贵州铜仁市思南中学2026-2027学年高一上学期期中考试数学试卷

2026—2027学年高一上学期数学半期考试 考试时间：120 分钟　　满分：150 分　　 考查范围：集合与常用逻辑用语、一元二次函数与不等式、函数的概念与性质 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 1．已知集合 ，，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 2．命题“，”的否定为（　　） A．，　　B．， C．，　　D．， 3．设 ，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件　　B．必要不充分条件　　C．充要条件　　D．既不充分也不必要条件 4．若 ，则 的最小值是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 5．下列各组函数表示同一函数的是（　　） A．，　　B．， C．，　　D．， 6．函数 的图象大致为（　　） 图1　 7．已知 是 上的增函数，则 的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 8．已知两个正实数 满足 ，且不等式 有解，则实数 的取值范围为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分） 9．下列命题为真命题的是（　　） A．若 ，，则 B．若 ，则 C．若 ，，则 D．若 ，则 10．已知关于 的不等式 的解集为 ，则下列说法正确的是（　　） A． B． C．不等式 的解集为 D．不等式 的解集为 11．已知狄利克雷函数 ，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． 是偶函数 D．对任意 ，都有 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．函数 的定义域为＿＿＿＿＿＿． 13．已知幂函数 在 上单调递减，则实数 的值为＿＿＿＿＿＿ 14．，用 表示 ， 中的最小者，记为 ．给定函数 ，，若对于任意 ，都有 ，则 的取值范围是＿＿＿＿＿＿． 四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分） 15．（13 分）已知集合 ，． （1）若 ，求 ； （2）若 ，求实数 的取值范围． 16．（15 分）已知 ． （1）求 的最小值； （2）若不等式 恒成立，求实数 的取值范围． 17．（15 分）已知函数 是定义在 上的奇函数，且 ． （1）求函数 的解析式； （2）用定义证明函数 在 上单调递增； （3）解不等式 ． 18．（17 分）经过市场调查，生产某种 LED 灯需投入的年固定成本为 万元，每生产 （万件）该产品，需另投入变动成本 （万元），且 每件产品的售价为 元，该产品每年的销量等于当年的产量． （1）写出年利润 （万元）关于年产量 （万件）的函数解析式；（注：年利润 年销售收入 固定成本 变动成本） （2）年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？ 19．（17 分）给定函数 ，定义集合 （1）若 ，求 ； （2）若 ，，求 与 ； （3）证明：；并判断若 ，是否一定有 ？说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案与解析（仅供参考） （一）答案速查 表1　客观题答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 D C A B D A C 题号 8 9 10 11 12 13 14 答案 D BD AB ABC 表2　解答题答案 题号 主要结果 15（13 分） （1）；（2），即 16（15 分） （1）最小值为 （ 时取得）；（2） 17（15 分） （1）；（3） 18（17 分） （1） 见解析；（2）年产量 万件，最大年利润 万元 19（17 分） （1），；（2），；（3）一定有 （二）单项选择题解析 1．【答案】D 【解析】，，取交集得 ，即 ，故选 D。 2．【答案】C 【解析】全称量词命题的否定是存在量词命题，须同时否定量词与结论： 改为 ， 改为 ，故选 C。 3．【答案】A 【解析】当 时，，由不等式性质得 ，故充分性成立。反之，取 ，则 ，但 不成立，故必要性不成立。所以是充分不必要条件，选 A。 4．【答案】B 【解析】由 得 ，于是 当且仅当 ，即 时取等号，故最小值为 ，选 B。 5．【答案】D 【解析】同一函数要求定义域与对应关系都相同。A 中 的定义域为 ，与 不同；B 中 ，与 的对应关系不同；C 中 与 对应关系不同；D 中 ，定义域与对应关系均相同，故选 D。 6．【答案】A 【解析】 的定义域为 ，且 ，为奇函数，图象关于原点对称，故排除 B、C。 再看符号：当 时 ，；当 时 且随 增大趋于 。即 时 ， 时 ；而 时 、 附近 。对照图象，只有 A 符合。 7．【答案】C 【解析】分段函数在 上单调递增，需同时满足三个条件： ① 第一段斜率大于零：，即 ； ② 第二段 在 上递增，恒成立； ③ 分界处左段不超过右段：，即 ，。 综上 ，选 C。 8．【答案】D 【解析】令 ，则 ，，于是 设 ，则上式化为 ，在 （即 ）处取最小值 ，故该式的取值范围为 。 “不等式有解”即存在 使左式 ，等价于 ，解得 或 ，故选 D。 （三）多项选择题解析 9．【答案】BD 【解析】A 中同向不等式不能相减，取 ，，，，则 ，A 假。 B 中由 得 ，由 得 ，故 ，B 真。 C 中 且 只能推出 ；当 时 与 的大小关系不确定，例如取 ，，，则 ，C 假。 D 中 时 ，由 两边同除以 得 ，D 真。故选 BD。 10．【答案】AB 【解析】由解集为 知 ，且 、 是方程 的两根，故 即 ，。 A 中 与 矛盾，A 错。 B 中 ，B 正确。 C、D 中，。因 ，两边同除以 需变号，得 ，即 ，解得 或 。 所以 C 正确、D 错误（D 的解集恰为该不等式的“取反”）。 综上，正确选项为 AB。 11．【答案】ABC 【解析】 不是完全平方数（，），故 是无理数，，A 错。 因为 的取值只能是 或 ，二者都是有理数，所以 ，B 正确。 对任意 ， 与 同为有理数或同为无理数，故 ，B、C 中的函数为偶函数，C 正确。 取 ，则 ，而 ，故 D 错误。故选 ABC。 （四）填空题解析 12．【答案】 【解析】需同时满足 且 ，即 且 ，故定义域为 。 13．【答案】 【解析】由幂函数的定义，系数必须为 ： 即 ，解得 或 。又 在 上单调递减，需 ，即 ，故 。 14．【答案】 【解析】 对任意 成立，等价于不存在 使 且 。由 得 ，故条件等价于 该抛物线开口向下，对称轴为 。 当 ，即 时， 在 上单调递减，只需 ，即 ，与 取交集仍为 。 当 ，即 时，最大值在顶点处取得： 整理得 ，解得 ，与 取交集得 。 综上， 的取值范围为 。 （五）解答题解析 15．【答案】（1）；（2） 【解析】（1） 时，，，故 。又 ，所以 （2）由 得 。 ① 当 时，，解得 ，符合题意。 ② 当 时，须 ，即 ，且 的两端点都在 中： 解得 且 ，即 。 综合①②得 ，即 的取值范围为 。 【评分参考】（1）求 并写出并集，共 6 分。（2）空集情形 3 分，非空情形 3 分，结论 1 分，共 7 分；漏掉空集情形最多得 4 分。 16．【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由 得 由 ， 及基本不等式 所以 。当且仅当 ，即 ，结合 得 ， 时取等号，故 的最小值为 。 （2）不等式 恒成立，即 对满足条件的一切 恒成立，故只需 解得 ，即 。 【评分参考】（1）变形 4 分，用基本不等式求最值 3 分，验证取等条件 1 分，共 8 分。（2）转化 3 分，解不等式 4 分，共 7 分。 17．【答案】（1）；（3） 【解析】（1）因为 是定义在 上的奇函数，且 ，所以 ，即 ，得 （此时 ）。 又 ，得 。此时 ，且 ，符合题意。故 （2）任取 ，则 因为 ，所以 ，且等号只在 或 时出现，与 矛盾，故 ，即 ；又 ，分母为正，故 ，即 。 所以 在 上单调递增。 （3）不等式 化为 。 由 在 上单调递增，得 分别解得 ，，，取交集得 即解集为 。这里 不满足 （此时两函数值之和为 ），故左端仍为开； 时 落在定义域内，可以取到。 【评分参考】（1）由奇函数求 2 分，由 求 2 分，答 1 分，共 5 分。（2）作差变形 3 分，判断符号 3 分，结论 1 分，共 7 分。（3）转化为 2 分，列不等式组 2 分，结果 1 分，共 5 分；只写 而不检验定义域的扣 2 分；把右端误写成开区间、漏掉 的扣 1 分。 18．【答案】（1）；（2） 时取最大值 万元 【解析】（1）年销售收入为 万元，故 当 时， 当 时， 所以 （2）当 时，，当 时取最大值 万元。 当 时， 当且仅当 ，即 时取等号，此时 万元。 因为 ，所以当年产量为 万件时年利润最大，最大年利润为 万元。 【评分参考】（1）写出销售收入 2 分，两段解析式各 3 分，共 8 分（区间端点写错扣 1 分）。（2）第一段配方求最值 4 分，第二段用基本不等式求最值 4 分，比较并作答 1 分，共 9 分。 19．【答案】（1），；（2），；（3） 成立； 时一定有 【解析】（1）由 知 、 是方程 ，即 的两根，由韦达定理 解得 ，。 （2）当 ， 时，。 求 ：由 得 ，解得 ，故 求 ：由 得 即 。因为 ，所以 提取公因式 得 而 ，于是 解得 ， 或 ，即 （3）任取 ，则 ，从而 ，故 ，所以 。 判断：若 ，则一定有 。理由如下。 记 。 说明 无实根，故 即 。 另一方面， 而 于是 要使 ，只需第二个因式对应的方程 也无实根。其判别式 由 得 ，故 所以该方程无实根。又 恒为正（ 无实根且开口向上），从而 无实根， 成立。 【评分参考】（1）列方程 2 分，韦达定理求 、 3 分，共 5 分。（2）求 3 分，求 并写出因式分解 4 分，共 7 分。（3）证明 2 分，判断结论 1 分，判别式论证 2 分，共 5 分。 学科网（北京）股份有限公司 $