即不能经过的点构成的平面区域是一个以点为圆心，以为半径的圆的内部， 则不能经过的点构成的平面区域的面积为：. 四、解答题 15. 如图在边长是的正方体中，分别为，的中点. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明：以为坐标原点，分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示： 则,，,,，， 所以，，， 所以，， 所以， 即， 又因为平面，且， 所以平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点，分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明即可； （2）利用等体积法求解即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 设点到平面的距离为， 在正方体中，易知，即为直角三角形， ， 所以， 因为， 即， 所以， 所以点到平面的距离为. 16. 求满足下列条件的曲线的标准方程： （1）过三点、、的圆； （2）圆经过点，，且圆心在直线上 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出圆的一般方程，根据题意列方程组求出参数，然后化为标准方程即可； （2）先求线段的垂直平分线方程，再求圆心坐标及半径，由此可得结论. 【小问1详解】 设圆的方程为， 由题可得，解得， 所以圆的一般方程为， 化为标准方程得. 【小问2详解】 由点，在圆上，，中点坐标为， 则直线的垂直平分线的直线方程为，即， 则圆心为直线与垂直平分线的交点， 联立方程组，解得， 所以圆心为，半径， 所以圆的标准方程为. 17. 已知的三个顶点是，，． （1）求边上的中线所在直线的点斜式方程； （2）求边上的高所在直线的斜截式方程； （3）求边的垂直平分线的一般式方程． 【答案】（1）点斜式方程为 . （2）斜截式方程为 . （3）一般式方程为 . 【解析】 【分析】（1）求出中点坐标，利用两点求出斜率，点斜式直接写出方程. （2）由题知边上的高所在直线过点，点在轴上，求出斜率，求出直线斜截式方程即可. （3）求出的中点坐标，利用点斜式求出方程，再整理为一般式方程即可. 【小问1详解】 设的中点为，由中点坐标公式求出点坐标为，， 边上的中线所在直线的点斜式方程（用点）为. 【小问2详解】 设边上的高所在直线的方程为，， 过点，直线在轴上的截距为1，直线的斜截式方程为. 【小问3详解】 设的中点为，由中点坐标公式求出点坐标为，设边的垂直平分线的方程为， ，用点斜式求出直线的方程为，整理为一般式得. 18. （1）已知为任意实数，当变化时，方程表示什么图形？该图形有何特征？ （2）已知直线，其中、均为任意实数，． （i）证明：直线过定点； （ii）过点作直线，使得，且，过作的垂线，垂足为，求的面积的最大值． 【答案】（1）方程表示过定点的所有直线（不包含直线）. （2）（i）证明：的方程可化为. 由得，所以过定点. （ii） 【解析】 【分析】对于（1），因为方程是过两定直线交点的直线系形式，所以先求两条定直线的交点，再分析λ变化时方程对应的图形及恒过该交点的特征； 对于（2）（Ⅰ），将方程按、整理为合并同类项的形式，令、的系数和常数项分别为，解方程组得到定点坐标； 对于（2）（Ⅱ），先写出直角三角形的面积，求出到的距离，求出面积的最大值. 【详解】方程即为， 因为与不能同时为， 所以方程表示一条直线. 由得，所以该直线过定点， 无论取何值，都不成立， 所以直线不能与直线重合， 所以方程表示过定点的所有直线（不包含直线）. （2）（i）略 （ii）设到的距离为，即. 由题意得的面积. 因为恒过定点，且， 所以，当且仅当与垂直时取到，因此面积最大值 19. 如图，在正四棱锥中，所有棱长都相等，点分别是棱的中点，点在棱上，且. （1）若，证明：平面； （2）若，求的值； （3）求平面与平面夹角余弦值的取值范围. 【答案】（1）如图，连接，交于，连结，则为的中点，又为的中点，所以， 当时，为的中点，又为的中点，所以，所以， 又平面，平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，根据中位线性质和平行的传递性可证得，再根据线面平行的判定定理即可证得结论； （2）根据题设条件建立空间直角坐标系，设，求出相关点和向量的坐标，结合即可求得的值； （3）利用（2）中建立的坐标系分别求出两平面的法向量，根据空间向量夹角的坐标公式表示出两平面夹角余弦的解析式，结合二次函数的性质即可求得范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接，由正四棱锥可知两两垂直， 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则， ， 所以， 因为，所以，解得. 【小问3详解】 由（2）知， 所以， 设平面的一个法向量为，则，即， 取，则，，所以； 设平面的一个法向量为，则，即， 取，则，，所以； 设平面与平面的夹角为， 则， 因为在棱上，所以，所以函数， 所以，即平面与平面夹角余弦值的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $